ANALISIS (CADENAS) DE MARKOV

ANALISIS (CADENAS) DE MARKOV
Según la Teoría de Markov, el estado actual de un sistema depende directamente del estado inmediato anterior del mismo,
lo que puede representarse de la siguiente manera:
(S1 )XT  (S 2 )
donde:
S 1  Es el estado anterior o inicial, representado por un vector renglón.
T  Es el factor de cambio llamado matriz de transición. Es una matriz cuadrada, del mismo orden que los vectores de
estado. La suma de todos los elementos en cada renglón debe de ser igual a uno. Es realmente una matriz que
muestra las probabilidades que tiene el sistema de adoptar diversos estados.
S 2  Es el estado posterior o final, representado por un vector renglón.
Un proceso de Markov de primer orden, es aquel en que el factor de cambio (matriz de transición) permanece constante a lo
largo de todo un análisis.
Cuando el proceso se repite un gran numero de veces:
(S1 )XT  (S 2 )
(S 2 )XT  (S 3 )
(S 3 )XT  (S 4 )
Etc...
El estado S n del sistema tiende a volverse constante, lo que se conoce como estado estacionario del sistema. Para
conocer los valores para ese estado, se hace el siguiente planteamiento:
(Sn )xT  (Sn )
Al sistema de ecuaciones que se genera a partir de dicho planteamiento, se debe agregar una ecuación que establezca la
condición de que la suma de todos los elementos en cada renglón debe de ser igual a uno.
1
Una gripe ha brotado en un dormitorio de una universidad que tiene 200 estudiantes. Suponga que la probabilidad
de que un estudiante con gripe todavía la tenga después de cuatro días es de 0.1; sin embargo, para un estudiante
que no tiene gripe, la probabilidad de que tenga gripe cuatro días después es de 0.2.
a) Escriba la matriz de transición.
b) Si120 estudiantes tienen gripe hoy, ¿Cuántos (redondeado al entero más cercano) puede esperarse tengan
gripe dentro de 8 días?
c) ¿Dentro de 12 días?
2
Un centro de salud física ha encontrado que de quienes realizan ejercicios de alto impacto en una visita, el 60%
hará lo mismo en la visita siguiente y el 40% hará ejercicios de bajo impacto. De quienes realizan ejercicios de bajo
impacto en una visita, el 70% hará lo mismo en la siguiente visita y el 30% hará ejercicios de alto impacto en su
siguiente visita. En la ultima visita, suponga que el 60% de los miembros realizaron ejercicios de alto impacto y el
40% hicieron de bajo impacto.
Después de dos visitas más, ¿Qué porcentaje realizara ejercicios de alto impacto?
3
En una cierta ciudad, cada año el 5% de los residentes del área urbana se traslada a los suburbios; y el 2% de los
que habitan los suburbios se trasladan al área urbana. Suponiendo que el número total de habitantes de la ciudad
permanezca constante, determine las proporciones de residentes en cada area a largo plazo.
1
4
En cierta área dos periódicos están disponibles. Se ha encontrado que si un individuo compra un día el periódico
“A”, entonces la probabilidad de que cambie al otro periódico al día siguiente es del 10%. Si un individuo compra el
periódico “B” un día, entonces la probabilidad es del 70% que compre el mismo periódico al día siguiente. ¿Qué
probabilidad hay de que una persona que compra el periódico “A” el lunes lo compre el martes?
Una tienda de renta de videos tiene tres locales en la ciudad. Un video puede ser rentado en cualquiera de los tres
locales y regresado en cualquiera de ellos. Hay estudios que muestran que los videos son rentados en un local y
devueltos de acuerdo con las probabilidades dadas por:
5
Rentado en
1
2
3
1
70%
20%
20%
Devuelto a
2
10%
80%
20%
3
20%
0
60%
Suponga que el 20% de los videos son rentados inicialmente en el local 1, el 50% en el local 2 y el 30% en el local 3.
Encuentre los porcentajes de videos que puede esperarse sean devueltos en cada local, después de:
a) una renta.
b) dos rentas.
6
7
Un país tiene un sistema político en el que solo participan tres partidos, y los resultados de las elecciones siguen
un modelo definido: si un partido gana unas elecciones, sus posibilidades de ganar las próximas son de 50:50; y si
pierde la siguiente ocasión, cada uno de los otros dos partidos tienen una posibilidad de 50:50 de ganar. ¿Qué
proporción de las elecciones ganara cada partido a largo plazo?
En cierta región, el registro de votantes fue analizado de acuerdo con la afiliación partidista: democrática,
republicana y otra. Se encontró que con base anual, las probabilidades de que un votante cambie de registro eran:
de demócrata a republicano 0.1, de demócrata a otro 0.1, de republicano a demócrata 0.1, de republicano a otro 0.1,
de otro a demócrata 0.3, y de otro a republicano 0.1.
a) Escriba la matriz de transición.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un republicano registrado ahora pueda ser votante demócrata dentro de dos
años?
c) Si el 40% de los votantes actuales son demócratas y el 40% son republicanos, ¿Qué porcentaje puede
esperarse que sea republicano dentro de un año?
Los residentes de cierta región están clasificados como urbanos (U), suburbanos (S) o rurales (R). Una compañía
de mercadotecnia ha encontrado que en periodos sucesivos de cinco años, los residentes pasan de una
clasificación a otra de acuerdo con las probabilidades dadas por:
8
U
S
R
a)
b)
9
U
70%
10%
10%
S
20%
80%
10%
R
10%
10%
80%
Encuentre la probabilidad de que un residente suburbano sea residente rural dentro de 15 años.
Suponga que la población inicial de la región es 50% urbana, 25% suburbana y 25% rural. Determine la
distribución esperada de la población dentro de 15 años.
Una importante compañía telefónica de larga distancia (compañía “A”), ha estudiado la tendencia de los usuarios
acerca del cambio de una empresa a otra. La compañía cree que en periodos sucesivos de 6 meses, la probabilidad
de que un cliente del servicio “A” cambie a un servicio competidor es del 20%, y la probabilidad de que un cliente
del servicio competidor cambie al “A” es del 30%.
a) Escriba la matriz de transición.
b) Si “A” controla actualmente el 70% del mercado, ¿Qué porcentaje puede esperarse que controle dentro de 6
meses?
c) ¿Qué porcentaje del mercado puede “A” esperar controlar a largo plazo.
2
10
11
12
En una región se realizo un estudio sobre propiedad de automóviles. Fue determinado que si una persona posee
un Ford, entonces la probabilidad de que el siguiente automóvil que compre sea también Ford es del 60%. Si una
persona no posee actualmente un Ford, entonces la probabilidad de que compre uno en su siguiente compra de
automóvil es del 30%.
a) Escriba la matriz de transición para esta situación.
b) A largo plazo, ¿Qué proporción de compras de automóviles puede esperarse que sean Ford?
Un clamor entre estudiantes de una universidad es “No pongas dinero en la maquina de refrescos, ¡yo lo intente y
no funciono!” Suponga que si una maquina esta funcionando correctamente en un momento, entonces la
probabilidad de que funcionara correctamente la siguiente vez es de 0.7; por otra parte, suponga que si la maquina
no esta funcionando correctamente en un momento, entonces la probabilidad de que no funcione correctamente la
siguiente vez es de 0.9.
a) Escriba la matriz de transición.
b) Suponga que quiere comprar cuatro refrescos de una de tales maquinas e inicialmente obtiene su primer
refresco, ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga los tres refrescos en solo tres intentos?
c) Si hay 40 de tales maquinas en el campus de la universidad, a la larga, ¿Cuántas maquinas esperaría que
funcionaran correctamente?
Suponga que 100 ratones están en una jaula con dos compartimientos y son libres de moverse entre estos, y a
intervalos regulares de tiempo se observa el numero de ratones en cada compartimiento. Se ha encontrado que si
un ratón esta en el compartimiento 1 en una observación, entonces la probabilidad de que en la observación
siguiente este en el mismo es de 5/7. Si un ratón esta en el compartimiento 2 en una observación, la probabilidad
de que este en el mismo en la siguiente observación es de 4/7. Suponga que en un inicio, la mitad de los ratones
están colocados en cada compartimiento.
a) Escriba la matriz de transición.
b) Después de 2 observaciones, ¿Qué porcentaje de ratones se espera que estarán en cada compartimiento?
c) A largo plazo, ¿Qué porcentaje de ratones puede esperarse que estarán en cada compartimiento?
Una cadena de supermercados vende pan de las marcas Alfa y Beta. Actualmente, Alfa tiene el 50% de las ventas
diarias de pan de la cadena. Para aumentar las ventas, Alfa lanza una campaña de anuncios nueva. La panadería
cree que el cambio en las ventas de pan en la cadena estará basado en la matriz de transición:
13
Alfa
Beta
a)
b)
14
15
Alfa
¾
½
Beta
¼
½
Encuentre el vector de estado estable.
A largo plazo, ¿En que porcentaje puede alfa esperar aumentar sus ventas actuales en la cadena?. Suponga
que las ventas totales diarias de pan permanecen constantes.
Un corredor de bolsa estudia el movimiento de los precios de varias acciones en el mercado de valores, y esta
particularmente interesado en una compañía denominada “Instrumentos Astronauticos”.
Ha observado que si sus acciones tienen un alza en determinado día, al siguiente existe una posibilidad de 50:50
de que sigan subiendo, una de 1/3 de mantenerse sin cambio y una de 1/6 de ir a la baja.
Si la cotización es estable en un determinado día, entonces se tiene igual probabilidad al día siguiente de subir, de
mantenerse sin cambio, o bajar.
Si el valor desciende en un determinado día, al siguiente existe una posibilidad de 50:50 de seguir bajando, una de
1/3 de mantenerse estable, y una de 1/6 de subir.
¿En que proporción de las veces (a largo plazo) el valor de las acciones sube, se mantiene estable o baja?
La probabilidad de que una persona de baja estatura tenga un hijo de baja estatura es de 0.75, mientras que la
probabilidad de que un padre alto tenga un hijo espigado es de 0.60. (Se ignora la probabilidad de concebir un hijo
de mediana estatura).
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre alto tenga un nieto de baja estatura?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre de baja estatura tenga un nieto alto?
c) Encuentre la matriz estacionaria del proceso y dé su interpretación.
3
16
17
Al 1° de Septiembre de un año, del total de suscriptores de periódicos en una determinada región, El Heraldo tiene
la fracción ½, La Tribuna tiene ¼ y La Gaceta tiene ¼. Durante el mes de Septiembre, El Heraldo conserva 7/8, y el
1/8 que pierde pasa a La Tribuna. Este último diario conserva 1/12 de sus suscriptores y pierde ¾ que pasan a El
Heraldo, y 1/6 a La Gaceta. Este ultimo conserva 1/3 y pierde un medio que pasa a El Heraldo, y 1/6 a La Tribuna.
Supóngase que no hay nuevos suscriptores y que ninguno cancela su suscripción.
a) ¿Qué proporción de los suscriptores tendrá cada periódico al 1° de Octubre?
b) Si el mismo patrón de ganancias y perdidas de suscriptores continua en el mes de Octubre, ¿Qué proporción
de suscriptores tendrá cada periódico al 1° de Noviembre?
c) Si no cambia el mismo patrón de pérdidas y ganancias en los siguientes meses, ¿Qué proporción de
suscriptores tendrá cada periódico a largo plazo, es decir, en estado de equilibrio?
Un banco con 3 sucursales: “A”, “B” y “C”, encuentra que los clientes en general regresan a la misma sucursal
para cubrir sus necesidades bancarias. Sin embargo, a veces un cliente puede ir a una sucursal diferente por causa
de una circunstancia cambiante. Por ejemplo, una persona que por lo regular va a la sucursal “A”, en alguna
ocasión puede desviarse e ir a la sucursal “B”, ya que tiene que realizar negocios en la proximidad de “B”.
Para los clientes de la sucursal “A”, suponga que el 80% regresa en su siguiente visita, el 10% va a “B” y el 10% a
“C”.
Para los clientes de la sucursal “B”, suponga que el 70% regresa en su siguiente visita, el 20% va a “A” y el 10% a
“C”.
Para los clientes de la sucursal “C”, suponga que el 70% regresa en su siguiente visita, el 20% va a “A” y el 10% a
“B”.
a) Escriba la matriz de transición.
b) Si un cliente fue a la sucursal “B”, ¿Cuál es la probabilidad de que regrese a “B” en su segunda visita al
banco?
c) Inicialmente, suponga que 200 clientes van a “A”, 200 clientes van a “B” y 100 clientes van a “C”. En la
siguiente visita, ¿Cuántos puede esperarse que vayan a “A”?, ¿y a “B”?, ¿y a “C”?
d) De los 500 clientes iniciales, a largo plazo, ¿Cuántos puede esperarse que irán a “A”?, ¿y a “B”?, ¿y a “C”?.
18
Una compañía de transporte terrestre señala a sus chóferes tres rutas entre dos ciudades: por el viaducto, por el
paseo o por la carretera. Si un chofer va por el viaducto, el riesgo de entrar en un congestionamiento de trafico es
de 1/3; si le tocara el congestionamiento, al día siguiente tomaría el paseo con probabilidad de 2/3 o la carretera
con probabilidad de 1/3; si no se topara con un congestionamiento, al otro día iría de nuevo por el viaducto con
probabilidad de ½, por el paseo con probabilidad de 1/6, o por la carretera con probabilidad de 1/3. Si tomara el
paseo, el riesgo de hallarse en un congestionamiento es ½; si entra en un congestionamiento de transito, al día
siguiente iría por el viaducto. Si no tuviera tropiezo alguno, al siguiente día tomaría con igual probabilidad el
viaducto, el paseo o la carretera. Si el conductor toma la citada carretera, invariablemente se retrasara y por ello
nunca tomara ese camino dos días seguidos, sino que al día siguiente iría por el viaducto con probabilidad 1/3 o
por el paseo con probabilidad 2/3. A largo plazo ¿Qué proporción de las veces debe transitar el camionero por cada
ruta?
19
Todos los años la familia Ramírez sale de viaje por vacaciones, ya sea a:

un sitio de acampar (preferido por los hijos).

de visita a una ciudad (preferido por la Sra. Ramírez), o

un sitio de deportes (preferido por el Sr. Ramírez).
Nunca toman la misma clase de vacaciones dos años seguidos.
Cada año los Ramírez lanzan una moneda al aire para decidir que vacaciones tomaran de entre los dos tipos de
viaje que no hicieron el año anterior. ¿Qué proporción de las veces hacen los Ramírez cada tipo de viaje?
20
Pepe tiene un auto poco digno de confianza. Por las mañanas va a la cochera confiado en que podrá arrancarlo;
algunos días el auto arranca normalmente, otros lo hace cuando lo empuja el del vecino, y en otros debe llamar a
un taller.
Si un día arranca normalmente, la probabilidad para el siguiente son de 1/2 para arranque normal, 1/3 para arranque
al empujón, y 1/6 para arranque con el auxilio de un taller.
Si un día determinado arranca al empujón, el día siguiente hay una probabilidad de 1/3 para arranque normal y de
2/3 para arranque con el auxilio del taller.
Si un día arranca con ayuda del taller, la probabilidad para el otro día son de 5/6 para arranque normal y 1/6 para
arrancar al empujón.
A largo plazo ¿Qué proporción de cada tipo de arranque tendrá el latoso auto de Pepe?
4
21
Los estudiantes de la clase de Geología nunca saben lo que va a ocurrir en ella, ya que el profesor puede:

aplicarles un examen sorpresa,

llevarlos a practica de campo,

analizar el tema del día, o

exponer en conferencia un tema especial.
Si cierto día les hace una prueba, al siguiente siempre hay una práctica de campo.
Si un día hay practica de campo, al siguiente día no hay practica ni prueba, pero hay igual probabilidad del tema del
día o de la conferencia especial.
Si determinado día se analiza el tema, las probabilidades para el siguiente son de ¼ para la prueba, de 1/6 para el
tema y 1/3 para la conferencia.
Si un día hay conferencia, para el siguiente las probabilidades son de ¼ para prueba, de 1/8 para la práctica, de 1/8
para el análisis del tema y de ½ para la conferencia.
Uno de los estudiantes ha calculado que pueden esperar pruebas 43/287 de los días de clase; practicas de campo
72/287 de los días de clase; análisis del tema 60/287 de los días de clase y conferencias 112/287 de los días de
clase. ¿Son correctos estos cálculos?
22
Los jóvenes Filibonio (que gusta del filete), Petronilo (que gusta del pollo) y Juventino (que gusta del jamón) son
invitados frecuentemente a comer a casa de su amiga Susiflor, que solamente prepara estos tres platillos.
Ellos han decidido apostar, antes de ir a cada comida acerca del platillo que se les servirá.
Se supone que si su anfitriona sirve filete en cierta ocasión, no lo servirá la próxima vez; ella entonces lanza al aire
una moneda y sirve pollo si cae águila o jamón si cae sol.
Si en cierta ocasión sirve pollo, para la próxima vez lanza dos dados, y servirá pollo si los dos caen en el mismo
numero; si en la primera tirada de los dados caen números diferentes, los lanza de nuevo, y servirá filete si dan la
misma marca o jamón en caso contrario.
Si en cierta ocasión sirve jamón, para la próxima saca una carta al azar de una baraja americana, y sirve pollo si
resultan diamantes, o filete en caso contrario.
Si cada invitado siempre apuesta a que comerá el platillo de su preferencia, ¿Qué proporción de las veces, a largo
plazo, ganara cada uno?
23
Todos los veranos la asociación de propietarios de Yates de los Lagos decide si su regata anual se realizara en
junio, julio u agosto.
Si se efectúa en junio, la probabilidad de buen tiempo es de ¾; y si existen estas condiciones, la regata del próximo
año se hará en junio con probabilidad de 2/3, en julio con probabilidad de 1/6 o en agosto con probabilidad de 1/6;
pero si se tiene mal tiempo, la regata del próximo año se realizara en julio o en agosto con iguales probabilidades.
Si la competencia se efectúa en julio, el bueno y el mal tiempo tienen iguales probabilidades; si hay buen tiempo, la
regata del próximo año se celebrara en julio; si hay mal tiempo, la regata siguiente se realizara en agosto con
probabilidad de 2/3 o en junio con probabilidad de 1/3.
Si la regata se lleva a cabo en agosto, la probabilidad de buen tiempo es de 2/5; y si hay buenas condiciones
atmosféricas, la regata del próximo año se hará en julio o en agosto, con iguales probabilidades; pero si se tiene
mal tiempo, la regata siguiente se hará en junio con probabilidad de 1/3 o en julio con probabilidad de 2/3.
¿En que proporción de las veces se realiza la regata en junio, julio o agosto respectivamente?
24
Un club de lectura tiene 3 listas de envíos por correo:

una lista especial M de los miembros activos con más antigüedad.

otra lista R que contiene a los socios regulares, y

una lista más P, en la que figuran los socios regulares y los nombres de personas que en el pasado mostraron
interés en las actividades del club.
Para cada nueva publicación hay que decidir cual lista debe utilizarse para enviar por correo los anuncios de la
venta.
Si después del último envío hubo solicitud de muy pocos ejemplares, la secretaria utiliza la lista R con probabilidad
de ¼ y la P con probabilidad de ¾.
Si después del último envío hubo una respuesta satisfactoria, la secretaria usa la lista R y la P con iguales
probabilidades.
Si después del envío precedente, resulto un numero excesivo de pedidos o sobre demanda, la secretaria emplea la
lista M con probabilidad de 1/3 y la R con probabilidad de 2/3.
Si se usa la lista M, habrá ventas escasas o ventas satisfactorias con iguales probabilidades; si se emplea la lista
R, habrá ventas escasas con probabilidad de ¼ y ventas satisfactorias con probabilidad de ¾; si se utiliza la lista P,
habrá ventas satisfactorias con probabilidad de 1/3 y sobre demanda con probabilidad de 2/3.
¿En que proporción de la veces las ventas son escasas, satisfactorias y con sobre demanda respectivamente?
5
25
Un ama de casa siempre emplea una de tres marcas de detergente: “A”, “B” o “C”. La que compre depende en
parte de cual de los tres fabricantes este haciendo una campaña promocional (con regalos como peines, adornos,
etc.). Las compañías emprenden esas campañas al azar, sin tener en cuenta si los competidores están realizando o
no otras al mismo tiempo. La compañía de la marca “A” realiza una campaña en ½ de las veces, la “B” lo hace en
1/3 de las veces, y la “C” promueve en 1/3 de las veces. Si la señora compra la marca “A” en cierta ocasión, la
próxima vez comprara también la marca “A”, si su empresa esta haciendo promoción o si ninguna de las otras dos
lo hace; o bien compra la marca “B” si esta en promoción, pero la “A” no lo esta, o compra la marca “C” si esta es
la única en campaña promocional. Si la señora compra la marca “B” en determinada ocasión, la siguiente vez
comprara la “A” si esta es la única en promoción en esa época, o comprara la “B” en caso contrario. Si compra la
marca “C” en cierta ocasión, la siguiente vez comprara la “A” si por ese tiempo es la única en campaña, o bien, la
“C” si esta realiza promoción, pero la “B” no lo hace, o comprara la “B” en caso contrario.
¿En que proporción de las veces el ama de casa compra cada una de las marcas?
26
En una muestra de 400 suscriptores de Internet tomada a fines del 2000, el 80% estaba conectado por teléfono, y el
resto vía cable modem. A finales del 2001, el numero de suscriptores que cambio de conexión de teléfono a
conexión con cable – modem fue de 110; y el numero de suscriptores que cambio de cable – modem a conexión
por teléfono fue de 24.
a) Escriba la matriz de transición del problema.
b) ¿Qué proporción de suscriptores tendrá cada sistema a finales del 2002?
c) ¿Qué proporción de suscriptores tendrá cada sistema a largo plazo?
27
28
Una empresa de investigación de mercados realizo una encuesta domiciliaria con relación a las preferencias hacia
tres marcas de detergentes. La encuesta se realizo entrevistando a las mismas amas de casa al inicio de dos
meses consecutivos. Los resultados de la encuesta son los siguientes:

Inicio del mes 1: 200 entrevistadas mostraron su preferencia por la marca “Ace”, 120 por la marca “Bold”, y 180
por la marca “Clean”.

Inicio del mes 2: 35 amas de casa que usaban “Ace” cambiaron a “Bold” y 20 a “Clean”; 10 que preferían
“Bold” cambiaron a “Ace” y 5 a “Clean”; y 3 que usaban “Clean” cambiaron a “Ace” y 20 a “Bold”.
a) Con los datos anteriores, escribe una matriz de probabilidades de transición e indica cuantas amas de casa
fueron fieles a cada marca durante ese periodo.
b) Si no cambia el patrón de perdidas y ganancias en los siguientes meses, ¿Cuántas amas de casa se estima que
preferirán cada marca al final del mes 2?
c) Si no cambia el patrón de perdidas y ganancias en los siguientes meses, ¿Cuántas amas de casa se estima que
tendrán preferencia por cada marca a largo plazo?
Una fabrica de dispositivos electrónicos pide conductores de 2 metros de longitud a un proveedor, quien afirma
que el alambre de sus conductores tiene la resistencia mecánica especificada que desean los ingenieros de dicha
compañía, para su uso en modelos experimentales. Cada remesa es clasificada por los técnicos que la usan como
“satisfactoria” (no se reporta nada al proveedor), como “inferior a las normas” (se notifica por escrito al proveedor
que la remesa no cumple con lo especificado), o como “inaceptable” (el envío se devuelve, y de acuerdo con la
garantía, el proveedor lo repone con otro que ha sido verificado en un 100%). La clasificación depende así del
grado en que el material enviado cumpla o no con lo afirmado por el proveedor en relación con la resistencia.
Los ingenieros han observado que si un envío determinado se clasifico como satisfactorio, el siguiente será
también satisfactorio 4/5 de las veces, inferior a las normas 3/20 de las veces, e inaceptable 1/20 de las veces. Si un
embarque se clasifico como inferior a las normas, el siguiente es satisfactorio 19/20 de las veces, inferior a las
normas 1/20 de las y nunca es inaceptable. ¿Qué proporción de los embarques son satisfactorios, inferiores a las
normas e inaceptables, a largo plazo?
La variación del tiempo de un día a otro se supone que forma una cadena de Markov, con la matriz de transición
siguiente:
29
Hoy
Soleado
Nublado
Lluvioso
Soleado
0. 6
0. 2
0. 1
Mañana
Nublado
0. 2
0. 5
0. 4
Lluvioso
0. 2
0. 3
0. 5
Dado que hoy domingo esta nublado, ¿Cuál es la probabilidad de que el miércoles sea soleado?
6
30
31
La gente que trabaja en el centro de una creciente ciudad y no vive en los suburbios cercanos puede trasladarse a
sus trabajos mediante autobuses publicas o usando automóviles privados. Actualmente el 25% de tales personas
usan los autobuses y el 75% usan automóviles. Debido a una reducción en el espacio de estacionamientos, en la
zona centro de la ciudad, se ha incrementado de manera notable el número de autobuses del centro hacia la
periferia y viceversa, con la esperanza de que más y más personas utilicen los autobuses y de este modo aliviar el
problema del estacionamiento. Funcionarios de la ciudad esperan, basados en una encuesta sobre la población
trabajadora, que con los autobuses adicionales, cada año el 60% de los que usan automóvil cambiaran a los
autobuses; mientras que el 20% de los que usan autobuses lo harán en automóviles. A los funcionarios les interesa
saber el efecto que tendrá a largo plazo el empleo de los autobuses adicionales. ¿Cuál será este?
Hoy en día, tres empresas Alfa, Beta y Gamma controlan el 50%, 30% y 20% del mercado del café respectivamente.
Al mismo tiempo las tres empresas presentan marcas de café. Con la introducción de estas nuevas marcas en un
año ocurre lo siguiente:

Alfa retiene el 60% de sus consumidores, y el resto lo cede en partes iguales a sus competidores.

Beta conserva el 50% de sus consumidores, cede el 30% a Alfa y el 20% a Gamma.

Gama retiene el 70% de sus competidores, cede el 10% a Alfa y el resto a Beta.
Suponiendo que la tendencia es constante, ¿Qué proporción del mercado tendrá cada empresa:
a) en dos años?
b) a largo plazo?
Las probabilidades de que cierto país sea gobernado por uno de tres partidos políticos: Tri, Pro ó Flan después de
la próxima elección, están dadas por la siguiente matriz de transición:
Tri
Pro
Flan
32
a)
b)
c)
d)
Tri
1/2
1/4
1/5
Pro
1/3
3/4
2/5
Flan
1/6
0
2/5
¿Qué probabilidad hay de que “Flan” gane la próxima elección si el partido “Tri” esta ahora en el poder?
¿Cuál es la probabilidad de que el “Tri” este en el poder después de dos elecciones, si se supone que el
partido “Pro” esta en el poder ahora?
Si el “Flan” se encuentra en el poder, ¿Cuál es la probabilidad de que estará ahí después de dos elecciones?
Determine la matriz estacionaria. ¿Cómo la interpreta?
El valor de cierta acción puede ir al alza, a la baja o permanecer sin cambio en cualquier día. La probabilidad de que
ocurra cada una de dichas variaciones se da en la siguiente matriz:
33
El cambio hoy
a)
b)
Alza
Baja
Sin cambio
Alza
0. 2
0. 6
0. 2
El cambio mañana
Baja
0. 7
0. 2
0. 5
Sin cambio
0. 1
0. 2
0. 3
¿Cuál es la probabilidad de que la acción este a la baja después de dos días, si hoy se encuentra a la alza?
¿Cuál es la matriz estacionaria?. Interpretela.
Las granjas de cierta región pueden clasificarse en tres tipos: agrícolas, pecuarias o mixtas. Actualmente el 30%
son agrícolas, el 40% pecuarias y el 30% mixtas. La matriz de transición de un año al siguiente es:
Agrícolas
Pecuarias
Mixtas
34
a)
b)
c)
Agrícolas
0. 8
0. 2
0. 1
Pecuarias
0. 1
0. 8
0. 1
Mixtas
0. 1
0. 0
0. 8
Encuentre los porcentajes de los tres tipos de granjas el año próximo.
el año subsiguiente.
a largo plazo.
7
35
36
37
38
39
Una investigadora de mercados hace una encuesta a empresas, para ver la preferencia hacia 3 marcas de
computadoras. La encuesta se realizo entrevistando a las mismas empresas al inicio de dos años consecutivos,
obteniéndose los siguientes resultados:
Inicio del 2000: 28 prefieren Acer, 35 prefieren HP y 21 prefieren Compaq.
Inicio del 2001: 6 que preferían Acer cambian a HP y 4 a Compaq; 9 que preferían HP cambian a Acer y 6 a Compaq;
y 3 que preferían Compaq cambian a Acer y 8 a HP.
a) Escriba una matriz de transición de probabilidades.
b) ¿Cuantas empresas fueron fieles a cada marca?
c) ¿Cuántas empresas preferirán cada marca a inicios del 2002?
d) ¿Cuántas empresas preferirán cada marca a largo plazo?
Un asiduo navegador por la red de Internet, tiene instalados en su PC tanto Explorer como Netscape, para
prevención en caso de que alguno falle.
 Si un día utiliza Explorer, la probabilidad de que al otro lo vuelva a usar es del 71%.
 Si un día emplea Netscape, la probabilidad de que al siguiente no lo use es del 46%.
a) Escriba la matriz de transición.
Suponiendo que hoy sábado emplea para navegar Explorer:
b) ¿Cual es la probabilidad de que mañana domingo use Netscape?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que pasado mañana lunes no use Explorer?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que el martes use Explorer?
e) A largo plazo, ¿Qué porcentaje de las ocasiones usara Netscape?
Según estadísticas, los dos correos electrónicos mas usados son Hotmail y Yahoo.
En una universidad se observa que de los usuarios de Hotmail, el 42% cambia cada semestre a Yahoo; y de los
usuarios de Yahoo, el 47% cambia cada semestre a Hotmail. Este patrón de cambio permanece constante.
a) Escriba la matriz de transición.
b) Si este semestre el 55% usa Hotmail, ¿Cuántos usuarios de Hotmail se espera que haya el próximo
semestre?
c) ¿Y dentro de dos semestres?
d) ¿Y a largo plazo?
En una universidad, se ha descubierto lo siguiente acerca de un alumno:

Si un día llega en camión, la probabilidad de que al siguiente llegue también en camión es del 50%, de que
llegue en auto es del 40%, y el resto es de que llegue a pie.

Si un día llega en auto, la probabilidad de que al siguiente llegue también en auto es del 20%, de que llegue
a pie es del 20%, y el resto es de que llegue en camión.

Si un día llega a pie, la probabilidad de que al otro llegue también a pie es del 60%, de que llegue en
camión es del 30%, y el resto es de que llegue en auto.
En base a dicha información:
1) Escriba la matriz de transición.
2) Si hoy llega en auto, ¿Cual es la probabilidad de que pasado mañana llegue caminando?
3) A largo plazo, ¿Que proporción de los días se espera que llegue en camión?
Según una agencia de publicidad:

del total de personas que ven un noticiero de TV Azteca cualquier día, el 40% vuelve a verlo al día
siguiente, mientras que el resto ve al otro día algún noticiero de Televisa.

del total de personas que ven un noticiero de Televisa cualquier día, el 70% el otro día volverá a verlo,
mientras que el resto vera alguno de TV Azteca.
En base a dicha información:
1. Escriba la matriz de transición del problema.
2. Si hoy el 80% vio un noticiero de TV Azteca ¿Cuántos volverán a verlo mañana?
3. ¿Cuántos pasado mañana?
4. ¿Cuantos a largo plazo?
8