Soluciones problemas

PROBLEMA 1
PROBLEMA 2
PROBLEMA 3
PROBLEMA 4
PROBLEMA 5
PROBLEMA 6
PROBLEMA 7
PROBLEMA 8
PROBLEMA 9
PROBLEMA 10
1.1. Una cierta población tiene un tamaño inicial de 1000 individuos y
crece un 25% cada año. Escribir la ecuación en diferencias que describe
el tamaño de la población xn después de n años. Dar una tabla de
valores para xn, n=0,1,2,…,10
El incremento de la población en dos años sucesivos n y n-1 está dado por la
diferencia xn – xn-1, luego la ecuación será:
xn – xn-1=0,25xn-1
O lo que es lo mismo:
xn=1,25xn-1
Para los sucesivos valores de n tenemos:
n=1
x1=1,25x0=1,25(1000)=1250 individuos.
Claramente la población ha incrementado el primer año el 25%.
n=2
x2=1,25x1=1,25(1250)=1562,5 individuos.
n=3
x3=1,25x2=1,25(1562,5)=1953,125 individuos.
Así sucesivamente obtenemos la tabla siguiente de valores para n=0 hasta
n=10;
n
xn
0
1000
1
1250
2
1563
3
1953
4
2441
5
3052
6
3815
7
4768
8
5960
9
7451
10
9313
1.2. Una cierta población animal aumenta el 10% anual. Si la población
inicial es de 10 individuos, ¿cuántos años deben transcurrir para que la
población pase de 200 individuos?
El incremento de la población en dos años sucesivos n y n-1 está dado por la
diferencia xn – xn-1, luego la ecuación será:
xn – xn-1=0,1xn-1
O lo que es lo mismo:
xn=1,1xn-1
Para los sucesivos valores de n tenemos:
n=1
x1=1,1x0=1,1 (100)=110 individuos.
n=2
x2=1,1x1=1,1 (110)=121 individuos.
n=3
x3=1,1x2=1,1 (121)=133 individuos.
Así sucesivamente obtenemos la tabla:
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
xn
100
110
121
133
146
161
177
195
214
Donde se observa que para n=7, xn=195, y para n=8, xn=214, luego es en este
paso en el que se sobrepasan los 200 individuos.
De forma general la ecuación puede escribirse como.
xn=(1,1)xn-1=(1,1)(1,1)xn-2=(1,1)2xn-2=...=(1,1)nx0=100(1,1)n
1.3. Debido a la escasez de recursos, una cierta población de castores
está disminuyendo. La pérdida de población en un año es las ¾ partes
de la pérdida de población del año anterior.
a) Escribir y resolver la ecuación en diferencias que modelice la
evolución de la población.
b) Calcular la población de castores dentro de veinte años,
sabiendo que la población en los dos primero años es 30.000 y 29.200,
respectivamente.
c) ¿En qué año se extingue la población? Justificar la respuesta.
Puesto que hay un decrecimiento en la población, la ecuación en diferencias
es:
-(xk+2-xk+1)= -3/4(xk+1-xk)
O equivalentemente:
4xk+2-7xk+1+3xk=0
La ecuación característica asociada tiene dos raíces reales y distintas: 1 y
¾, que nos permiten escribir la solución general de la ecuación homogénea:
xk=c1·1k+c2(3/4)k
Con las condiciones iniciales, en los instantes 0 y 1 se determinan las
constantes: c1=26800 y c2=3200
Sustituyendo k=20, resulta que dentro de 20 años la población será de
26810 castores. Como las constantes son positivas, una de las raíces es la
unidad, y la otra es menor que 1 en valor absoluto, la población disminuye
poco a poco pero no se extingue.
1.4. Una población biológica crece de tal modo que en un año aumenta el
doble de lo que aumentó el año anterior. Si el tamaño de la población
en el año cero es 1.000 individuos y en el año uno es de 1.050
individuos, ¿cuál es el tamaño de la población en el año n?
Sea xn el tamaño de la población en el año n; entonces,
xn-xn-1=2(xn-1-xn-2)
Reagrupando términos tenemos
xn-3xn-1+2xn-2=0
Esta es la ecuación en diferencias del tipo: Axn+Bxn-1+Cxn-2=0, con
coeficientes A=1, B=-3, C=2
La ecuación auxiliar es: a2-3a+2=0, de raíces:
a1={[-B+√(B2-4AC)]/2A}=2; a2={[-B-√(B2-4AC)]/2A}=1
Luego la solución general de la ecuación es:
xn=c1an1+c2an1
xn=c1(1)n+c2(2)n=c1+c22n
Sustituyendo las condiciones iniciales para n=0 n=1, tenemos:
x0=c1+c2=1000
x1=c1+2c2=1050
De donde c1=950, c2=50, luego la población en el año n estará dada por:
xn=950+50·2n
1.5. a)
Una cierta población tiene un tamaño inicial de 1.000
ejemplares y cada año aumenta un 5%. Plantear la ecuación en
diferencias para el tamaño y(k) de la población al cabo de k años y
hallar su solución general.
La ecuación en diferencias para el tamaño y(k) de la población al cabo de k
años será:
y(k)=1,05y(k-1)
Esta ecuación es homogénea de solución:
y(k)=1000(1,05)k
b)
Una cierta población tiene un tamaño inicial de 1.000 ejemplares
y cada año aumenta un 50%. Además, cada año son capturados 100
ejemplares. Plantear la ecuación en diferencias para el tamaño y(k) de
la población al cabo de k años y hallar su solución general.
La ecuación en este caso es:
y(k)=1,5y(k-1)-100
La solución de la homogénea asociada será:
yh(k)=c(1,5)k
La solución particular de la completa será:
yp(k)=A, sustituyendo en la ecuación se obtiene: A=200
La solución general será:
y(k)=c(1,5)k+200 y haciendo y(0)=1000 se obtiene c=800. Así la solución es:
y(k)=800(1,5)k+200
c)
Una cierta población tiene un tamaño inicial de 1.000 ejemplares
y cada año aumenta un 50%. Además, el primer año son capturados 100
ejemplares y en cada año sucesivo 20 más (120 el segundo año, 140 el
tercero,…). Plantear la ecuación en diferencias para el tamaño y(k) de
la población al cabo de k años y hallar su solución general.
y(k)=1,5y(k-1)-20k-80
La solución de la homogénea asociada será:
yh(k)=c(1,5)k
Una solución particular de la completa será:
yp(k)=Ak+B, sustituyendo en la ecuación se obtiene: A=40 y B=280
La solución general será:
y(k)=c(1,5)k+40k+200 y haciendo y(0)=1000 se obtiene c=720. En este caso
la solución es: y(k)=720(1,5)k+40k+280
d)
Una cierta población tiene un tamaño inicial de 1.000 ejemplares
y cada año aumenta un 75%. Además, el primer año desaparecen 2
ejemplares, el segundo 4, el tercero 8, el cuarto 16 y así
sucesivamente. Plantear la ecuación en diferencias para el tamaño y(k)
de la población al cabo de k años y hallar su solución general.
La ecuación es y(k)=1,75y(k-1)-2k
La solución de la homogénea asociada será: yh(k)=c(1,75)k
La solución particular de la completa será: yp(k)=P2k, sustituyendo en la
ecuación se obtiene P=-8. La solución general será:
y(k)=c(1,75)k-8·2k y haciendo y(0)=1000 se obtiene c=1008.
y(k)=1008(1,75)k-8·2k
1.6. Un cierto sistema de lagos contiene una población inicial de
1.000.000 de peces. De modo natural esta población aumenta un tercio
cada año. Si la legislación vigente permite pescar el equivalente en peso
a 400.000 peces/año, hallar el tamaño de la población de peces
transcurridos n años y calcular cuántos años deben pasar hasta que la
población se reduzca a medio millón de individuos y cuántos años deben
transcurrir hasta que la población se extinga.
Sea xn la cantidad de peces, en millones en el año n-ésimo. Así, la población
inicial será x0=1
La variación anual en la población estará dada por la diferencia entre el
crecimiento natural y el número de individuos pescados luego:
xn-xn-1=1/3xn-1-0,4
Para lo sucesivos valores de n se tiene la siguiente tabla:
n
0
1
2
3
4
5
6
7
xn
1,0
0,933
0,844
0,726
0,568
0,357
0,076
-0,298
Observamos que en el paso de x2 a x5 la población se ha reducido y es menos
de medio millón, y se extingue a partir del séptimo año en el que x7 toma
valores negativos.
1.7. En una población el número de individuos varía debido a una cierta
enfermedad. Cada año aparecen mil nuevos casos de esta enfermedad,
de los cuales la mitad se curan. Al final de 1990 había 1.200 casos.
Calcular el número de casos que habrá al final de 1998.
Consideremos el año 1990 como el inicio, esto es n=0, y los siguientes para
n=1,2,3...; por tanto, n=8 corresponderá a 1998.
La ecuación en diferencias es:
xn=0,5xn-1+1000
Para sucesivo valores de n tenemos:
n=1
x1=0,5x0+1000=0,5(1200)+1000=1600 individuos
n=2
x2=0,5x1+1000=0,5(1600)+1000=1800 individuos
Así sucesivamente obtenemos la tabla.
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
año
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
xn
1200
1600
1800
1900
1950
1975
1988
1994
1997
Donde tenemos para n=8, al final del año 1998, una cantidad de 1997 casos.
1.8. En una cierta población de tamaño x, la ratio de nacimientos
durante el siguiente año es igual a 0,7-0,00005x y la ratio de muertes
es igual a 0,2+0,00015x. Si inicialmente la población tiene 1.000
individuos, calcular una tabla que proporcione el tamaño de la población
hasta que ésta alcance un estado de equilibrio.
El cambio en la población durante un año será la diferencia entre el número
de nacimientos y el número de muertes.
xn-xn-1=(0,7-0,0005xn-1)xn-1-(0,2+0,00015xn-1)xn-1=(0,5-0,0002xn-1)xn-1
Para n=1:
x1-x0=(0,5-0,0002x0)x0
x1=x0+(0,5-0,0002x0)x0=
=1000+(0,5-0,0002·1000)1000=1300
Para n=2
x2=x1+(0,5-0,0002x1)x1=1612
Así sucesivamente obtenemos la tabla.
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
xn
1000
1300
1612
1898
2127
2286
2384
2439
2469
n
9
10
11
12
13
14
15
16
xn
2484
2492
2496
2498
2499
2500
2500
2500
Donde se observa que la población se estabiliza a partir de n=14 en 2500
individuos, que es el máximo que soporta.
1.9. Una población de animales aumenta debido a un crecimiento natural
un 25% anual. El tamaño de la población en el tiempo inicial, cuando
n=0, es de 1100 individuos. Si cada año 300 animales son eliminados de
la población por diferentes causas, hallar la expresión que proporciona
el tamaño de la explotación en n años. ¿En cuánto tiempo la población
se reduce a 500 individuos?
El cambio en la población estará dado por la ecuación:
xn-xn-1=0,25xn-1-300
xn=xn-1+0,25xn-1-300
xn=1,25xn-1-300
Y de forma recursiva tenemos:
xn=1,25xn-1-300= 1,25(1,25xn-2-300) – 300= … =(1,25)nx0+∑ (-300)(1,25)n-p=
=x0(1,25)n-300 [(1,25)n-1+(1,25)n-2+…+(1,25)+1]=
=x0(1,25)n-300 · [(1,25)n-1]/[1,25-1]
Utilizando la fórmula de la suma de términos de una progresión geométrica
de razón r:
1+r+r2+…+rn-1=(rn-1)/(r-1)
Tenemos:
xn=1200+(x0-1200)(1,25)n
Ya que x0=1100, la población en el año n-ésimo será:
xn=1200-100(1,25)n
Para calcular los años transcurridos hasta que la población sea 500
individuos esto es xn=500, resolvemos la ecuación:
1200-100(1,25)n=500
(1,25)n=7
Tomando logaritmos:
n·log(1,25)=log7  n=0,8451/0,0969=8,72
Luego a partir de n=9, esto es, transcurridos 9 años la población es menor
de 500 individuos.
1.10. Una cierta población biológica decrece como consecuencia de la
competición por los recursos limitados disponibles. El descenso en la
población entre el año n-1 y el año n es igual a una cuarta parte del
tamaño de la población inicialmente en el año n-2. Si el tamaño de la
población inicialmente en el año 0 es de 20.000 individuos, y en el año
1 es de 19.500 individuos, ¿cuál es el tamaño de la población en el año
n-ésimo? Evaluar el tamaño en el año 8.
La ecuación en diferencias será:
xn-xn-1= - ¼ xn-2
xn-xn-1+ ¼ xn-2=0
Del tipo Axn+Bxn-1+Cxn-2=0, con coeficientes A=1, B=-1, C= ¼
La ecuación auxiliar es: a2-a+ ¼ =0, que tiene como raíz doble a= ½, luego la
solución general:
xn=(c1n+c2)( ½ )n
Para calcular las constantes c1 y c2, tendremos en cuenta las condiciones
iniciales en n=0 y n=1:
x0=c2(1/2)0=c2=20000
x1=(c1+c2)(1/2)1=1/2(c1+c2)=19500
De donde c1=19000, c2=20000
En particular, para n=8: x8=(19000·8+20000)2-8=672
Luego, transcurridos 8 años, el tamaño de la población es de 672 individuos.