INTERPOLACIÓN POLINÓMICA Y AJUSTE LINEAL (formato Word).

Autor: Óscar & Raquel
INTERPOLACIÓN POLINÓMICA Y AJUSTE
LINEAL
En la ciencia matemática se denomina interpolación a la realización de nuevos puntos
partiendo del conocimiento de un conjunto limitado de puntos. Estas situaciones
pretenden que, conociendo una serie de datos experimentales en un intervalo de la
variable independiente, consigamos encontrar una función que verifique todos estos
datos y nos permita predecir la existencia de otros valores con una aproximación
adecuada. El principal problema que tenemos con la interpolación es la aproximación de
una función complicada por una más simple. Cuando tenemos una función cuyo cálculo
resulta trabajoso, podemos partir de una serie de valores e interpolarlos, de manera que
construimos una función más simple. Obviamente no obtenemos los mismos valores
evaluando la función obtenida que si lo hiciéramos con la original, si bien puede
compensarse la eficiencia en el trabajo realizado frente al error que cometemos
(dependiendo de las características del problema y del método de interpolación usado).
En todo caso, se trata de, a partir de n parejas de puntos (xk,yk), obtener una función f
que verifique
a la que se denomina función interpolante de dichos puntos.
Partiendo de esta pequeña introducción trataremos a cada problema de manera
independiente, partiendo de una serie de pasos:
 Primero debemos de tener una serie de datos constituidos por un conjunto de
puntos (x, y) que nos determinan la situación de cada uno de ellos en la posterior
función que debemos obtener. Este número de puntos, aunque variable, debe
tener un cierto grado de limitación. Podemos obtener las y’s de una función f(x)
o de una tabla x e y.
 En el caso de que las y’s provengan de una función f(x) podemos tener una
función del tipo e*, siendo * la x.
 En el caso de que las y’s provengan de una tabla con x e y podemos
obtener una serie de números enteros {-1, 0, -4, 2….}
 Tras ello nos dispondremos a dibujar la nube de puntos en el eje de abscisasordenadas para situar los valores y posteriormente proseguir con el problema.
De esta manera conseguiremos una representación de los valores lo más ajustada
a la realidad.
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En esta gráfica tenemos un ejemplo práctico de lo que significa una nube de puntos para
una serie de valores dados en la representación de una función.
 Posteriormente a la realización de la nube de puntos lo que tenemos son dos
opciones para la ejecución y posterior resolución del problema:
 INTERPOLACIÓN POLINÓMICA: consiste en construir un polinomio
que pase por todos los puntos
 AJUSTE LINEAL: consiste en construir una recta que se “acerque” lo
más posible a todos los puntos a la vez.
La cuestión ahora es cuando optamos por resolver el problema interpolando y cuando lo
resolvemos por el método del ajuste lineal. Un ejemplo muy claro sería en el caso de
que se nos pidiera resolver un problema en el que tenemos una tabla teórica de peso y
leche al día en vacas, de las que obtenemos 4 datos con lo cual la solución más eficiente
sería la de interpolar (construir el polinomio que pase por todos los puntos). En el caso
de que nos hablen de un estudio experimental sobre peso/leche producida en vacas en
Aragón con una muestra de 10 vacas, en ese caso si que debemos de ajustar a la
solución que más se acerque a todos los puntos a la vez.
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INTERPOLACIÓN POLINÓMICA
Como ya hemos dicho la interpolación polinómica trata de que con una serie de datos
que nosotros tenemos (Xn, Yn), podamos resolver el problema mediante la construcción
de un polinomio que pase por todos los puntos. Para ello tenemos que partir de la base
de que el polinomio tendrá una serie de coeficientes, los cuales nos determinarán del
grado del polinomio que estamos hablando. En el caso de que el polinomio tenga 2
coeficientes, se tratará de un polinomio de grado1, si tenemos un polinomio con 3
coeficientes, se tratará de un polinomio de grado2, y así sucesivamente.
Para una función f que deseamos interpolar, sean x0,x1,...,xm las abscisas conocidas de la
función f y sean f0,f1,...,fm los valores que toma la función en esas abscisas, el polinomio
interpolador de Lagrange de grado n es un polinomio que responde a la siguiente forma:
donde lj(x) son los llamados polinomios de Lagrange, que se calculan de la siguiente
manera:
Bajo estas condiciones los coeficientes lj(x) son siempre distintos de 0.
A partir de esta interpolación polinómica podemos obtener de una manera
representativa el gráfico que nos determina la recta que pasa por todos los puntos, que
es de un estilo como la del siguiente ejemplo (cada una en su propio contexto):
En este caso la gráfica corresponde a la medida de la viscosidad de un gas mediante un
tubo capilar, en la que se relacionan las medidas de los grados de mercurio en ordenadas
y el tiempo transcurrido en abscisas.
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AJUSTE LINEAL
El otro procedimiento mediante el cual podemos resolver este tipo de problemas es el de
la aproximación lineal discreta por mínimos cuadrados, o lo que es lo mismo, ajuste
lineal. En este caso lo que hacemos es construir una recta que se acerque lo más posible
a todos los puntos a la vez. En este caso trabajamos con datos experimentales (Xi, Yi),
con los que vamos a estimar el valor de una función en puntos no tabulados, donde sea
razonable una función lineal.
Para ello debemos realizar una buena aproximación, lo que significa que la función
real-función estimada debemos hacerla mínima. Esa es nuestra idea.
Nuestro objetivo es encontrar una función del tipo y= ax + b tal que la distancia sea la
mínima. Se le denomina ajuste de una recta a una nube de puntos según la distancia y la
construcción de f(x)  Mínimos Cuadrados Discretos
Por lo tanto hay que buscar los valores de a y b que minimizan esta función. Tras
derivar e igualar a 0 para hacer máximo obtenemos las ecuaciones finales que nos
permiten obtener los valores deseados para a y b:
Σ yi = nb + a Σ xi
Σ xi yi = bΣ xi + a Σ xi²
A partir de estas ecuaciones podemos calcular los valores de a y b, y así conseguir
minimizar la función.
Al igual que en el caso de la interpolación mediante los polinomios de Lagrange, en este
caso también podemos obtener de manera representativa la gráfica en la que se
encuentra la recta que más se acerca a todos los puntos.
En el ejemplo podemos observar que la recta se aproxima a los puntos, pero no pasa por
todos ellos como en el caso de la interpolación polinómica.
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