Introducción a las técnicas de análisis multivariante I.

Jacobo Trébol
EPI.CLIN. 15: ANÁLISIS MULTIVARIANTE I Dr. Carrasco
INTRODUCCIÓN
Hasta ahora hemos estudiado los métodos estadísticos convencionales;
éstos analizan exhaustivamente el comportamiento de una variable en las
muestras y en la población (estimación y comparación) y las leyes que pueden
ligar dos variables entre sí (relación). Conocemos, por tanto, la estadística
univariante y la estadística bivariante. Pero en la vida una cosa no suele
depender sólo de otra. El gran número de variables habitualmente observadas
en una colección de individuos, y la realidad multidimensional de la vida en que
todas configuran con sus relaciones el fenómeno que se investiga, obliga a
encarar la inevitable complejidad matemática e intenta un tratamiento conjunto
de ellas. Éste es el objetivo de la estadística multivariante.
El Análisis Multivariante engloba los métodos y técnicas estadísticas que
permiten estudiar y tratar, en bloque, un conjunto de variables medidas u
observadas en una colección de individuos.
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN-ECUACIÓN DE REGRESIÓN
Pongamos por caso que queremos conocer la posible relación entre dos
variables cuantitativas [temperatura (t) y frecuencia cardiaca (FC), por ejemplo].
Nos hacemos varias preguntas:
1. ¿Hay relación?
La posible correlación se calcula a través de un coeficiente de
correlación, que para las variables cuantitativas es el coeficiente
de correlación de Pearson (r)
2. ¿ Es significativo?
Una vez conocido r lo siguiente es conocer si ese coeficiente es
estadísticamente significativo. En caso contrario no podemos
usarlo para calcular ninguna ecuación de regresión que expresase
la relación entre las dos variables.
3. ¿ Es estilizada la nube de puntos?
La significación estadística del coeficiente de correlación es
necesaria pero no suficiente en sí misma para poder calcular la
ecuación de regresión; dicha ecuación es un modelo teórico de
estimación de la tendencia de dispersión de los valores de nuestra
muestra, de modo que aunque nuestros valores mostrasen una
relación claramente ascendente, pueden estar muy dispersos y
aplicando una ecuación de regresión (que representa una línea en
el espacio) para representarlos cometeríamos mucho error. Por
ello es muy importante tener en cuenta el grado de estilización de
la nube de dispersión que representa los valores de esas
variables en mi muestra. El que la nube de puntos sea estilizada o
no es una condición “estética”, experimental, que decidiremos en
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función de lo que nos juguemos (no es lo mismo jugarse la vida
de un paciente que la de varias ratas de laboratorio).
r=1
r=0
r=0,8
r=- 0,5
Coeficientes de correlación
En cuanto a la r:
 Desconfiad de los r=1. Un valor de tan alta correlación
indica que se trata en realidad de valores exactamente
iguales, esto es, que se trata de la misma variable, ya que
sólo ella se correlacionaría tanto consigo misma.
 En la práctica, que se den r=0,9 es muy raro.
 La mayoría de las veces los coeficientes de correlación
tienen valores de 0,7 ó 0,8. Éstos son considerados
indicadores de una buena correlación.
 Valores de r=0,6 indican menos correlación, pero aún
válida.
 Si son menores de 0,5 no son aceptables (por mucha
significación estadística que presenten).
En resumen, las condiciones para poder calcular una ecuación de
regresión serían:
1. Un coeficiente de correlación de Pearson aceptable
(lo suficientemente alto) y estadísticamente
significativo.
2. Estilización adecuada de la nube de dispersión de
nuestros datos, según lo que se pretenda demostrar.
Variables A y B
Cálculo estadístico
Coeficiente
de correlación
Condición estadística
¿Significativo?
NO
2
SÍ
Condición clínica
¿Suficientemente
alto?
SÍ
Ley experimental
Imposibilidad de
aplicación
NO
No ecuación
de regresión
Según
lo que te “juegues”
Ecuación de Regresión
Condiciones de aplicación de la Ecuación de Regresión
Ajuste por mínimos cuadrados
El procedimiento matemático empleado para la sustitución de una nube de
puntos por una recta es el ajuste por mínimos cuadrados. Busca describir la
recta que mejor define la nube de dispersión de los valores de las variables, es
decir, aquella que haga los mínimos errores (que serán la suma de los
desajustes de todos los puntos de la nube, definidos por la distancia que exista
desde cada uno de ellos hasta la recta). Sin embargo, las diferencias con
respecto a la recta de los puntos que quedan por encima de ella serán
positivas, mientras que las que queden por debajo serán negativas; de este
modo cabría la posibilidad de que al sumarlas todas nos diese un error
equivocadamente nulo (ajuste falsamente perfecto). Por ello, el método se
llama de mínimos cuadrados porque eleva esas diferencias con la recta al
cuadrado, eliminando así la influencia “positiva” o “negativa”.
Ecuación de la recta-Ecuación de regresión
La ecuación general de la ecuación de regresión viene definida por la fórmula:
y- y = r x (y/x) x (x – x)
donde sólo nos hace falta conocer las medias de los valores de x e y (x, y), sus
desviaciones típicas (x,y) y el coeficiente de correlación entre las variables
(r) para conocer la ecuación de la recta.
Siempre hay que tener en cuenta que el alcance de una Ecuación de
Regresión viene marcado por nuestra muestra; cuanta mayor sea la
experiencia, más perfecta será la ecuación. Por eso las Ecuaciones de
Regresión que se publican no son siempre definitivas, sino que una correcta
práctica consiste en irlas perfeccionando a medida que nuestra experiencia
aumente.
Una vez definida la recta, despejamos una de las variables en relación a la otra
[por ejemplo hallar el pulso de mis pacientes (y) a partir de su temperatura (x)]
y = 7 + 1,5x
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Esa ecuación sólo sirve para ser utilizada en ese sentido; NO sirve para
despejar igualmente x a partir de y (temperatura a partir de pulso) porque lo
que hemos elevado al cuadrado para ajustar las mínimas diferencias eran los
errores “en vertical” de la recta, es decir, los errores de y, no de x. Para
calcular x a partir de y deberíamos utilizar los errores “horizontales” de cada
punto con respecto a la recta. Ello significa que cada nube de dispersión de
valores presenta dos ecuaciones de regresión lineal. La que despeja x de y
sería:
(x – x) = r x (x/y) x ( y –y)
El problema con respecto a la regresión lineal enunciada hasta ahora es que
prácticamente NO existen variables en la naturaleza que mantengan relaciones
lineales (“No existen fenómenos biológicos rectilíneos en su distribución”). Es
mucho más frecuente que se relacionen ajustándose a modelos logísticos
(sigmoideos), exponenciales, logarítmicos, etc. Antes el modelo de regresión
lineal solía utilizarse cuando las otras vías eran asumibles a una lineal pero
más complejas, con el fin de simplificar cálculos. Hoy en día, los programas
informáticos han hecho desaparecer esta posibilidad (la diferencia entre
calcular una y otra es apretar uno u otro botón). La metodología para calcular
en estos casos la ecuación de regresión es la misma, pero la formula aplicable
de la misma será distinta de y = a +bx
Ejemplo real: Se estudiaron 13000 RNV sin ninguna patología para intentar
hallar una relación entre alguno de los parámetros fetales y las semanas de
gestación. Una de las variables que presentaba mayor correlación era el
perímetro craneal. Aplicando una ecuación de regresión lineal se obtenía una
r=0,94. Pero la relación lineal entre estas dos variables es “poco biológica”
(supondría un crecimiento sin freno de la cabeza, y ésta decae en su
crecimiento en las últimas semanas de gestación). Empleando un modelo
parabólico, obtuvieron una r=0,99, es decir, mayor correlación y mayor “calidad
biológica” de ésta.
SALTO AL ANÁLISIS MULTIVARIANTE
Pocos fenómenos biológicos dependen de una única variable. El r expresa la
correlación de una variable sólo con otra. Por ello es frecuente encontrar en
la investigación coeficientes de correlación bajos, porque al tener en cuenta la
relación de un fenómeno con sólo uno de todos aquellos de los que depende,
la correlación que se refleja es “parcial”. De ahí que la estadística avanzada
tienda al análisis “multivariante”, que tiene en cuenta varias variables a la vez
en la regresión y obtiene resultados hiperdimensionales. La regresión lineal se
convierte, así, en Regresión Lineal Múltiple.
La importancia del análisis multivariante es aumentar el ajuste al potenciarlo
con varias variables (este “efecto sinérgico” es la clave de la investigación
multivariante). Es decir, lo que pretende es buscar ecuaciones que liguen la
variable que quieres estudiar (por ejemplo, la fracción de eyección del
ventrículo izquierdo, FEVI) con todas aquellas variables que influyan en ella. Si,
siguiendo con el ejemplo de la FEVI, haciendo Regresión lineal Simple sabes
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que el coeficiente de correlación entre la pendiente del ECG y la FEVI es
r=0,56 y el del diámetro del ápex con la FEVI es r=0,52, si consideramos
ambas variables (diámetro del ápex y ECG) para conocer la FEVI obtenemos
una r=0,7, evitándonos, por ejemplo, la realización de un cateterismo cardíaco
para la medición de la FEVI.
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