Algebra Lineal MA-131 - Carlos García Alvarado

Horario 10-11
Número de Equipo:
Carlos García Alvarado
Jorge Eduardo Calvillo Solana
Othón Rebolledo Benítez
Luis Edmundo Campos Calderón
María del Rocío López Lozano
I.D. 115331
I.D. 115322
I.D. 116515
I.D. 116037
I.D. 116172
Álgebra Lineal MA-131
Notas correspondiente al tema 1.1
I.1.2 Planteo de SEL de (3x3)
Plantea los siguientes problemas (sin resolver) y define tus incógnitas.
1.- Una caja registradora contiene $50.00 en monedas de cinco, de diez y de veinticinco centavos. Hay 802
monedas en total y 10 veces más de cinco que de diez. ¿Cuántas monedas de cada una hay en la caja
registradora?
x = cantidad de monedas de 5 c.; y = cantidad de monedas de 10 c.; z = cantidad de monedas de 25 c.
25x + 10y + 5z = 5000
x + y + z = 802
z=10y
2.- Para el control de cierta enfermedad de una planta, un biólogo especialista recomienda usar una mezcla
exacta de tres productos químicos en las siguientes proporciones : 10 unidades de químico A, 12 unidades del
químico B, y 8 unidades del químico C. Las marcas X, Y, y Z son atomizadores comerciales que se venden en
el mercado. Un galón de la marca X contiene los químicos A, B, y C, en la cantidad 1, 2, y 1 unidades
respectivamente. Un galón de la marca Y contiene los químicos en la cantidad de 2, 1, y 3 unidades
respectivamente; y un galón de la marca Z los contiene en la cantidad de 3, 2, y 1 unidades respectivamente.
¿Qué cantidad de cada marca debe emplearse para fumigar la planta con las cantidades exactas de los
químicos requeridos para el control de la enfermedad?
x
y
z
Unidades
Químico A
1
2
3
10
Químico B
2
1
2
12
Químico C
1
3
1
8
A: x + 2y + 3z = 10
B: 2x + y + 2z = 12
C: x + 3y + z = 8
3.- La suma de tres números es 160. Un cuarto de la suma del mayor y el mediano equivale al menor
disminuido en 20, y si a 1/2 de la diferencia entre el mayor y el menor se suma el número del medio, el
resultado es 57. Hallar los números.
x = número mayor; y = número mediano; z = número menor.
x + y + z = 160
1
1
x  y  z  20
4
4
1
( x  z )  y  57
2
4.- La suma de las tres cifras de un número es 16. La suma de la cifra de las centenas y la cifra de las decenas
es el triple de la cifra de las unidades, y si al número se le resta 99, las cifras se invierten. Hallar el número.
x = centenas; y = decenas; z = unidades.
x + y + z = 16
x + y = 32
100x + 10y + z – 99 = 100z + 10y + x
-1-
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5.- La suma de los dígitos de un número de tres cifras es 12. El dígito de las unidades supera en 1 al de las
centenas. Si 90 veces el dígito de las unidades supera en 6 al número, obtenga el número.
x = centenas; y = decenas; z = unidades.
x + y + z = 12
z = x+1
90z = 100x + 10y + z + 6
6.- Una firma de transporte posee tres tipos distintos de camiones A, B, y C. Los camiones están equipados
para el transporte de 2 clases de maquinaria pesada. El número de máquinas de cada clase que puede
transportar cada camión es :
Camiones
Tipo A
Tipo B
Tipo C
Máquinas Clase 1
2
1
1
Máquinas Clase 2
0
1
2
La firma consigue una orden para 32 máquinas de la clase 1 y 10 máquinas de la clase 2. Encuentre el número
de camiones de cada tipo que se requieren para cumplir la orden, asumiendo que, cada camión debe estar
completamente cargado y el número exacto de máquinas pedidas es el que se debe desechar. Si la operación
de cada tipo de camión tiene el mismo costo para la firma, ¿Cuál es la solución más económica?
x = numero de camiones de tipo A; y = numero de camiones de tipo B; z = numero de camiones de tipo C; p =
costo total.
2x + y + z = 32
y + 2z = 10
x+y+z=p
7.- Administración de recursos. Un departamento de pesca y caza del estado proporciona tres tipos de comida
a un lago que alberga a tres especies de peces. Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio de
1 unidad del alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 2 unidades del alimento 3. Cada pez de la especie 2
consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento 1, 4 del 2 y 5 del 3. Para un pez de la especie
3, el promedio semanal de consumo es 2 unidades del alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 5 unidades del 3.
Cada semana se proporcionan al lago 25000 unidades del alimento 1, 20000 unidades del alimento 2 y 55000
del 3. Si se supone que los peces se comen todo el alimento, ¿Cuántos peces de cada especie pueden coexistir
en el lago?.[pág 18 del Grossman]
E1= Especie 1; E2= Especie 2; E3 = Especie; u1 = unidad de alimento de E1; u2 = unidad de alimento de E2; u3
= unidad de alimento de E3.
E1+3E2+2E3=25000
E1+4E2+E3=20000
2E1+5E2+5E3=55000
Problemas propuestos por el Depto de Matemáticas
1.- Un viajero recién llegado a Europa, gastó en alojamiento diario 30 dólares en Inglaterra, 20 dólares en
Francia y 20 dólares en España. Adicionalmente desembolsó 10 dólares por día en cada país en gastos varios.
En comidas gastó por día 20 dólares en Inglaterra, 30 dólares en Francia y 20 dólares en España. El registro
de nuestro viajero indica que gastó un total de 340 dólares en alojamiento, 320 dólares en alimentación y 140
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dólares en gastos varios. Calcule el número de días que permaneció el viajero en cada país. Para el número de
días que permaneció el viajero en cada país. [ pág 27 Grossman ]
Inglaterra
Francia
España
Total
Alojamiento
1
2
3
340
Alimentación
2
1
2
320
Varios
1
3
1
140
I = número de días en Inglaterra; F = número de días en Francia; E = número de días en España.
30I+20F+20E=340
20I+30F+20E=320
10I+10F+10E=140
2.- El emperador Federico II de Sicilia invitó a Leonardo Pisano mejor conocido como Fibonacci y a otros
sabios a resolver el siguiente problema:
Tres hombres poseen una sola pila de monedas, y sus partes son 1/2, 1/3 y 1/6. Cada uno toma algo de dinero
de la pila hasta que no queda nada. El primero regresa 1/2 de lo que tomó, el segundo 1/3 y el tercero 1/6.
Cuando el total reintegrado se divide por igual entre los tres, se descubre que cada uno posee lo que le
corresponde. ¿Cuánto dinero había en la pila original, y cuánto tomó cada uno de esa pila? [ pág 1 Nakos ]
x = dinero que tomó el hombre 1; y = dinero que tomó el hombre 2; z = dinero que tomó el hombre 3; Q = la
porción total del dinero; T = porción total de dinero que regresaron.
x+y+z=Q
1
1
1
x y z T
2
3
6
1
T 1
x  Q
2
3 2
2
T 1
y  Q
3
3 3
5
T 1
z  Q
6
3 6
3.- Una inversionista le afirma a su corredor de bolsa que todas sus acciones son de tres compañías, Delta
Airlines, Hilton Hotels y McDonald's, y que hace días su valor bajó $350 pero que ayer aumentó $600. El
corredor recuerda que hace dos días el precio de las acciones de Delta Airlines bajó $1 por acción y el de las
de Hilton Hotels bajaron $1.50, pero que el precio de las acciones de McDonald's subió $0.50. También
recuerda que ayer el precio de las acciones de Delta subió $1.50 por acción, el de las de Hilton Hotels bajó
otros $0.50 por acción t las de McDonald's subieron $1. Demuestre que el corredor no tiene suficiente
información para calcular el número de acciones que posee la inversionista en cada compañía, pero que si ella
dice que tiene 200 acciones deMcDonald's, el corredor puede calcular el número de acciones que tiene Delta y
en Hilton [pág 27 Grossman].
x = precio de las acciones de Delta; y = precio de las acciones del Hilton; z = precio de las acciones de
McDonal’s; D = número de acciones de Delta; H = número de acciones del Hilton; M = número de acciones
de McDonald’s; P = precio inicial de las acciones.
xD + yH + zM = P
(x-1)D + (y-1.5)H + (z +0.5)M = P – 350
(x – 1 + 1.5)D + (y-1.5-0.5)H + (z+0.5+1)M = 600 + P -350
M = 200
Reduciendo:
-3-
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I.D. 116037
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-D – 1.5H + 0.5M = -350
0.5D – 2H+1.5M = 250
M = 200
4.- Un agente secreto sabe que 60 equipos aéreos, que consisten en aviones de combate y bombarderos, están
estacionados en cierto campo aéreo secreto. El agente quiere determinar cuántos de los 60 equipos son
aviones de combate y cuántos son bombarderos. Existe un tipo de cohete que llevan ambos aviones; el de
combate lleva 6 de ellos y el bombardero sólo 2. El agente averigua que se requieren 250 cohetes para armar a
todos los aviones del campo aéreo. Aún más, escucha que se tiene el doble de aviones de combate que
bombarderos en la base ( es decir, el número de aviones de combate menos dos veces el número de
bombarderos es igual a cero). Calcule el número de aviones de combate y bombarderos en el campo aéreo o
muestre que la información del agente debe ser incorrecta ya que es inconsistente [pág 27 Grossman].
a = aviones de combate; b = bombarderos
c + b = 60
6c + 2b = 250
c – 2b = 0
1 0 60 
1 0 60 
1 0 60 
1 0 6 
1

 R2 6 R1  R2 
 R2  2 R2 
 R3  2 R2  R3 

0 2  110  
0 1  55  0 1  55 
6 2 250   
1  2 0 
0  2  60 
0  2  60
0 0  170
Debido a que el renglón 3 se nos hacen cero todos los coeficientes menos el término independiente decimos
que el sistema es inconsistente.
5.- Un comerciante desea mezclar dos calidades de cacahuates que cuestan $3 y $4 por libra, respectivamente,
con nueces de la India que cuestan $8 por libra, con objeto de tener 140 libras de una mezcla que cuesta $6
por libra. Si el comerciante también desea que la cantidad de cacahuates de menor precio sea el doble de la de
cacahuates de mejor calidad, ¿Cuántas libras de cada variedad ha de mezclar?
x = la cantidad de cacahuate de 3 pesos; y = la cantidad de cacahuate de 4 pesos; z = la cantidad de cacahuate
de 8 pesos.
x + y + z = 140
3x + 4y + 8z = 140(6)
x = 2y
6.- Un zoológico tiene entre aves, bestias y tarántulas un total de 60 "cabezas" y 200 "patas", donde el número
de "patas" de aves es igual al número de "patas" de tarántulas. ¿Cuántas aves, bestias y tarántulas hay?
A = número de aves; B número de bestias; T número de tarántulas.
A + B + T = 60
2A + 9B + 8T = 200
2A = 8T
Álgebra Lineal MA-131
Tarea correspondiente al tema 1.4, 1.5, 1.6, 1.7
Problemas diversos
Ejercicios 1.2 [GER92] pág 17
Encuentre la matriz aumentada correspondiente a los SEL dados en los Ejercicios 1-2
1.- 3x1 - 5x2 = 6
x1 + 2x2 = 7
-4-
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I.D. 116037
I.D. 116172
3  5 6


1 2 7 
2.- x1 + 2x2 - 6x3 = 15
8x1 - 15 x2 = 12
2x1 + 16x2 - x3 = 56
1
2
 6 15


8  15 0 12
2 16  1 56
Encuentre el sistema de ecuaciones lineales correspondiente a cada una de las matrices aumentadas de los
Ejercicios 3-4
3.3x1-2x2=15
x1+23x2=0
4.x1+3x2+5x3+7x4+9x5=11
x1+2x2+4x3+6x4+8x5=10
Determine si las siguientes matrices son de forma escalonada por renglones
5.-
No es escalonada.
6.No es escalonada.
Determine si las siguientes matrices son de forma escalonada por renglones, de forma escalonada reducida
por renglones, o de ninguna de ellas
7.-
Matriz.
8.-
Matriz
-5-
Horario 10-11
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9.-
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I.D. 115322
I.D. 116515
I.D. 116037
I.D. 116172
Escalonada Reducida.
10.Matriz.
Suponga que cada matriz es una forma escalonada por renglones de la matriz aumentada de un SEL. Resuelva
el SEL.
11.x + 2y + 3z = 9
y + 4z = 9
z=2
Sustituyendo:
z=2
y=1
x =1
C.S. = {1,1,2}
12.x -2y -5z = 7
Si x = 1 y y = 1 por lo tanto z = 
8
8
C.S. = {1,1,  ; x  , y   }
5
5
Reduzca las matrices de los Ejercicios 13-14 a las formas escalonada por renglones y escalonada reducida por
renglones
13.-
1  1 R2 4 R1 R2 1  1 R2  17 R2 1  1 R1R1R2 1 0


4 3  
 0 1  

0
7






0 1
Escalonada.
-6-
Escalonada reducida.
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I.D. 115322
I.D. 116515
I.D. 116037
I.D. 116172
14.-
0
6 
0
6 
0
 3
 3
 3
1
R2  R2
 6
R2  R2  R1
4
24   2
 3
2
12  
 0
2

 15  12  66
 15  12  66
 15  12
6 
 3 0
  3 0  6
 3
1
R2  R2




R3  5 R1  R3
R3 6 R2  R3
  
 0
2
6     0 2 6   2
 0
 0  12  36
 0 0 0 
 0
1 0 2
1
R1   R1
3
 
0 1 3
0 0 0
Escalonada reducida.
En los Ejercicios 15-18 resuelva el SEL por eliminación de Gauss-Jordan
15.- x1 - 2x2 = -1
3x1 + 5x2 = 30
5x1 + x2 = 28
1  2  1
1  2  1
1  2  1
1
R

R
2
2

 R2 3 R1  R2 



0 11 33 11
0 1 3 
3 5 30   
5 1 28
5 1 28
5 1 28
1 0 5 
1 0 5
1 0 5

 R3 5 R1  R3 
 R3  R2  R3 

R1  2 R2  R1

0 1 3  

0 1 3 
0 1 3
5 1 28
0 1 3
0 0 0
C.S. = {5,3}
16.- 7x1 + 29x2 - 28x3 = -21
8 x1 + 42x2 - 20x3 = 134
x1 + 5x2 - 3x3 = 11
-7-
6 
6 
 66
0  6
1 3 
0 0 
Horario 10-11
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Carlos García Alvarado
Jorge Eduardo Calvillo Solana
Othón Rebolledo Benítez
Luis Edmundo Campos Calderón
María del Rocío López Lozano
I.D. 115331
I.D. 115322
I.D. 116515
I.D. 116037
I.D. 116172
7 29  28  21
7 29  28  21
7 29  28  21
1

 R2  8 R3  R2 
 R2  2 R2 

0 2
4 46   
0 1
2 23 
8 42  20 134   
1 5  3 11 
1 5  3 11 
1 5  3 11 
1 5  3 11 
1 5  3 11 
1 5  3 11

 R3  7 R1  R3 
 R3 6 R2  R3 

0 1
2 23    
0 1
2 23   0 1 2 23
7 29  28  21
0  6  7  98
0 0 5 40
R1  R3
1 5  3 11
1 5  3 11
1 0  3  24

 R2  2 R3  R2 
 R1  5 R2  R1 

 0 1 2 23   
0 1 0 7    
0 1 0 7 
0 0 1 8 
0 0 1 8 
0 0 1 8 
1
R3  R3
5
1 0 0 0


 0 1 0 7
0 0 1 8
R1 3 R3  R1
C.S. {0,7,8}
17.- 2x1 + 6x2 - 2x3 = 10
2x1 - 5x2 - 6x3 = 8
14x1 - 2x2 - 30x3 = 62
2

2
14
1

0
7
1
1 3
6
 2 10
3
1 5 
1 5 
1
1
 R1  2 R1 
 R3  2 R3 

2  2 R1  R2
 5  6 8   2  5  6 8   2  5  6 8  R


14  2  30 62
7  1  15 31
 2  30 62
1
1 3
3
1 5 
3
1 5 
1 5 
 R3  7 R1  R3 
 R3  2 R2  R3 

 11  4  2   
0  11  4  2   
0  11  4  2
0  22  8  4
0 0
 1  15 31 
0 0 
No tiene solución.
18.- 6x2 - 18x3 = 24
x1 + 2x2 + 3x3 = 6
2x1 + 3x2 + 9x3 = 8
-8-
Horario 10-11
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Othón Rebolledo Benítez
Luis Edmundo Campos Calderón
María del Rocío López Lozano
I.D. 115331
I.D. 115322
I.D. 116515
I.D. 116037
I.D. 116172
0 6  18 24
1 2 3 6 
1 2 3 6 
1

 R1  R2 
 R2  6 R2 

3  2 R1  R3
0 1  3 4 R


1 2 3 6  0 6  18 24  
2 2 9 8 
2 2 9 8 
2 2 9 8


1 2
1 2 3 6
3 6
1 2 3 6 
1


 R3  2 R2  R3 
 R3   3 R3 
2  3 R3  R2
 0 1  3 4  R

0 1  3 4   0 1  3 4  


4
0  2 3  4
0 0  3 4
0 0 1  
3







1 2 3 6 
1 0 3 6 
1 0 0 10 
1  3 R3  R1
1  2 R2  R1
0 1 0 0  R

0 1 0 0  R

0 1 0 0 



4
4
4
0 0 1  
0 0 1  
0 0 1  
3
3
3



4
C.S. {10,0,  }
3
-9-