Esperanza de vectores aleatorios bivariados discretos y sus

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Fgm********************
3.5.3.- Ejemplo
La distribución geométrica se puede asociar al experimento (con
devolución) de obtener el primer éxito en la n-ésima repetición.
Suponga una máquina que produce un 7% de artículos defectuosos. Y
la línea de producción de esta máquina se revisa si los artículos son no
defectuosos (B) o defectuosos (D); el experimento concluye una vez
que se ha encontrado el primer artículo defectuoso.
Los casos posibles son :
D
BD
BBD
BBBD
BBBBD
...
BBB...BBBBD
Definamos nuestra v.a.d. X = {xi / "El artículo i es defectuoso"}.
Debido a que ser bueno o defectuoso son sucesos independientes,
cada uno con probabilidades O.93 y O.O7 respectivamente, la función
de cuantía queda definida por:
p(x )  q

p  0.93

0.07
Por lo tanto se puede decir que X se distribuye como una geométrica,
esto se anota como:
XGEO (0.07)
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3.6.- Distribución Pascal (o Binomial Negativa)
Para una distribución de Pascal, se tiene en general:
P(x) = P(X=x) = x-1Cr-1  prqx-r
; x = r, r+1,r+2, r+3, …
Donde:
 p es la probabilidad de que ocurra un suceso A
 q es (1-p)
 X = x sí y sólo sí A ocurre en la x-ésima repetición y precisamente A
ocurrió (r -1) veces en las (x-1) repeticiones previas.
Es posible obtener una generalización obvia de la distribución geométrica.
Supongamos que un proceso se continúa hasta que un evento A ocurre
por r-ésima vez, en la n-ésima vez que se realiza el experimento. Si
definimos:
P(A) = p , P(Ac) = q = 1-p
en cada una de las repeticiones, definimos la variable aleatoria X como
sigue:
X es el número de repeticiones necesarias para que A ocurra por
r-ésima vez en la n-ésima vez que se realiza el experimento. Buscamos la
distribución de probabilidades de X.
Ahora X=k sí y sólo sí A ocurre en la k-ésima repetición y precisamente A
ocurrió (r-1) veces en las (k-1) repeticiones previas. La probabilidad de
este evento es simplemente:
 k -1
 p
 r -1
q
ya que lo que sucede en las primeras (k-1) repeticiones son
independientes de lo que sucede en la k-ésima repetición, se obtiene
 k -1
   k     p q
 r -1
, k = r, r +1, ...
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Es muy sencillo ver que para r=1, lo anterior se reduce a la distribución
geométrica. Una variable aleatoria que tenga una distribución dada por la
ecuación anterior, se conoce como Distribución de Pascal.
Si X tiene una Distribución de Pascal entonces,
3.6.1.- La Esperanza es
E(X)=r/p.
3.6.2.- La Varianza es
V(X)=rq/p2.
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3.7.- Distribución de Poisson.
Esta distribución es un caso límite de la binomial. Suponemos p pequeño
y n grande, de modo que el producto np tienda a un valor  finito.
Usualmente se asocia a una Distribución de Poisson cuando se conoce un
promedio por unidad de tiempo.
De la binomial se tiene:
n
p(x i ) = P(X = x i ) =   p
 xi 
xi
1 - p n -
xi
Sustituyendo p= /n, tomando el límite cuando n se obtiene
n
l i m p(  p
 xi 
xi
n  
1 - p 
n - xi
)=

e -
xi !
xi
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Se dice que la v.a.d. X se distribuye como una Poisson  su función de
cuantía es :
p(x i ) =
e -
I {0,1,2,3,. .., n} ( x i )
xi !

xi
*********************************
Veremos si cumple con la condición de ser una función de cuantía.
1) f(x)  0    0 (por simple inspección)
e -
2)  
=1 ?
x
!
x =0
x =
e
x
- 
 x - 
= e e = 1,  > 0

x=0 x !
x=
pues
e

 x

x=0 x !
x=
(desarrollo de serie de MacLaurin de e)
3.7.1.- La Esperanza es
3.7.2.- La Varianza es
   np = 
V   
3.7.3.- Función generatriz de momentos
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 x (t )  e  ( e 1)
t
3.7.4.- Ejemplos
1.-El número promedio de partículas radiactivas que pasan a través de un
contador durante un milisegundo en un experimento de laboratorio es 4.
¿Cuál es la probabilidad de que entren 6 partículas al contador en un
milisegundo determinado?
Solución: Utilizando la distribución de Poisson con x=6 y =4, se tiene:
p(6;4) 
6
5
e 4 4 6
  p(x;4)   p(x;4)  0,8893 0,7851 0,1042
6!
x 0
x 0
2.- Se sabe que 10 es el número promedio de camiones-tanque de aceite
que llegan por día a una cierta ciudad portuaria. Las instalaciones del
puerto pueden atender cuando mucho a 15 camiones tanque en un día.
¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado día se tengan que
regresar los camiones-tanque?
Solución: Sea X : el número de camiones-tanques que llegan por día.
P(x15) = 1  P(x  15)
e 1010xi
 1 
xi!
x 0
 1  0,9513
 0,0487
15
3.-Después de una prueba de laboratorio muy rigurosa con cierto
componente eléctrico, el fabricante determina que en promedio, sólo
fallarán dos componentes antes de tener 1000 horas de operación. ¿ Cuál
es la probabilidad que fallen cinco componentes en 1000 horas de
operación ?
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Solución:
X  p(5;2)
IP(pedida) 
e 2 2 5
 0,0361
5!
FUNCIÓN GENERADORA DE MOMENTOS
Debido a la importancia de obtener rápidamente los valores
característicos de una distribución, se utiliza la función generadora de
momentos. Se define la función generadora de momentos ( f.g.m.) X (t)
como:
Sea X v.a.d. y
X : D  IR
IR
t  X ( t ) = E [ etX ]=  etxifx(xi)
i
nota:
d k  X (t)
1. t  D : 
dt k
2. X ( t=0 )=1
3. Vemos que la f.g.m.  X cumple con:
d r  X (t)
µ r = E [ Xr ] = dt r
t=0
de allí el nombre de función generadora de momentos.(Algunas f.g.m.
fueron conocidas mientras se estudiaban las distribuciones discretas).
3.8.- Ejercicios Propuestos
1.
Supóngase que la máquina 1 produce en forma diaria el doble de
artículos que la máquina 2. Sin embargo, cerca del 4% de los
artículos de la máquina 1 tienden a ser defectuosos, mientras que la
máquina 2 produce sólo un 2% de defectuosos. Supongamos que se
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combina la producción diaria de ambas máquinas, y se toma una
muestra aleatoria de tamaño 10 de ella. ¿Cual es la probabilidad de
que esta muestra contenga 2 artículos defectuosos?.
2.
Un artículo es producido por operaciones independientes de una
máquina. La probabilidad de encontrar un artículo defectuoso es de
0.2.
a)
Si se eligen al azar 8 de estos artículos, encontrar :
i)
ii)
iii)
iv)
b)
La probabilidad de obtener exactamente un artículo
defectuoso. (Sol : 0.3355)
La probabilidad de que ningún artículo sea defectuoso.
(Sol : 0.167772)
La probabilidad de obtener no más de dos artículos
defectuosos. (Sol: 0.7969)
La probabilidad de obtener no menos de dos artículos
defectuosos. (Sol: 0.5033)
Si se elige la variable aleatoria X = “Número de artículos
defectuosos elegidos entre 8”, encontrar :
i)
ii)
E[X], Var(X). (Sol : E[X]=1.6;Var(X)=1.28)
La probabilidad de que la mayoría sean defectuosos.
(Sol : 0.0104)
c)
Si la utilidad esperada al vender 8 artículos es tal que por cada
artículo no defectuoso que se venda se gana $120.-, y por
cada defectuoso se pierde $90.-. ¿Cuál es la utilidad
esperada?. (Sol : 624)
d)
Si se va extrayendo uno por uno los artículos, entonces :
i)
¿Cuál es la probabilidad de obtener un artículo
defectuoso sólo en la cuarta extracción?. (Sol : 0.1024)
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ii)
iii)
e)
Si se hacen extracciones
defectuosos, entonces :
i)
ii)
iii)
iv)
v)
3.
¿Cuál es la probabilidad de obtener un artículo
defectuoso precedido de 3 no defectuosos?.
(Sol : 0.1024)
Calcular la esperanza y varianza al extraer un artículo
defectuoso
sólo
en
la
r-ésima
extracción.
(Sol : E[X]=5;V(X)=20)
hasta
obtener
3
artículos
¿Cuál es la probabilidad de que sean necesarios 6
extracciones?. (Sol : 0.04096)
¿Cuál es la probabilidad de que sean necesarias menos
de 6 extracciones?. (Sol : 0.0572)
¿Cuál es la probabilidad de que ocurran 3 extracciones
consecutivas exitosas ( obtener 3 artículos defectuosos )
y ningún fracaso?. (Sol : 0.008)
¿Cuál es el número esperado de repeticiones
necesarias?. (Sol : 15)
Supóngase que el costo de cada una de las extracciones
es $200.-. Además, por cada extracción que se fracase
( se obtiene artículo defectuoso ) se produce un costo
adicional de $30.-. ¿Cuál es el costo esperado del
procedimiento completo?. (Sol : 3360)
Un lote de producción de 80 unidades tiene 8 artículos defectuosos.
Se extrae una muestra aleatoria de 10 unidades y se quiere saber :
a)
b)
c)
d)
La probabilidad de que la muestra contenga 1 artículo
defectuoso. (Sol : 0.4135)
La probabilidad de que la muestra contenga a lo menos 3
artículos defectuosos. (Sol : 0.)
La probabilidad de que la muestra contenga no más de 2
artículos defectuosos. (Sol : 0.9428)
E[X] y Var(X). (Sol : E[X]=1;Var(X)=0.7975)
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4.
Una caja contiene 3 artículos defectuosos, dos regulares y cuatro
buenos. Encontrar la probabilidad de que, en una muestra aleatoria
de 5 artículos sin reposicion, se seleccionan dos regulares y al
menos uno bueno. (Sol : 0.2698)
5.
Idem a problema 4, pero la extracción es con reposición.
(Sol : 0.2141)
6.
Se supone que un promedio de 4 automóviles llegan para ser
reparados a un taller durante las 8 horas diarias de trabajo. ¿Cuál
es la probabilidad de que lleguen uno o más automóviles durante el
periodo de una hora?. (Sol : 0.3935)
7.
En promedio, 12 personas por hora consultan a un especialista en
decoración en un almacén de telas. Calcular la probabilidad de que
tres o más personas se acercasen al especialista durante un periodo
de 10 minutos. (Sol : 0.3232)
8.
Si el 3% de los platillos para ensalada fabricadas por una empresa
de lozas son defectuosos, hallar la probabilidad de que en una
muestra de 100 platillos se encuentren :
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
9.
0 defectuosos. (Sol : 0.04979)
1 defectuoso. (Sol : 0.1494)
2 defectuosos. (Sol : 0.2241)
3 defectuosos. (Sol : 0.2241)
4 defectuosos. (Sol : 0.1680)
5 defectuosos. (Sol : 0.1008)
Más de 5 defectuosos. (Sol : 0.0838)
Entre 1 y 3 defectuosos. (Sol : 0.5976)
2 platillos o menos sean defectuosos. (Sol : 0.4232)
Entre las 2 y las 4 de la tarde el promedio de colectivos que van de
Viña del Mar al Cerro Placeres por minuto es de 2.5. Hallar la
probabilidad de que en un determinado minuto haya :
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a)
b)
c)
d)
e)
f)
10.
0 colectivos. (Sol : 0.08208)
1 colectivo. (Sol : 0.2052)
2 colectivos. (Sol :0.2565)
3 colectivos (Sol : 0.2138)
4 o menos colectivos. (Sol : 0.8911)
Más de 6 colectivos. (Sol : 0.0142)
Un baúl contiene un gran número de cajetillas de cigarrillos Kent,
Lucky, Belmont y Hilton, en la proporción 4:3:2:1 respectivamente.
Hallar la probabilidad de que en 10 extracciones se extraigan :
a)
b)
4 Kent, 3 Lucky, 2 Belmont y 1 Hilton. (Sol : 0.0348)
8 Kent y 2 Hilton. (Sol : 0.000295)
4.- Ejercicios Desarrollados
1.- OTRA VEZ: LA MONEDA.
Se lanza una moneda insesgada, determinar la probabilidad de que en el
12º lanzamiento aparezca cara por 5ta vez.
Solución:
p(cara) = p(sello) = 0,5
P(X=12) = (11C4 ) x 0,55 x 0,57
P(X=12) = 330 x 0,0313 x 0,0078 = 0,0806
2.- TÍPICO: UN DADO.
Se lanza un dado insesgado, determine la probabilidad de que en el 15º
lanzamiento aparezca el número 4 por 3ª vez.
Solución:
p(4) = 1/6 = 0,1667
q = 1- p = 1- 0,1667 = 0,8333
3
P(X=15) = (14C2) x 0,1667 x 0,833312 = 91 x 0,0046 x 0,1121 = 0,0469
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3.- CALCETINES (LIMPIOS).
Se tiene un cajón con 20 calcetines 5 rojos, 3 verdes, 6 amarillos y 6
azules, determine la probabilidad de que en el 10º calcetín extraído (con
devolución) aparezca por 5º vez un calcetín amarillo.
Solución:
p(amarillo) = 6/20 = 0,3
q = 1- p = 1- 0,3 = 0,7
5
5
P(X=10) = (9C4) x 0,3 x 0,7 = 126 x 0,0024 x 0,1681= 0,0508
4.- ACCIONES UNIKAK.
La probabilidad de que las acciones de la Empresa de Servicios
Computacionales Unikak LTDA. aumenten en un día es de 0,45. Se
observa el comportamiento de las acciones durante 17 días. ¿Cuál es la
probabilidad de que en el 15º día hayan aumentado por 6ª vez ?.
Solución:
p(aumento) = 0,45
q = 1- p = 1- 0,45 = 0,55
6
9
P(X=15) = (14C5) x 0,45 x 0,55 = 2002 x 0,0083 x 0,0046= 0,0764
5.- PROYECTO FONDEF.
En un proyecto de investigación FONDEF de alta importancia, se investiga
acerca de la inmortalidad del cangrejo, para ello los investigadores han
acudido a biblioteca y encontraron una memoria a cerca del tema. El
investigador abre al azar la memoria de 400 páginas para ver su
contenido, ¿Cuál es la probabilidad que en la 6ª apertura de la memoria se
abra por 4ª vez sobre la página 325?
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Solución:
p(sobre la página 325) = (1/400) =0.0025
q = 1- p = 1- 0,0025 = 0,9975
P(X=6) = (5C3) x 0,00254 x 0,99752 = 3.8867*E-10
6.- OVNI DESPACHURRADO.
Se sabe que las naves extraterrestres (OVNI) son extremadamente
resistentes a los choques, ya que después de atravesar el hiperespacio se
encuentran repentinamente con acumulaciones de meteoritos. Si la
probabilidad de colisionar con un meteorito al salir del hiperespacio es de
0,97, determine la probabilidad de que al cruzar el hiperespacio por 2.255ª
vez colisionen con un meteorito por 2200ª vez.
Solución:
p(colisionar) = 0,97
q = 1- p = 1- 0,97 = 0,03
P(X=2.255) = (2.254C2.199) x 0,972.200 x 0,0355
P(X=2.255) = 1,1E111 x 7,9034E-30 x 1,7444E -84= 0,0148084
7.- ...Y DALE CON EL PELUCHE.
Un enamorado regala todos los meses el día que celebra el inicio de su
pololeo un osito de peluche a su polola, lo que este enamorado no sabe es
que su polola es alérgica al peluche, la probabilidad de que se lo lance a la
cara o lo bote a la basura es de 0,2. Determine la probabilidad de que al
18º mes la polola se lo tire por la cabeza habiendo ya botado a la basura
14 de ellos.
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Solución:
p(tirar por la cabeza) = 0,2
q = 1- p = 1- 0,2 = 0,8
15
3
P(X=18) = (17C14) x 0,2 x 0,8 = 680 x 3,2768E-11 x 0,512 = 1,1409E-08
8.- MUCHO LOVECRAFT.
Hace mucho milenios, antes de la presencia de la raza humana sobre la
tierra, se adoraba a los dioses primordiales, Nugganoth, dios primordial del
viento. El tiene una probabilidad de escuchar un ruego de 0,001 de sus
adoradores, ellos le piden que calme la terrible ventolera de la milenaria y
hoy extinta ciudad de R’lyeh (hoy en día Playa Ancha). Determine la
probabilidad de que en el 37º ruego haya aplacado el viento por 3ª vez.
Solución:
p(escuchar ruego) = 0,001
q = 1- p = 1- 0,001 = 0,999
3
34
P(X= 37) = (36C2) x 0,001 x 0,999 = 630 x 1E-09 x 0,9666= 6,0896E-07
9.- EL SANSANO.
Un lachito (entiéndase como piropero o halagador) tiene una probabilidad
de éxito con las mujeres de 0,1. El sábado pasado un amigo lo invito a su
fiesta de cumpleaños, en ella habían 93 mujeres todas muy buenas
mozas, lachín alcanzó a cortejar durante la noche a 23 de ellas,
obteniendo buenos resultados con ésta última y otra anterior. Calcule la
probabilidad de la historia de lachito.
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Solución:
p(éxito) = 0,1
q = 1- p = 1- 0,1 = 0,9
2
P(X= 23) = (22C1) x 0,1 x 0,921= 22 x 0,01 x 0,1094 = 0,0241
10.- A L I E N
4
.
Los tripulantes de la nave Nostromo han abordado una nave extraterrestre
infestada de huevos de Aliens, rápidamente la teniente Ripley ordenó
destruirlos organizando un equipo de asalto dirigido por la sargento
Vázquez de 6 soldados, se sabe gracias a ancestrales escrituras
encontradas en la nave que la probabilidad de encontrar una cría macho
en un huevo es de 0,76, determinar la probabilidad de que al destruir el
150º huevo se encuentre la 5ª hembra.
Solución:
p(hembra) = 1 - 0,76 = 0,24
q(macho) = 0,76
5
P(X= 150) = (149C4) x 0,24 x 0,76145= 19720001 x 7,9626E-04 x 5,2236E-18
P(X= 150) = 8,2022E-14
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5.- Ejercicios Propuestos
1.- ACCIDENTES CARRETEROS.
Las estadísticas de accidentes de este año indican que la probabilidad de
quedar un auto con pérdida total (totalmente inservible e irrecuperable) es
de 0,35. Calcule la probabilidad de que en el 126º accidente el auto quede
inservible junto con otros 13 autos chocados anteriormente. (R: 7,05E-11)
2.- FIN DE SEMANA EN VIÑA.
Al viajar desde Santiago a Viña un automovilista se encuentra con el
semáforo que se ubica en el cruce de las calles Agua Santa con Alvarez.
La probabilidad de encontrar una luz verde es de 0,38 y la de amarilla es
de 0,12. Calcule la probabilidad de que en el 7º viaje se encuentre por 5ª
vez con luz roja. (R : 0,117188)
3.- VOLEYBALL DUPLAS.
En la final del Campeonato de Duplas de Voleyball en las playas de Brasil.
se enfrentan representando a Chile los hermanos Grimaldi con el equipo
de Argentina representado por la Dupla Mortenson-Ponce. Según las
estadísticas la probabilidad de hacer un punto por parte de cualquiera de
los equipos es de 0,7. El número total de lanzamientos correspondiente
ambas partes fue de 630 y se sabe que el 60% de ellos fue de nuestros
compatriotas, determinar la probabilidad de que el partido haya terminado
favorable para Chile 11-0. (R : 3,6E-175)
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4.- SUEÑO POR UN DÍA.
En el laboratorio de informática de la Universidad Santa María existen 100
computadores disponibles para los alumnos de 4º y 5º año, de ellos:
15 son estaciones Risk 6000
25 son Pc’s 486DX4
15 son Pc’s 386 DLC
20 son Pc’s 486DX2
15 son Pc’s 80286
10 son Pc’s 8088
Determine la probabilidad de que en la 8ª sesión de trabajo le sea
asignada por 3ª vez una estación Risk 6000 o por 2ª vez un 486 DX4. (R:
0,10931321).
5.- LADRONES SAPIENTES.
Un equipo de ladrones muy instruido sabe que la probabilidad de
activación de una alarma de automóvil es de 0,7, determinar la
probabilidad de que al robar el 15º automóvil la alarma no suene, al igual
que en otros 3 casos anteriores. (R: 0,0583)
6.- JUANITO DE PASEO.
El papá de Juanito, de sólo 4 años, lo ha sacado a pasear a la calle
Valparaíso en Viña del Mar, Juanito insiste en que quiere comer un helado
de barquillo doble de chocolate con naranja, el papá dice “Si lo botas esta
vez, será la última vez que te compro un helado porque ya has botado 4
de éstos”, el papá sabe que es muy probable que a Juanito se le caiga, ya
que, en los últimos 10 paseos se le han caído 4 veces con una
probabilidad de 0,7, pero como Juanito es un hijo regalón y siempre le dan
en el gusto le compran esta vez otro helado. ¿Cuál es la probabilidad de
que a Juanito no le compren nunca más un helado?. (R: 0,05146)
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7.- CAMPAMENTO SCOUT.
En un campamento Scout en el Cerro la Campana, la probabilidad de ser
picado por un zancudo es de 0,75. Este es el 8º campamento que se
realiza en dicho lugar y José ya ha sido picado en dos campamentos
anteriores, se ha prometido a sí mismo que si es picado esta vez no saldrá
nunca más de campamento. ¿Cual es la Probabilidad de que no vuelva a
ir a acampar?. (R: 0,008652)
8.- MARADONA HA VUELTO A LAS CANCHAS.
Aunque nadie lo sabe, este jugador es muy asiduo a los resfríos y como le
gusta autorecetarse, siempre toma Nastizol, la FIFA lo sabe pero prefiere
hacer “vista gorda” a esta falta que tiene una probabilidad de 0,9. Sin
embargo se le ha dicho que si en el próximo partido (el número 12)
nuevamente es sorprendido al igual que las otras 7 veces anteriores será
multado. ¿Cual es la probabilidad de que sea multado?. (R: 0,014205)
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Variable aleatoria continua (v.a.c.):
Comencemos por definir el concepto de variable aleatoria continua:
DEFINICIÓN:
Sea M un espacio muestral continuo, se dice que X es variable
aleatoria continua a la función:
X
 IR
:M
tal que X -1( -  ,x) = AM
xIR
.
DEFINICIÓN :
Sea X un v.a.c. se define la función de densidad probabilística
(f.d.p.) denotada por f X
a
f X : D  RX  IR 
[0, [
x
fX
satisfaciendo las siguientes condiciones:
fX  0
1)
2)



 x D
f X ( x) I D ( x)dx  1
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DEFINICIÓN:
Se define la función de Distribución como la función
0, 1******************
FX : IR
que satisface las siguientes condiciones:
i .- FX ()  0
ii.- FX ()  1
iii.- Fx (x) es una función no decreciente  x  IR
iv .- Fx (x) es una función continua por la derecha.
Teorema:
Sea X una v.a.c. con f.d.p. fx (x) y sea Fx la función dada por
x
Fx (x) =
f
X
( x) I D ( x)dx entonces Fx es una función de Distribución.

Teorema:
Sea X una v.a.c. con f.d.p. fx (x) y sea Fx la función dada por
Fx (x) = IP (X  x) entonces Fx es una función de Distribución
Corolario:
Sea X una v.a.c. con f.d.p. fx (x) entonces:
x
 Fx (x) = IP (X  x) =
f
X
( x) I D ( x)dx

b
 IP (X  b) =  f X ( x) I D ( x)dx
 IP (X  a) =


f
X
( x) I D ( x)dx
a
 IP (a  X b) = IP (a < X  b) = IP (a  X < b)
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 IP (a  X  b) = IP (a < X < b) =
b
f
X
( x ) I D ( x ) dx
a
b
 IP ( X = b) =  f X ( x ) I D ( x )dx =0  b  IR
b
MOMENTOS POBLACIONALES
Los momentos sirven para caracterizar una Distribución, ya que por
medio de estos se obtienen valores representativos de ella, se destacan la
Esperanza y la Varianza.
DEFINICIÓN:
Se define el momento de orden r ( r  ) como el número dado
por:

µr = IE[Xr]=
r
x
 f X ( x) I D ( x)dx


DEFINICIÓN:
El momento de orden uno se conoce como la Esperanza
Matemática (o simplemente Esperanza) de la variable aleatoria continua
X, al valor definido como:
IE[X] = µ1
Nota: la Esperanza es un promedio que se espera que suceda.
DEFINICIÓN:
Se define momento centrado en la Esperanza de orden r ( r  )
como el número dado por:

 r =IE[(X- IE[X] ) ]=  ( x  IE( X ))r f X ( x) I D ( x)dx
r


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DEFINICIÓN:
Se define la Varianza de la variable aleatoria continua X como el
número positivo:
 2 =Var [X] =  2 = E[X2] - (E[X])2 = µ2 - (µ1)2
Nota:  se conoce como la desviación típica o estándar e indica el
grado de dispersión que tendría la v.a.c. X
DEFINICIÓN:
Se define el coeficiente de variación como:
CV (X ) 


Obs.:
También se puede definir la Esperanza de una función g(x) de la
siguiente forma: sea X un v.a.c. con función de densidad probabilística f X
y sea
g : D  IR
, entonces sí
IR, una función continua tal que X (M )  D



g ( x) f X ( x) I D ( x)dx <  ,
se define la Esperanza de g(x) como el número dado por:
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
IEg ( x)   g ( x) f X ( x) I D ( x)dx

Nota:
1. Si g(x)=X
2. Si g(x)=X 2
IEX 
2
(**) da la Esperanza de X 2 : IE X
(**) da la varianza de X : V  X 
 (**) da la Esperanza de X :

3. Si g(x)=(X -IE  X  ) 2 
(**)
 
PROPIEDADES
 k constante.
IEkX = kIEX
 k constante.
IEk = k
IEX+Y = IEX+IEY  X e Y v.a.
 X e Y v.a. y  a,b
IEaX+bY = aIEX+bIEY
constantes.
5. IEXY = IEXIEY
si X e Y son v.a. independientes.
2
 k constante.
6. VkX = k VX
 k constante.
7. Vk = 0
8. VX+Y = VX+VY+2COV(X,Y)  X e Y v.a.
9. VX+Y = VX+VY
si X e Y son v.a. independientes.
2
10. VaX+bY =a VX+b 2 VY+2abCov(X,Y)  X e Y v.a. y
 a,b ctes.
1.
2.
3.
4.
n
 n
11. IE   i X i     i IE  X i 
 i 1
 i 1

Xi
v.a.
y

 i con
i=1,2......n constantes.
n
 n
12. V  i X i    iV  X i   2 i j Cov( X i , X j ) ****************
i j
 i 1
 i 1
FUNCIÓN GENERADORA DE MOMENTOS
Debido a la importancia de obtener rápidamente los valores
característicos de una distribución, se utiliza la función generadora de
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momentos. Se define la función generadora de momentos ( f.g.m.) X (t)
como:
Sea X v.a.c. y
X : D  IR
IR

t  X ( t ) = IE [ etX ]=
e
tX
f X ( x) I D ( x)dx  

nota:
d k  X (t)
1. t  D : 
dt k
1. X ( t=0)=1
2. Vemos que la f.g.m.  X cumple con:
d r  X (t)
 r  IE ( X ) 
dt r t = 0
r
de allí el nombre de función generadora de momentos.
LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Se dice que una variable aleatoria X se distribuye normalmente si su
función de densidad de probabilidad está dada por:
(x )2

2 2
X
IR
f ( x) 
1
e
 2
I ( x)
donde  ( IR ) y  ( IR +) son constantes.
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Los parámetros de la distribución normal son  y , que pertenecen
a la media y la desviación estándar de la v.a.c. X. La distribución normal
es simétrica con respecto a , y tiene forma de campana para cualquier
valor de  y . Para que fX(x) sea una función de densidad de
probabilidad, debe cumplir lo siguiente:

 f X ( x)dx  1

La Esperanza y la Varianza de la distribución normal se definen
como:

IE( x) 
x
  2 e

1 x 
 

2  
2
dx  
V ( x)  IE( X 2 )  IE( X )    2   2   2   2
2
Para denotar que una variable aleatoria X se distribuye normalmente con
parámetros  y  , se anota : X  N ; 2. La probabilidad de que una
variable aleatoria continua distribuida normalmente sea menor o igual a un
valor especifico x0, ésta determinado por la función de Distribución
acumulada:
IP( X  x0 )  FX ( x0 ) 
1
 2
x0
e
1 t  
 

2  
2
dt

Este valor sería imposible de calcular, ya que existen infinitos valores
para el par  y  , para ello se recurre a la transformación Z=( x - )/,
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donde Z es una variable aleatoria estandarizada con  = 0 y  = 1; con lo
cual queda:
x
x
1
IP( X  x0 )  IP( Z 
)

 2


1
 z2
e 2 dz
  (0,1)

Pero esta variable aleatoria estandarizada con  = 0 y  = 1, no
permite calcular la IProbabilidad directamente pues la antiderivada no
existe, pero existen tablas que permiten calcularla (ver la tabla Normal en
el apéndice).
EJERCICIOS RESUELTOS DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
1. En el proceso de elaboración supóngase que el diámetro externo de
cierto tipo de cojinetes se encuentra aproximadamente distribuido
normal con  = 3,5 cm. y  = 0,02 cm. Si el diámetro de estos cojinetes
no debe ser menor de 3,47 cm. ni mayor de 3,53 cm. ¿Cuál es el
porcentaje de cojinetes que debe desecharse durante el proceso de
manufactura?
Solución:
Sea X la v.a.c. asociada al diámetro, donde XN (3,5;0,0004)
La probabilidad de que no se rechasen los cojinetes es cuando x esté
entre 3,47 y 3,53.
IP (3,47 x  3,53) = IP( X  3,53) –IP(X  3,47)
Estandarizando y usando la tabla se obtiene que
IP (3,47 x  3,53) =   1,5) -   -1,5) = 0,9332 – 0,0668 = 0,8664
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Resp.: Un 86,64% de los cojinetes cumple con las indicaciones, entonces,
el 13,36% debe desecharse.
2. Suponga que un instrumento tiene una duración T (en unidades de
tiempo) que puede asociarse a una v.a.c. que tiene función:
fT (t ) 
k
e
4 2
1  t 4 
 

2 4 
2
I IR  (t )
Se sabe que el costo de fabricación por artículo es $2.000 y el
fabricante lo vende en $5.000, pero garantiza su reemplazo total si su
tiempo de duración es menor o igual a 0,9.
a)
Determinar la función de utilidad por artículo.
b)
¿Cuál es la utilidad esperada por artículo?
c)
¿Para qué valor máximo del tiempo “c”, el fabricante
podría garantizar un reemplazo total (para el primer
artículo) de modo que hubiese una utilidad esperada de
$1.000 por artículo?
Solución:
En este ejercicio la v.a.c parece que está distribuida normalmente,
pero su dominio está cortado, pues no son todos los reales, ya que el
tiempo sólo puede ser mayor que 0. Tenemos que encontrar la constante
k, para que la función dada sea una función de densidad de probabilidad.

k
e
4
2

0
1 
k 1  1 
0
1
 4 2 e

1 t  
 

2  
1 t  
 

2  
k 1  1   1  1  0,8413
2

2
dt
 0  4
dt  1   

 4 
k  1,1886
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A)
La función de utilidad es la siguiente:
U(t)= 3.000
U(t)= -2.000
sí t  0,9
sí t  0,9
donde t  N T (4,16)
B)
E  U  = 3.000*IP t  0,9 - 2.000*IP t  0,9 
E  U  = 3.000 ( 1- IP t  0,9 ) - 2.000 IP t  0,9 
E  U  = 3.000 – 5.000*P t  0,9 
E  U  = 3.000 – 5.000* k*(   -0,775 -  (-1) )
E  U  = 3.000 –5.000*k* (0,21917 –0,1587)
E  U = 3.000 –5.000 *1.1886 * (0,06051)=2.640,39.
E  U  2.641 $/artículo
C)
1.000 = 3.000 – 5.000 *k *(  c-4 / 4  -  (-1) )
5.000 *k*(  c-4/ 4 -  (-1)) =2.000    c-4/ 4 -  (-1)= 2/(5
k)
  c-4/ 4)= 0,33653 + 0,15866 =0.49519
 (c-4) / 4 =  -1(0,49519)  -0,01057

3
c = 3,952.
Supóngase que X es la resistencia a la ruptura de un cable en Kg.
Se tiene que XN (100;16). Cada 100 m. De cable producen una
utilidad de $100 si x  95 y si X  95 el cable puede usarse para
otros fines y produce utilidad de $20 cada 100 m. Encuentre la
utilidad esperada por cada metro de cable.
Solución:
La función de utilidad por cada 100 metros de cable es:
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U (x) =
U (x) =
Sí x  95
Sí x  95
100
20
En este ejercicio, el dominio de la función de densidad no son todos
los reales, pues la variable X es mayor que 0, se tiene que encontrar
una constante k para que se cumpla la condición de ser una función
de densidad.
k 1  1 

0
1
 4 2 e

1  t 100
 

2 4 
2
 0  100 
dt  1   
 1
4


k 1
Por lo tanto, la función de utilidad por cada metro es:
u (x) =
u (x) =
1
0,2
sí X  95
sí X  95.
La utilidad esperada por metro de cable es:
4
E  u = 1 – IP  x  95 + 0,2 *IP x 95
= 1 - k -5/4) + 0,2 k  -5/4)
= 1 – 0,8 * (0,10565)
= 1 – 0,08452 = 0, 91548.
Se tienen 3 cajas C1, C2, C3, con bolitas blancas y negras.
C1 : 30 bolitas blancas y 10 bolitas negras.
C2: 15 bolitas blancas y 25 bolitas negras.
C3: 12 bolitas blancas y 28 negras.
El método de elección de las cajas se puede aproximar a una
v.a.c. normalmente distribuida N (6,25) ; este método se detalla a
continuación:
- Se saca una bolita de C1 con IP ( x 3 )
- Se saca una bolita de C2 con IP ( 3 x 6)
- Se saca una bolita de C3 con IP ( x  6).
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Determinar la probabilidad de extraer una bolita blanca.
Solución:
X es la variable asociada al método de elección de las cajas,
entonces X N (6, 25) , se procede a estandarizar para N (0,1).
Para la C1, la IP ( x  3) =   -3/ 5 = 0,2743.
Para la C2, la IP ( 3  x 6 ) =  0 -  -3/ 5 = 0,5 – 0,2743 = 0,2257.
Para la C3, la IP ( x  6) = 1 -   0 = 0,5.
Las probabilidades de sacar una bolita blanca de cada caja, son las
siguientes:
De la C1 es : 3/4.
De la C2 es :3/8.
De la C3 es :3/10.
Por lo tanto, la probabilidad de sacar una bolita blanca está sujeta la
condicionalidad de la elección de las cajas:
IP (blanca) = P (B/C1)*IP( C1) + IP(B/C2)*P(C2) + IP(B/C3)*P(C3)
= (0,2743 * 3/4) + (0,2257 * 3/ 8) + (0,5 * 3/10)
= 0,4403625
Resp.: la Iprobabilidad de extraer una bolita blanca es de un 44,04%
5
Una universidad espera recibir para el próximo año 16.000
solicitudes de ingreso al primer año de licenciatura. Se supone que
las calificaciones obtenidas por los aspirantes de la prueba SAT se
pueden calcular de manera adecuada por una distribución normal
con  = 950 y  = 100. Si la universidad decide admitir al 25% de
todos los aspirantes que obtengan la calificación más alta en la
prueba SAT ¿Cuál es la mínima calificación que es necesario
obtener en ésta prueba, para ser admitida por la universidad?.
Solución:
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Sea X la variable asociada a las calificaciones, por lo que XN(950;10000)
.
Si sólo el 25% será admitido, existe un 75% que no lo será y en donde se
encuentra la nota máxima de no aprobación, por lo tanto:
P (X  x) = 1 – P (X  x) = 1 – 0,75 = 0,25.
 x  950 
0.75   

 100 
 x= 1017.449
  1 0.75 
x  950
 0.67449
100
Por lo tanto, la mínima calificación con la que puede ser admitido un
estudiante es 1018 puntos.
6
La demanda mensual de cierto producto A tiene una distribución
normal con  = 200 y  =40 unidades, la demanda de otro producto
B tiene una distribución normal de  = 500 y  = 80.Un comerciante
que vende estos productos tiene 280 unidades de A y 650 unidades
de B al comienzo del mes. ¿Cuál es la probabilidad de que al
término del mes venda todos los productos? Puede suponer
independencia.
Solución:
Sea A la variable aleatoria asociada a la demanda del producto A,
entonces AN (200,1600).
Sea B la variable aleatoria asociada a la demanda del producto B,
entonces BN (500,6400) .
IP (A  280 ) = 1 – IP (A  280 )
= 1 -   (280 – 200)/40) = 1 -   2 )
= 1 – 0,97725 = 0,02275.
IP (B  650) = 1 – IP(B  650)
= 1 -  ((650500)/80) = 1 -  (1,875)
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= 1 – 0,969604 = 0,030396.
Por lo tanto como son hechos independientes, entonces la
IP( A  B) = P(A)*P(B) = 0,02275 * 0,030396 = 0,00069.
LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Si una variable aleatoria X se distribuye como una exponencial, su función
de densidad de probabilidad está dada por:
f X ( x) 
1

e

x
I
IR 
donde   0
( x)
El parámetro  indica un lapso de tiempo entre dos eventos
independientes de Poisson (Distribución discreta),  recibe el nombre de
promedio de falla y 1/ es la frecuencia de falla.
Si una variable X se distribuye exponencialmente, se anota X
exp(
La función de distribución acumulada de la distribución exponencial, es la
siguiente:
x
IP( X  x)  FX ( x)  
0
1

e

x
 dx
x
 x x



  e   1  e

0


La Esperanza: Es el primer momento y está determinada por:

IE( X )  
x

0
e

x
 dx

Para calcular ésta integral se puede ocupar la función Gamma.
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
IE( X )  
0
x


x
e  dx 
1

 2(2)  
La Varianza: Está definida como la diferencia entre el segundo momento y
el cuadrado del primer momento, cifra que siempre es positiva. Para
calcularla debemos sacar el momento segundo orden:

IE( X )  
2
0
x2


x
e  dx 
1

 3(3)  2 2
por lo tanto, la Varianza queda
V ( X )  IE( X 2 )  IE( X )   2 2   2   2
2
La función Generadora de momentos:
IE (e ) 
tX
1

e

tX

x
e  dx
0
IE(e ) 
tX
1



0
e

x

1 t 
dx 
1
1  t
Por lo tanto:
d 1 



 t 0 
dt  1  t 
1  t 2 t 0
d2  1 
2 2 1  t 
2
2
IE( X )  2 

2

 t 0 
dt  1  t 
1  t 4 t  0
IE( X ) 
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V ( X )  IE( X 2 )  ( IE( X ))2  2 2   2   2
LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL NEGATIVA
Si una variable tiene una Distribución exponencial negativa, su función de
densidad está dada por:
f X x    e

1

x b 
I [ b , [ ( x )
donde b,  0 (constantes)
La cual tiene Esperanza igual a: E[x] =b +  y una Varianza
Vx) = 2
EJERCICIOS RESUELTOS PARA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
1
El tiempo que se demoran en atender a una persona en una
cafetería es una variable aleatoria que tiene una Distribución
exponencial con media de 4 min.
¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea servida en
menos de 3 minutos al menos en 4 días de un total de 6?
Solución:
Sea t la variable asociada al tiempo, por lo tanto t  e (=0.25)
t
1   4 
fT (t )  e
I[ 0, [ (t )
4
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Este ejercicio es una combinación de distribución exponencial
con binomial. Para encontrar la probabilidad de que la persona sea
atendida en menos de 3 minutos, se calcula con la distribución
exponencial.
IP(T  3)  
3
0
t
3
1   4 
4
e
dt  1  e  0.52763
4
Esta probabilidad se considera para encontrar la probabilidad
pedida, que está relacionada con el número de días, variable distribuida
binomialmente, D B( 6; 0,52763).
6
IP( D  4)    0.52763k (1  0.52763)6  k
k 4  k 
6
IP(D  4)  0.25940  0.115899  0.021576  0.3969
3
El tiempo necesario para reparar una pieza de equipo, en un
proceso de manufactura, es una variable aleatoria cuya función
de densidad de probabilidad es:
t
1 
fT (t )  e 5 I[ 0, [ (t )
5
Si la pérdida de dinero es igual al cuadrado del número
necesario de horas para llevar a cabo la reparación, se debe
determinar el valor esperado de las pérdidas por reparación.
Solución:
En este caso es necesario calcular el valor esperado de una función
que se encuentra relacionada con la variable tiempo, esta función es:
P( t ) = t 2
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____________________________________________________________________________________________
Por lo tanto el valor esperado de las pérdidas es:

t

1
IE( P(t ))  IE(t )   t 2e 5 dt
50
2
Para calcular esta integral, usaremos la función (

(  1)   x e  x dx
0
Por lo tanto
1
IE (t 2 )  53 (3)  50
5
Luego el valor esperado de las pérdidas es de $50.
EJERCICIOS PROPUESTO PARA LA DISTRIBUCIÓN
EXPONENCIAL
1
Sea X la variable aleatoria que representa el intervalo de tiempo
entre dos llegadas consecutivas a una tienda, con función de
densidad dada por:
a)
b)
c)
Encontrar la función de distribución acumulativa.
Determinar la probabilidad de que ocurran menos de 8 minutos
entre dos llegadas.
Calcule la probabilidad de que a lo más 3 días en el mes (30), el
tiempo entre dos llegadas este entre los 4 y los 8 minutos.
Solución:
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a) La función de distribución esta representada por:
b) Esta probabilidad se obtiene:
c) Esta probabilidad se calcula mediante dos distribuciones:
exponencial y binomial.
X: variable asociada al tiempo, X e (1/2 )
D: variable asociada a los días, D B (30;p = P(4 x 8) )
P (4  x 8) = F (8) – F (4)
= 1 – e (-4 ) – 1 + e (-2)
=
e (-2) – e (-4) = 0,117.
La probabilidad pedida es:
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2
Sea X una variable aleatoria distribuida exponencialmente.
a)
b)
¿Cuál es la probabilidad de que X tiene valor mayor que la
media ?
¿Cuál es la probabilidad de que X tome un valor que se
encuentre en un intervalo igual a una desviación
estándar?
Solución:
a) p ( x E [x] ) = 1 – P ( x  E[x] )
=1–P(x)
= 1 – 1 + e (- / )
= 0,3678.
b) P ( x  2 ) = 1 – e (-2 / )
= 1 – e (-2) = 0,865.
Distribución Gamma

Función Gamma
(n) =
0
 xn-1 e-xdx
Propiedad:
1.-  (n) = (n-1)*(n-1)
2.-  (2) =  (1) = 1
3.- Si n  N
 n  N -
1
  (n) = (n-1)!
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Se dice que la v.a.c. X se distribuye como una Gamma ssi su f.d.p.
es:
x(x) =  n x-1 e-x I(x)
()
donde ,  +
esto se anota X   (,)
luego, obtenemos la esperanza y varianza de Gamma:
E[x] = /
V[x] = /2
Aproximación de cualquier distribución a una normal
1.- Suponiendo X  Bin (n,p) en la cual queremos calcular el
caso para n = 400 , p = 0,1 y se quiere calcular P(x=45)
Como n  p se aproxima a una Normal, de la siguiente
manera:
P(Xp=x0)  P(x0-1/2  X  x0+1/2)
donde XpN (E[XD],V[XD])
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E[XD] = n*p
V[XD] = n*p*q
En el problema tenemos:
E[X] = 400*0,1 = 40

V[X] = 400*0,1*0,9 = 36
X  N (40,36)
P(Xp = 15) =  (x0+1/2)-

= (45+1/2)-40
6
-
 (x0-1/2)-

-(45-1/2)-40
6
=  (0,917) -  (0,75) = 0,8204 - 0,7734 = 0,047
 4,7
Nota: Lo anterior es válido para cualquier v.a.discreta en que se conozca
su dispersión y su varianza.
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2.- Suponiendo X  como una v.a. continua y se conoce su E[X]
y su V[X]. Xc es tal que E[Xc] y V[Xc] se conocen:

P ( a  Xc  b )  P (a  Xd  b )
luego P (a  Xc  b ) =  b - E[Xc]
V[Xc] 1/2
donde Xd  N (E[Xc], V[Xc])
 a - E[Xc]
-
V[Xc] 1/2

Vectores aleatorios bidimensionales continuos ( v .a.b.c. ):
Comencemos por
bidimensional continuo:
definir
el
concepto
de
vector
aleatorio
DEFINICIÓN:

Sea M un espacio muestral continuo, se dice que X es un vector
aleatorio bidimensional (ó bivariado) continuo a la función:

X:M
 IRxIR

tal que X -1( -  ,x x -  , y ) = AM (x,y)IRxIR.
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____________________________________________________________________________________________

El vector aleatorio X puede representarse como:

X :=(X,Y) : M 
 IRxIR , es decir

X (m) = ( X(m) , Y(m) )
mM
 
Obs.: X v .a.b.c. ssí X e Y son v.a.c. unidimensionales.
DEFINICIÓN:


Sea X un v .a.b.c. se define la función de densidad probabilística
conjunta (f.d.p.c.) denotada por f X
a
f X : D  RX  RxR 
[0, [
f X
(x,y)
satisfaciendo las siguientes condiciones:
f X  0
1)


 
2)
 
 (x, y)  D
f X ( x, y) I D ( x, y)dydx  1


Una vez definida la función de densidad conjunta del v .a.b.c. X
podemos definir otras funciones importantes.
DEFINICIÓN:


Sea X un v .a.b.c. , con función de densidad probabilística conjunta
f X , se definen las funciones de densidad marginales como:

1) la de X como
f X ( x) 
f

X
( x, y) I DY ( y)dy
x  D X

X
( x, y) I DX ( x)dx
y  DY


2) la de Y como
fY ( y) 
f

____________________________________________________________________________________________
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Estas funciones deben cumplir las siguientes condiciones:

f
i)
X
( x) I DX ( x)dx  1


ii)
f
Y
( y) I DY ( y)dy  1

DEFINICIÓN:


Sea X un v .a.b.c. , con función de densidad probabilística conjunta
f X , se define la función de distribución conjunta como:
0,  [
FX : IRxIR
x
(x,y)
FX =
 
y
 
f X ( x, y) I D ( x, y)dydx
DEFINICIÓN:

Sea X un

v .a.b.c. ,
probabilística conjunta
con f X , f X (x) y fY ( y) funciones de densidad
y de densidad marginal de X y de Y
respectivamente, se definen las funciones de distribución marginal:
1) de X como FX : IR
x
0,  [
FX =

x

f ( x) I DX ( x)dx
X
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____________________________________________________________________________________________
0,  [
2) de X como FY : IR
y
FY =

y

f ( y) I DY ( y)dy
Y
DEFINICIÓN:

Sea X un

v .a.b.c. ,
probabilística conjunta
con f X , f X (x) y fY ( y) funciones de densidad
y de densidad marginal de X
y de Y
respectivamente. Se define la función de densidad condicional de X dado
Y= y a:
f X / Y  y x  
f X ( x, y )
fY ( y )
si
fY ( y)  0
análogamente se define la función de densidad condicional de Y dado X=
x como:
fY / X  x ( y ) 
f X ( x, y )
f X ( x)
si
f X ( x)  0
TEOREMA:

Sea X un

v .a.b.c. ,
probabilística conjunta
con f X , f X (x) y fY ( y) funciones de densidad
y de densidad marginal de X
y de Y
respectivamente.
Entonces las v.a.c. X e Y son independientes ssi
f X ( x, y)  f X ( x)  f Y ( y)
( x, y )  D
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COROLARIO:
Si X e Y son v.a.c. independientes 
f ( X / Y  y)  f X ( x)

f (Y / X  x)  f Y ( y)
Obs: todas las definiciones y teoremas dados para el caso bidimensional
pueden generalizarse a más dimensiones en forma natural.
Esperanza de vectores aleatorios bivariados continuos y sus
propiedades.
DEFINICIÓN:


Sea X un v .a.b.c. , con función de densidad probabilística conjunta
f X ( x, y) y sea g : D  IR2
IR, una función continua tal que

X (M )  D , entonces si

 

 
g ( x, y) f X ( x, y) I D ( x, y)dydx <  ,
se define la esperanza de g(x,y) como número dado por:
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Eg ( x, y)  



 
Nota:
Si g(x,y)=X
Si g(x,y)=Y
Si g(x,y)=X 2
Si g(x,y)=Y 2
Si g(x,y)=(X - E  X  ) 2
Si g(x,y)=(Y- E Y  )2
Si g(x,y)=XY







g ( x, y) f X ( x, y) I D ( x, y)dydx
(**)
(**) da la esperanza de X : E X 
(**) da la esperanza de Y : EY 
(**) da la esperanza de X 2 : EX 2 
(**) da la esperanza de Y 2 : EY 2 
(**) da la varianza de X : V X 
(**) da la varianza de Y : V Y 
(**) da la esperanza de XY : EXY 
DEFINICIÓN:


Sea X un v .a.b.c. , con función de densidad probabilística conjunta
f X ( x, y) .Sea X e Y variables aleatorias continuas tal que existe la
esperanza de cada una de ellas, se llama covarianza de X e Y al número
denotado por:
Cov(X,Y) = E X  EX Y  EY   EXY - EXEY
PROPIEDADES









 k constante.
EkX = kEX
 k constante.
Ek = k
EX+Y = EX+EY  X e Y v.a.
EaX+bY = aEX+bEY  X, Y v.a. y  a,b constantes.
EXY = EXEY
si X,Y son v.a independientes.
 k constante.
VkX = k 2 VX
 k constante.
Vk = 0
VX+Y = VX+VY+2COV(X,Y)  X,Y v.a.
VX+Y = VX+VY
si X e Y son v.a. independientes.
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 X,Y v.a. y 
 VaX+bY =a 2 VX+b 2 VY+2abCov(X,Y)
constantes.
 Cov(X1,X2) = Cov(X2,X1)
 Cov(X,X) = VX
 Si X1, X2 son independientes, entonces Cov(X1,X2) = 0

n

,b
n
 E   i X i     i E  X i 

 X i v.a. y   i con i=1,2......n constantes.
 i 1
 i 1
n
 n
V  i X i    iV  X i   2 i j Cov( X i , X j )
i j
 i 1
 i 1
DEFINICIÓN:


Sea X un v .a.b.c. , con función de densidad probabilística conjunta
f X ( x, y) y covarianza de X e Y. Se define el coeficiente de correlación al
número:
 XY 
Cov( X , Y )
V X )(V Y 
Nota:
1. El coeficiente de correlación mide el grado de asociación que
tienen las variables aleatorias X e Y.
2. Si X e Y son independientes entonces la correlación es cero.
3. Una propiedad es que su valor está en el intervalo -1,1.
4. Si Z=aX+b y W=cY+d
donde a,b,c,d son constantes
entonces
 ZW 
ac
 XY
ac
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Esperanzas Condicionales
DEFINICIÓN:


Sea X =(X,Y) v .a.b.c. con f.d.p.c. f X ( x, y) y sea f X / Y  y (x) la
función de densidad condicional de X dado Y = y, se define la esperanza
condicional de X dado Y = y como el número:
   xf
EX
( x) I D ( x)dx  
 Y  y   X / Y  y
DEFINICIÓN:


Sea X =(X,Y) v .a.b.c. con f.d.p.c. f X ( x, y) y sea fY / X  x (y) la
función de densidad condicional de Y dado X = x, se define la esperanza
condicional de Y dado X =x como el número:

EY

X x 


yfY / X  x ( y) I D ( y)dy  
DEFINICIÓN:


Sea X =(X,Y) v .a.b.c. con f.d.p.c. f X ( x, y) y sea f X / Y  y (x) la
función de densidad condicional de X dado Y = y, se define la varianza
condicional de X dado Y = y como el número positivo:
  X
  EX 2
 
V X
 Y  y    E  Y  y  
 Y  y 


2
en que
2
   x2 f
EX
( x) I D ( x)dx  
 Y  y   X / Y  y
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DEFINICIÓN:


Sea X =(X,Y) v .a.b.c. con f.d.p.c. f X ( x, y) y sea fY / X  x (y) la
función de densidad condicional de Y dado X = x, se define la varianza
condicional de Y dado X =x como el número positivo:
  Y
  E Y 2
 
V Y
 X  x    E  X  x  
 X  x 


2
en que
 2
E Y
 X x
  2
   y f Y / X  x ( y) I D ( y)dy  
Distribución Multinormal. (Normal K-variada)
Anteriormente se estudió la distribución normal de una variable
aleatoria. El concepto de distribución normal puede extenderse para incluir
variables aleatorias y en particular la distribución normal k-variada se
emplea de manera extensa para describir el comportamiento probabilístico
de dos o más variables.
Definición:
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
Se dice que el vector x  (x1,x2,x3,.....xk) se distribuye como una normal kvariante ssi su f.d.p.c. se distribuye de la siguiente forma:
1
f x1 , x 2 ,...xk  
e
2 

x
 
1  
  x     1  x   T
2

x  x1 , x 2 ,........x k 

  1 ,  2 ,......, k 
donde
   
  IE x    x   
/
12


=



covx 1 , x 2  covx 1 , x 3 ........ covx 1 , x k 

 22
covx 2 , x 3 ....... covx 2 , x k  


2

k
 k *k
Esta última matriz se conoce como matriz de varianzas y covarianzas, ella
resulta simétrica pues la Cov( Xi , Xj )= Cov( Xj , Xi ).
Observación:
Todas las f.d.p. marginales son normales de dimensiones menores.
Lo interesante de esta distribución es el poder encontrar las distintas
marginales de la distribución normal k-variada .
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Ejemplo:
1.1.-Encontrar las f.d.p. marginales f x x1 , x3 , x4  , f x x2 , x5 , x6  provenientes

de una normal k-variada con k=6 con vector de medias   1,3,2,1,4,6 y
cuya matriz de varianzas y covarianzas es:
1
1 0 6 3 0
 5 1 4 1


2 0 3

3 2


4


2

0 
1 

0 
2 

2 
2
Para encontrar estas marginales cabe recordar que como estas
también se distribuyen en forma normal, solo se debe buscar en los
subíndices pedidos en el vector de medias y dejar las filas y columnas
relacionadas de la matriz de varianzas y covarianzas de acuerdo a las
marginales pedidas.
Entonces tenemos que la distribución para el primer caso será:

f x1 x1 , x3 , x4   N 1 , 1 
donde

1  1,2,1
y para el segundo

donde  2  3,4,6
1
  

y




6 3
2 0
3

f x2 x2 , x5 , x6   N 2 , 2 
y
1
  

0
2
4
2
2




____________________________________________________________________________________________
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Un caso particular en normales k-variadas es la normal bivariada la cual
se representa de la siguiente forma:


f y x 1 , x 2   N 2   ,  
fY x , y  
covx 1 , x 2 

 22

12
  


   1 ,  2 
donde
1
2 x y 1   2 xy
e

1


2 1  2





 x  
x

   x

2

 x x
  2  

 x
o bien
  x   y


  y
  x y

  
y
 




2





donde
 x  X  , y=E(Y) , x2=Var(X) , y2=Var(Y) y  es el
coeficiente de correlación entre las variables X e Y definido con
anterioridad (   1).
Ahora bien, si hacemos =0 logramos obtener las condiciones necesarias
de independencia entre las variables X e Y en la distribución normal
bivariada, ésta además de ser necesaria, es una condición suficiente por
lo siguiente:
f X  x, y  
1
2 x y
e
 
 1  x x
 2   x

2
 1  x   y
 
 2 
y






2



=
1
2  x
e
 1  x
x
 
 2   x





2



1
2  y
e
  x
y
 1 
 2  y
 




2



f X (x,y)=fx*fy en donde fx y fy son las densidades normales univariadas de
X e Y respectivamente.
Propiedades.
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1.-  x  X , y=E(Y) Esperanzas marginales

2.- X  N  x , x2 
Y  N  y , y2




3.- f  X Y  y   N   x   x  y1   y  ; 1   2  x2  ;


y


f Y

X x

y


x1   x  ; 1   2  y2 
 N   y  
x




4.- E  X Y  y    x   x y1   y 


y


2
2


5.- V  X Y  y   1    x




EY
,
,

VY
 
X x
X x


y

y
x1   x 
x

 1   2  y2
Observación:
Si sabemos que X se distribuye en forma Normal con parámetros
N(1, 12) y la variable Y también se distribuye Normal con parámetros
N(2, 22) entonces la variable Z= X+Y también se distribuirá normal con
parámetros Z  N  x   y ; 12   22  2 covX, Y .


Un caso especial es cuando las variables son independientes lo que
implicaría que la covarianza es 0 por lo tanto Z  N  x   y ; 12   22 .


Ejercicio Resueltos.
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
1.-Sea f x x1 , x 2 , x 3 , x 4   N, 
4 0  1 2

9
3 4

con   1,2,3,1 y   

16  7

4







Encontrar la distribución de Z=3x1+x2+x3-2x4.
Desarrollo.i)Método 1.-

Z  N ,  2

E[Z]= = 3E[x1]+E[x2]+E[x3]-2 E[x4] = 3*1+2-3-2*1 =0
V[Z]= 9V(X1)+ V(X2)+ V(X3)+4V(X4)+2[cov(3X1 ,X2) + 3cov(X1 ,X3) +
cov(3X1,-2X4) + cov(X2 ,X3) + cov(X2 ,-2X4) + cov(X3,-2X4)]
V[Z]= 9*4+9+16+4*4+2( 3*0+3*(-1)-6*2+3-2*4-2*(-7))= 65
 Z  N 0 , 65
ii) Método 2. En forma matricial.
 3
 1
Z= x1 , x2 , x3 , x 4  
 1
 
 2

 3
 1
 Z  x1 , x 2 , x 3 , x 4   
 1
 
 2

 3
 1
 EZ  1,2,3,1   =3+2-3-2=0
 1
 
 2




V[Z]= E[(Z-E[Z])’(Z-E[Z])]= E[(XA-  A)’(XA-  A)]= E[A’(X’-  ’)(X-  )A]
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

= A’ E[(X-  )’(X-  )]A =A’  A
 4
 0
 VZ  1,2,3,1 
 1

 2
0 1 2
9
3
4
3 16  7
4 7 4






 3
 1
 
 1
 
 2
 7
 4


 V Z   3,1,1,2 

 30
 5 


V[Z]=21+4+30+10=65
2.-Durante años en un test de conocimiento se efectúan dos evaluaciones
con 3 preguntas cada una. Los rendimientos en las 6 preguntas se




pueden asociar a un v.a.c. X  N 6 ,  donde X  x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6  en
que xi se asocia al resultado de la pregunta i con i=1,2,...,6
La evaluación 1 corresponde a la suma de las preguntas impares y la
evaluación 2 corresponde a la suma de las preguntas pares.
Datos:

  10,12,9,14,13,11
4 1 0  2  3 0

5 1 2
0 1


4 0
4 2

6
0 0


5 2

6










a) Determinar la probabilidad que la evaluación 2 sea mayor que 32.
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b) Determinar la probabilidad que la evaluación 2 sea mayor que la
evaluación 1.
c) Si 30 alumnos rinden las 2 evaluaciones, ¿Cuál es la probabilidad que
al menos 6 alumnos tengan una evaluación 1 menor que la 2?.
Desarrollo.a) Se sabe que la evaluación 2 está compuesta por la suma de las
respuestas pares, por lo tanto, si definimos W y S como:
W = la evaluación 1 y S = la evaluación 2
Pregunta2 f x2 x2   N
 , 
2


x   N  , 
2
Pregunta4 f x4 x4   N 4 , 4
Pregunta6 f x6
2
2
6
6
2
6
Por lo que E[X2+X4+X6]= 2+4+6 =12+14+11 = 37
V[X2+X4+X6]= V(X2)+V(X4)+V(X6)+2 [cov(X2,X4)+cov(X2,X6)+ cov(X4,X6)]
=5+6+6+2*2+2*1+2*0 =23
 S  N37,23 entonces para el cálculo de la probabilidad tenemos lo
siguiente:
 S  37 32  37 
PS  32  P 

  1  PZ  1.043
23 
 23
= 1-(-1.0426) = 0.8515
b)Si hacemos R = S-W entonces tenemos que encontrar la probabilidad
de que R>0 y como sabemos que R se distribuye en forma Normal sólo
falta encontrar sus parámetros.
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S  N37,23 y W  N32,15  R  N  s   w ; Vs  Vw  2 covS ,W 
Para el cálculo de la varianza de S con W tenemos lo siguiente:
Cov[X2+X4+X6 , X1+X3+X5 ]= [cov(X2,X1) + cov(X2,X3) + cov(X2,X5) +
cov(X4,X1) + cov(X4,X3) + cov(X4,X5) + cov(X6,X1) +cov(X6,X3) + cov(X6,X5)]
Cov[S ,W ]= (1-1+0-2+0+0+0+2-2)= -2
 V(R)=42
 R  N5,42
 R 5 05
P R  0   P 

  1  PZ  0.772 = 1-(-0.772) = 0.7799
42 
 42
c)Debido a que en general una persona no puede dar dos veces la misma
evaluación es que el método para resolverlo sería una hipergeométrica,por
ello ésta probabilidad se puede aproximar a una distribución binomial con
los siguientes parámetros:
B  Bin30; 0,7799
IP[x  6] = 1  Px  6
5
 30
x
30 x
= 1    (0.7799) (0.2201)
x 0  x 
=1
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3.- Sea X = (X1 , X2) un vector aleatorio bidimensional distribuído como
una normal bivariada tal que X1 y X2 están correlacionados positivamente y
tal que verifican las siguientes condiciones:
1. IP[X1<1] = 0,8413
2. IP[X2>6] = 0,0228
3. V[X1]=1 y V[X2]=2
4. V[X1/X2=x2] = 0,75
X~N (u , )
>0
y
a) Calcule IP[0 < X2 < 4 / X1 = 2].
b) Encuentre la matriz de varianzas y covarianzas.
Desarrollo.a)
V[X1]= 12 =1
V[X2]= 22 =2
V[X1/X2=x2] = 12 (1-2)=0,75
 =0.5
IP[0 < X2 < 4 / X1 = 2] = IP[ X2 < 4 / X1 = 2]  IP [X2 < 0 / X1 = 2].
f 

x2
  N      x 2  x    ; 1   2  2 
1
x1
x2 
 x2
x1  x1 
 x1




= N(u2 + 2 /2 (2  u1) ; 1.5 )
Para calcular
1
y
2 :
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 x  1 1  1 
Px1  1  P  1

 0,841
 1 
 1

1  0
 x  u 2 6  u 21 
Px1  6  1  P  2

  0,023


2
21 


u 2  6  2 2  3,1716
IP [X2<4 / X1 = 2 ] = 0.3163
IP [X2 < 0 / X1 = 2] = 0
P[0 X 2  4 / X1  2]  0.3163 - 0  0,3163
b)
 =
 12
 2  1
2
1 2 /2
=
2
2
4.-Ciertas vigas tienen secciones rectangulares cuyas dimensiones, largo
y ancho se pueden representar mediante una distribución normal bivariada

con vector de media   10 , 15 en [cm] y matriz de varianzas y
covarianzas
0.5


0
1



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Los limites de tolerancia para el largo de la viga son (9.3; 10.7) y
para el ancho son (14,16). Una viga se considera defectuosa si el largo o
el ancho está fuera de los límites de tolerancia. Se tomo una muestra de
tamaño n=15. ¿cuál es la IP de que 11 de estas vigas no sean
defectuosas?.
Desarrollo.Se aprecia claramente que existe independencia entre el largo y el ancho
por lo que la probabilidad de que las vigas no cumplan los requerimientos
será la multiplicación de las marginales las cuales también se distribuyen
en forma normal.
Sea X=Largo y Y=ancho

f(x,y)=fx*fy
Si son defectuosas tenemos
X  N10,0.5 
 9.3  10
10.7  10 

PX  10,7  X  9.3  1  P 9.3  X  10.7  1  P
Z
0
.
5
0
.
5


=
1  P 0.989  Z  0.989  1  0.989   0.989  0.32266
Y  N15,1 
16  15 
 14  15
PY  16  Y  14  1  P 14  Y  16  1  P
Z

1 
 1
= 1  P 1  Z  1  1  1   1  0.68268
Pdefectuosas   0.32266 0.68268 0.2202735
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Pno sean defectuosas  1  0.2202735 0.7797265
Como las vigas son reemplazadas, la probabilidad pedida sigue una
distribución hipergeométrica pero esta es factible aproximarla a una
distribución binomial.
B  Bin30; 0,779
15
11
1511
 0.20874
IP[x=11] =  (0.779) (0.221)
11
 


5.- Sea (X,Y) V .a.n.b. con   5 , 10 y 12=1, 22=25 y >0. Si la
IP(4<Y<16/X=5)=0.954, encuentre la matriz de varianzas y covarianzas.
  N     y x    ; 1   2  2 
f  y
x
y
 y
 x  5
x


5


 N 5   5  5 ; 1   2 25
1




 


 
 N 10 ; 1   2 25
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 4  10
16  10
P
Z

2
5 1  2
5 1 


6
  1.954 
2

2 
5 1  
1
4

25
Luego   


6
  0.954  


2

5 1 
6
5 1  2
2  
  6 
  
  0.954
 
2 
 5 1  
4
5






6.-Sea X  x1 , x 2 , x 3  v .a.3-normal con vector de medias   1 , 2,2 y matriz
de varianzas y covarianzas  =diag(1,9,4).
Si Y1 = 3X1+2X2-X3 e
Y2=2X1-X2. Encuentre E[Y1/Y2] y V[Y1/Y2]
Desarrollo.Si Y1 = 3X1+2X2-X3
Y si Y2 = 2X1-X2


y1 =E[Y1] = E[3X1] + E[2X2] - E[X3] =5
y2= E[Y2] = E[2X1] - E[X2]] =0
V[Y1]= 9V(X1)+ 4V(X2)+ V(X3) = 9+36+4=49
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V[Y2]= 4V(X1)+ V(X2) = 4+9=13
 y1
 
y2   y 2 
 Y1
y
1
y
1
y
2
 Y2  y 2 
 y2
7
 y2  0
13
 5 
y y 
1 2
cov y1 , y2 
yy
1


2
cov(y1,y2)=cov(3X1,2X1)+cov(3X1,-X2)+cov(2X2,2X1)+cov(2X2,-X2)+
cov(-X3 ,2X1) + cov(-X3 ,-X2) = 6cov(X1 ,X1) – 2(X2 ,X2)= 6-18 = -12
y y 
1 2
cov y1 , y2 
yy
1

2
 12
 0.475
7 13
  5  12  y 
 Y1
2
 Y2  y 2 
13


Y
  1   2  2  1  144   49  493
V 1


y1 y2
y1
 Y2  y2 
13
 49  13 



7.- Sea X  N5 ,  donde   1,4, 3,2, 1 y  =
Sean Y1  X 2 X  2
4
;
Y2 
X3
X1  2
e
4 0 -6 0 0
4 0 2 0
9 0 0
4 -1
9
Y3  3X 1  2X 3  X 4  X 5
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a) Encuentre la distribución de Y1, Y2, Y3 respectivamente.
b) ¿Y1 e Y2 son independientes?.
c) Determine la IP (Y1> 2Y2).
Desarrollo.a) i)Para desarrollar estos ejercicios lo primero que hay que hacer es
calcular las marginales respectivas y luego usar las propiedades de la
normal bivariada.


  N     x 2 x    ; 1   2  2 
f  x 2

24
4
x4
24
x2 
 x2
 x 4  2
 x4




2


 N  4   24 2  2  ; 1   224 4 
2


covx 2 , x 4  2
1
 24 


 x2 x4
22 2
 f 

x2
  N  4  1 2 2  2 ; 1  1 4   N 2,3

 

x 4  2 
22
 4 

f 

ii)
x3

x 1  2 





2
 N  x 3   31 x 3 x 1   x1  ; 1   31
 2x 3 
 x1


3


2
 N 3   31 2  1 ; 1   31
9
2



31 

covx3 , x1   6

 1
x 3x1
3 2
 x3
  N 3  1 3 2  1 ; 1  14   N 3 ,0 





 x1  2 
2


2 
f
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iii)

Y3  3X1  2X3  X 4  X5   N 3 , 32

y3 =E[Y3] = E[3X1] - E[2X3] + E[X4] + E[X5]=3-6-2+1 = -4
V[Y3 ]= 9V(X1)+ 4V(X3)+ V(X4)+ V(X5)+ 2[cov(3X1 ,-2X3) + cov(3X1 ,X4) +
cov(3X1 ,X5) + cov(-2X3 ,X4) + cov(-2X3 ,X5) + cov(X4 ,X5)]=
= 36+36+4+9+2(36-1) = 155
Y3  N 4 , 155
b) Y1 e Y2 son independientes ya que se aprecia claramente en la matriz
de varianzas y covarianzas que X2 no está relacionado ni con X3 ni con
X1 y lo mismo pasa con X4.
c) IP(Y1>2Y2) = IP(R>0) con R =Y1 – 2Y2
Y1  N (-2,3)
Y2  N (3/2,0) y como de la pregunta b) sabemos que
son independientes, tenemos que:
R  N 5 , 3
 R  5 0  5
  1  PZ  2.88675
PR  0  P 

3 
 3
= 1-(2.88675) = 0.0019462
Ejercicios Propuestos.-
1.-Sean X e Y las desviaciones horizontal y vertical (sobre un plano)
respectivamente, de un vehículo espacial tripulado, con respecto al
aterrizaje de éste en el mar. Supóngase que X e Y son 2 variables
aleatorias que se distribuyen en forma normal e independientes con
medias x = y=0 y varianzas iguales. ¿ Cuál es la máxima desviación
estándar permitible de X e Y, que cumpliría con los requerimientos de la
Nasa de tener una probabilidad de 0.99, de que el vehículo aterrice a no
más de 500 ft del punto elegido, tanto en dirección vertical como
horizontal?.
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Respuesta: x=y<178 pies.

2.-Sea X  X, Yvector normal bivariado. Se conoce:
a)P(X<5)=0.5
b)P(X<6) = 0,8413= P(Y<15)
c)P(Y<5) = 0.1587 = 1-P(X<6)
d)P[4 < Y < 16 / X = 2]
e)Si X aumenta entonces Y aumenta
Calcule la IP(3<X<3.6/Y=5).
Respuesta:0.13


3.-Sea X  X, Y v .a. n. bivariado tal que :

3

  x2
X x
2
i)
Y
ii)
3y3
 X
 Y  y 
5
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
a) Demuestre que   Y X  x
b) Calcule E[X], E[Y],
  Y 
 xy .
Respuesta.x = -18
y = 25
 xy = -0.95
Vectores Aleatorios bivariados discretos
Introducción:
La necesidad de estudiar este tipo de vectores se debe a que son
muchas las situaciones en que el resultado de un suceso aleatorio puede
clasificarse en más de una forma, generalmente nuestro interés está
enfocado a analizar más de una categoría, por ejemplo si X(t) es la
potencia consumida por un determinado circuito en un tiempo t, la cual es
una variable aleatoria unidimensional, pero si necesitamos analizar la
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potencia consumida en 2 tiempos específicos, estudiaremos la distribución
del vector (X1(t), X2(t)).

Vectores aleatorios bidimensionales discretos ( v . a.b.d):
Comencemos por definir el concepto
de vector

bidimensional discreto:
Se dice que X es un vector
bidimensional (ó bivariado) discreto
a la función:

X:M
 IRxIR

tal que X -1( -  ,xi x -  , yj ) = AM
aleatorio
aleatorio
(xi,yj)IRxIR
siendo M un espacio muestral, finito ó infinito contable1 .

El vector aleatorio X puede representarse por:


X :=(X,Y) : M 
 IRxIR , es decir, X (m) = ( X(m) , Y(m) )
mM.
DEFINICIÓN :


Sea X un v.a.b.d . , se define la función de cuantía conjunta (f.c.c.)
denotada por f X (xi, yj )
a
f X : D  RX  RxR 
0,1
f X
(xi,yj)
satisfaciendo las siguientes condiciones:
1) 0  f X (xi, yj )  1
2)
 f
xi y j

X
 (xi, yj )  D
( xi , y j ) I D ( xi , y j )  1
1
Un conjunto C es infinito contable ssi podemos encontrar una función biyectiva entre C y los
naturales.
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Obs.: usualmente se usa la notación pij para anotar el valor de
f X (xi, yj ) en que pij = P(X(M) = xi  Y(M) = yj ) = P(X=xi ; Y=yj) y por lo
tanto las condiciones quedan:
1) 0 pij 1
2)
 p
ij
xi
 i,j
1
y j

Una vez definida la función de cuantía conjunta del vector X
podemos definir otras funciones importantes:

 Sea X vector aleatorio bivariado discreto, con función de cuantía
conjunta f X ( xi , y j ) = pij , se definen las funciones de cuantía marginales
como siguen:
1) la de X como f X ( xi )  pi   pij
j
2) la de Y como f Y ( y j )  p j   pij
i
Estas funciones deben cumplir las siguientes condiciones:
i)
p
ii)
p
i
j
1
i
f
xi
j
1

y j
X
( xi )
fY ( y j )
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
 Sea X vector aleatorio bivariado discreto con función de cuantía
conjunta f X ( xi , y j ) = pij , se define la función de distribución conjunta la
relación:
0,1
FX : IRxIR
FX (x,y )= P( X  x; Y  y)
(x,y)

 p
xi  x y j  y
ij

 Sea X =(X,Y) v.a.b.d. con función de cuantía conjunta pij y función
de cuantía marginal pi  p j respectivamente. Se define la función de
distribución marginal de X e Y como sigue:
FX : X  R 
0,1
x
FX ( x)  P X  x  
p
xi  x
i
FY :Y  R 
0,1
FY  y   P Y  y  
y
con FX  x   FX  x , 
p
y j
ij
y
p
y j  y
j
FY  y  FX , y   pij
xi

 Sea X =(X,Y) v.a.b.d. y sean f X , f X , f Y funciones de cuantía
conjunta y marginales respectivamente. Se llama función de cuantía
condicional de X dado Y= y a:
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f X Y  y j  
f X ( xi , y j )
fY ( y j )
si
fY ( y j )  0
Se llama función de cuantía condicional de Y dado X= x como:
f Y X  xi  
f X ( xi , y j )
f X ( xi )
si
f X ( xi )  0
Teorema:

Sea X =(X,Y) v.a.b.d., consideremos f X : C1xC2

de cuantía conjunta de X , y f X : C1
IR y
IR la función
f Y : C2
IR
funciones de cuantía marginales de X e Y respectivamente. Entonces X e
Y son independientes ssi
f X ( xi , y j )  f X ( xi )  fY ( y j )
xi y j
Esperanza de vectores aleatorios bivariados discretos y sus
propiedades.

Sea X =(X,Y) v.a.b.d., con función de cuantía conjunta f X ( xi , y j )
y sea g: DIR2
IR, función continua y tal que X(M)  D , entonces se
define como esperanza de g(x,y) y se denota por Eg(x,y) al número
dado por:
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Eg ( x, y ) 
 g ( xi , y j )  f X ( xi , y j )
 ( xi , y j )

xi
 g ( xi , y j )  f X ( xi , y j )
y j
Sea X1, X2 variables aleatorias cualesquiera tal que existe la
esperanza de cada una de ellas, se llama covarianza de X 1 y X2 al número
denotado por:
COV(X1,X2) = EX1X2-EX1EX2
Propiedades:
1) VX1+X2 = VX1+VX2+2COV(X1,X2)
2) COV(X1,X2) = COV(X2,X1)
3) Si X1, X2 son independientes, entonces COV(X1,X2) = 0
Se define el coeficiente de correlación al número:
X X 
1
2
COV ( X 1 , X 2 )
V  X   V  X 
1
1
2
2
el cual mide el grado de asociación entre X1 y X2. Si X1 y X2 son
independientes este coeficiente es cero. Una propiedad es que su valor
está en el intervalo -1,1.
Esperanzas condicionales

Sea X =(X,Y) v.a.b.d., con función de cuantía conjunta f X ( x, y) y
sea
f X Y  y j  la función de cuantía condicional de X dado Y = yj.
Entonces se define la esperanza condicional de X dado Y = yj al número:
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

EX
  xi 

Y

y
j

xi


fX

 Y  yj 
análogamente para Y dado X = xi se define:
  Y  f Y

E Y


j
X

x
 X  xi  


i
yj
Por otro lado se define la varianza condicional de X dado Y = y
como:


X 2
  X

V X

E

E







Y

y
Y

y
Y

y
j
j
j



  


2



2

 xi  f  X
donde la E  X


Y

y
j

 Y  yj 
x i
análogamente se define la varianza condicional de Y dado X = x como:
2
  E Y 2
   E Y

V Y

 X  xi 
 X  xi    X  xi  
donde la
2
2
 

E Y
y 2j  f  Y

X  xi 
 X  xi  y

j
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Ejemplos:
1) Sea (X,Y) vector aleatorio discreto con función de probabilidad conjunta
dada por:
C x4  C y2  C(43 x  y )

f ( x, y )  
C310

0

si x0,1,2,3
si y0,1,2
e.t.o.c.
a) Encuentre las distribuciones marginales.
b) Calcule P( 1  X  3 / Y=2).
c) Calcule EY / X=1.
Solución:
a) f X ( x ) y f Y ( y)
haciendo una tabla de valores tendremos f X ,Y ( x, y)
X
y
0
1
2
0
1
2
3
fY ( y j )
4
120
12
120
24
120
32
120
24
120
12
120
4
120
56
120
56
120
4
120
4
120
0
8
120
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20
120
f X ( xi )
60
120
0
0
36
120
4
120
1
f X ( xi ) y fY ( y j ) pueden escribirse como:
i ) fX
 20
120
 60


( xi )  P ( X  xi )  120
36

120
 4

120
 56
120
 56

ii ) f Y ( y j )  P (Y  y j )  120
 8
120




3

b) P 1  X  3Y  2   f X Y  2
1
y
f (x/y=2)
=
fX,Y=2
fY(2)
=
si x = 0
si x =1
si x = 2
si x = 3
si
y=0
si
y =1
si
y=2

4
8
si x = 1,2,3
0
e.t.o.c.
realizando la suma se obtiene:
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

1
P 1  X  3Y  2 
2
c)se sabe que la esperanza condicional está dada por:



2





E Y X  1   y  f Y X  1  1 f Y  1 X  1  2  f Y  2 X  1
0
 24
 60
f X 1,Y  32
Y
pero f X  1  f (1)   60
X

4
 60


si y = 0
si y = 1
si y = 2
y reemplazando estos valores en la sumatoria se tiene:


2
E Y X  1 
3
32
4
E Y X  1  1
2
60
60
2) Un fabricante de circuitos integrados utilizados para controlar la
temperatura en contenedores frigoríficos, determina a partir de numerosas
revisiones, que el 3,5% de una remesa de estos circuitos no funcionan al
ser instalados; el vende los circuitos en paquetes de 40 unidades,
garantizando el correcto funcionamiento del 90% de ellos.
¿ Cuál es la probabilidad de un paquete no cumpla la garantía ?
¿Cuál es la probabilidad de que funcionen al menos 15 ?
Solución:
Sea X: número de circuitos que funcionan incorrectamente
en un paquete determinado.
F: el paquete no cumple la garantía.
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entonces la probabilidad de que el paquete no cumpla la garantía
está dada por:
P(F)= P(X>4) = 1-P(X  4)
del enunciado se deduce que si n = 40 y p = 0.035 tendremos que
X B(n=40,p=0.035)
luego
 40
P( X  k )    0.035k
 k

1  0.035
n k
por lo que la probabilidad de que un paquete no cumpla la garantía es:
 40
k
n k
P( F )  1     0.035 1  0.035
k 0  k 
4
 1  0.9875  0.0125  125%
.
La probabilidad de que funcionen al menos 18 está dada por:
2
 40
k
n k
P( X  3)     0.035 1  0.035
k 0  k 
 0.8361  83.61%
Ejercicios propuestos.
1) Dado que la distribución binomial corresponde a un vector
aleatorio discreto bivariado, demuestre que:
a) La Esperanza de la binomial es np ó n(1-q)
b) La Varianza es npq.

2) Sea X =(X,Y) v.a.b.d., con

f X ( x, y) dada por:
f X ( x , y ) 
x2  y2
32
función
de
cuantía
conjunta
( x , y ) 0,1,2,3  0,1
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Calcular:
f X , FY , E[X] , E[X Y] .
Resp:
fX =
2x 2  1
32
 0

FY  7 16
 1

E[X] =
y<0
0 y 1
y 1
78
32
E[X Y] = 3
(6 + y 2 )
(7  2 y 2 )
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