ECUACIONES
Podemos definir a las ecuaciones como una igualdad entre expresiones algebraicas
(sucesión de términos constituidos de números y letras, cada término es separado del otro
por un signo "+" ó ""),en la que intervienen una o más letras, llamadas incógnita (cuyo
valor hay que averiguar). Las expresiones que están a ambos lados del signo igual son los
miembros de la ecuación: primer miembro el de la izquierda, segundo miembro el de la
derecha. Se denomina solución de una ecuación a un valor o conjunto de valores de la
incógnita (x), para los cuales se verifica la igualdad.
Una ecuación puede tener ninguna, una o varias soluciones. Por ejemplo:
5x – 9 = 1 es una ecuación con una incógnita con una solución, x = 2
x 2 + y 2 + 5 = 0 es una ecuación con dos incógnitas sin solución, pues la suma de dos
cuadrados es un número positivo, a partir del cual no se puede obtener 0 sumándole 5.
2x + 3y = 15 es una ecuación con dos incógnitas que tiene infinitas soluciones, algunas de
las cuales son x = 0, y = 5; x = 3, y = 3; x = 30, y = 15.
Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambas carecen de
solución.
Así, la ecuación 3x – 7 = x + 1 es equivalente a 2x – 8 = 0 porque ambas tienen como
solución única x = 4.
Tipos de Ecuaciones
Las ecuaciones con una incógnita suelen tener un número finito de soluciones, mientras que
en las ecuaciones con varias incógnitas encontramos infinitas soluciones, las que suelen ser
estudiadas cuando forman sistemas de ecuaciones.
Podemos encontrar distintos tipos de ecuaciones con una incógnita: polinómica, racionales,
exponenciales, trigonométricas…
Las ecuaciones polinómicas son de la forma P(x) = 0, donde P(x) es un polinomio en x, que
al trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión.
3x3 5x2 + 3x + 2 = 0 es una ecuación polinómica.
Las ecuaciones polinómicas de primer grado, ax + b = 0, se llama ecuación lineal.
5x + 7 = 3 (es lineal).
(x – 5)2 + 3 = x2 – 1 (No hay que dejarse engañar por las apariencias, esta ecuación también
es lineal. Al desarrollar y simplificar se obtiene: –10x + 29 = 0).
Las ecuaciones polinómicas de segundo grado que responden a la estructura: ax2 + bx + c
= 0, se las denomina cuadráticas. Son ecuaciones de este tipo: x2  5x + 3 = 0, ó (x – 2)2 +
7x =5 + x. (En este caso, se despeja x de manera que al final queda una ecuación cuadrática,
o sea, un polinomio de grado dos).
La ecuación completa de segundo grado es de la forma aX2 + bx +c=0 y puede resolverse
mediante factorización (si el polinomio es factorizable) en donde cada factor se iguala a 0 o
mediante la fórmula x 
 b  b 2  4ac
2a
En las ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma ax2 +c=0 se despeja x2 y se extrae la
raíz cuadrada a la solución.
EJEMPLO: 5x2 – 20=0 Al despejar X2= 4. Entonces X=+2 y X= -2
En las ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma ax2 +bx=0 se extrae factor común x,
y se iguala cada factor a x
EJEMPLO: 4x2 – 3x= 0: Se factoriza X: x(4x-3)= 0 Se iguala X=0 y 4x -3=0 Entonces:
X=0
y x= 3/4
Las ecuaciones radicales son aquellas en las que la incógnita está bajo un signo radical,
como
Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen cocientes de polinomios; por
ejemplo:
En las ecuaciones exponenciales la incógnita está en un exponente: 2x = 8
En las ecuaciones logarítmica (inversa de las de tipo exponencial) la incógnita se encuentra
afectada por el logaritmo, acordarse que la solución debe estar de acuerdo con el dominio
de la función logarítmica): log (x + 1) = 10.
En las ecuaciones trigonométricas la incógnita está afectada por alguna función
trigonométrica; por ejemplo:
sen (/4 + x) – cos x = 1
EJERCICIOS
1.- 5 + 6x = 2
2.- 4b + 1 = -18
3.- 18c - 3 = 0
4.- 5 - 2d = 9
5.- - 3f + 1 = 4
6.- - 2 - 5g = 0
7.- 13 - h = 13
8.- 5j - 9 = 3j + 5
9.- 2k + 7 = 12 - 3k
10.- 10 - 4x = 7 - 6x
11.- 5m - 3,2 = 2m + 2,8
12.- 5n - 2n + 12 = 35 - 4n - 9
13.- 3ñ - 15 + 2ñ - 14 = ñ - 11
14.- 48p - 13 + 12p = 72p - 3 - 24p
15.- q - 3 + 6q - 9 + 12q - 15 = q
16.- 6r + 12r - 9 - 8r + 10 + r = 0
17.- 5s + (4 - s) = 9 - (s - 6)
18.- (3t - 1) + 7 = 8t - (3 - 2t)
19.- 3 - (8v - 5) + (6 - 7v) - 1 = 7 - (v -1) + (4v + 4)
20.- (3w - 8) - (4 - 9w) + 3 = 7w - 2 - (5w + 9 - 3)
21.- -(4x - 6 + 5x) + (9 - 5x + 3 - 2x) = 7x - (1 - 6x)
22.- 12y = 3(3y - 5)
23.- (x - 7) ² - (1 + x) ² = 2(3x - 4)
24.- 6x - (2x - 1)(2x + 1) = 2 - (3 + 2x) ²
25.- 7 - [8x - 3(x + 3)] = 5x - (4 - 2x)
26.- 1 - a = 1
27.- b/5 = 1/2
28.- 2.c/7 = 3/4
EJERCICIOS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
a) 2.x ² - 3.x - 5 = 0
b) x ² - x - 20 = 0
c) 4.x ² + 4.x - 1 = 0
d) x ² - 4.x - 1 = 0
e) x ² + 2.x + 2 = 0
f) x ² - 14.x + 49 = 0
g) 2.x ² - 3.x + 5 = 0
h) x ² - x + 1 = 0
i) 25.y ² + 20.y + 4 = 0
j) u ² - 0,5.u - 0,14 = 0
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