FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
RED NACIONAL UNIVERSITARIA
UNIDAD ACADEMICA DE SANTA CRUZ
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
Ingeniería en Gas y Petróleo
TERCER SEMESTRE
SYLLABUS DE LA ASIGNATURA
ÁLGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL
Elaborado por
Ing. Andrea Guzmán Mendoza
Gestión Académica I/2013
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FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
UDABOL
UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA
Acreditada como PLENA mediante R. M. 288/01
VISION DE LA UNIVERSIDAD
Ser la Universidad líder en calidad educativa.
MISION DE LA UNIVERSIDAD
Desarrollar la Educación Superior Universitaria con calidad y competitividad al servicio de la sociedad.
Estimado (a) estudiante:
El Syllabus que ponemos en tus manos es el fruto del trabajo intelectual de tus docentes, quienes han
puesto sus mejores empeños en la planificación de los procesos de enseñanza para brindarte una
ecuación de la más alta calidad. Este documento te servirá de guía para que organices mejor tus
procesos de aprendizaje y los hagas mucho más productivos.
Esperamos que sepas apreciarlo y cuidarlo.
Autorizado por:
SELLO Y FIRMA
JEFATURA DE CARRERA
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SYLLABUS GENERICO
Asignatura:
Código:
Requisito:
Carga Horaria:
Horas Teóricas:
Horas
Practicas:
Créditos:
1.3. Matrices y operaciones matriciales.
1.3.1. Reglas de la aritmética matricial.
1.3.2. Operaciones matriciales.
1.4. Inversa de una matriz 2x2.
1.5. Inversa de una matriz nxn por Gauss
Jordan.
1.6. Matrices en Matlab.
Álgebra Lineal
MAT - 103
MAT - 100
100 horas Teórico Practicas
80
Tema 2. Determinantes
20
Definiciones.
2.2. Propiedades de los determinantes.
2.3. Métodos para hallar el determinante.
2.3.1. Diagonales.
2.3.2. Reducción en los renglones.
2.3.3. Desarrollo de cofactores.
2.4. Determinantes e inversas.
2.4.1. Inversa por la adjunta.
2.5. Determinantes en Matlab.
2.1.
5
I. OBJETIVOS GENERALES DE LA
ASIGNATURA.

Interpretar y aplicar las operaciones
aritméticas de matrices en la resolución
de problemas de la carrera.

Utilizar las transformaciones elementales
de filas de matrices y la función
determinante en la resolución de sistemas
de ecuaciones lineales.

Calcular áreas y volúmenes a partir de las
operaciones y propiedades de los
vectores.

Interpretar la estructura de los espacios
vectoriales algebraicos y la relación
existente entre ellos a través de una
aplicación que permita conservar sus
propiedades.

Valorar la utilidad del software MATLAB
como herramienta de trabajo necesaria
para la resolución de sistemas de
ecuaciones lineales, espacios vectoriales
y transformaciones lineales.
II.
PROGRAMA
ASIGNATURA.
ANALITICO
DE
Tema 3. Sistemas de ecuaciones lineales.
3.1. Introducción a los sistemas de
ecuaciones lineales.
3.2. Matrices y sistemas de ecuaciones
lineales.
3.3. Métodos de resolución de sistemas de
ecuaciones lineales.
3.3.1. Eliminación de Gauss Jordan.
3.3.2. Eliminación Gaussiana.
3.4. Sistemas homogéneos de ecuaciones
lineales.
3.5. Sistemas de ecuaciones lineales e
inversibilidad.
3.6. Regla de Cramer.
3.7. Taller de ejercicios en MATLAB.
UNIDAD II: VECTORES Y ESPACIOS
VECTORIALES
LA
Tema 4. Vectores en R2 y R3
4.1. Definiciones.
4.2. Norma de un vector, aritmética
vectorial.
4.3. Producto escalar.
4.4. Producto vectorial.
4.5. Rectas y planos R3.
4.6. Taller de ejercicios en Matlab.
UNIDAD I: MATRICES Y SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES.
TEMA 1. Matrices.
1.1. Definición.
1.2. Tipos de matrices.
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FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
La carrera: Ing. en Gas y Petróleos participará
activamente en las brigadas generales de la
universidad y la presente materia es una
asignatura de apoyo, cuya base teórica aporta a
la investigación, elaboración e implementación de
proyectos de desarrollo comunitario.
Tema 5. Espacios vectoriales
5.1. Definiciones y propiedades básicas de
los espacios.
5.2. Subespacios.
5.3. Combinación lineal y espacio generado.
5.4. Independencia lineal
5.5. Base y dimensión.
5.6. Rango, nulidad.
IV. EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA.
 PROCESUAL O FORMATIVA.
En todo el semestre se realizarán preguntas
escritas; exposiciones de las investigación
realizadas; trabajos prácticos que se
comprobaran mediante la evaluación escrita
de una pregunta del mismo, seleccionada de
forma aleatoria y además las actividades
planificadas para las Brigadas UDABOL.
Estas evaluaciones tendrán una calificación
entre 0 y 50 puntos en la primera y segunda
etapa y entre 0 y 30 puntos en la etapa final.
UNIDAD III: TRANSFORMACIONES
LINEALES, EIGENVALORES Y
EIGENVECTORES
Tema 6. Transformaciones lineales
6.1. Definiciones.
6.2. Propiedades de las transformaciones
lineales.
Tema 7. Valores propios y vectores
propios
 PROCESO
SUMATIVA.
7.1. Valores propios y vectores propios.
7.2. Matrices semejantes.
7.3. Diagonalización.
APRENDIZAJE
O
Se realizarán dos evaluaciones parciales con
contenidos teóricos y prácticos. Cada uno de
estos exámenes tendrá una calificación entre
0 y 50 puntos.
III. ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA
LAS BRIGADAS UDABOL.
El examen final incluirá los contenidos
abordados a lo largo de todo el semestre y
se realizara en el laboratorio, utilizando el
programa Matlab.
El Sistema de Educación Superior Integral de la
UDABOL – “SESI”, se basa en el aprendizaje
productivo a través del trabajo social comunitario,
bajo una organización pedagógica en brigadas,
de esta manera, las “Brigadas - UDABOL”
estarán dirigidas a los sectores menos
favorecidos de la sociedad y comprenderá:
-
DE
V. BIBLIOGRAFIA BASICA.

La investigación de los problemas más
acuciantes que enfrentan las comunidades
más pobres.
ANTON, Howard. Introducción al Álgebra
Lineal, Ed. Limusa. México, 2003. (512.5
An88)
-
Trabajar en equipos, habituándose a ser
parte integral de un todo que funciona
como un sistema, desarrollando un
lenguaje común, criterios y opiniones
comunes, y planteándose metas y objetivos
comunes para dar soluciones en común a
los problemas.
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
RAFFO LECCA, Eduardo. Álgebra
Lineal.
Manual
del
estudiante.
Edición del autor. Lima. (1997. 512.5
R12)
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FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA

UDABOL, 2004. (512.5 T61)
ROJO, ARMANDO O. Álgebra II.

Décimo tercera edición. Librería Editorial
SOTO, María Jesús, VICENTE, Córdova
El Ateneo. Cochabamba. 1997. (512 R63
José Luis. Algebra Lineal con Matlab y
t.2)
Maple, Prentice Hall, Madrid, 1995.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA.

GROSSMAN, Stanley. Algebra Lineal, Ed.
McGraw Hill, USA, 1990.

TONDELLI, Gelen. Algebra Lineal. Editorial
VI. CONTROL DE EVALUACIONES.
1° evaluación parcial
Fecha
Nota
2° evaluación parcial
Fecha
Nota
Examen final
Fecha
Nota
APUNTES
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VII. PLAN CALENDARIO
SEMANA
ACTIVIDADES
OBSERVAC.
1
TEMA 1: 1.1 al 1.2
2
TEMA 1: 1.3 al 1.4
3
TEMA 2: 1.5 al 1.6
4
TEMA 2: 2.1 al 2.3.2
5
TEMA 2: 2.3.3. al 2.4
6
TEMA 2: 2.5
7
TEMA 3: 3.1 al 3.2
8
TEMA 3: 3.3
9
TEMA 3: 3.4 al 3.5
10
TEMA 3: 3.6. al 3.7
11
TEMA 4: 4.1 y 4.3
12
TEMA 4: 4.4 y 4.6
13
TEMA 5: 5.1 y 5.3
14
TEMA 5: 5.4 al 5.6
15
TEMA 6: 6.1
16
TEMA 6: 6.2
17
TEMA 7: 7.1
18
TEMA 7: 7.3
19
EVALUACION FINAL
Presentación de notas
20
EVALUACION DE SEGUNDA INSTANCIA
Presentación de notas
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EVAL PARC I
Presentación de notas
EVAL PARC II
Presentación de notas
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 1
UNIDAD O TEMA: MATRICES
TITULO: Operaciones matriciales
FECHA DE ENTREGA: Semana 2
PERIODO DE EVALUACION: Primer Parcial
“elemento a elemento” A + B = [aij + bij] y es del
mismo tamaño.
Nota: Solo se pueden sumar matrices del
mismo tamaño.
MATRICES.
Una matriz es un arreglo rectangular de
números ordenados en m-filas (horizontales) y
n-columnas (verticales) encerrados entre
paréntesis o corchetes.
Multiplicación por un escalar: El producto de
una matriz A = [aij] por un escalar “k” se
obtiene multiplicando cada elemento de la
matriz por dicho escalar k·A = [k·aij]
Nota: En el trabajo con matrices se
acostumbra a llamar escalar las cantidades
numéricas independientes.
La notación mas usada es A = [aij] donde i es
el número de posición de la fila y j el de la
columna.
El tamaño de la matriz se especifica
usualmente escribiendo como subíndice “mxn”
Multiplicación de matrices:Sean las matrices
A = [aij]mxp y B = [bij]pxn el producto es pasible
porque el número de filas de B es p y es igual
al número de columnas de A. La matriz
resultante C es del orden m x n C = A·B =
[cij]mxn y sus elementos se obtienen
multiplicando los elementos de las filas de A
por los elementos correspondientes de las
columnas de B y sumando estos productos.
p
Cuando m = n se dice que la matriz es
cuadrada.
Diagonal principal: Solo existe en matrices
cuadradas y es la línea formada por los
elementos aij tales que i = j
Traza de una matriz: es la suma de los
elementos de la diagonal principal.
Traza (A) = a11 + a22 + a33 + ... + ann
cij   a ik  b kj
k 1
Nota El producto de dos matrices solo es
posible cuando el número de filas de la
segunda matriz es igual al número de
columnas de la primera.
OPERACIONES CON MATRICES.
Suma de matrices: Sean la matrices A = [aij] y
B = [bij] su suma se obtiene sumando
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CUESTIONARIO DEL WORK PAPER
3. Dadas las matrices.
1 

1

i


i 
A
3i 
2
 i 

(i  1) 3 

1
2  i

B  1  i
i3 
 2  i 2i 


1. Con las siguientes matrices:
4  2
A   1 3 
8 6 
5 2
B

3 7 
1 2 4 
C

2 6 0
3  2 7 
D  0 1 3 
7 7 5 
 6 1 3
E   1 1 2
 4 1 3
1  2 3 5
F 

4  3 0 7 
4. Dadas las matrices:
 
/ gi j  i  j
 
/
G  gi j
H  hi j
4x3
2x3
Calcular: AB; BA; A2; B2; (A + B)2; (A – B)2;
(i – 1) A
hi j  i
 1
 7
A
 9

 0
j
Calcular cada inciso cuando sea posible.
Justificar su respuesta cuando el cálculo no se
pueda efectuar.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
3
11
6
5
4 
3 
 23

8 
 2 10 11 0  5
 7 11 20  1 35 

B
 5 X 17 13 3 


 4  3 2 2  9
3C – D
(AB)C
A(BC) + 3I3
D + 2E2
GHT – 2FT
(3H + 1/2C) – BAT
Que valor debe tomar “x” para que el elemento
a.b 32 = -3
2. Suponga que A es de orden 3x5, B de 5x3,
C de 5x2 y D de 3x2. Indique las
operaciones que están definidas, y cuál es
el tamaño del resultado cuando exista.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
2
5
X
4
5. Sean las matrices:
4 0 0 
6 1 1 
A  1 0 0  B  1 0  1




0 0  1
0 0 2 
BA
A(B + C)
(AB)T
AC – BD
ABBA
(AB + D)-1
Calcule A3 – 3 B2 + 10 I3
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6. Sea A la matriz definida de la siguiente
manera:
Emplee
operaciones
elementales
para
determinar si esta matriz es inversible y
encuentre la inversa en caso de que lo sea.
ai1  2 i , i  1,2,3
aij  (1) i  j (i  j  1), i  1,2,3; j  2,3
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7. Obtenga una matriz cuadrada M de orden 3,
con elementos 1, 2, 3,…, 9 tal que las filas,
columnas y diagonales sumen 15. ¿Esta matriz
es única?
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 2
UNIDAD O TEMA: DETERMINANTES
TITULO: Determinantes
FECHA DE ENTREGA: Semanas 4
PERIODO DE EVALUACION: Primer Parcial
DETERMINANTES.
5. Si una matriz B es el resultado de sumarle
a una fila de la matriz A un múltiplo de
otra fila, det(A) = det(B)
El determinante es una función que asocia un
número real a una variable matricial y se
define como det (A).

6. Si B es el resultado de intercambiar dos
filas en una matriz A, det(A) = – det(B)
El determinante de una matriz de
segundo orden es el producto de la
diagonal principal menos el producto de la
diagonal secundaria.
7. Si una matriz B es el resultado de
multiplicar una fila de la matriz A por un
escalar k entonces det(B) = k۰det(A)
El determinante como un número real
asociado a una matriz cumple las siguientes
propiedades:


Si A y B son matrices de igual tamaño,
det(A۰B) = det(A)۰det(B)
det(A + B) ≠ det(A) + det(B)
1. Si una matriz A tiene una fila o columna
cuyos elementos son todos “0” entonces
el det(A) = 0

det( A1 ) 
2. Si una matriz A tiene dos filas iguales,
det(A) = 0
Los métodos más usados de evaluación de
determinantes de orden “n” son:
3. Si A es una matriz cuadrada,
det(At) = det(A)
 Por
reducción
(con
elementales entre filas).
4. Si A es una matriz triangular,
det(A) = a11۰a22۰a33۰...۰ann
 Por desarrollo de cofactores (en filas o
columnas).
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operaciones
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CUESTIONARIO DEL WORK PAPER
1. Calcule el determinante
siguientes matrices:
de
las
3. Encuentre el valor de a en la siguiente
matriz, sabiendo que el det(B) = 0 y det(C)
= 0.
1
2
a  3
a  3 1

C 0
 a  2  2
B

1 a  3
 1
0
a 
 0 0 2  3
 4  5  1
 3 20 3 0 



A 0 3 2  B
0 0 0 1
 2 1 3 


 0 5 1 2 
 2  3 4  1
  3 1 2
 4 6 8 2 

C   6 2 1 D  
 5 7  3 0 
 9 1 2


0 4 2 1
4. Sabiendo que det (A) = 4 y det (C) = –3.
Aplique las propiedades correspondientes
y calcule los determinantes de las
matrices “B” y ”D”. Justifique su respuesta.
1 2 3 
8 16 24


A  0  1 2 B  0  1 2 
2 3 4
2 3 4 
b
a b c 
 a



C  d e f  D  d  3a e  3b
 g h i 
  2 g
 2h
2. Dadas las siguientes matrices, evalué las
expresiones indicadas teniendo en cuenta
las propiedades de los determinantes:
1
E   0
 1
1
2  1

B
 F  2
6

3


4
1 2
A

0 1 
 2  3
3
3 
2  2
2 3
4 6 
8 12
5. Se dice que una matriz cuadrada A es
ortogonal si A-1 = AT. Muestre que:
 cos
A 0

 sen 
1 2 0 
1 0


C
 G   2 0 2
3
4


0 2 2
6. Determine el valor de
det(A) =1, para:
7.
cos
A
 1
(b) Y  5det H   5(det E) 3
3
(c) Y  det(C  D)  det C  det D  det F
(d) Y  det F  det F t
(e) Y  det(A2  3BT  5I 2 )
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0 sen  
1
0 

0 cos 
es ortogonal, utilizando operaciones
elementales.
 1 0  1
5 0 
D
H   2 3 2 

0 5 
  3 3  2
2
(a) Y  det A  3 det B  det E
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c 
f  3c 
 2i 
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
de modo que
sen 
cos 
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 3
UNIDAD O TEMA: INVERSIBILIDAD
TITULO: Inversa de una matriz
FECHA DE ENTREGA: Semana 5
PERIODO DE EVALUACION: Primer Parcial
INVERSA DE UNA MATRIZ.
Otro método para calcular la inversa de una
matriz es utilizando los cofactores y los
determinantes:
En el trabajo con números reales se puede
sustituir la división de un número “a” entre un
número “b” por el producto de “a” por el inverso
de “b”.
No se ha definido un método para dividir
matrices directamente pero si podemos
encontrar una matriz inversa a la dada
entonces podemos definir (en los casos que
sean posibles) la división de una matriz A ente
una matriz B como el producto de A por la
matriz B-1 donde B-1 es la matriz inversa de B.
Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz
adjunta de A, y se representa por adjA, a la
matriz que se obtiene de reemplazar cada
elemento de A por su correspondiente cofactor.
Luego la inversa de A se puede calcular por la
siguiente formula:
A1 
Uno de los métodos mas utilizados para
encontrar la inversa de una matriz es el método
de Gauss-Jordán y consiste anotar una matriz
identidad correspondiente al lado de la matriz
dada, luego realizar transformaciones en las
filas de ambas matrices hasta convertir la
matriz dada en identidad, luego la matriz
resultante de las transformaciones realizadas
en la identidad será la inversa de la matriz
original.
1
t
 adjA 
det A
Notas:
a) Solo se puede hallar la inversa
de matrices cuadradas.
b) Si el determinante de una
matriz es “0”, su inversa no existe.
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CUESTIONARIO DEL WORK PAPER
1. Hallar la inversa de las siguientes
matrices.
1 2
A

0 1
2  1
B

5  3
1 2
C

3 4
 5 8
D

 7 11
4. Muestre que la propiedad (AB)-1 = B-1 A-1 se
verifica para:
1  1 0
 2  1 0
A  0 1 1  B  1 0 1 




0 0 1
1 1 0
5. Dadas las matrices:
1 3  2 4 
2 4 5 1 

A
3 7 3 5


0 1 0 2
5
2  3 4
1 1
3
0

B  9 8  2  3

3
2
1 1
0 1
2
3
2. Con las siguientes matrices aplicar el método
de Gauss Jordan para encontrar la inversa.
 0  2  3
E   1
3
3 
 1  2  2
1 2 3
F  2 5 3
1 0 8
 1 2 3
G   1 0 4
 0 2 2
6
1

0

1
1
Determinar si son invertibles y, si lo son,
calcular la matriz inversa utilizando el método
de Gauss Jordan.
3. Aplique el método de la inversa por la
adjunta para hallar la inversa de la siguiente
matriz.


1  1 0
H  3  2 0


1
1
5 
2


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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 4
UNIDAD O TEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
TITULO: Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
FECHA DE ENTREGA: Semana 8 y 10
PERIODO DE EVALUACION: Segundo Parcial
SISTEMAS DE ECUACIONES
b) Conjunto Solución, que especifica un
número infinito de soluciones y donde
existen varios puntos de intersección. Su
representación gráfica correspondería:
Ecuación lineal: Lineal es una igualdad
donde hay una o mas incógnitas o cantidades
desconocidas.
Resolver una ecuación consiste en encontrar
el valor o los valores de las incógnitas para los
cuales se cumple la igualdad.
y
L1
L3
Sistemas de ecuaciones lineales: Se le
llama así cuando si tienen más de una
ecuación con más de una incógnita, en este
caso se pueden dar tres posibles soluciones:
x
L2
a) Una solución única, cuya solución
corresponde a un punto de intersección y
su representación gráfica sería:
y
L2
c) No tener solución, donde el sistema de
ecuaciones lineales es inconsistente y no
existe ningún punto de intersección. Su
representación gráfica sería:
L1
y
L2
L1
x
x
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METODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS
DE ECUACIONES LINEALES
CUESTIONARIO DEL WORK PAPER
1. Considere
las
siguientes
matrices,
represente sistemas de ecuaciones
lineales y resuélvalos.
1. Eliminación Gaussiana.
Este método consiste en convertir la matriz
aumentada o ampliada del sistema de
ecuaciones en otra escalonada (convertir en
triangular la parte de los coeficientes de la
matriz).
1
1 0 0 2 
0


a ) 0 1 0  3 b) 


0
0 0 1 5 

0
2. Eliminación de Gauss -Jordán.
0
1
0
0
0 2  1
0 4 8 

1 5
9

0 0  2
1  2
1 0 2 0 3  
0 3
c ) 0 1 3 0 0  d ) 

 0 0
0 0 0 1  2 
0 0
El método de Gauss-Jordán consiste en
convertir la matriz aumentada o ampliada del
sistema de ecuaciones en una matriz
escalonada y reducida (convertir en identidad
la parte de los coeficientes de la matriz).
3 2 1 
2
0 5
0
2 1
2

0 1  2
3. Regla de Cramer.
2. Resuelva los siguientes sistemas por el
método de Eliminación Gaussiana.
Este método permite hallar la solución de cada
variable
independientemente,
aplicando
determinantes. Es aplicable a sistemas de
ecuaciones lineales de n-ecuaciones con nincógnitas.
x  y  z  0

a)  x  y  2 z  1
 x  2 y  3z  0

2 x1  5 x 2  3x3  28

b) 3x1  2 x 2  4 x3  35
 x  7 x  5 x  29
2
3
 1
4. Método de la inversa.
3. Resuelve los siguientes sistemas por el
método de Eliminación de Gauss Jordan.
Consiste en escribir el sistema de ecuaciones
lineales de la forma A*X = B y luego resolver
X = A-1*B aplicando la multiplicación de
matrices.
Sistemas
lineales.
homogéneos
de
 x1  x 2  2 x3  8

a)  x1  2 x 2  3x3  1
3x  7 x  4 x  11
2
3
 1
 x1  x 2  2 x3  2 x 4  11

b) 2 x1  x 2  2 x3  2 x 4  2
 3 x  7 x  4 x  8
1
2
4

ecuaciones
Cuando en un sistema de ecuaciones lineales
todos los términos independientes son “0” se
dice que el sistema es homogéneo y puede
tener:
4. Resuelve los siguientes sistemas de
ecuaciones lineales por el método de la
inversa (X = A-1 B).
a) Una única solución que es S = (0; 0; ... ;0)
(Solución trivial)
b) Infinitas soluciones no triviales además
de la Solución trivial.
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 I 1  3I 2  23

a) I 1  I 2  I 3  0
2 I  3I  9
3
 2
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2 x1  5 x 2  3x3  28

b) 3x1  2 x 2  4 x3  35
 x  7 x  5 x  29
2
3
 1
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espacio generado por los tres vectores
que representan las tres mezclas básicas.
La
composición
de
éstas
es:
5. En el siguiente sistema de ecuaciones,
que valores puede tomar “λ” para que el
sistema tenga infinitas soluciones.
2 x    7  y  0
  3x  8 y  0
6. Hallar la solución para la variable z
solamente a partir del siguiente sistema de
ecuaciones lineales:
2 x  y  5z  5
1
z  1
2
3 x  y  z  2
7. La empresa IMAGE COMPANY, fabrica en
su planta de Bolivia tres tipos de
televisores: de 14, 21 y 25 pulgadas. Los
almacenes principales se encuentran en
Santa Cruz, Cochabamba, La Paz y Tarija.
Las ventas durante el año 1996 de
almacén de Santa Cruz se cifraron en 400,
100 y 500 televisores de 14, 21 y 25
pulgadas
respectivamente;
las
del
almacén de Cochabamba en 300, 150 y
400; las del almacén de La Paz en 100,
100 y 200 y las del almacén de Tarija en
200, 150 y 300. Los precios de venta de
los televisores en 1996 fueron de 25.000
Bs. para los de 14 pulgadas, de 50.000 Bs.
para los de 20 pulgadas y 80.000 Bs. para
los de 25 pulgadas. Se pide:
8. Una compañía constructora almacena tres
mezclas básicas A, B y C. Las cantidades
se miden en gramos y cada "unidad" de
mezcla pesa 60 gramos. Pueden
formularse
mezclas
especiales
de
argamasa efectuando combinaciones de
las tres mezclas básicas. Por ello, las
mezclas especiales posibles pertenecen al
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B
C
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10
25
5
2
12
10
15
15
8
9. Una empresa constructora tiene un pedido
de ocho tipos de casas: 5 casas de tipo 1,
20 casas de tipo 2, 12 casas de tipo 3, 21
casas de tipo 4 y 87 casas de tipo 5.
Supongamos que cada casa del tipo 1
necesita 13 unidades de madera, cada
casa del tipo 2 necesita 16 unidades, las
del tipo 3 necesita 45 unidades, las del tipo
4 necesitan 21 unidades y las del tipo 5
necesita 87 unidades de madera.
a. Expresar las ventas de la empresa
mediante una matriz A de orden 4x3.
b. Expresar mediante un vector
columna x el precio de cada tipo de
televisor.
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20
10
20
10
0
a. ¿Es posible hacer una mezcla que
consiste en 1.000 g. de cemento, 200
g. de agua, 1.000 g. de arena, 5000 g.
de grava y 300 g. de tobas? ¿Por qué
se puede o por qué no?. Si se puede,
¿cuántas unidades de cada mezcla
básica A, B y C se necesitan para
formular la mezcla especial?
b. Supóngase que se desean hacer 5.400
g. de argamasa de manera que
contenga 1.350 g. de cemento, 1.675
g. de arena y 1.025 g. de grava. Si la
razón de agua a cemento es de 2 a 3,
¿qué cantidad de tobas debe utilizarse
para obtener los 5.400 g. de
argamasa? ¿Se puede formular esta
masa como una mezcla especial? Si
es así, ¿cuántas unidades de la
mezcla A, B y C se necesitan para
formular la mezcla especial?
6x  2 y 
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Detalle
Cemento
Agua
Arena
Grava
Tobas
a. Calcular la cantidad de madera que se
necesita en total.
b. Si por motivos extraordinarios resulta
que el suministrador de madera nos ha
limitado la cantidad de madera total para la
construcción de los cinco tipos de vivenda
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a 6.238 unidades de madera, suponiendo
que ya habíamos construido los cuatro
primeros tipos de vivienda, ¿será
necesario modificar el modelo de vivienda
tipo 5? ¿de qué forma?
¿Qué cantidades deben producirse en las
cuatro industrias para satisfacer las
necesidades de todas ellas y las
demandas de sus consumidores finales,
que son de 20, 30, 25, 35 unidades de
productos respectivamente por cada una
de las industrias?
10. Las condiciones de equilibrio de mercado
de tres bienes conduce a que los precios
de los mismos cumplan que:
12. Plantear y
problemas:
resolver
los
siguientes
P1 + P2 – P3 = 10
a. De un capital de 20.000$ se ha
colocado una parte al 5% y la restante
al 4%. La primera produce anualmente
280$ más que la segunda. Hallar los
valores de las dos partes del capital.
b. Un profesor de matemáticas para
estimular a un alumno suyo le dice: por
cada ejercicio que resuelvas bien te
daré 70 Bs. y por cada uno que hagas
mal me darás 50 Bs. Después de
hacer 25 ejercicios, el muchacho se
encuentras con 550 Bs. ¿Cuántos
ejercicios ha resuelto bien?
c. Los tres lados de un triángulo
rectángulo son proporcionales a los
números 3,4 y 5. Hallar la longitud de
cada lado sabiendo que el área del
triángulo es 24 m2 .
P1-P2=0
P1 – P2 + P3 = 10
a) Determinar los precios que satisfacen
las condiciones dadas. ¿Son dichos
precios únicos?
b) Si las condiciones de equilibrio fuesen
sólo las expresadas por las dos
primeras ecuaciones. Determinar las
condiciones que deben cumplir los
precios. ¿Son dichos precios únicos?
¿Cuántos grados de libertad tiene el
problema?
11. Supóngase que la economía de un país
está repercutida por cuatro industrias,
cada una de las cuales produce un único
bien. Además, el producto final de cada
industria se consume con input en todas
ellas. Si denotamos por aij, i,j=1,2,3,4 al
número de unidades del bien i-ésimo
precisas para producir una unidad del
producto que genera la j-ésima industria,
se tiene para los cuatro productos la
matriz:
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WORK PAPER # 5
UNIDAD O TEMA: VECTORES
TITULO: Operaciones con vectores
FECHA DE ENTREGA: Semana 12
PERIODO DE EVALUACION: Segundo Parcial
VECTORES
Módulo
Llamamos magnitud física a aquella
propiedad de un cuerpo que puede ser
medida. La masa, la longitud, la velocidad o la
temperatura son todas magnitudes físicas. El
aroma o la simpatía, puesto que no pueden
medirse, no son magnitudes físicas.
Dirección
Punto de aplicación Sentido
VECTORES Y MATRICES
Hay magnitudes que con su valor numérico, no
suministran toda la información. Si nos dicen
que Pedrol corría a 20 km/h apenas sabemos
algo más que al principio. Deberían
informarnos también desde dónde corría y
hacia qué lugar se dirigía.
Un vector puede ser representado como una
matriz fila o una matriz columna, así de igual
manera las filas y columnas de una matriz
pueden ser consideradas como vectores.
Operaciones con vectores:
Estas magnitudes que, además de su valor
precisan dirección y sentido se llaman
magnitudes vectoriales, y se representan
mediante
vectores.
En
este
tema
estudiaremos los vectores y sus propiedades.
Suma: La adición de vectores suma vectores y
produce como resultado un vector. Solo se
pueden sumar vectores de igual tamaño.
Como toda operación, la adición de vectores
tiene unas propiedades que nos facilitan su
realización:
Podemos considerar un vector como un
segmento de recta con una flecha en uno de
sus extremos. De esta forma lo podemos
distinguir por cuatro partes fundamentales:
punto de aplicación, módulo (norma o
intensidad), dirección y sentido.
Propiedad conmutativa
v+w=w+v
Propiedad asociativa
(v + w) + u = w + (v + u)
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Propiedad de cierre para la multiplicación por
un escalar
k۰W Є Rn
elemento neutro
v+0=v
elemento opuesto
v + (-v) = 0
Asociativa
K۰(l۰U) = (k۰l)۰U
Multiplicación por un escalar: Un vector
puede ser multiplicado por un escalar y en ese
caso cada componente del vector queda
multiplicada por el escalar (como una matriz
fila).
Distributiva
k۰(U + V) = k۰U +K۰V
(k + l)۰V = k۰V + l۰V
Elemento neutro
1۰W = W
La multiplicación por un escalar también
cumple ciertas propiedades:
Sean U; V; W vectores y k; l escalares:
Producto escalar: El producto escalar;
(producto punto o producto interior euclidiano)
es un tipo de multiplicación definida entre
vectores que es muy útil para aplicaciones a
problemas reales ya que asigna un valor real a
una operación entre vectores y se define de la
siguiente manera:
Asociativa
K۰(l۰U) = (k۰l)۰U
Distributiva
k۰(U + V) = k۰U +K۰V
(k + l)۰V = k۰V + l۰V
Ejemplo: Sean
v = ( v1; v2 );
u = ( u1; u2 )
Θ : Es el ángulo entre “v” y “u”
Elemento neutro
1۰W = W
u  v  u  v  cos 
Propiedad de cierre: Define que al operar dos
elementos de un conjunto el resultado debe
pertenecer al conjunto asignado en la
operación.
También se define en
componentes cartesianas.
función
de
sus
u  v  u1  v1  u2  v2
Sean U; V; W vectores que pertenecen a Rn (ndimensionales) y k; l escalares:
Análogamente se extiende para todo Rn.
Sean
v = ( v1; v2; ... ; vn )
u = ( u1; u2; ... ; un )
Propiedad de cierre para la suma
V + W Є Rn
u  v  u1  v1  u2  v2 un  vn
Propiedad conmutativa
v+w=w+v
Propiedades del producto escalar.
Propiedad asociativa
(v + w) + u = w + (v + u)
Sean: “v” ; ”u” y “w” vectores y k un número
real:
v۰u = u۰v
kv۰u = v۰ku
v۰(u + w) = v۰u + v۰w
v۰v ≥ 0
elemento neutro
v+0=v
elemento opuesto
v + (-v) = 0
Nota: Si dos vectores ”u” y “w” son
perpendiculares u۰w = 0
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Producto cruz de vectores: Es un tipo de
multiplicación que se define para el conjunto
R3 y el resultado es un vector perpendicular
(ortogonal) a otros dos vectores.
u = (-1,1) realizar:
a) u . w
c) u . v
Sean v = ( v1; v2; v3 ) y u = ( u1; u2; u3 ) vectores
que pertenecen a R3. El producto cruz se
determina:
5. ¿Qué ángulo forman los vectores u y v; u y
w; v y w del ejercicio anterior?
b) v . w
d) v . u
6. Calcule el producto escalar entre:
v  ( v1 ; v2 ; v3 )
v v
 1 2
u  ( u1 ; u2 ; u3 )
u1 u2
v v
v v v
v  u   2 3 ;  1 3 ; 1
 u2 u3 u1 u3 u1
v3 
u3 
a)
b)
c)
v2 

u2 
u = (3,4,2) y v = (2,1,5)
u = (1,1,1) y v = (2,2,-2)
u = (5,-2,1) y v = (0,-1,3)
7. Determine la distancia entre los puntos
P1(1,2,3) y P2(-3,-2,-1)
8. Determine el producto vectorial y el ángulo
comprendido entre:
Las propiedades del producto cruz:
u x v = – (v x u)
ux(v+w)=(uxv)+uxw)
uxu=0
(u + v) x w = ( u x w ) + (v x w)
ux0=0xu=0
k(uxv)=kuxv=uxkv
a)
b)
c)
u = (3,4,2) y v = (2,1,5)
u = (1,1,1) y v = (2,2,-2)
u = (5,-2,1) y v = (0,-1,3)
9. Sean:
u = (-3,1,2)
v = (5,-4,3)
w = (-1,7,3)
CUESTIONARIO DEL WORK PAPER
1. ¿Cuál de los siguientes vectores tiene
mayor módulo? (3,0); (2,1); (2.5,2).
Hallar:
(a) || u x v || + 2 (3 - || w|| + ||4 u ||)
(b) x suponiendo que 3u – x + 5v - 7w = x
2. Con los vectores v = (1,2); w = (2,-1) y u =
(-1,1) realiza las operaciones que se
indican:
10. Determine
el
área
del
comprendido entre los puntos:
a) u + v + w
b) v + u + w
c) (u – v) – (v – u)
a)
b)
triangulo
P1(1,2,3) ; P2(-3,-2,-1) y P3(3,-3,0)
P1(5,0,0) ; P2(0,5,0) y P3(0,0,5)
11. Determine el área del paralelogramo que
tiene como vértices consecutivos a los
puntos
3. Dados v = (1y 45º) y w = (2 y 180º)
¿Calcule su producto escalar?
P1(3,-2,12) ; P2(-4,-2,7) y P3(1,-3,0)
4. Con los vectores v = (1,2); w = (2,-1) y
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WORK PAPER # 6
UNIDAD O TEMA: ESPACIOS VECTORIALES
TITULO: Espacios vectoriales
FECHA DE ENTREGA: Semana 14
PERIODO DE EVALUACION: Segundo Parcial
ESPACIOS VECTORIALES
entonces se dice que los vectores son
linealmente independientes.
Un vector es conjunto de “n” números
ordenados, así un n-vector puede ser
representado como v = (v1; v2; v3; ...; vn)
0 = k1v1 + k2v2 + k3v3 +... + knvn
Espacio vectorial generado:
Un espacio vectorial no es mas que un
conjunto no vacío de n-vectores ordenados que
cumple con las propiedades de cierre y las
antes mencionadas para la suma y la
multiplicación por un escalar.
Se dice que los vectores v1, v2, v3, ..., vn
generan un espacio vectorial V si cualquier
vector “b” de dicho espacio se puede escribir
como combinación de los vectores dados.
Combinación Lineal:
Se dice que un vector “v”
es una
combinación lineal de los vectores v1, v2, v3, ...,
vn en un espacio vectorial Rn si existen
números reales k1, k2, ... kn tales que “v” pueda
ser expresado como:
b = k1v1 + k2v2 + k3v3 +... + knvn
Base y Dimensión de un espacio vectorial:
Un sistema de vectores libre, que permite
generar todos los vectores de su espacio
vectorial es una base.
Todo espacio vectorial tiene al menos una
base.
El número de elementos de una base de un
sistema de vectores se llama dimensión del
espacio vectorial.
V = k1v1 + k2v2 + k3v3 +... + knvn
Dependencia e Independencia Lineal:
Se dice que los vectores v1, v2, v3, ..., vn son
linealmente dependientes si existen infinitas
combinaciones lineales de estos vectores que
den como resultado el vector 0.
Por ejemplo: Los vectores (0,0,1), (0,1,0) y
(1,0,0) son la base que se utiliza normalmente
en un espacio de tres dimensiones.
Si la única combinación lineal que da este
resultado es aquella en la que k1 = k2 = ... = kn,
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Espacio entre renglones y entre
3. Exprese los siguientes vectores como
combinaciones lineales de:
u = (2; 1; 4); v = (1 ; -1; 3) y w = ( 3; 2; 5)
columnas
El espacio entre renglones de una matriz A es
aquella matriz reducida a la Forma Escalonada
en los Renglones cuyos renglones diferentes
de cero forman una base para el espacio
vectorial.
a = (5 ; 9 ; 5 ); b = ( 2 ; 0 ; 6 );
c = ( 0 ; 0 ; 0 ); d = ( 2 ; 2 ; 3 )
4. ¿Cuales de los siguientes conjuntos de
vectores son linealmente dependientes y
cuales linealmente independientes?
El espacio entre columnas de una matriz A es
aquella matriz A transpuesta reducida a la
Forma Escalonada en los Renglones cuyos
renglones diferentes de cero forman una base
para el espacio vectorial.
a) u1 = ( 1 ; 2) y u2 = ( -3 ; -6 ) en R2
1 3
 2  6
y B


2 0
 4 0 
b) A  
c) (2 ; -1; 4); (3; 6; 2) y (2; 10; -4) en R3
La dimensión del espacio entre renglones y
entre columnas de una matriz A se conoce
como rango de la la matriz.
5. Hallar el rango de las siguientes matrices:
1 2
 0 3
A
 2 4

 3 7
CUESTIONARIO DEL WORK PAPER
1. Determine cuales de los siguientes
conjuntos son espacios vectoriales y para
los que no lo son, enumere las propiedades
que no cumple:
{(1,2,3,t,5),(2,1,3,0,1),(1,1,2,0,2),(4,4,8,1,8)}
b) El conjunto de pares ( x ; y ) con las
operaciones
( x; y ) + ( x´; y´ ) = (x ▪ x´; y ▪ y´ ) y kx =
xk
7. Son las matrices A, B y C linealmente
independientes:
1 0
A  1 1


0 1
c) El conjunto de las matrices
a 1

1 b 
M2 2 = 
2. ¿Cuáles de los siguientes vectores son
combinaciones lineales de :
u = ( 1 ; -1 ; 3 ) y v = ( 2 ; 4 ; 0 )
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2 1
B   1 0 


 1  1
1
0
C2
1


 1  2
b=(4;2;8)
d=(0;0;0)
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0  2
8 6  6 
1 7 
C  6  1 0 

0 4
 4 0 0

2 0
6. Determinar para qué valores del parámetro
t, el siguiente conjunto de vectores es
linealmente independiente:
a) El conjunto de pares (x ; y) con las
operaciones
( x ; y ) + ( x´ ; y´ ) = ( x + x´ ; y + y´ )
y
k ( x ; y ) = (kx +ky)
a=(3;3;3)
c = (1 ; 5 ; 6 )
en M 22
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WORK PAPER # 7
UNIDAD O TEMA: TRANSFORMACIONES LINEALES
TITULO: Transformaciones lineales
FECHA DE ENTREGA: Semana 16
PERIODO DE EVALUACION: Evaluación Final
TRANSFORMACIONES LINEALES.
→ u + v = (x + x’; y + y’)
→ ku = (kx; ky)
La transformada lineal es una función
vectorial de variable vectorial w = f (v).
Donde: El espacio vectorial “v” es la variable
independiente y El espacio vectorial “w” es la
variable dependiente
Si se prueba:
F(u + v)
= [x+ x’; ( x + x’) + (y + y’); (x + x’) – (y + y’)]
= [x + x’; x + x’ + y + y’; x + x’ – y – y’]
= [x; x + y; x – y] + [x’; x’ + y’; x’– y’]
F(u + v) = F(u) + F(v)
F(ku) = (kx; kx + ky; kx – ky)
= [kx; k(x + y); k(x – y)]
= k(x; x + y; x – y)
F(ku) = kF(u)
Si V y W son espacios vectoriales y F es una
función que asocia un vector único en W para
cada vector de V, se dice entonces que F
aplica V en W y se escribe:
F: V → W. Además si se escribe w = f (v) se
dice que w es la imagen de v bajo f.
Definición. La definición de transformación
lineal dice que todo espacio vectorial en V y
W se puede hacer transformación lineal si
cumplen con los axiomas de la distribución
bajo la suma T(u + v) = T(u) + T(v) y la
multiplicación por un escalar T(k*u)= k*T(u).
Cumpliendo con lo anterior la transformada
lineal tiene sus propiedades que son:
Entonces F: R2 → R3 es una transformación
lineal
Ejemplo: Dados las transformaciones para los
puntos (2,-1); (-1,1) y conociendo que la
función es transformación lineal, encuentre la
expresión de la función.
Ejemplo:
F(2,-1) = (-1, 1, 2)
F(-1,1) = (2, 0, 1)
Sea la función f(v) = (x; x+y; x-y)
una función F: R2 → R3
Como se sabe que la función es
transformación lineal entonces los vectores
(2,-1) y (-1,1) forman una base de R2 y por lo
tanto generan al espacio, luego:
Para u = (x, y) y v = (x’; y’)
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FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
(x, y) = k1 (2,-1) + k2 (-1,1)
(x, y) =(2k1, – k1) + (– k2, k2)
(x, y) =(2k1– k2 , – k1 + k2)
f)
2. Dados las funciones F: R2 → R3 para los
vectores indicados y conociendo que son
transformaciones lineales, encuentre la
expresión de cada función.
De donde se obtiene:
x = 2k1– k2
y = – k1 + k2
a) F(1,2)=(2, 3, 1)
F(-1,5)=(-2, 4, 6)
Resolviendo el sistema de ecuaciones para K1
y k2:
k1 = x + y
k2 = x + 2y
b) F(3,4) = (7, 9, 1)
F(2,5) = (7, 6, 3)
Planteando la transformación para el vector
general:
c) F(3,2) = (4, 1, 5)
F(5,4) = (6, 3, 9)
F(x, y) = F[ k1 (2,-1) + k2 (-1,1) ]
F(x, y) = F[ k1 (2,-1) ] + F[ k2 (-1,1) ]
F(x, y) = k1 F(2,-1) + k2 F(-1,1)
3. Dada la aplicación lineal
definida por :
sustituyendo K1 y k2 por sus valores y
remplazando F(2,-1) y F(-1,1):
F ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )  ( x1  x2 ,3x2  x3 , x3  2x4 , x4  2x5 )
F(x, y) = (x +y)(-1, 1, 2) + (x +2y)(2, 0, 1)
F(x, y) = (-x –y ,x +y , 2x +2y) + (2x +4y, 0 , x
+2y)
F(x, y) = (-x –y +2x +4y , x + y , 2x +2y +x
+2y)
F(x, y) = (x +3y , x +y , 3x +4y)
Comprobando:
F(2,-1) = (-1, 1, 2)
F(-1,1) = (2, 0, 1)
 a b  
F  
   a  d  c  b
c
d


Demostrar si es una transformación lineal.
se verifica la función
CUESTIONARIO DEL WORK PAPER
1. Determine si las siguientes funciones son
o no transformaciones lineales.
a)
b)
c)
d)
e)
F(x; y) = (x; y + 1)
F(x; y) = (2x + y; x – y)
F(x; y; z) = (x; x + y + z)
F(a+ bx + cx2) = (a+1) + (a + b)x + cx2)
F(x; y) = (2x; yx)
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FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 8
UNIDAD O TEMA: VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS
TITULO: Diagonalización
FECHA DE ENTREGA: Semana 17
PERIODO DE EVALUACION: Evaluación Final
DIAGONALIZACION
2. Hallar los eigenvalores de las siguientes
matrices:
Se dice que una matriz cuadrada es
diagonalizable si hay una matriz inversible P
tal que P-1 A P sea diagonal. Se dice que la
matriz P diagonaliza a A.
1 7 7 
A  0 1 0 
0 0 1
Para diagonalizar una matriz A de n x n se
siguen los siguientes pasos:

Se
hallan
los
n
eigenvectores
linealmente independientes.

Se forma la matriz P que tenga a los
eigenvectores como sus vectores
columna.

1  5
0 1
B
0 0

0 0
3. Hallar los eigenvectores de las siguientes
matrices:
Entonces P-1 A P será matriz diagonal.
1 1 1 
C  0 1 0 
6 8 10
CUESTIONARIO DEL WORK PAPER
1. Describa un ejemplo que permita
determinar la diferencia entre un
eigenvalor y un eigenvector.
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2 1
1 0 
1  6

0 0
4
1
0
0
1 2
 0 3
A
 2 4

 3 7
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0  2
1 7 
0  4

2 0
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4. En la siguiente matriz A, determine si
es diagonalizable. Si lo es, halle una
matriz P que diagonalice a la matriz A.
19  9  6
A  25  11  9 
17  9  4
5. Una agencia naviera tiene su flota de
barcos distribuida entre los puertos de
Barcelona, Málaga y Mallorca. De los
barcos que al comienzo de cada més
están en Barcelona, al final de mes sólo
vuelve la mitad, un 20% se va a Málaga y
el resto atraca en el puerto de Mallorca.
De la flota de barcos que está al principio
de mes en Málaga se encuentra, a fin de
mes, un 20% en Barcelona, un 40% en
Mallorca y el resto vuelve a Málaga.
Análogamente, de los barcos que hay en
Mallorca, un 80% regresa al mismo
puerto y el resto se dirige a Barcelona.
Suponiendo que el número de barcos es
constante, se pide:
(a) Plantear en forma matricial el modelo que
representa la distribución de la flota.
(b) Sabiendo que en el instante actual hay
350, 500 y 200 barcos respectivamente en
Barcelona, Málaga y Mallorca, determinar el
número de barcos que habrá en cada puerto
al cabo de k meses.
(c) ¿Cuál será la flota de barcos en cada
puerto a largo plazo?
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profesionales.
El
manejo
de
dicha
herramienta será de gran apoyo para los
estudiantes y futuros profesionales.
Práctica de Laboratorio:
Nº 1
Título: Operaciones con matrices.
Lugar de Ejecución: Lab de Com.
Elaborado por: Ing. Andrea Guzmán
Mendoza.
Desarrollo:
Nombre y apellidos:
Al comenzar la práctica, el docente dará una
introducción de cómo funciona el programa y
como se pueden realizar en el mismo las
deferentes operaciones con matrices que han
aprendido en clases. Seguidamente se les
orientara realizar de forma independiente los
siguientes ejercicios.
Objetivos:

Asignar el valor de una matriz en la
herramienta informática (MATLAB).

Realizar las diferentes operaciones con
matrices estudiadas en clases utilizando
(MATLAB).

Calcular
determinantes
utilizando el programa.
e
1. Ingrese las siguientes matrices al
programa y escriba correctamente la
expresión utilizada.
A=
A=
1
5
9
inversas
2
6
0
3
7
1
4
8
2
B=
Diseño:
B=
-1
-5
-9
-3
Método: Analítico y experimental
Materiales y equipos:
 Laboratorio de computo
 Software MATLAB.
2 -1
6 -7
0 -1
4 -5
4
8
2
6
C=
Fundamentos teóricos:
C=
2
5
-1
Una matriz es un conjunto de elementos
ordenados en filas y columnas.
D=
4 -2 5
3 0 -7
11 15 18
El programa MATLAB es una de las tantas
herramientas informáticas desarrolladas para
mejorar la forma en que las matemáticas
sirven de apoyo a las diferentes áreas
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4
9
3
D=
Las operaciones con matrices son una de las
aplicaciones más importantes del Álgebra
lineal a las diferentes ramas de la ingeniería.
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3
7
0
E=
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E=
12
-1
4
-15
0
3
F=
F=
4
-3
6
1
-1
102
g) 2(ETF)-4CA
54
31
h) Determinante de A
2. Realice
las
operaciones
indicadas
escribiendo la expresión correcta y la
matriz resultante. Si la operación no es
posible explique ¿por qué?
i)
Determinante de B
a) AT .
j)
Inversa de C
k) Inversa de F
b) C + D.
Conclusiones:

c) 3 (C + D.)

Bibliografia:
d) 3 (C+D)-2C

HOWARD Antón; “Introducción al Álgebra
Lineal”; Ed. Limusa, México, 1989.

MENDOZA Domingo M; “Álgebra Lineal”,
Bolivia 1992.

RICHARD Hill; “Álgebra Lineal Elemental
con aplicaciones”; 3era edición, México,
1997.

http://www.math.gatech.edu/~villegas/matl
ab/
e) A por B
f)
Se analizaran las ventajas de usar una
herramienta informática.
Se
comentará
sobre
otras
herramientas como calculadoras y un
ejemplo disponible en internet.
B por A
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y en numerosos ocasiones se tienen tantas
ecuaciones e incógnitas que se hace
prácticamente imposible resolver el sistema
manualmente y se busca el apoyo de una
herramienta informática como lo es en este
caso el programa MATLAB.
Práctica de Laboratorio:
Nº 2
Título: Sistemas de ecuaciones lineales.
Lugar de Ejecución: Lab de Com.
Elaborado por: Ing. Andrea Guzmán
Mendoza.
Nombre y apellidos:
Desarrollo:
Al comenzar la práctica el docente recordará
dos de los métodos de solución estudiados en
clases. Luego se explicará como se deben
introducir las matrices para aplicar cada uno y
se orientará a los estudiantes realizar los
siguientes ejercicios.
Objetivos:

Resolver sistemas de ecuaciones lineales
utilizando (MATLAB).

Resolver
series
de
sistemas
de
ecuaciones lineales utilizando (MATLAB).
Nota: Escriba en las líneas debajo de cada
ejercicio, las instrucciones ingresadas al
programa y las correspondientes respuestas.
Diseño:
1. Resuelve Los siguientes sistemas de
ecuaciones lineales:
Método: Analítico y experimental
a)
Materiales y equipos:
 Laboratorio de computo
 Software MATLAB.
x1  12x 2  150x5  45x6  463
25x1  113x3  x 4  3 x5  5 x 6  56
 210x1  3 x 2  2 x 4  x5  x 6  700
x1  250x 2  3 x3  2 x6  124
Fundamentos teóricos:
3 x 2  2 x 4  2 x5
 1200
x1  3 x3  2 x 4  16
Una ecuación es una igualdad donde hay una
o más incógnitas o cantidades desconocidas.
Resolver una ecuación consiste en encontrar
el valor o los valores de las incógnitas para
los cuales se cumple la igualdad. Si el mayor
exponente de las variables es “1” entonces se
dice que la ecuación es lineal.
b)
Si se tienen más de una ecuación con más de
una incógnita, estamos en presencia de un
sistema de ecuaciones. Resolverlo significa
encontrar los valores de las variables que las
satisfagan.
x1  2 x2  x3  10x4  13x6  0
x1  31x2  115x6  55x4  0
17x1  2 x5  312x3  2 x4  0
Prácticamente no existe ninguna profesión en
la que no surjan problemas que solo pueden
resolverse mediante sistemas de ecuaciones
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2. Resuelve La siguiente serie de sistemas de
ecuaciones lineales:
Bibliografia:
12x1  31x2  3 x3  13

 x1  45x2  53x3  23
 x  17x  84x  512
2
3
 1
12x1  31x2  3 x3  51

 x1  45x2  53x3  14
 x  17x  84x  111
2
3
 1
12x1  31x2  3 x3  15

 x1  45x2  53x3  416
 x  17x  84x  0
2
3
 1
12x1  31x2  3 x3  0

 x1  45x2  53x3  181
 x  17x  84x  783
2
3
 1

HOWARD Antón; “Introducción al Álgebra
Lineal”; Ed. Limusa, México, 1989.

MENDOZA Domingo M; “Álgebra Lineal”,
Bolivia 1992.

RICHARD Hill; “Álgebra Lineal Elemental
con aplicaciones”; 3era edición, México,
1997.

http://www.math.gatech.edu/~villegas/matl
ab/
Conclusiones:


Se analizaran las ventajas de usar una
herramienta informática.
Se comentará sobre algunos ejemplos
de cómo se pueden utilizar los
métodos matriciales para resolver
sistemas de ecuaciones lineales en
algunas ramas específicas de la
ingeniería.
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Práctica de Laboratorio:
Nº 3
Título: Operaciones con Vectores.
Lugar de Ejecución: Lab de Com.
Elaborado por: Ing. Andrea Guzmán
Mendoza.
Desarrollo:
Al comenzar la práctica se recordara la
relación ente los vectores y matrices, se
explicara como se realizan las diferentes
operaciones y se indicarán los comandos que
se deben utilizar en cada caso.
Nombre y apellidos:
Después se orientara realizar los siguientes
ejercicios.
Nota: Escriba en las líneas debajo de cada
ejercicio, las instrucciones ingresadas al
programa y las correspondientes respuestas.
Objetivos:


Utilizar el MATLAB para realizar diferentes
operaciones con vectores de forma
analítica.
1. Dados los vectores v = (25; 315; 53; 0; 19)
, u = (41; 15; 253; 0; 27) y w = (2,5; 31,15; 3;
0; 1,29) determine:
Utilizar estas operaciones para resolver
problemas de aplicación.
a)
b)
c)
d)
Diseño:
Método: Analítico y experimental
w – 2u
3v + u
modulo de v “ lvl “
producto u∙v
Materiales y equipos:
 Laboratorio de computo
 Software MATLAB.
Fundamentos teóricos:
La representación vectorial es ampliamente
utilizada en las diferentes profesiones, no solo
en el campo de la Física donde se emplean
para representar magnitudes que requieren
de dimensión; dirección y sentido y en dibujo
o en sistemas de posicionamiento geográfico
donde pueden representar
puntos o
dimensiones en el espacio tridimensional,
sino también en almacenamiento de datos, ya
que toda información se puede representar
como un vector n-dimensional.
Es por ello que es muy importante poder
realizar diferentes operaciones con vectores,
de forma analítica pues gráficamente es
imposible trabajar con vectores de más de
tres dimensiones.
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2. Dados los vectores p = (-225; 309; 1) y q =
(40; 0; -125)
e) Determine el modulo de vector q x p
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3. Determine el área del triángulo cuyos
vértices son los puntos P1(454; -21; 1);
P2(101; 4; -152) y P3(-412; 0; 594) Y
encuentre además la distancia entre los
puntos P1 y P2
Conclusiones:


4. Determine el área del paralelogramo que
tiene
dos
arístas
consecutivas
coincidentes con los vectores v1(54; -271;
0) y u2(11; 654; -152)
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Se analizaran las ventajas de usar una
herramienta informática.
Se comentará sobre algunos ejemplos
de cómo se pueden utilizar los
métodos matriciales para resolver
sistemas de ecuaciones lineales en
algunas ramas específicas de la
ingeniería.
Bibliografia:

HOWARD Antón; “Introducción al Álgebra
Lineal”; Ed. Limusa, México, 1989.

MENDOZA Domingo M; “Álgebra Lineal”,
Bolivia 1992.

RICHARD Hill; “Álgebra Lineal Elemental
con aplicaciones”; 3era edición, México,
1997.

http://www.math.gatech.edu/~villegas/matl
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF´s # 1
UNIDAD O TEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
TITULO: Cálculo de Corrientes en una red eléctrica
FECHA DE ENTREGA:
CALCULO DE CORRIENTES EN
UNA RED ELECTRICA
Estudiemos una red, en corriente continua,
conformada por baterías cuyas fuerzas
electromotrices y resistencias se dán.
1. Hay innumerables problemas que
conllevan a la solución de sistemas de
ecuaciones
lineales.
Utilizaremos
una
aplicación ampliamente conocida por la cual
extendemos la conocida ley de Ohm V = I R.
Se deben calcular las intensidades de las
corrientes que circulan por la red.
a
En donde V es la diferencia de potencial o
voltaje aplicada a los extremos de una
resistencia conocida R, en donde se quiere
calcular I (intensidad de la corriente que pasa
por la resistencia).
I
h
b
R1
 g
R4
d
c
R2
amperios
R3
e

f
(a)
V = I R,
1
R ohmios
R1
V voltios
a
2. Las leyes de Kirchoff que se citan a
continuación nos permiten resolver las
relaciones que se dán entre las diferencias de
potencial (voltajes), y las intensidades de las
corrientes que circulan en diferentes partes
de una red eléctrica, problema que termina
en el planteamiento y solución de un sistema
de ecuaciones simultáneas.
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b
2
R2
(a)
(b)
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FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
Un nodo en una red eléctrica es un punto
donde se unen tres o más conductores.
Una malla es cualquier trayectoria
conductora cerrada.
i 1 - i2 5 i1
i3 = 0
+ 20 i 3 = 50
10 i 2 - 20 i 3 = 30
En la figura (a) anterior, los puntos a, d, e y c
son nodos pero b y f nó. En la figura (b) los
únicos nodos son a y b.
Algunas mallas posibles en la figura (a) son
las trayectorias cerradas
abcda, dcfed,
hadegh, hadcfegh. No hemos citado todas las
mallas posibles del circuito.
i1
i2
5 ohmios
50 voltios
10 ohmios
30 voltios
i3
Las reglas de Kirchoff son las siguientes:
20 ohmios
Regla del nodo : La suma algebraica de las
corrientes en un nodo es 0.
I=0
Regla de la malla : La suma algebraica de las
fuerzas electromotrices en cualquier malla es
igual a la suma de los productos I R en la
malla.
El sistema de ecuaciones se puede escribir
en forma matricial como A i = b.
  =  I R.
TAREA DEL DIF´s:
El equipo después de resolver el sistema de
ecuaciones lineales planteado deberá pensar,
reflexionar y discutir la solución encontrada.
Teniendo en cuenta estas leyes, el sistema
eléctrico que se muestra en la figura siguiente
da origen al sistema de ecuaciones:
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FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF´s # 2
UNIDAD O TEMA: EIGENVALORES, EIGENVECTORES
TITULO: Teoremas de la Matriz de Leslie
FECHA DE ENTREGA:
Teorema 3. Si dos entradas sucesivas de ai y
ai + 1, de la primera fila de una matriz de
Leslie L son diferentes de cero, el eigenvalor
positivo de L es estrictamente dominante.
TEOREMAS DE LA MATRIZ DE LESLIE
Teorema 1. Una matriz de Leslie L, tiene un
eigenvalor positivo único 1 . Este eigenvalor
TAREA DEL DIF´s:
es simple y tiene un eigenvector x1 cuyas
entradas son todas positivas.
Luego de que el equipo comente y discuta los
teoremas de la matriz de leslie, suponer que
una población animal es dividida en dos
clases de edades y que su matriz de Leslie
es:
Teorema 2. Si 1 es el eigenvalor único

positivo de una matriz de Leslie L y si i es
cualquier otro eigenvalor real o completo de
L, entonces
i  1
.
Por el teorema 2, a 1 se le conoce como
eigenvalor dominante de L. Para este
Calcular el eigenvalor positivo 1 de L y el
 
eigenvector correspondiente x1 .
1
propósito se requiere que i
para todos
los eigenvalores de L. Si este es el caso, se
dice que 1 es un eigenvalor estrictamente
dominante de L.
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FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF´s # 3
UNIDAD OTEMA: MATRICES
TITULO: Propiedades de la aritmética matricial.
FECHA DE ENTREGA:
En las diferentes ramas de las ingenierías, es
común que un conjunto de datos se
representen en forma de matrices para
simplificar u optimizar su procesamiento, con
ellas se realizan diferentes operaciones
básicas. Después de consultar las siguientes
páginas de Internet y la bibliografía
recomendada en este material:
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Enuncie las diferentes tipos propiedades que
cumple la aritmética matricial y demuestre
cada una mediante un ejemplo.
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed990289-02/ed99-0289-02.html
http://www.webmath.com/
http://fresno.pntic.mec.es/~jvaamond/producto
.htm
www.recursosmatematicos.com/interactiva.ht
ml
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FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF´s # 4
UNIDAD OTEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
TITULO: Interruptores
FECHA DE ENTREGA:
En algunas áreas profesionales como la
electrónica, la mecánica, la economía, etc.
surgen problemas cuya solución requiere de
sistemas de ecuaciones lineales con un
considerable número de ecuaciones e
incógnitas los cuales no son posibles de
resolver por los métodos de eliminación y por
ello se recurren a los métodos matriciales.
Consulte la Internet y los textos de ingeniería
que considere pertinente y traiga un ejemplo
de dichos problemas con el desarrollo de su
solución, para discutir en clases.
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http://www.mvps.org/vexpert/articles/mat_gau
ss.htm
http://200.13.98.241/~javier/algebra_lineal_cu
rso.pdf.
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/jvaz
quez/teleco.html
http://fresno.pntic.mec.es/~jvaamond/product
o.htm
www.recursosmatematicos.com/interactiva.h
tml
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FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF´s # 5
UNIDAD OTEMA: VECTORES Y ESPACIOS VECTORIALES
TITULO: Interruptores
FECHA DE ENTREGA:
Si se quieren definir elementos que requieran
más de una característica para su
comprensión y tenerlos de forma ordenada
para su procesamiento, la forma ideal que
nos
brinda
la
matemática
es
la
representación vectorial y las propiedades de
las operaciones que se realizan con los
conjuntos de elementos o vectores, definidos
como espacios vectoriales.
Consulte la Internet y la bibliografía necesaria
y traiga un ejemplo de alguna aplicación
específica que se le de en las carreras de
ingeniería de Sistemas y Telecomunicaciones
U N
I V E
R S
a los vectores y/u operaciones con espacios
vectoriales
http://fresno.pntic.mec.es/~jvaamond/product
o.htm
www.recursosmatematicos.com/interactiva.h
tml
http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial
http://html.rincondelvago.com/algebralineal_vectores-y-espacios-vectoriales.html
http://www.satd.uma.es/matap/frodriguez/Apu
ntes/ev.pdf.
I D A D
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D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
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