Un satélite describe una órbita circular, de radio una vez y media el

Un satélite describe una órbita circular, de radio una vez y media el radio terrestre, alrededor de la
Tierra. Representa las fuerzas que actúan sobre el satélite. Calcula su velocidad y su peso, sabiendo
que en la superficie terrestre pesa 8330 N.
La única fuerza que actúa sobre el satélite es la fuerza de atracción gravitatoria que la Tierra ejerce sobre
él y que le obliga a desviarse de su trayectoria, describiendo una curva. El peso del satélite, p, la fuerza
centrípeta, Fc y la fuerza de atracción gravitatoria, F, son la misma fuerza.
Determinar la velocidad y el período de revolución de un satélite cuyo radio orbital es el terrestre.
El enunciado anterior es equivalente a: Con que velocidad hay que tirar horizontalmente una
piedra para que nos de en la espalda.
La única fuerza que actúa sobre el satélite es la fuerza de atracción gravitatoria que la Tierra ejerce sobre
él y que le obliga a desviarse de su trayectoria, describiendo una curva. La fuerza centrípeta, F c y la
fuerza de atracción gravitatoria, F, son la misma fuerza, siendo, en este caso, el radio de la órbita igual al
radio de la Tierra.
Un cuerpo que en la Tierra pesa 735 N cae desde una altura de 50 Km sobre la superficie lunar. Si
la masa y radio lunar son la centésima parte de la masa terrestre y la cuarta parte del radio
terrestre, calcular la masa del cuerpo y su peso en la Luna así como la velocidad al llegar a la
superficie lunar.
La masa es invariante en todo el Universo, por lo que la masa del cuerpo es la misma en la Luna que en la
Tierra, y su valor es m = p / g = 735 / 9'81 = 74'9 Kg
El peso del cuerpo depende del planeta que le atrae y de la distancia al planeta. Si el cuerpo se encuentra
en la superficie lunar su peso será:
La aceleración de caída sobre la Luna varía con la altura, pero como la altura inicial, 50 Km, es muy
pequeña en comparación con el radio lunar, podemos suponer que la aceleración de la gravedad lunar es
constante e igual a la de su superficie:
m.gL = 0'16.m.gT
®
gL = 0'16.9'81 = 1'57 m/s2
el tiempo que tarda en caer será:
y = ½.gL.t2
®
t = (2.50000/1'57)-½ = 252,4 s
y la velocidad al llegar a la superficie lunar:
v = gL.t =1'57 . 252,4 = 396 m/s
Se lanza verticalmente hacia arriba un proyectil desde la superficie de un astro con una velocidad
de 750 Km/h. Calcula la altura máxima que alcanzará. La masa del astro es 324440 veces la de la
Tierra y su radio es 108 veces el terrestre.
Antes de aplicar las ecuaciones del movimiento es necesario calcular la aceleración de la gravedad en el
astro:
Al llegar al punto más alto la velocidad es cero, por lo que el tiempo en subir será:
vo = 750 Km/h = 208'3 m/s
v = vo - ga . t
®
t = vo / ga = 208'3 / 272'87 = 0'76 s
y la altura que alcanza:
y = vo.t - ½.ga.t2 = 208'3 . 0'76 - 0'5 . 272'87 . 0'762 = 79'5 m
Un satélite de 1250 Kg está en órbita alrededor de la Tierra a 1400 Km de altura. Determinar su
período de revolución y sus energías cinética y potencial.
El radio de la órbita será: r = h + R = 1400 + 3670 = 5070 Km
La fuerza de atracción de la Tierra es la fuerza centrípeta que obliga al satélite a orbitar a su alrededor:
En la superficie de un planeta de radio 5/4 el terrestre la aceleración de la gravedad es 14'7 m/s2 .
Calcular la relación entre las masas del planeta y de la Tierra y la altura desde la que hay que dejar
caer un objeto para que llegue a la superficie con la misma velocidad con que llegaría al suelo
terrestre desde 275 m.
La relación de masas está relacionada con la relación entre las aceleraciones de la gravedad:
g = G.M / R2
®
M = g . R2 / G
®
Mp / MT = (gp . Rp2) / (gT . RT2) = 14'7 . 52 / 9'8 . 42 = 2'34
La velocidad al llegar al suelo en caída libre partiendo del reposo es:
v = (2.g.h)½
si la velocidad en la Tierra y en el planeta debe ser la misma:
(2.gt.ht)½ = (2.gp.hp)½
®
gt.ht = gp.hp
®
hp = gt.ht / gp = 183'3 m
Hasta que altura hay que ascender para que la gravedad se reduzca en un 15 %.
Si se debe reducir en 15 % la gravedad valdrá: g = 0'85 . 9'8 = 8'33 m / s2
g = G.M / r2
®
g = go . (R / r)2
®
r = R . (go / g)½
r = 6'37 . 106 .( 9'8 / 8'33 )½ = 6909235 m , desde el centro de la Tierra
h = 6909235 - 6370000 = 539235 m de altura sobre el suelo
Umbriel, satélite natural de Urano, describe una órbita circular de 267 000 Km de radio alrededor
del planeta con un período de revolución de 358 000 segundos. Determinar la masa de Urano y el
período de revolución de otro de sus satélites, Oberón, cuyo radio orbital es 5'86.10 8 m.
P.A.U. Madrid Junio 2002
Un planeta esférico tiene un radio de 3000 Km y la aceleración de la gravedad en su superficie es 6
m/s2.
a) ¿ Cuál es su densidad media ?
b) ¿ Cuál es la velocidad de escape para un objeto situado en la superficie del planeta?.
Solución:
El volumen del planeta será: V = 4..R3 /3 = 4. 3'14.(3.106)3 /3 = 1'13.1020 m3
La aceleración de la gravedad es la intensidad del campo gravitatorio creado por la masa del planeta:
g = G.M/r2
M = go.R2 /G = 6.(3.106)2 / 6'67.10-11 = 8'096.1023 Kg
La densidad es la relación entre la masa y su volumen:
d = M/V = 8'096.1023 / 1'13.1020 = 7164'6 Kg / m3
La velocidad de escape es la velocidad mínima que hay que suministrar a un objeto para que escape del
campo gravitatorio:
( E c + Ep )R = ( E c + Ep )
½.m.v2 - G.M.m/R = ½.m.02 - G.M.m/2
v = [2.G.M/R]½ = [2.R.G.M/R2 ]½ = [2.R.go]½ = [2.3.106 .6]½ = 6000 m/s
Se considera el movimiento elíptico de la Tierra en torno al Sol. Cuando la Tierra está en el afelio
(la posición más alejada del Sol) su distancia al Sol es de 1,52.10 11 m y su velocidad orbital es de
2,92.104 m/s. Hallar:
a) El momento angular de la Tierra respecto al Sol.
b) La velocidad orbital en el perihelio (posición más cercana al Sol), siendo en este punto su
distancia al Sol de 1,47.1011 m.
Datos complementarios: Masa de la Tierra. MT= 5,98.1024 kg
Solución:
Sean el punto S el Sol, el punto P la posición de la Tierra en el
perihelio y el punto A su posición en el afelio.
La Tierra se ve afectada por la fuerza de atracción del Sol, fuerza
que sigue la dirección del radio vector posición de la Tierra
respecto del Sol, por lo que el Momento que produce es cero. Al ser
este momento nulo el momento angular L es constante:
M = dL /dt , si M = 0 
L = constante
esto implica que la trayectoria es plana, pues L no puede cambiar de dirección, y que su módulo vale lo
mismo en cualquier punto de la trayectoria y por consiguiente vale lo mismo en el afelio que en el
perihelio. L es el momento de la cantidad de movimiento:
L = r . m.v . sen 90 = r . m . v = 1'52.10 11 . 5'98.1024 . 2'92.104 = 2'65.1040 kg.m2 /s
L = constante 
L(A) = L(P) 
rA . m . vA = rP . m . vP 
vP = rA . vA / rP = 1'52.1011 . 2'92.104 / 1'47.1011 = 3'02.104 m/s
P.A.U. Madrid Junio 2002
La velocidad angular con la que un satélite describe una órbita circular en torno al planeta Venus
es 1 = 1'45.10-4 rad/s y su momento angular respecto al centro de la órbita es L1 = 2'2.1012 Kg.m2.s1
a) Determinar el radio r1 de la órbita del satélite y su masa
b) ¿Qué energía sería necesaria para cambiar a otra órbita circular con velocidad angular 2 = 10-4
rad/s
Dato: Masa de Venus 4'87.1024 Kg
Solución:
Si el satélite está en una órbita estacionaria, la fuerza centrípeta que le obliga a describir la órbita es la
fuerza de atracción gravitatoria que ejerce Venus sobre el satélite:
m.v2 /r = G.M.m/r2 , ó bien m.2 .r = G.M.m/r2
de donde: r = [G.M/2 ]1/3 = [6'67.10-11 .4'87.1024 /(1'45.10-4 )2 ]1/3 = 24906 km
El momento angular es L = I.w , siendo el momento de inercia I = m.r 2
L = m.r2.w
m = L /(w.r2) = 2'2.1012 /[1'45.10-4 .(24'906.106)2] = 24'46 Kg
La energía necesaria para cambiar la órbita del satélite será la diferencia de energías entre las dos órbitas:
E = E2 - E1 = ( Ec + Ep)2 - (Ec + Ep)1
Ec = m.v2 /2 = (G.M.m/r)/2
Ep = - G.M.m /r
Ec + Ep = (G.M.m/r)/2 - G.M.m /r = - (G.M.m /r)/2
Para w1 = 1'45.10-4 el radio de la órbita es r1 = 24906 km
y su energía (Ec + Ep)1 = - 6'67.10-11.4'87.1024. 24'46 /(2.24'906.106) = - 1'6.108 Julios
Para w2 = 1.10-4 el radio de la órbita es: r2 = [G.M/2 ]1/3 = 31907 Km
y su energía (Ec + Ep)2 = - 6'67.10-11.4'87.1024. 24'46 /(2.31'907.106) = - 1'25.108 Julios
La energía a suministrar al satélite será:
E =- 1'25.108 + 1'6.108 = 0'35.108 Julios
P.A.U. Madrid Junio 1997
a) Compara las fuerzas de atracción gravitatoria que ejercen la Luna y la Tierra sobre un cuerpo
de masa m que se halla situado en la superficie de la Tierra. ¿A qué conclusión llegas?.
b) Si el peso de un cuerpo en la superficie de la Tierra es de 100 kp. ¿Cuál sería el peso de ese
mismo cuerpo en la superficie de la Luna?.
Datos: La masa de la Tierra es 81 veces la masa de la Luna.
La distancia entre los centros de la Tierra y la Luna es de 60 radios terrestres.
E1 radio de la Luna es 0,27 veces el radio de la Tierra.
Solución:
La fuerza de atracción de la Tierra sobre un objeto en su superficie será:
FT = G. MT . m / RT2
La fuerza de atracción de la Luna sobre un objeto situado en la superficie de la Tierra dependerá de la
posición del objeto, pero su valor máximo se alcanza en el punto del dibujo:
FL = G. ML . m / (d - RT)2
La relación entre ambas fuerzas será:
FT / FL = [G. MT . m / RT2] / [G. ML . m / (d - RT)2] = (MT / ML) . [ (d - RT) / RT ]2 = 81 . 592 = 281961
La fuerza que ejerce la Tierra es unas 282 mil veces la ejercida por la Luna, por lo que la fuerza lunar
puede considerarse despreciable frente a la terrestre.
El peso en la superficie lunar de un cuerpo de masa 100 Kg será: P L = G. ML . m / RL2
y en la Tierra: PT = G. MT . m / RT2
PL / PT = (G. ML . m / RL2) / (G. MT . m / RT2) = ( ML / MT ) . ( RT / RL )2 = (1 / 81) . (1 / 0'27)2 = 0'17  1
/6
El peso de un cuerpo en la Luna es aproximadamente la sexta parte del peso en la Tierra
en este caso: PL = 0'17 . PT = 0'17 . 100 = 17 Kp
La nave espacial Lunar Prospector permanece en órbita circular alrededor de la Luna a una altura
de 100 km sobre su superficie. Determine:
a) La velocidad lineal de la nave y el periodo del movimiento.
b) La velocidad de escape a la atracción lunar desde esa órbita.
Datos: Constante de Gravitación G = 6,67x10 -11 N m2 kg-2
Masa de la Luna ML = 7,36x1022 kg Radio medio lunar RL =1740 km
Solución:
La fuerza de atracción gravitatoria que ejerce la Luna sobre la nave
espacial es la fuerza centrípeta que obliga a la nave a describir la órbita
circular:
Fa = Fc  G. M . m / (R+h)2 = m. v2 / (R + h) 
v = [G . M / (R + h)]1/2
v = [6'67.10-11 . 7'36.1022 /1'840.106]1/2 = 1633'4 m/s
El período de rotación será:
T = 2. .(R+h) / v = 2 . 3'14 . 1'84.106 / 1633'4 = 7077'91 s
La velocidad de escape es la velocidad radial que hay que suministrar a un objeto para que escape de la
atracción gravitatoria, es decir que llegue al infinito, E p = 0, con velocidad nula, Ec = 0. La velocidad que
hay que suministrar debe ser tal que la energía total sea nula:
½ m . v2 - G . M . m / (R+h) = 0  v = [2. G . M / (R+h)]1/2
v = [2 . 6'67.10-11 . 7'36.1022 /1'840.106]1/2 = 2309'98 m/s
La latitud de Madrid es 41º. Determinar a qué velocidad debería girar la Tierra para que en
Madrid los cuerpos no pesaran.
El peso de un cuerpo es la fuerza de atracción de la Tierra menos la componente
normal de la fuerza centrífuga. Si los cuerpos no pesaran, la fuerza de atracción
debería ser igual a la componente normal de la fuerza centrífuga:
m.g = FCN
pero
r = R. cos l ®
®
m.g = FC . cos l
g = w2. R . cos2 l
®
m.g = m.w2.r . cos l
®
w = [ g / (R.cos2 l) ]1/2
En este caso: w = [ 9'8 / (6'37.106.cos2 41) ]1/2 = 0 ' 0016435 rad /s
En estas condiciones los días durarían:
T = 2.p /w = 2.p / 0 ' 0016435 = 3823'11 seg = 1 h 3 mn 43 s
No podríamos andar al ser nulo el rozamiento con el suelo; no podríamos desplazarnos pues no
podríamos nadar en el aire, de resistencia muy pequeña; no podríamos evitar ser arrastrados por la
componente tangencial de la fuerza centrífuga que nos ...
Un electrón es lanzado con una velocidad de 2.106 m/s paralelamente a las líneas de un campo
eléctrico uniforme de 5000 V/m. Determinar:
a) La distancia que ha recorrido el electrón cuando su velocidad se ha reducido a 0'5.10 6 m/s
b) La variación de energía potencial que ha experimentado en ese recorrido.
Solución:
Al tener el electrón carga negativa se ve sometido a una fuerza opuesta al campo eléctrico que le va
frenando:
m.a=q.E

a=q.E/m
a = 1'6.10-19 . 5000 / 9'1.10-31 = 8'79.1014 m/s2
Al ser la aceleración constante, las ecuaciones del movimiento son:
v = vo - a . t
 t = (vo - v) / a = ( 2.106 - 0'5.106 ) / 8'79.1014 = 1'7.10-9 s
e = vo . t - a . t2 /2 = 2.106 . 1'7.10-9 - 8'79.1014 . (1'7.10-9 )2 / 2 = 0'0021 m
La diferencia de potencial entre dos puntos de un campo uniforme es:
VA - VB = E . d = 5000 . 0'0021 = 10'5 Voltios
La variación de energía potencial será:
EpA - EpB = q . (VA - VB ) = - 1'6 . 10-19 . 10'5 = - 1'68.10-18 Julios
P.A.U. Madrid Junio 2000
Dos cargas puntuales e iguales de valor 2 mC cada una, se encuentran situadas en el plano XY en
los puntos (0,5) y (0,-5), respectivamente, estando las distancias expresadas en metros.
a) ¿En qué punto del plano el campo eléctrico es nulo?
b) ¿Cuál es el trabajo necesario para llevar una carga unidad desde el punto (l,O) al punto (-1,0)?
Solución:
La suma de dos
vectores da nulo si
tienen el mismo
modulo y forman entre sí 180º. En los puntos situados fuera del segmento que une las cargas, segmento
AB, el campo no puede anularse pues los campos forman ángulos distintos de 180 º. Sólo puede anularse
en el segmento AB.
Como las cargas son iguales, y el campo depende de la distancia del punto a la carga, para que los dos
campos sean iguales y opuestos sólo puede suceder en el punto medio del segmento, en este caso el
origen de coordenadas (0,0). Si se desea comprobar analíticamente, consideremos un punto genérico del
segmento de coordenadas (x,0) y determinemos x para que el campo sea nulo:
Campo creado en P por la carga situada en A:
E = K. q /(5+x)2
Campo creado en P por la carga situada en B:
E = K. q /(5-x)2
Los dos campos deben ser iguales en módulo para que su suma vectorial de campo nulo:
K. q /(5+x)2 = K. q /(5-x)2

(5+x)2 = (5-x)2

x=0
El trabajo para trasladar una carga de un punto a otro del campo es igual al producto de la
carga por la diferencia de potencial entre los dos puntos; como en este caso la carga es la unidad el trabajo
coincide con la d.d.p.; como el potencial depende de la carga y de la distancia al punto, al ser las cargas
iguales y las posiciones relativas de los puntos, con relación a las cargas, iguales, los potenciales son
iguales y por tanto el trabajo es nulo:
W = q. ( V1 - V2 )
V1 = K. qA / rA + K. qB /rB = 9.109 . 2.10-3 .( 1 /4 + 1 /6) = 7'5.106 Voltios
V2 = K. qA / rA + K. qB /rB = 9.109 . 2.10-3 .( 1 /6 + 1 /4) = 7'5.106 Voltios
V1 - V2 = 7'5.106 - 7'5.106 = 0
 W = 0 Julios
Madrid Junio 2002
Se tienen tres cargas en los vértices de un triángulo equilátero cuyas coordenadas, expresadas en
cm, son:
A (0,2) , B (-3, -1) , C (3, -1)
Se sabe que las cargas situadas en los puntos B y C son iguales a 2 C y que el campo eléctrico en el
origen de coordenadas (centro del triángulo) es nulo. Determinar:
a) El valor de la carga situada en el vértice A
b) El potencial en el origen de coordenadas
Solución:
El campo eléctrico a una distancia r de una carga es :
E = [K.Q / r2].u
siendo u el vector unitario en el sentido de la carga al punto
Si el triángulo es equilátero el centro del mismo equidista de los vértices, por lo que el valor de r es el
mismo para las tres cargas. Al mismo tiempo los sentidos de los tres campos en el centro del triángulo
forman 120º.
Si el campo total es nulo, si el centro equidista de los vértices y si los campos forman 120º, las tres cargas
deben ser iguales; por tanto el valor de la carga situada en el vértice A es de + 2 C
El potencial en el centro del triángulo será la suma de los potenciales creados por cada carga:
VO = VO,A + VO,B + VO,C
El potencial en un punto debido a una carga es una magnitud escalar de valor:
V = K.Q / r
Al tener cada vértice la misma carga, al tener r el mismo valor para cada carga, se deduce que los
potenciales creados por cada carga son iguales y de valor:
VO,A = VO,B = VO,C = K. Q / r = 9.109 .2.10-6 / 0'02 = 900 000 Voltios
VO = 3 . 900000 = 2 700 000 Voltios
Nota: Con los datos de las coordenadas se puede deducir que el triángulo es equilátero y que el centro del
triángulo coincide con el centro de coordenadas, por lo que estos datos son redundantes.
Un condensador está formado por dos placas de superficies 120 cm2 y sometidas a una d.d.p. de 200
voltios. Determinar qué fuerza hay que hacer en cada placa para mantenerlas separadas 2 cm.
El campo eléctrico en el interior del condensador se debe a las dos placas y su valor es: E = 
Pero el campo en la superficie de una placa sólo se debe a la otra placa y su
valor es: E = 
siendo:
q carga de la placa o carga almacenada por el condensador
 =q/S
densidad superficial de carga
 = 1 /(4..k) constante dieléctrica del medio entre las placas
La carga almacenada por el condensador es: q = C. V
siendo C la capacidad del condensador: C =  . S / d
La fuerza que actúa sobre una placa, debida a la otra, es:
F = q. E = q.  = q2 /(2. S. ) = (C.V)2 /(2. S. ) =  . S2 .V2 / (d2.2. S. ) =  . S .V2 / (2.d2)
F =  . S .V2 / (2.d2) = S .V2 / (8..k.d2) = 0'012. 2002 / (8. . 9.199 .0'022) = 5 ' 3 . 10-6 Newtons
Dos cargas de + 12 mC y - 18 mC están
separadas 40 cm. Determinar en qué punto del
espacio el campo es nulo.
La suma de dos vectores da nulo si tienen el mismo
modulo y forman entre sí 180º. En los puntos como
B, C y D el campo no puede anularse pues los
campos forman ángulos distintos de 180 º. Sólo
puede anularse en el eje que une las cargas y a
derecha o izquierda de ellas, no entre ellas. En el
punto E no puede ser pues la carga negativa es
mayor y genera un campo todavía mayor por estar
más próxima al punto. La única posibilidad es en un punto como el A. En A los campos creados por las
cargas son opuestos y valen:
E+q = k. 12.10-6 / x2
E-q = k. 18.10-6 / (0'4 + x)2
Para que el campo total sea nulo los dos campos deben ser iguales en módulo:
k. 12.10-6 / x2 = k. 18.10-6 / (0'4 + x)2

12 / x2 = 18 /(0'4 + x)2

x = 1'78 m
El campo se anula a 1'78 m de la carga positiva.
En tres vértices de un cuadrado de 40 cm de lado se han situado cargas eléctricas de +125 m C.
Determinar el campo eléctrico en el cuarto vértice y el trabajo necesario para trasladar una carga
de - 10 m C desde ese vértice al centro del cuadrado.
El campo producido en D será la suma vectorial de los campos
creados por cada carga:
EC = EA = k.q / a2
EB = k. q / (a2 + a2)
El campo resultante tendrá la dirección y sentido de EB y valdrá:
E = EB + (EA2 + EC2)1/2 = k. q /(2.a2) + (2. k2. q2. / a4)1/2
E = k. q. (1 / 2 + 21/2) / a2 = 9.109. 125.10-6. (1 / 2 + 21/2) / 0'42 = 1'35.107 N /C
El trabajo para trasladar una carga de un punto a otro es la carga por la d.d.p. entre los puntos:
El potencial en un punto es la suma de los potenciales creados por cada carga:
V(D) = k. q / a + k . q. /a + k. q. /(a2 + a2)1/2 = + k. q. (2 + 1 / 21/2) / a
V(D) = 9.109. 125.10-6. (2 + 1 /21/2) / 0'4 = 7613738 Voltios
V(O) = 3. k. q. /( a / 21/2) = 3. 9.109. 125.10-6. 21/2 / 0'4 = 11932427 Voltios
W = q' . (V(O) - V(D)) = - 10.10-6. ( 11932427 - 7613738 ) = 43'2 J
Dos cargas eléctricas puntuales de +10 m C y - 10 m C están separadas 10 cm. Determinar el
campo y potencial eléctrico en el punto medio de la recta que las une y en
un punto equidistante 10 cm de las cargas.
En el punto C los campos creados por cada carga son iguales en módulo,
dirección y sentido, hacia la carga negativa. El campo total será:
E(C,+q) = E(C,-q) = k.q /(a/2)2
E(C) = 2. k.q. 4 / a2 = 8.9.109.10.10-6 /0'12 = 7'2 N /C
El potencial será:
V(C) = k. q / (a/2) + k.(-q) /(a/2) = 0 Voltios
El punto A y las cargas forman un triángulo equilátero. En el punto A, también por igualdad de datos, los
módulos de los campos son iguales y sus sentidos los del dibujo y el campo total será paralelo a la recta
que une las cargas:
E(A,+q) = E(A,-q) = k.q /a2
El valor de E(A) resulta ser igual al campo creado por una carga por ser el triángulo equilátero:
E(A) = [E(A,+q)2 + E(A,-q)2 - 2. E(A,+q). E(A,-q).cos 60]1/2
E(A) = k.q /a2 = 9.109.10.10-6 /0'12 = 9.109 N /C
V(A) = k. q /a + k. (-q) /a = 0 Voltios
Dos esferas de 25 gramos están cargadas con idéntica carga eléctrica y
cuelgan de dos hilos inextensibles y sin masa de 80 cm de longitud,
suspendidos del mismo punto. Los hilos forman 45º con la vertical. Calcular
la carga de cada esfera y la tensión del hilo.
La fuerza F que separa las cargas se debe a la repulsión electrostática, pues ambas
son del mismo signo.
F = k. q2 / x2
x = 2. a. sen (q /2)
Si están en equilibrio la suma de la fuerza electrostática y el peso debe tener la dirección de la cuerda:
tg (q /2) = F /p

F = p. tg (q /2)
k. q2 / x2 = m.g. tg (q /2)

q2 = m. g. x2 .tg (q /2) / k
q =2.a.sen (q /2).[ m. g..tg (q /2) / k]1/2 =2. 0'8. sen 45 .[25.10-3.9'8 .tg45 /9.109 ]1/2 = 5'9.10-6 C
F = 9.109 . (5'9.10-6)2 / (2.0'8.sen45)2 = 0'245 N
La tensión del hilo será:
T = R = p / cos(q /2) = 25.10-3 .9'8 / cos45 = 0'35 N
Entre dos placas planas existe una diferencia de potencial de 15 V y la intensidad del campo
eléctrico es 30 N /C. Determinar:
a) La separación entre las placas.
b) La aceleración que experimenta una partícula de 5 gramos y carga +2'5.10 9
C situada entre las placas.
c) La variación de la energía potencial al pasar la partícula de una placa a la
otra.
De las definiciones de Intensidad de campo y Diferencia de potencial entre dos
puntos se infiere que la separación d entre las placas es:
d = (V1 - V2) / E = 15 / 30 = 0'5 m
La fuerza que experimenta una partícula cargada situada en el interior del condensador es:
F = q. E = 2'5.10-9 . 30 = 7'5.10-8
y su aceleración será:
a = F / m = 7'5.10-8 / 5.10-3 = 1'5.10-5 m /s2
La variación de energía potencial si la partícula fuera de una placa a la otra sería:
Ep = q.(V1 - V2) = 2'5.10-9 . 15 = 3'75.10-8 Julios
Una partícula de 2 gramos con carga eléctrica de + 50 m C lleva una velocidad horizontal de 40 m/s
en el instante en que entra entre las armaduras de un condensador, por su eje central. El
condensador plano tiene sus armaduras paralelas a la superficie terrestre, suficientemente extensas,
separadas 10 cm, la superior es la positiva, y sometidas a una d.d.p. de 500 Voltios. Determinar la
trayectoria de la partícula y el punto de impacto con la placa, si lo hubiere.
El campo eléctrico uniforme que crea el condensador es:
E = V / d = 500 / 01 = 5000 N /C
Este campo actúa sobre la partícula provocando una aceleración de valor:
ae = F / m = q. E / m = 50.10-6 .5000 / 2.10-3 = 126 m /s2
hacia la placa negativa, placa inferior.
Por tanto la partícula se ve sometida a la aceleración de la gravedad y a la aceleración
electrostática, siendo la aceleración total vertical, hacia abajo, y de valor:
ay = 9'8 + 125 = 134'8 m /s2
Las ecuaciones del movimiento, tomando como origen de tiempos y coordenadas el punto
de entrada en el condensador, serán:
ax = 0
ay = - 134'8
vx = 40
vy = - 134'8. t
x = 40. t
y = - ½. 134'8. t2
ecuaciones que se corresponden a las de un movimiento parabólico, pues la trayectoria es:
y = - ½. 134'8. t2 = - ½. 134'8. (x /40)2 = - 0,042125. x2
Para determinar el punto de impacto con la placa basta imponer la condición y = - 0'05 m
- 0'05 = - 0,042125. x2

x = (0'05 /0'042125)1/2 = 1'09 m
P.A.U. Madrid Junio 2001
Un electrón que se mueve con una velocidad de 106 m/s describe una órbita circular en el seno de un
campo magnético uniforme de valor 0,1 T cuya dirección es perpendicular a la velocidad.
Determine:
a.
b.
El valor del radio de la órbita que realiza el electrón.
El número de vueltas que da el electrón en 0,001 s.
Datos:
Masa del electrón me= 9,1 · 10-31 kg Valor absoluto de la carga del electrón e = 1,6 · 10 -19 C
Solución:
Cuando un electrón entra en un campo magnético uniforme y normal a su velocidad describe una órbita
debido a la fuerza magnética. Hay que tener presente que al ser la carga negativa la fuerza es opuesta a la
que experimentaría una carga positiva.
La fuerza magnética es la centrípeta que obliga al electrón a describir la órbita:
F = q. v. B. sen 90 = q. v. B = 1'6.10 -19. 1.106. 0'1 = 1'6.10-14 N
F = m. v2 / R 
R = m. v2 / F = 9'1.10-31 .(1.106)2 / 1'6.10-14 = 5'7.10-5 m
El número de vueltas que dará en 0'001 segundos será:
n = v . t / (2.p.R ) = 1.106 . 0'001 / (2.p.5'7.10-5) = 2'8.106 vueltas
P.A.U. Madrid Junio 1997
En una misma región del espacio existen un campo eléctrico uniforme de
valor 0,5.104 v. m-1 y un campo magnético uniforme de valor 0,3 T, siendo
sus direcciones perpendiculares entre si:
a) ¿Cual deberá ser la velocidad de una partícula cargada que penetra en
esa región en dirección perpendicular a ambos campos para que pase a
través de la misma sin ser desviada?
b) Si la partícula es un protón, ¿cuál deberá ser su energía cinética para
no ser desviado?
Datos: mesa del protón mp = 1,672.10-27 kg
Solución:
Al entrar una carga q con velocidad v dentro de esta región, se ve sometida a una fuerza magnética y otra
fuerza eléctrica, de sentidos opuestos. Si la carga no se desvía quiere decir que ambas fuerzas son iguales:
Fe = q . E
Fm = q . v . B . sen 90 = q . v . B
Fe = Fm

q.E=q.v.B

v = E / B = 0'5.104 / 0'3 = 1'67.104 m/s
Si la carga fuera un protón, debería llevar una energía cinética de valor:
Ec = m . v2 /2 = 1,672.10-27 . (1'67.104)2 /2 = 2'33.10-19 Julios
Un hilo conductor, situado en el eje X, de 50 cm de
longitud transporta una corriente de 0'8 amperios, en
el sentido positivo del eje. Determinar la fuerza a que
está sometido si existe un campo magnético de valor :
El hilo conductor queda definido por su longitud:
La fuerza sobre el conductor será:
Un protón ,
potencial de
campo
40 cm de
radio de la
tras ser acelerado por una diferencia de
25000 voltios, penetra perpendicularmente en un
magnético y describe una trayectoria circular de
radio. Determinar la inducción magnética y el
trayectoria si la inducción fuera el doble.
Supongamos que el protón en reposo es acelerado por la d.d.p. de 25000 V. La variación de energía
potencial se transformará en energía cinética:
q. V = ½. m v2
la velocidad que lleva el protón al entrar en el campo magnético es:
v =(2. q. V / m )1/2
En el interior del campo magnético la partícula se ve sometida a una fuerza perpendicular a la velocidad y
al campo magnético, fuerza centrípeta, por lo que se ve obligado a describir una circunferencia:
B = 0'4-1.(2.25000.1'67.10-27 / 1'6.10-19)1/2 = 0'057 Teslas
En la expresión que determina la Inducción magnética se observa que es inversamente proporcional al
radio, para una velocidad constante, por lo que si la Inducción fuera el doble, el radio de la circunferencia
sería la mitad, 20 cm.
Por dos conductores rectilíneos, paralelos e indefinidos circulan corrientes de intensidades una el
doble de la otra. Determinar en que puntos el campo magnético resultante es nulo.
Las líneas del campo magnético forman circunferencias concéntricas al hilo conductor.
Para que la Inducción magnética total sea nula, las inducciones creadas por cada corriente deben ser
iguales y de sentidos opuestos lo que sólo puede suceder en los puntos en donde las circunferencias de las
lineas del campo sean tangentes, lo que sólo sucede en el plano que forman los hilos.
Como la Inducción es inversamente proporcional a la distancia los puntos con campo nulo estarán más
alejados del hilo con mayor corriente, como sucede en el punto A de la figura. La Inducción magnética en
dicho punto será:
B(A) = mo. 2I / [2.p.(d + a)] - mo. I / (2.p. a)
Si la Inducción magnética en el punto debe ser nula:
mo. 2I / [2.p.(d + a)] - mo. I / (2.p. a) = 0

2 / (d + a) = 1 / a

2.a = d + a

a=d
Es decir el conjunto de puntos con Inducción magnética nula es la recta, del plano que forman los
conductores, paralela a ellos y a una distancia del conductor con menor corriente igual a la separación
entre los conductores.
Un electrón describe una órbita circular en un campo magnético de 0'05 T con una energía cinética
de 2'4.103 eV. Determinar la fuerza magnética, el radio, la frecuencia
y el período de la órbita.
Cuando un electrón entra en un campo magnético uniforme y normal a su
velocidad describe una órbita debido a la fuerza magnética. Hay que tener
presente que al ser la carga negativa la fuerza es opuesta a la que
experimentaría una carga positiva.
La velocidad del electrón es:
Ec = ½. m v2

v = (2. Ec /m)1/2
v = (2.2'4.103.1'6.10-19 /9'1.10-31)1/2 = 2'9.107 m /s
La fuerza magnética es la centrípeta que obliga al electrón a describir la
órbita:
F = q. v. B. sen 90 = q. v. B = 1'6.10 -19. 2'9.107. 0'05 = 2'3.10-13 N
F = m. v2 / R 
R = m. v2 / F = 9'1.10-31 .(2'9.107)2 / 2'3.10-13 = 3'3.10-3 m
w = v / R = 2.p /T 
T = 2.p.R / v = 2.p.3'3.10-3 / 2'9.107 = 7'1.10-10 s
f = 1 / T = 1'4.109 Hz 
w = 2.p.f = 8'8.109 rad/s
Un electrón, un protón y una partícula a, núcleo de Helio, penetran perpendicularmente en un
campo magnético uniforme. Dibujar sus trayectorias y comparar las fuerzas y aceleraciones a que
se ven sometidos.
Supongamos que las tres partículas entran en el campo con la misma velocidad.
La fuerza que ejerce un campo
magnéetico sobre una carga en
movimiento es perpendicular
al campo y a la velocidad lo
que obliga a la carga a
desviarse de su trayectoria. Si
el campo es uniforme y normal
a la velocidad la trayectoria se
convierte en una
circunferencia. Como el vector
fuerza depende de la carga, el
sentido de giro en la
circunferencia dependerá del
signo de la carga: si una carga
positiva gira a izquierdas, otra
negativa girará a derechas. La
aceleración y el radio de curvatura dependerán de la masa y carga de la partícula.
Los datos de las partículas en el S.I. son:
Partícula
m masa
q carga
-27
qp = + 1'6.10
m /q
-19
mp / qp =1.10-8
p protón
mp = 1'27.10
e electrón
mp / 1758
- qp
- (mp / qp) / 1758
a alfa
4. mp
2. qp
2. mp / qp
La fuerza sobre el electrón es igual y opuesta a la del protón por tener cargas iguales pero de distinto
signo.
La fuerza sobre la partícula a es el doble que sobre el protón, pues tiene el doble de carga.
La aceleración sobre la partícula a es la mitad que la aceleración sobre el protón, por tener una relación
m/q doble
La aceleración sobre el electrón es 1758 veces superior a la del protón.
El radio de la circunferencia descrita por la partícula a es el doble de la descrita por el protón.
El radio de la circunferencia descrita por el electrón es 1758 veces menor que la del protón.
Por las aristas opuestas de un prisma cuadrangular de lado 1 y de gran altura circulan corrientes
de 2'4 A y 1'5 A en sentidos opuestos. Determinar la fuerza por unidad de longitud que se ejercen y
el campo magnético en una tercera arista.
El campo magnético creado por un conductor en un punto del otro conductor es:
B = mo .I1 /(2.p.a.21/2)
y la fuerza, en este caso de repulsión, por unidad de longitud:
F / L = I2. B = mo .I1. I2 /(2.p.a.21/2) = 4.p.10-7.1'5. 2'4 /(2.p.1.21/2) =
5'1.10-7 N
Esta fuerza es mutua, es decir, aunque los campos B en cada conductor
son distintos, la fuerza es la misma.
El campo magnético en un punto de otra arista como el D será la suma
vectorial de los campos creados por cada conductor:
Un electrón penetra perpendicularmente en un campo magnético uniforme de 3.10 -3 T con una
velocidad de 1'6.106 m/s. Determinar el radio de la trayectoria y el campo eléctrico que deberíamos
superponer al magnético para que el electrón describiera un movimiento rectilíneo.
La fuerza que ejerce el campo magnético sobre el electrón es perpendicular a la velocidad y es la fuerza
centrípeta que obliga al electrón a describir una circunferencia:
F = q.v.B = m.v2 /R
R = m.v /(q.B)
R = 9'1.10-31.1'6.106 /(1'6.10-19.3.10-3) = 3'03.10-3 m
Para que el electrón describiese un trayectoria rectilínea habría que superponer un campo eléctrico de tal
forma que la fuerza eléctrica fuera igual y opuesta a la magnética, por tanto E tendría que ser
perpendicular a B y a la velocidad, en el sentido de F:
Fe =q. E
Fm = q. v. B
Fe = Fm
 q. E = q. v. B

E = v. B
E =1'6.106 . 3.10-3 = 4'8.103 N /C