q - Ow.ly

Ejercicios ; 6,9 y 13 de las paginas 668 y 669.
Ejercicio n° 6.
Un fabricante ha calculado una fracción de costo que expresa el costo anual de la
compra, posesión y mantenimiento del inventario de sus materias primas en
términos del tamaño de cada pedido. He aquí la función de costos:
C = 625000 + 10q + 150000
q
donde q es el tamaño de cada pedido (en toneladas) y C es el costo anual del
inventario.
a) Determine el tamaño de pedido q que minimice el costo anual del inventario.
b) ¿ Cuáles se esperan que sean los mínimos costos de inventario?
R-a) C= f(q)= 625000 + 10q + 150000
q
la primera derivada es:
C’ = f’ (q)= - 625000 + 10
q2
Si f’(q) se hace igual a cero, entonces;
-625000 + 10= 0  - 625000 = - 10
q2
-625000 = q2  62500 = q2   62500
-10
q = 250 toneladas.
=  q2
La naturaleza del punto crítico (q=250) se comprueba al obtener f’’(q) :
f’’ (q) = 1.250.000
q3
f’’(250) = 1.250.000 = 0,08  0
2503
R-b) f (250) = 62500 + 10 * 250 + 150.000 = 155.000 unidades monetarias
250
Ejercicio n° 9.
El distribuidor del ejercicio 8 cuenta con instalaciones de almacenamiento para
recibir un maximo de 1500 docenas de balones en cada embarque.
a) Determine del pedido q que minimice los costos anuales de inventario.
b) ¿ Cuáles son los costos de inventario ?
c) ¿ Qué relación guardan estos resultados con los obtenidos en el ejercicio 8 ?
C= f(q) = 20.000.000 + 5q + 200.000
q
R-a) C’ = f’(q) = - 20.000.000 + 5
q2
- 20.000.000 + 5= 0  - 20.000.000 = -5
q2
q2
- 20.000.000 = q2  4.000.000 = q2  q = 2.000 docenas.
Como 2.000  1.500  q = 1.500
q = 1.500 docenas.
Ejercicio n° 13.
Una compañía de televisión por cable ha averiguado que su rentabilidad depende
de la tarifa mensual que cobra a sus clientes. Específicamente, la relación que
describe la utilidad anual P (en dólares) en función a la tarifa mensual de la renta r
(en dólares) es la siguiente:
P= -50.000 r2 + 2.500.000r – 5.000.000
a) Determine la tarifa de renta mensual que dé por resultado la utilidad máxima.
b) ¿Cuál es la utilidad máxima esperada ?
R-a) La derivada de la función utilidad es :
P= 50.000r2 + 2.500.000 r – 5.000.000
P’ = 100.000r + 2.500.000
P’ se hace igual a cero:
- 100.000r + 2.500.000 = 0
-100.000r =- 2.500.000
100.000
r = 25 dólares
Al comprobar la naturaleza del punto crítico , se obtiene: f’’(x) = -100.000 y f’’(25)
= - 100.000  0
R-b) La utilidad maxima esperada es: sustituyendo r=25 en P :
P(25)= - 50.000 (25)2 + 2.500.000 (25) – 5.000.000= 26.250.000 dólares.
Ejercicio n° 3 pag. 785.
Una empresa vende dos productos. Sus funciones de demanda son:
q1 = 175- 4p1 – p2
q2 = 90 - 2p1 – 3p2
donde pj es el precio del producto j y qj indican la demanda (en miles de
unidades) del producto j.
a) Determine el precio que debería fijarse a cada producto a fin de maximizar el
ingreso total que se consigue con los dos.
b) ¿ Cuántas unidades se demandaran de cada producto a esos precios?
c) ¿ Cuáles se espera que sean los máximos ingresos totales?
R-a) R= ingreso total
R = p1q1 + p2q2 (1)
R = f(p1p2) ; sustituyendo q1 y q2 en (1)
R= p1( 175 – 4 p1- p2) + p2 ( 90 – 2p1 –3p2)
= 175 p11 – 4p12 – p1-p2 +90p2 – 2p1p2 – 3p22
= 175 p1 –4p12 – 3p1p2 + 90p2 – 3p22
aplicando derivadas parciales :
Rp1= 175 – 8p1 – 3p2 + 0 – 0
Rp2 = 0 –0-3p1 + 90 –6p2
Al arreglar estas ecuaciones de las derivadas y hacerlas iguales a cero, nos
queda:
8p1 + 3p2 = 175 (x 2)
16p1 + 6p2 = 350 (1)
3p1 + 6p2 = 90 (3)
3p1 +6p2 = 90 (2)
13p1
= 260  p1 = 20.
P1 en (3) : 3x20+6p2 = 90
6p2 = 30
p2 = 5
R-b)
sustituyendo p1 y p2 en q1 y q2 respectivamente:
Q1 = 175 – 4x20 - 5= 90 mil unidades.
Q2 = 90 –2x20 – 3x5 = 35 mil unidades.
R-c) R1 = p1 q1 = 20x90 = 1800
R2 = p2 q2 = 5x35 = 175
 R = 1800 + 175 = 1.975