FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA RED NACIONAL UNIVERSITARIA UNIDAD ACADEMICA DE SANTA CRUZ FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA Ingeniería en Gas y Petróleo TERCER SEMESTRE SYLLABUS DE LA ASIGNATURA ÁLGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL Elaborado por Ing. Andrea Guzmán Mendoza Gestión Académica I/2013 U N I V E R S I D A D 1 D E A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA UDABOL UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA Acreditada como PLENA mediante R. M. 288/01 VISION DE LA UNIVERSIDAD Ser la Universidad líder en calidad educativa. MISION DE LA UNIVERSIDAD Desarrollar la Educación Superior Universitaria con calidad y competitividad al servicio de la sociedad. Estimado (a) estudiante: El Syllabus que ponemos en tus manos es el fruto del trabajo intelectual de tus docentes, quienes han puesto sus mejores empeños en la planificación de los procesos de enseñanza para brindarte una ecuación de la más alta calidad. Este documento te servirá de guía para que organices mejor tus procesos de aprendizaje y los hagas mucho más productivos. Esperamos que sepas apreciarlo y cuidarlo. Autorizado por: SELLO Y FIRMA JEFATURA DE CARRERA U N I V E R S I D A D 2 D E A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA SYLLABUS GENERICO Asignatura: Código: Requisito: Carga Horaria: Horas Teóricas: Horas Practicas: Créditos: 1.3. Matrices y operaciones matriciales. 1.3.1. Reglas de la aritmética matricial. 1.3.2. Operaciones matriciales. 1.4. Inversa de una matriz 2x2. 1.5. Inversa de una matriz nxn por Gauss Jordan. 1.6. Matrices en Matlab. Álgebra Lineal MAT - 103 MAT - 100 100 horas Teórico Practicas 80 Tema 2. Determinantes 20 Definiciones. 2.2. Propiedades de los determinantes. 2.3. Métodos para hallar el determinante. 2.3.1. Diagonales. 2.3.2. Reducción en los renglones. 2.3.3. Desarrollo de cofactores. 2.4. Determinantes e inversas. 2.4.1. Inversa por la adjunta. 2.5. Determinantes en Matlab. 2.1. 5 I. OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA. Interpretar y aplicar las operaciones aritméticas de matrices en la resolución de problemas de la carrera. Utilizar las transformaciones elementales de filas de matrices y la función determinante en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Calcular áreas y volúmenes a partir de las operaciones y propiedades de los vectores. Interpretar la estructura de los espacios vectoriales algebraicos y la relación existente entre ellos a través de una aplicación que permita conservar sus propiedades. Valorar la utilidad del software MATLAB como herramienta de trabajo necesaria para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales y transformaciones lineales. II. PROGRAMA ASIGNATURA. ANALITICO DE Tema 3. Sistemas de ecuaciones lineales. 3.1. Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales. 3.2. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales. 3.3. Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. 3.3.1. Eliminación de Gauss Jordan. 3.3.2. Eliminación Gaussiana. 3.4. Sistemas homogéneos de ecuaciones lineales. 3.5. Sistemas de ecuaciones lineales e inversibilidad. 3.6. Regla de Cramer. 3.7. Taller de ejercicios en MATLAB. UNIDAD II: VECTORES Y ESPACIOS VECTORIALES LA Tema 4. Vectores en R2 y R3 4.1. Definiciones. 4.2. Norma de un vector, aritmética vectorial. 4.3. Producto escalar. 4.4. Producto vectorial. 4.5. Rectas y planos R3. 4.6. Taller de ejercicios en Matlab. UNIDAD I: MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. TEMA 1. Matrices. 1.1. Definición. 1.2. Tipos de matrices. U N I V E R S I D A D 3 D E A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA La carrera: Ing. en Gas y Petróleos participará activamente en las brigadas generales de la universidad y la presente materia es una asignatura de apoyo, cuya base teórica aporta a la investigación, elaboración e implementación de proyectos de desarrollo comunitario. Tema 5. Espacios vectoriales 5.1. Definiciones y propiedades básicas de los espacios. 5.2. Subespacios. 5.3. Combinación lineal y espacio generado. 5.4. Independencia lineal 5.5. Base y dimensión. 5.6. Rango, nulidad. IV. EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA. PROCESUAL O FORMATIVA. En todo el semestre se realizarán preguntas escritas; exposiciones de las investigación realizadas; trabajos prácticos que se comprobaran mediante la evaluación escrita de una pregunta del mismo, seleccionada de forma aleatoria y además las actividades planificadas para las Brigadas UDABOL. Estas evaluaciones tendrán una calificación entre 0 y 50 puntos en la primera y segunda etapa y entre 0 y 30 puntos en la etapa final. UNIDAD III: TRANSFORMACIONES LINEALES, EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tema 6. Transformaciones lineales 6.1. Definiciones. 6.2. Propiedades de las transformaciones lineales. Tema 7. Valores propios y vectores propios PROCESO SUMATIVA. 7.1. Valores propios y vectores propios. 7.2. Matrices semejantes. 7.3. Diagonalización. APRENDIZAJE O Se realizarán dos evaluaciones parciales con contenidos teóricos y prácticos. Cada uno de estos exámenes tendrá una calificación entre 0 y 50 puntos. III. ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA LAS BRIGADAS UDABOL. El examen final incluirá los contenidos abordados a lo largo de todo el semestre y se realizara en el laboratorio, utilizando el programa Matlab. El Sistema de Educación Superior Integral de la UDABOL – “SESI”, se basa en el aprendizaje productivo a través del trabajo social comunitario, bajo una organización pedagógica en brigadas, de esta manera, las “Brigadas - UDABOL” estarán dirigidas a los sectores menos favorecidos de la sociedad y comprenderá: - DE V. BIBLIOGRAFIA BASICA. La investigación de los problemas más acuciantes que enfrentan las comunidades más pobres. ANTON, Howard. Introducción al Álgebra Lineal, Ed. Limusa. México, 2003. (512.5 An88) - Trabajar en equipos, habituándose a ser parte integral de un todo que funciona como un sistema, desarrollando un lenguaje común, criterios y opiniones comunes, y planteándose metas y objetivos comunes para dar soluciones en común a los problemas. U N I V E R S RAFFO LECCA, Eduardo. Álgebra Lineal. Manual del estudiante. Edición del autor. Lima. (1997. 512.5 R12) I D A D 4 D E A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA UDABOL, 2004. (512.5 T61) ROJO, ARMANDO O. Álgebra II. Décimo tercera edición. Librería Editorial SOTO, María Jesús, VICENTE, Córdova El Ateneo. Cochabamba. 1997. (512 R63 José Luis. Algebra Lineal con Matlab y t.2) Maple, Prentice Hall, Madrid, 1995. BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA. GROSSMAN, Stanley. Algebra Lineal, Ed. McGraw Hill, USA, 1990. TONDELLI, Gelen. Algebra Lineal. Editorial VI. CONTROL DE EVALUACIONES. 1° evaluación parcial Fecha Nota 2° evaluación parcial Fecha Nota Examen final Fecha Nota APUNTES U N I V E R S I D A D 5 D E A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA VII. PLAN CALENDARIO SEMANA ACTIVIDADES OBSERVAC. 1 TEMA 1: 1.1 al 1.2 2 TEMA 1: 1.3 al 1.4 3 TEMA 2: 1.5 al 1.6 4 TEMA 2: 2.1 al 2.3.2 5 TEMA 2: 2.3.3. al 2.4 6 TEMA 2: 2.5 7 TEMA 3: 3.1 al 3.2 8 TEMA 3: 3.3 9 TEMA 3: 3.4 al 3.5 10 TEMA 3: 3.6. al 3.7 11 TEMA 4: 4.1 y 4.3 12 TEMA 4: 4.4 y 4.6 13 TEMA 5: 5.1 y 5.3 14 TEMA 5: 5.4 al 5.6 15 TEMA 6: 6.1 16 TEMA 6: 6.2 17 TEMA 7: 7.1 18 TEMA 7: 7.3 19 EVALUACION FINAL Presentación de notas 20 EVALUACION DE SEGUNDA INSTANCIA Presentación de notas U N I V E EVAL PARC I Presentación de notas EVAL PARC II Presentación de notas R S I D A D 6 D E A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORK PAPER # 1 UNIDAD O TEMA: MATRICES TITULO: Operaciones matriciales FECHA DE ENTREGA: Semana 2 PERIODO DE EVALUACION: Primer Parcial “elemento a elemento” A + B = [aij + bij] y es del mismo tamaño. Nota: Solo se pueden sumar matrices del mismo tamaño. MATRICES. Una matriz es un arreglo rectangular de números ordenados en m-filas (horizontales) y n-columnas (verticales) encerrados entre paréntesis o corchetes. Multiplicación por un escalar: El producto de una matriz A = [aij] por un escalar “k” se obtiene multiplicando cada elemento de la matriz por dicho escalar k·A = [k·aij] Nota: En el trabajo con matrices se acostumbra a llamar escalar las cantidades numéricas independientes. La notación mas usada es A = [aij] donde i es el número de posición de la fila y j el de la columna. El tamaño de la matriz se especifica usualmente escribiendo como subíndice “mxn” Multiplicación de matrices:Sean las matrices A = [aij]mxp y B = [bij]pxn el producto es pasible porque el número de filas de B es p y es igual al número de columnas de A. La matriz resultante C es del orden m x n C = A·B = [cij]mxn y sus elementos se obtienen multiplicando los elementos de las filas de A por los elementos correspondientes de las columnas de B y sumando estos productos. p Cuando m = n se dice que la matriz es cuadrada. Diagonal principal: Solo existe en matrices cuadradas y es la línea formada por los elementos aij tales que i = j Traza de una matriz: es la suma de los elementos de la diagonal principal. Traza (A) = a11 + a22 + a33 + ... + ann cij a ik b kj k 1 Nota El producto de dos matrices solo es posible cuando el número de filas de la segunda matriz es igual al número de columnas de la primera. OPERACIONES CON MATRICES. Suma de matrices: Sean la matrices A = [aij] y B = [bij] su suma se obtiene sumando U N I V E R S I D A D 7 D E A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA CUESTIONARIO DEL WORK PAPER 3. Dadas las matrices. 1 1 i i A 3i 2 i (i 1) 3 1 2 i B 1 i i3 2 i 2i 1. Con las siguientes matrices: 4 2 A 1 3 8 6 5 2 B 3 7 1 2 4 C 2 6 0 3 2 7 D 0 1 3 7 7 5 6 1 3 E 1 1 2 4 1 3 1 2 3 5 F 4 3 0 7 4. Dadas las matrices: / gi j i j / G gi j H hi j 4x3 2x3 Calcular: AB; BA; A2; B2; (A + B)2; (A – B)2; (i – 1) A hi j i 1 7 A 9 0 j Calcular cada inciso cuando sea posible. Justificar su respuesta cuando el cálculo no se pueda efectuar. (a) (b) (c) (d) (e) (f) 3 11 6 5 4 3 23 8 2 10 11 0 5 7 11 20 1 35 B 5 X 17 13 3 4 3 2 2 9 3C – D (AB)C A(BC) + 3I3 D + 2E2 GHT – 2FT (3H + 1/2C) – BAT Que valor debe tomar “x” para que el elemento a.b 32 = -3 2. Suponga que A es de orden 3x5, B de 5x3, C de 5x2 y D de 3x2. Indique las operaciones que están definidas, y cuál es el tamaño del resultado cuando exista. (a) (b) (c) (d) (e) (f) 2 5 X 4 5. Sean las matrices: 4 0 0 6 1 1 A 1 0 0 B 1 0 1 0 0 1 0 0 2 BA A(B + C) (AB)T AC – BD ABBA (AB + D)-1 Calcule A3 – 3 B2 + 10 I3 U N I V E R S I D A D 8 D E A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA 6. Sea A la matriz definida de la siguiente manera: Emplee operaciones elementales para determinar si esta matriz es inversible y encuentre la inversa en caso de que lo sea. ai1 2 i , i 1,2,3 aij (1) i j (i j 1), i 1,2,3; j 2,3 U N I V E R S 7. Obtenga una matriz cuadrada M de orden 3, con elementos 1, 2, 3,…, 9 tal que las filas, columnas y diagonales sumen 15. ¿Esta matriz es única? I D A D 9 D E A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORK PAPER # 2 UNIDAD O TEMA: DETERMINANTES TITULO: Determinantes FECHA DE ENTREGA: Semanas 4 PERIODO DE EVALUACION: Primer Parcial DETERMINANTES. 5. Si una matriz B es el resultado de sumarle a una fila de la matriz A un múltiplo de otra fila, det(A) = det(B) El determinante es una función que asocia un número real a una variable matricial y se define como det (A). 6. Si B es el resultado de intercambiar dos filas en una matriz A, det(A) = – det(B) El determinante de una matriz de segundo orden es el producto de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria. 7. Si una matriz B es el resultado de multiplicar una fila de la matriz A por un escalar k entonces det(B) = k۰det(A) El determinante como un número real asociado a una matriz cumple las siguientes propiedades: Si A y B son matrices de igual tamaño, det(A۰B) = det(A)۰det(B) det(A + B) ≠ det(A) + det(B) 1. Si una matriz A tiene una fila o columna cuyos elementos son todos “0” entonces el det(A) = 0 det( A1 ) 2. Si una matriz A tiene dos filas iguales, det(A) = 0 Los métodos más usados de evaluación de determinantes de orden “n” son: 3. Si A es una matriz cuadrada, det(At) = det(A) Por reducción (con elementales entre filas). 4. Si A es una matriz triangular, det(A) = a11۰a22۰a33۰...۰ann Por desarrollo de cofactores (en filas o columnas). U N I V E R S I D A D 10 D E 1 det(A) A Q U I N O operaciones B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA CUESTIONARIO DEL WORK PAPER 1. Calcule el determinante siguientes matrices: de las 3. Encuentre el valor de a en la siguiente matriz, sabiendo que el det(B) = 0 y det(C) = 0. 1 2 a 3 a 3 1 C 0 a 2 2 B 1 a 3 1 0 a 0 0 2 3 4 5 1 3 20 3 0 A 0 3 2 B 0 0 0 1 2 1 3 0 5 1 2 2 3 4 1 3 1 2 4 6 8 2 C 6 2 1 D 5 7 3 0 9 1 2 0 4 2 1 4. Sabiendo que det (A) = 4 y det (C) = –3. Aplique las propiedades correspondientes y calcule los determinantes de las matrices “B” y ”D”. Justifique su respuesta. 1 2 3 8 16 24 A 0 1 2 B 0 1 2 2 3 4 2 3 4 b a b c a C d e f D d 3a e 3b g h i 2 g 2h 2. Dadas las siguientes matrices, evalué las expresiones indicadas teniendo en cuenta las propiedades de los determinantes: 1 E 0 1 1 2 1 B F 2 6 3 4 1 2 A 0 1 2 3 3 3 2 2 2 3 4 6 8 12 5. Se dice que una matriz cuadrada A es ortogonal si A-1 = AT. Muestre que: cos A 0 sen 1 2 0 1 0 C G 2 0 2 3 4 0 2 2 6. Determine el valor de det(A) =1, para: 7. cos A 1 (b) Y 5det H 5(det E) 3 3 (c) Y det(C D) det C det D det F (d) Y det F det F t (e) Y det(A2 3BT 5I 2 ) I V E 0 sen 1 0 0 cos es ortogonal, utilizando operaciones elementales. 1 0 1 5 0 D H 2 3 2 0 5 3 3 2 2 (a) Y det A 3 det B det E U N c f 3c 2i R S I D A D 11 D E A Q de modo que sen cos U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORK PAPER # 3 UNIDAD O TEMA: INVERSIBILIDAD TITULO: Inversa de una matriz FECHA DE ENTREGA: Semana 5 PERIODO DE EVALUACION: Primer Parcial INVERSA DE UNA MATRIZ. Otro método para calcular la inversa de una matriz es utilizando los cofactores y los determinantes: En el trabajo con números reales se puede sustituir la división de un número “a” entre un número “b” por el producto de “a” por el inverso de “b”. No se ha definido un método para dividir matrices directamente pero si podemos encontrar una matriz inversa a la dada entonces podemos definir (en los casos que sean posibles) la división de una matriz A ente una matriz B como el producto de A por la matriz B-1 donde B-1 es la matriz inversa de B. Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por adjA, a la matriz que se obtiene de reemplazar cada elemento de A por su correspondiente cofactor. Luego la inversa de A se puede calcular por la siguiente formula: A1 Uno de los métodos mas utilizados para encontrar la inversa de una matriz es el método de Gauss-Jordán y consiste anotar una matriz identidad correspondiente al lado de la matriz dada, luego realizar transformaciones en las filas de ambas matrices hasta convertir la matriz dada en identidad, luego la matriz resultante de las transformaciones realizadas en la identidad será la inversa de la matriz original. 1 t adjA det A Notas: a) Solo se puede hallar la inversa de matrices cuadradas. b) Si el determinante de una matriz es “0”, su inversa no existe. U N I V E R S I D A D 12 D E A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA CUESTIONARIO DEL WORK PAPER 1. Hallar la inversa de las siguientes matrices. 1 2 A 0 1 2 1 B 5 3 1 2 C 3 4 5 8 D 7 11 4. Muestre que la propiedad (AB)-1 = B-1 A-1 se verifica para: 1 1 0 2 1 0 A 0 1 1 B 1 0 1 0 0 1 1 1 0 5. Dadas las matrices: 1 3 2 4 2 4 5 1 A 3 7 3 5 0 1 0 2 5 2 3 4 1 1 3 0 B 9 8 2 3 3 2 1 1 0 1 2 3 2. Con las siguientes matrices aplicar el método de Gauss Jordan para encontrar la inversa. 0 2 3 E 1 3 3 1 2 2 1 2 3 F 2 5 3 1 0 8 1 2 3 G 1 0 4 0 2 2 6 1 0 1 1 Determinar si son invertibles y, si lo son, calcular la matriz inversa utilizando el método de Gauss Jordan. 3. Aplique el método de la inversa por la adjunta para hallar la inversa de la siguiente matriz. 1 1 0 H 3 2 0 1 1 5 2 U N I V E R S I D A D 13 D E A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORK PAPER # 4 UNIDAD O TEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES TITULO: Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales FECHA DE ENTREGA: Semana 8 y 10 PERIODO DE EVALUACION: Segundo Parcial SISTEMAS DE ECUACIONES b) Conjunto Solución, que especifica un número infinito de soluciones y donde existen varios puntos de intersección. Su representación gráfica correspondería: Ecuación lineal: Lineal es una igualdad donde hay una o mas incógnitas o cantidades desconocidas. Resolver una ecuación consiste en encontrar el valor o los valores de las incógnitas para los cuales se cumple la igualdad. y L1 L3 Sistemas de ecuaciones lineales: Se le llama así cuando si tienen más de una ecuación con más de una incógnita, en este caso se pueden dar tres posibles soluciones: x L2 a) Una solución única, cuya solución corresponde a un punto de intersección y su representación gráfica sería: y L2 c) No tener solución, donde el sistema de ecuaciones lineales es inconsistente y no existe ningún punto de intersección. Su representación gráfica sería: L1 y L2 L1 x x U N I V E R S I D A D 14 D E A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA METODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CUESTIONARIO DEL WORK PAPER 1. Considere las siguientes matrices, represente sistemas de ecuaciones lineales y resuélvalos. 1. Eliminación Gaussiana. Este método consiste en convertir la matriz aumentada o ampliada del sistema de ecuaciones en otra escalonada (convertir en triangular la parte de los coeficientes de la matriz). 1 1 0 0 2 0 a ) 0 1 0 3 b) 0 0 0 1 5 0 2. Eliminación de Gauss -Jordán. 0 1 0 0 0 2 1 0 4 8 1 5 9 0 0 2 1 2 1 0 2 0 3 0 3 c ) 0 1 3 0 0 d ) 0 0 0 0 0 1 2 0 0 El método de Gauss-Jordán consiste en convertir la matriz aumentada o ampliada del sistema de ecuaciones en una matriz escalonada y reducida (convertir en identidad la parte de los coeficientes de la matriz). 3 2 1 2 0 5 0 2 1 2 0 1 2 3. Regla de Cramer. 2. Resuelva los siguientes sistemas por el método de Eliminación Gaussiana. Este método permite hallar la solución de cada variable independientemente, aplicando determinantes. Es aplicable a sistemas de ecuaciones lineales de n-ecuaciones con nincógnitas. x y z 0 a) x y 2 z 1 x 2 y 3z 0 2 x1 5 x 2 3x3 28 b) 3x1 2 x 2 4 x3 35 x 7 x 5 x 29 2 3 1 4. Método de la inversa. 3. Resuelve los siguientes sistemas por el método de Eliminación de Gauss Jordan. Consiste en escribir el sistema de ecuaciones lineales de la forma A*X = B y luego resolver X = A-1*B aplicando la multiplicación de matrices. Sistemas lineales. homogéneos de x1 x 2 2 x3 8 a) x1 2 x 2 3x3 1 3x 7 x 4 x 11 2 3 1 x1 x 2 2 x3 2 x 4 11 b) 2 x1 x 2 2 x3 2 x 4 2 3 x 7 x 4 x 8 1 2 4 ecuaciones Cuando en un sistema de ecuaciones lineales todos los términos independientes son “0” se dice que el sistema es homogéneo y puede tener: 4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de la inversa (X = A-1 B). a) Una única solución que es S = (0; 0; ... ;0) (Solución trivial) b) Infinitas soluciones no triviales además de la Solución trivial. U N I V E R S I 1 3I 2 23 a) I 1 I 2 I 3 0 2 I 3I 9 3 2 I D A D 15 D E A Q 2 x1 5 x 2 3x3 28 b) 3x1 2 x 2 4 x3 35 x 7 x 5 x 29 2 3 1 U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA espacio generado por los tres vectores que representan las tres mezclas básicas. La composición de éstas es: 5. En el siguiente sistema de ecuaciones, que valores puede tomar “λ” para que el sistema tenga infinitas soluciones. 2 x 7 y 0 3x 8 y 0 6. Hallar la solución para la variable z solamente a partir del siguiente sistema de ecuaciones lineales: 2 x y 5z 5 1 z 1 2 3 x y z 2 7. La empresa IMAGE COMPANY, fabrica en su planta de Bolivia tres tipos de televisores: de 14, 21 y 25 pulgadas. Los almacenes principales se encuentran en Santa Cruz, Cochabamba, La Paz y Tarija. Las ventas durante el año 1996 de almacén de Santa Cruz se cifraron en 400, 100 y 500 televisores de 14, 21 y 25 pulgadas respectivamente; las del almacén de Cochabamba en 300, 150 y 400; las del almacén de La Paz en 100, 100 y 200 y las del almacén de Tarija en 200, 150 y 300. Los precios de venta de los televisores en 1996 fueron de 25.000 Bs. para los de 14 pulgadas, de 50.000 Bs. para los de 20 pulgadas y 80.000 Bs. para los de 25 pulgadas. Se pide: 8. Una compañía constructora almacena tres mezclas básicas A, B y C. Las cantidades se miden en gramos y cada "unidad" de mezcla pesa 60 gramos. Pueden formularse mezclas especiales de argamasa efectuando combinaciones de las tres mezclas básicas. Por ello, las mezclas especiales posibles pertenecen al R S B C 18 10 25 5 2 12 10 15 15 8 9. Una empresa constructora tiene un pedido de ocho tipos de casas: 5 casas de tipo 1, 20 casas de tipo 2, 12 casas de tipo 3, 21 casas de tipo 4 y 87 casas de tipo 5. Supongamos que cada casa del tipo 1 necesita 13 unidades de madera, cada casa del tipo 2 necesita 16 unidades, las del tipo 3 necesita 45 unidades, las del tipo 4 necesitan 21 unidades y las del tipo 5 necesita 87 unidades de madera. a. Expresar las ventas de la empresa mediante una matriz A de orden 4x3. b. Expresar mediante un vector columna x el precio de cada tipo de televisor. I V E A 20 10 20 10 0 a. ¿Es posible hacer una mezcla que consiste en 1.000 g. de cemento, 200 g. de agua, 1.000 g. de arena, 5000 g. de grava y 300 g. de tobas? ¿Por qué se puede o por qué no?. Si se puede, ¿cuántas unidades de cada mezcla básica A, B y C se necesitan para formular la mezcla especial? b. Supóngase que se desean hacer 5.400 g. de argamasa de manera que contenga 1.350 g. de cemento, 1.675 g. de arena y 1.025 g. de grava. Si la razón de agua a cemento es de 2 a 3, ¿qué cantidad de tobas debe utilizarse para obtener los 5.400 g. de argamasa? ¿Se puede formular esta masa como una mezcla especial? Si es así, ¿cuántas unidades de la mezcla A, B y C se necesitan para formular la mezcla especial? 6x 2 y U N Detalle Cemento Agua Arena Grava Tobas a. Calcular la cantidad de madera que se necesita en total. b. Si por motivos extraordinarios resulta que el suministrador de madera nos ha limitado la cantidad de madera total para la construcción de los cinco tipos de vivenda I D A D 16 D E A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA a 6.238 unidades de madera, suponiendo que ya habíamos construido los cuatro primeros tipos de vivienda, ¿será necesario modificar el modelo de vivienda tipo 5? ¿de qué forma? ¿Qué cantidades deben producirse en las cuatro industrias para satisfacer las necesidades de todas ellas y las demandas de sus consumidores finales, que son de 20, 30, 25, 35 unidades de productos respectivamente por cada una de las industrias? 10. Las condiciones de equilibrio de mercado de tres bienes conduce a que los precios de los mismos cumplan que: 12. Plantear y problemas: resolver los siguientes P1 + P2 – P3 = 10 a. De un capital de 20.000$ se ha colocado una parte al 5% y la restante al 4%. La primera produce anualmente 280$ más que la segunda. Hallar los valores de las dos partes del capital. b. Un profesor de matemáticas para estimular a un alumno suyo le dice: por cada ejercicio que resuelvas bien te daré 70 Bs. y por cada uno que hagas mal me darás 50 Bs. Después de hacer 25 ejercicios, el muchacho se encuentras con 550 Bs. ¿Cuántos ejercicios ha resuelto bien? c. Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3,4 y 5. Hallar la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m2 . P1-P2=0 P1 – P2 + P3 = 10 a) Determinar los precios que satisfacen las condiciones dadas. ¿Son dichos precios únicos? b) Si las condiciones de equilibrio fuesen sólo las expresadas por las dos primeras ecuaciones. Determinar las condiciones que deben cumplir los precios. ¿Son dichos precios únicos? ¿Cuántos grados de libertad tiene el problema? 11. Supóngase que la economía de un país está repercutida por cuatro industrias, cada una de las cuales produce un único bien. Además, el producto final de cada industria se consume con input en todas ellas. Si denotamos por aij, i,j=1,2,3,4 al número de unidades del bien i-ésimo precisas para producir una unidad del producto que genera la j-ésima industria, se tiene para los cuatro productos la matriz: U N I V E R S I D A D 17 D E A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORK PAPER # 5 UNIDAD O TEMA: VECTORES TITULO: Operaciones con vectores FECHA DE ENTREGA: Semana 12 PERIODO DE EVALUACION: Segundo Parcial VECTORES Módulo Llamamos magnitud física a aquella propiedad de un cuerpo que puede ser medida. La masa, la longitud, la velocidad o la temperatura son todas magnitudes físicas. El aroma o la simpatía, puesto que no pueden medirse, no son magnitudes físicas. Dirección Punto de aplicación Sentido VECTORES Y MATRICES Hay magnitudes que con su valor numérico, no suministran toda la información. Si nos dicen que Pedrol corría a 20 km/h apenas sabemos algo más que al principio. Deberían informarnos también desde dónde corría y hacia qué lugar se dirigía. Un vector puede ser representado como una matriz fila o una matriz columna, así de igual manera las filas y columnas de una matriz pueden ser consideradas como vectores. Operaciones con vectores: Estas magnitudes que, además de su valor precisan dirección y sentido se llaman magnitudes vectoriales, y se representan mediante vectores. En este tema estudiaremos los vectores y sus propiedades. Suma: La adición de vectores suma vectores y produce como resultado un vector. Solo se pueden sumar vectores de igual tamaño. Como toda operación, la adición de vectores tiene unas propiedades que nos facilitan su realización: Podemos considerar un vector como un segmento de recta con una flecha en uno de sus extremos. De esta forma lo podemos distinguir por cuatro partes fundamentales: punto de aplicación, módulo (norma o intensidad), dirección y sentido. Propiedad conmutativa v+w=w+v Propiedad asociativa (v + w) + u = w + (v + u) U N I V E R S I D A D 18 D E A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA Propiedad de cierre para la multiplicación por un escalar k۰W Є Rn elemento neutro v+0=v elemento opuesto v + (-v) = 0 Asociativa K۰(l۰U) = (k۰l)۰U Multiplicación por un escalar: Un vector puede ser multiplicado por un escalar y en ese caso cada componente del vector queda multiplicada por el escalar (como una matriz fila). Distributiva k۰(U + V) = k۰U +K۰V (k + l)۰V = k۰V + l۰V Elemento neutro 1۰W = W La multiplicación por un escalar también cumple ciertas propiedades: Sean U; V; W vectores y k; l escalares: Producto escalar: El producto escalar; (producto punto o producto interior euclidiano) es un tipo de multiplicación definida entre vectores que es muy útil para aplicaciones a problemas reales ya que asigna un valor real a una operación entre vectores y se define de la siguiente manera: Asociativa K۰(l۰U) = (k۰l)۰U Distributiva k۰(U + V) = k۰U +K۰V (k + l)۰V = k۰V + l۰V Ejemplo: Sean v = ( v1; v2 ); u = ( u1; u2 ) Θ : Es el ángulo entre “v” y “u” Elemento neutro 1۰W = W u v u v cos Propiedad de cierre: Define que al operar dos elementos de un conjunto el resultado debe pertenecer al conjunto asignado en la operación. También se define en componentes cartesianas. función de sus u v u1 v1 u2 v2 Sean U; V; W vectores que pertenecen a Rn (ndimensionales) y k; l escalares: Análogamente se extiende para todo Rn. Sean v = ( v1; v2; ... ; vn ) u = ( u1; u2; ... ; un ) Propiedad de cierre para la suma V + W Є Rn u v u1 v1 u2 v2 un vn Propiedad conmutativa v+w=w+v Propiedades del producto escalar. Propiedad asociativa (v + w) + u = w + (v + u) Sean: “v” ; ”u” y “w” vectores y k un número real: v۰u = u۰v kv۰u = v۰ku v۰(u + w) = v۰u + v۰w v۰v ≥ 0 elemento neutro v+0=v elemento opuesto v + (-v) = 0 Nota: Si dos vectores ”u” y “w” son perpendiculares u۰w = 0 U N I V E R S I D A D 19 D E A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA Producto cruz de vectores: Es un tipo de multiplicación que se define para el conjunto R3 y el resultado es un vector perpendicular (ortogonal) a otros dos vectores. u = (-1,1) realizar: a) u . w c) u . v Sean v = ( v1; v2; v3 ) y u = ( u1; u2; u3 ) vectores que pertenecen a R3. El producto cruz se determina: 5. ¿Qué ángulo forman los vectores u y v; u y w; v y w del ejercicio anterior? b) v . w d) v . u 6. Calcule el producto escalar entre: v ( v1 ; v2 ; v3 ) v v 1 2 u ( u1 ; u2 ; u3 ) u1 u2 v v v v v v u 2 3 ; 1 3 ; 1 u2 u3 u1 u3 u1 v3 u3 a) b) c) v2 u2 u = (3,4,2) y v = (2,1,5) u = (1,1,1) y v = (2,2,-2) u = (5,-2,1) y v = (0,-1,3) 7. Determine la distancia entre los puntos P1(1,2,3) y P2(-3,-2,-1) 8. Determine el producto vectorial y el ángulo comprendido entre: Las propiedades del producto cruz: u x v = – (v x u) ux(v+w)=(uxv)+uxw) uxu=0 (u + v) x w = ( u x w ) + (v x w) ux0=0xu=0 k(uxv)=kuxv=uxkv a) b) c) u = (3,4,2) y v = (2,1,5) u = (1,1,1) y v = (2,2,-2) u = (5,-2,1) y v = (0,-1,3) 9. Sean: u = (-3,1,2) v = (5,-4,3) w = (-1,7,3) CUESTIONARIO DEL WORK PAPER 1. ¿Cuál de los siguientes vectores tiene mayor módulo? (3,0); (2,1); (2.5,2). Hallar: (a) || u x v || + 2 (3 - || w|| + ||4 u ||) (b) x suponiendo que 3u – x + 5v - 7w = x 2. Con los vectores v = (1,2); w = (2,-1) y u = (-1,1) realiza las operaciones que se indican: 10. Determine el área del comprendido entre los puntos: a) u + v + w b) v + u + w c) (u – v) – (v – u) a) b) triangulo P1(1,2,3) ; P2(-3,-2,-1) y P3(3,-3,0) P1(5,0,0) ; P2(0,5,0) y P3(0,0,5) 11. Determine el área del paralelogramo que tiene como vértices consecutivos a los puntos 3. Dados v = (1y 45º) y w = (2 y 180º) ¿Calcule su producto escalar? P1(3,-2,12) ; P2(-4,-2,7) y P3(1,-3,0) 4. Con los vectores v = (1,2); w = (2,-1) y U N I V E R S I D A D 20 D E A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORK PAPER # 6 UNIDAD O TEMA: ESPACIOS VECTORIALES TITULO: Espacios vectoriales FECHA DE ENTREGA: Semana 14 PERIODO DE EVALUACION: Segundo Parcial ESPACIOS VECTORIALES entonces se dice que los vectores son linealmente independientes. Un vector es conjunto de “n” números ordenados, así un n-vector puede ser representado como v = (v1; v2; v3; ...; vn) 0 = k1v1 + k2v2 + k3v3 +... + knvn Espacio vectorial generado: Un espacio vectorial no es mas que un conjunto no vacío de n-vectores ordenados que cumple con las propiedades de cierre y las antes mencionadas para la suma y la multiplicación por un escalar. Se dice que los vectores v1, v2, v3, ..., vn generan un espacio vectorial V si cualquier vector “b” de dicho espacio se puede escribir como combinación de los vectores dados. Combinación Lineal: Se dice que un vector “v” es una combinación lineal de los vectores v1, v2, v3, ..., vn en un espacio vectorial Rn si existen números reales k1, k2, ... kn tales que “v” pueda ser expresado como: b = k1v1 + k2v2 + k3v3 +... + knvn Base y Dimensión de un espacio vectorial: Un sistema de vectores libre, que permite generar todos los vectores de su espacio vectorial es una base. Todo espacio vectorial tiene al menos una base. El número de elementos de una base de un sistema de vectores se llama dimensión del espacio vectorial. V = k1v1 + k2v2 + k3v3 +... + knvn Dependencia e Independencia Lineal: Se dice que los vectores v1, v2, v3, ..., vn son linealmente dependientes si existen infinitas combinaciones lineales de estos vectores que den como resultado el vector 0. Por ejemplo: Los vectores (0,0,1), (0,1,0) y (1,0,0) son la base que se utiliza normalmente en un espacio de tres dimensiones. Si la única combinación lineal que da este resultado es aquella en la que k1 = k2 = ... = kn, U N I V E R S I D A D 21 D E A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA Espacio entre renglones y entre 3. Exprese los siguientes vectores como combinaciones lineales de: u = (2; 1; 4); v = (1 ; -1; 3) y w = ( 3; 2; 5) columnas El espacio entre renglones de una matriz A es aquella matriz reducida a la Forma Escalonada en los Renglones cuyos renglones diferentes de cero forman una base para el espacio vectorial. a = (5 ; 9 ; 5 ); b = ( 2 ; 0 ; 6 ); c = ( 0 ; 0 ; 0 ); d = ( 2 ; 2 ; 3 ) 4. ¿Cuales de los siguientes conjuntos de vectores son linealmente dependientes y cuales linealmente independientes? El espacio entre columnas de una matriz A es aquella matriz A transpuesta reducida a la Forma Escalonada en los Renglones cuyos renglones diferentes de cero forman una base para el espacio vectorial. a) u1 = ( 1 ; 2) y u2 = ( -3 ; -6 ) en R2 1 3 2 6 y B 2 0 4 0 b) A c) (2 ; -1; 4); (3; 6; 2) y (2; 10; -4) en R3 La dimensión del espacio entre renglones y entre columnas de una matriz A se conoce como rango de la la matriz. 5. Hallar el rango de las siguientes matrices: 1 2 0 3 A 2 4 3 7 CUESTIONARIO DEL WORK PAPER 1. Determine cuales de los siguientes conjuntos son espacios vectoriales y para los que no lo son, enumere las propiedades que no cumple: {(1,2,3,t,5),(2,1,3,0,1),(1,1,2,0,2),(4,4,8,1,8)} b) El conjunto de pares ( x ; y ) con las operaciones ( x; y ) + ( x´; y´ ) = (x ▪ x´; y ▪ y´ ) y kx = xk 7. Son las matrices A, B y C linealmente independientes: 1 0 A 1 1 0 1 c) El conjunto de las matrices a 1 1 b M2 2 = 2. ¿Cuáles de los siguientes vectores son combinaciones lineales de : u = ( 1 ; -1 ; 3 ) y v = ( 2 ; 4 ; 0 ) I V E R S 2 1 B 1 0 1 1 1 0 C2 1 1 2 b=(4;2;8) d=(0;0;0) U N 0 2 8 6 6 1 7 C 6 1 0 0 4 4 0 0 2 0 6. Determinar para qué valores del parámetro t, el siguiente conjunto de vectores es linealmente independiente: a) El conjunto de pares (x ; y) con las operaciones ( x ; y ) + ( x´ ; y´ ) = ( x + x´ ; y + y´ ) y k ( x ; y ) = (kx +ky) a=(3;3;3) c = (1 ; 5 ; 6 ) en M 22 I D A D 22 D E A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORK PAPER # 7 UNIDAD O TEMA: TRANSFORMACIONES LINEALES TITULO: Transformaciones lineales FECHA DE ENTREGA: Semana 16 PERIODO DE EVALUACION: Evaluación Final TRANSFORMACIONES LINEALES. → u + v = (x + x’; y + y’) → ku = (kx; ky) La transformada lineal es una función vectorial de variable vectorial w = f (v). Donde: El espacio vectorial “v” es la variable independiente y El espacio vectorial “w” es la variable dependiente Si se prueba: F(u + v) = [x+ x’; ( x + x’) + (y + y’); (x + x’) – (y + y’)] = [x + x’; x + x’ + y + y’; x + x’ – y – y’] = [x; x + y; x – y] + [x’; x’ + y’; x’– y’] F(u + v) = F(u) + F(v) F(ku) = (kx; kx + ky; kx – ky) = [kx; k(x + y); k(x – y)] = k(x; x + y; x – y) F(ku) = kF(u) Si V y W son espacios vectoriales y F es una función que asocia un vector único en W para cada vector de V, se dice entonces que F aplica V en W y se escribe: F: V → W. Además si se escribe w = f (v) se dice que w es la imagen de v bajo f. Definición. La definición de transformación lineal dice que todo espacio vectorial en V y W se puede hacer transformación lineal si cumplen con los axiomas de la distribución bajo la suma T(u + v) = T(u) + T(v) y la multiplicación por un escalar T(k*u)= k*T(u). Cumpliendo con lo anterior la transformada lineal tiene sus propiedades que son: Entonces F: R2 → R3 es una transformación lineal Ejemplo: Dados las transformaciones para los puntos (2,-1); (-1,1) y conociendo que la función es transformación lineal, encuentre la expresión de la función. Ejemplo: F(2,-1) = (-1, 1, 2) F(-1,1) = (2, 0, 1) Sea la función f(v) = (x; x+y; x-y) una función F: R2 → R3 Como se sabe que la función es transformación lineal entonces los vectores (2,-1) y (-1,1) forman una base de R2 y por lo tanto generan al espacio, luego: Para u = (x, y) y v = (x’; y’) U N I V E R S I D A D 23 D E A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA (x, y) = k1 (2,-1) + k2 (-1,1) (x, y) =(2k1, – k1) + (– k2, k2) (x, y) =(2k1– k2 , – k1 + k2) f) 2. Dados las funciones F: R2 → R3 para los vectores indicados y conociendo que son transformaciones lineales, encuentre la expresión de cada función. De donde se obtiene: x = 2k1– k2 y = – k1 + k2 a) F(1,2)=(2, 3, 1) F(-1,5)=(-2, 4, 6) Resolviendo el sistema de ecuaciones para K1 y k2: k1 = x + y k2 = x + 2y b) F(3,4) = (7, 9, 1) F(2,5) = (7, 6, 3) Planteando la transformación para el vector general: c) F(3,2) = (4, 1, 5) F(5,4) = (6, 3, 9) F(x, y) = F[ k1 (2,-1) + k2 (-1,1) ] F(x, y) = F[ k1 (2,-1) ] + F[ k2 (-1,1) ] F(x, y) = k1 F(2,-1) + k2 F(-1,1) 3. Dada la aplicación lineal definida por : sustituyendo K1 y k2 por sus valores y remplazando F(2,-1) y F(-1,1): F ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) ( x1 x2 ,3x2 x3 , x3 2x4 , x4 2x5 ) F(x, y) = (x +y)(-1, 1, 2) + (x +2y)(2, 0, 1) F(x, y) = (-x –y ,x +y , 2x +2y) + (2x +4y, 0 , x +2y) F(x, y) = (-x –y +2x +4y , x + y , 2x +2y +x +2y) F(x, y) = (x +3y , x +y , 3x +4y) Comprobando: F(2,-1) = (-1, 1, 2) F(-1,1) = (2, 0, 1) a b F a d c b c d Demostrar si es una transformación lineal. se verifica la función CUESTIONARIO DEL WORK PAPER 1. Determine si las siguientes funciones son o no transformaciones lineales. a) b) c) d) e) F(x; y) = (x; y + 1) F(x; y) = (2x + y; x – y) F(x; y; z) = (x; x + y + z) F(a+ bx + cx2) = (a+1) + (a + b)x + cx2) F(x; y) = (2x; yx) U N I V E R S I D A D 24 D E A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORK PAPER # 8 UNIDAD O TEMA: VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS TITULO: Diagonalización FECHA DE ENTREGA: Semana 17 PERIODO DE EVALUACION: Evaluación Final DIAGONALIZACION 2. Hallar los eigenvalores de las siguientes matrices: Se dice que una matriz cuadrada es diagonalizable si hay una matriz inversible P tal que P-1 A P sea diagonal. Se dice que la matriz P diagonaliza a A. 1 7 7 A 0 1 0 0 0 1 Para diagonalizar una matriz A de n x n se siguen los siguientes pasos: Se hallan los n eigenvectores linealmente independientes. Se forma la matriz P que tenga a los eigenvectores como sus vectores columna. 1 5 0 1 B 0 0 0 0 3. Hallar los eigenvectores de las siguientes matrices: Entonces P-1 A P será matriz diagonal. 1 1 1 C 0 1 0 6 8 10 CUESTIONARIO DEL WORK PAPER 1. Describa un ejemplo que permita determinar la diferencia entre un eigenvalor y un eigenvector. U N I V E R S 2 1 1 0 1 6 0 0 4 1 0 0 1 2 0 3 A 2 4 3 7 I D A D 25 D E A Q 0 2 1 7 0 4 2 0 U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA 4. En la siguiente matriz A, determine si es diagonalizable. Si lo es, halle una matriz P que diagonalice a la matriz A. 19 9 6 A 25 11 9 17 9 4 5. Una agencia naviera tiene su flota de barcos distribuida entre los puertos de Barcelona, Málaga y Mallorca. De los barcos que al comienzo de cada més están en Barcelona, al final de mes sólo vuelve la mitad, un 20% se va a Málaga y el resto atraca en el puerto de Mallorca. De la flota de barcos que está al principio de mes en Málaga se encuentra, a fin de mes, un 20% en Barcelona, un 40% en Mallorca y el resto vuelve a Málaga. Análogamente, de los barcos que hay en Mallorca, un 80% regresa al mismo puerto y el resto se dirige a Barcelona. Suponiendo que el número de barcos es constante, se pide: (a) Plantear en forma matricial el modelo que representa la distribución de la flota. (b) Sabiendo que en el instante actual hay 350, 500 y 200 barcos respectivamente en Barcelona, Málaga y Mallorca, determinar el número de barcos que habrá en cada puerto al cabo de k meses. (c) ¿Cuál será la flota de barcos en cada puerto a largo plazo? U N I V E R S I D A D 26 D E A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA profesionales. El manejo de dicha herramienta será de gran apoyo para los estudiantes y futuros profesionales. Práctica de Laboratorio: Nº 1 Título: Operaciones con matrices. Lugar de Ejecución: Lab de Com. Elaborado por: Ing. Andrea Guzmán Mendoza. Desarrollo: Nombre y apellidos: Al comenzar la práctica, el docente dará una introducción de cómo funciona el programa y como se pueden realizar en el mismo las deferentes operaciones con matrices que han aprendido en clases. Seguidamente se les orientara realizar de forma independiente los siguientes ejercicios. Objetivos: Asignar el valor de una matriz en la herramienta informática (MATLAB). Realizar las diferentes operaciones con matrices estudiadas en clases utilizando (MATLAB). Calcular determinantes utilizando el programa. e 1. Ingrese las siguientes matrices al programa y escriba correctamente la expresión utilizada. A= A= 1 5 9 inversas 2 6 0 3 7 1 4 8 2 B= Diseño: B= -1 -5 -9 -3 Método: Analítico y experimental Materiales y equipos: Laboratorio de computo Software MATLAB. 2 -1 6 -7 0 -1 4 -5 4 8 2 6 C= Fundamentos teóricos: C= 2 5 -1 Una matriz es un conjunto de elementos ordenados en filas y columnas. D= 4 -2 5 3 0 -7 11 15 18 El programa MATLAB es una de las tantas herramientas informáticas desarrolladas para mejorar la forma en que las matemáticas sirven de apoyo a las diferentes áreas I V E R S 4 9 3 D= Las operaciones con matrices son una de las aplicaciones más importantes del Álgebra lineal a las diferentes ramas de la ingeniería. U N 3 7 0 E= I D A D 27 D E A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA E= 12 -1 4 -15 0 3 F= F= 4 -3 6 1 -1 102 g) 2(ETF)-4CA 54 31 h) Determinante de A 2. Realice las operaciones indicadas escribiendo la expresión correcta y la matriz resultante. Si la operación no es posible explique ¿por qué? i) Determinante de B a) AT . j) Inversa de C k) Inversa de F b) C + D. Conclusiones: c) 3 (C + D.) Bibliografia: d) 3 (C+D)-2C HOWARD Antón; “Introducción al Álgebra Lineal”; Ed. Limusa, México, 1989. MENDOZA Domingo M; “Álgebra Lineal”, Bolivia 1992. RICHARD Hill; “Álgebra Lineal Elemental con aplicaciones”; 3era edición, México, 1997. http://www.math.gatech.edu/~villegas/matl ab/ e) A por B f) Se analizaran las ventajas de usar una herramienta informática. Se comentará sobre otras herramientas como calculadoras y un ejemplo disponible en internet. B por A U N I V E R S I D A D 28 D E A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA y en numerosos ocasiones se tienen tantas ecuaciones e incógnitas que se hace prácticamente imposible resolver el sistema manualmente y se busca el apoyo de una herramienta informática como lo es en este caso el programa MATLAB. Práctica de Laboratorio: Nº 2 Título: Sistemas de ecuaciones lineales. Lugar de Ejecución: Lab de Com. Elaborado por: Ing. Andrea Guzmán Mendoza. Nombre y apellidos: Desarrollo: Al comenzar la práctica el docente recordará dos de los métodos de solución estudiados en clases. Luego se explicará como se deben introducir las matrices para aplicar cada uno y se orientará a los estudiantes realizar los siguientes ejercicios. Objetivos: Resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando (MATLAB). Resolver series de sistemas de ecuaciones lineales utilizando (MATLAB). Nota: Escriba en las líneas debajo de cada ejercicio, las instrucciones ingresadas al programa y las correspondientes respuestas. Diseño: 1. Resuelve Los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: Método: Analítico y experimental a) Materiales y equipos: Laboratorio de computo Software MATLAB. x1 12x 2 150x5 45x6 463 25x1 113x3 x 4 3 x5 5 x 6 56 210x1 3 x 2 2 x 4 x5 x 6 700 x1 250x 2 3 x3 2 x6 124 Fundamentos teóricos: 3 x 2 2 x 4 2 x5 1200 x1 3 x3 2 x 4 16 Una ecuación es una igualdad donde hay una o más incógnitas o cantidades desconocidas. Resolver una ecuación consiste en encontrar el valor o los valores de las incógnitas para los cuales se cumple la igualdad. Si el mayor exponente de las variables es “1” entonces se dice que la ecuación es lineal. b) Si se tienen más de una ecuación con más de una incógnita, estamos en presencia de un sistema de ecuaciones. Resolverlo significa encontrar los valores de las variables que las satisfagan. x1 2 x2 x3 10x4 13x6 0 x1 31x2 115x6 55x4 0 17x1 2 x5 312x3 2 x4 0 Prácticamente no existe ninguna profesión en la que no surjan problemas que solo pueden resolverse mediante sistemas de ecuaciones U N I V E R S I D A D 29 D E A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA 2. Resuelve La siguiente serie de sistemas de ecuaciones lineales: Bibliografia: 12x1 31x2 3 x3 13 x1 45x2 53x3 23 x 17x 84x 512 2 3 1 12x1 31x2 3 x3 51 x1 45x2 53x3 14 x 17x 84x 111 2 3 1 12x1 31x2 3 x3 15 x1 45x2 53x3 416 x 17x 84x 0 2 3 1 12x1 31x2 3 x3 0 x1 45x2 53x3 181 x 17x 84x 783 2 3 1 HOWARD Antón; “Introducción al Álgebra Lineal”; Ed. Limusa, México, 1989. MENDOZA Domingo M; “Álgebra Lineal”, Bolivia 1992. RICHARD Hill; “Álgebra Lineal Elemental con aplicaciones”; 3era edición, México, 1997. http://www.math.gatech.edu/~villegas/matl ab/ Conclusiones: Se analizaran las ventajas de usar una herramienta informática. Se comentará sobre algunos ejemplos de cómo se pueden utilizar los métodos matriciales para resolver sistemas de ecuaciones lineales en algunas ramas específicas de la ingeniería. U N I V E R S I D A D 30 D E A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA Práctica de Laboratorio: Nº 3 Título: Operaciones con Vectores. Lugar de Ejecución: Lab de Com. Elaborado por: Ing. Andrea Guzmán Mendoza. Desarrollo: Al comenzar la práctica se recordara la relación ente los vectores y matrices, se explicara como se realizan las diferentes operaciones y se indicarán los comandos que se deben utilizar en cada caso. Nombre y apellidos: Después se orientara realizar los siguientes ejercicios. Nota: Escriba en las líneas debajo de cada ejercicio, las instrucciones ingresadas al programa y las correspondientes respuestas. Objetivos: Utilizar el MATLAB para realizar diferentes operaciones con vectores de forma analítica. 1. Dados los vectores v = (25; 315; 53; 0; 19) , u = (41; 15; 253; 0; 27) y w = (2,5; 31,15; 3; 0; 1,29) determine: Utilizar estas operaciones para resolver problemas de aplicación. a) b) c) d) Diseño: Método: Analítico y experimental w – 2u 3v + u modulo de v “ lvl “ producto u∙v Materiales y equipos: Laboratorio de computo Software MATLAB. Fundamentos teóricos: La representación vectorial es ampliamente utilizada en las diferentes profesiones, no solo en el campo de la Física donde se emplean para representar magnitudes que requieren de dimensión; dirección y sentido y en dibujo o en sistemas de posicionamiento geográfico donde pueden representar puntos o dimensiones en el espacio tridimensional, sino también en almacenamiento de datos, ya que toda información se puede representar como un vector n-dimensional. Es por ello que es muy importante poder realizar diferentes operaciones con vectores, de forma analítica pues gráficamente es imposible trabajar con vectores de más de tres dimensiones. U N I V E R S 2. Dados los vectores p = (-225; 309; 1) y q = (40; 0; -125) e) Determine el modulo de vector q x p I D A D 31 D E A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA 3. Determine el área del triángulo cuyos vértices son los puntos P1(454; -21; 1); P2(101; 4; -152) y P3(-412; 0; 594) Y encuentre además la distancia entre los puntos P1 y P2 Conclusiones: 4. Determine el área del paralelogramo que tiene dos arístas consecutivas coincidentes con los vectores v1(54; -271; 0) y u2(11; 654; -152) U N I V E R S Se analizaran las ventajas de usar una herramienta informática. Se comentará sobre algunos ejemplos de cómo se pueden utilizar los métodos matriciales para resolver sistemas de ecuaciones lineales en algunas ramas específicas de la ingeniería. Bibliografia: HOWARD Antón; “Introducción al Álgebra Lineal”; Ed. Limusa, México, 1989. MENDOZA Domingo M; “Álgebra Lineal”, Bolivia 1992. RICHARD Hill; “Álgebra Lineal Elemental con aplicaciones”; 3era edición, México, 1997. http://www.math.gatech.edu/~villegas/matl ab/ I D A D 32 D E A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD DIF´s # 1 UNIDAD O TEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES TITULO: Cálculo de Corrientes en una red eléctrica FECHA DE ENTREGA: CALCULO DE CORRIENTES EN UNA RED ELECTRICA Estudiemos una red, en corriente continua, conformada por baterías cuyas fuerzas electromotrices y resistencias se dán. 1. Hay innumerables problemas que conllevan a la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Utilizaremos una aplicación ampliamente conocida por la cual extendemos la conocida ley de Ohm V = I R. Se deben calcular las intensidades de las corrientes que circulan por la red. a En donde V es la diferencia de potencial o voltaje aplicada a los extremos de una resistencia conocida R, en donde se quiere calcular I (intensidad de la corriente que pasa por la resistencia). I h b R1 g R4 d c R2 amperios R3 e f (a) V = I R, 1 R ohmios R1 V voltios a 2. Las leyes de Kirchoff que se citan a continuación nos permiten resolver las relaciones que se dán entre las diferencias de potencial (voltajes), y las intensidades de las corrientes que circulan en diferentes partes de una red eléctrica, problema que termina en el planteamiento y solución de un sistema de ecuaciones simultáneas. U N I V E R S b 2 R2 (a) (b) I D A D 33 D E A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA Un nodo en una red eléctrica es un punto donde se unen tres o más conductores. Una malla es cualquier trayectoria conductora cerrada. i 1 - i2 5 i1 i3 = 0 + 20 i 3 = 50 10 i 2 - 20 i 3 = 30 En la figura (a) anterior, los puntos a, d, e y c son nodos pero b y f nó. En la figura (b) los únicos nodos son a y b. Algunas mallas posibles en la figura (a) son las trayectorias cerradas abcda, dcfed, hadegh, hadcfegh. No hemos citado todas las mallas posibles del circuito. i1 i2 5 ohmios 50 voltios 10 ohmios 30 voltios i3 Las reglas de Kirchoff son las siguientes: 20 ohmios Regla del nodo : La suma algebraica de las corrientes en un nodo es 0. I=0 Regla de la malla : La suma algebraica de las fuerzas electromotrices en cualquier malla es igual a la suma de los productos I R en la malla. El sistema de ecuaciones se puede escribir en forma matricial como A i = b. = I R. TAREA DEL DIF´s: El equipo después de resolver el sistema de ecuaciones lineales planteado deberá pensar, reflexionar y discutir la solución encontrada. Teniendo en cuenta estas leyes, el sistema eléctrico que se muestra en la figura siguiente da origen al sistema de ecuaciones: U N I V E R S I D A D 34 D E A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD DIF´s # 2 UNIDAD O TEMA: EIGENVALORES, EIGENVECTORES TITULO: Teoremas de la Matriz de Leslie FECHA DE ENTREGA: Teorema 3. Si dos entradas sucesivas de ai y ai + 1, de la primera fila de una matriz de Leslie L son diferentes de cero, el eigenvalor positivo de L es estrictamente dominante. TEOREMAS DE LA MATRIZ DE LESLIE Teorema 1. Una matriz de Leslie L, tiene un eigenvalor positivo único 1 . Este eigenvalor TAREA DEL DIF´s: es simple y tiene un eigenvector x1 cuyas entradas son todas positivas. Luego de que el equipo comente y discuta los teoremas de la matriz de leslie, suponer que una población animal es dividida en dos clases de edades y que su matriz de Leslie es: Teorema 2. Si 1 es el eigenvalor único positivo de una matriz de Leslie L y si i es cualquier otro eigenvalor real o completo de L, entonces i 1 . Por el teorema 2, a 1 se le conoce como eigenvalor dominante de L. Para este Calcular el eigenvalor positivo 1 de L y el eigenvector correspondiente x1 . 1 propósito se requiere que i para todos los eigenvalores de L. Si este es el caso, se dice que 1 es un eigenvalor estrictamente dominante de L. U N I V E R S I D A D 35 D E A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD DIF´s # 3 UNIDAD OTEMA: MATRICES TITULO: Propiedades de la aritmética matricial. FECHA DE ENTREGA: En las diferentes ramas de las ingenierías, es común que un conjunto de datos se representen en forma de matrices para simplificar u optimizar su procesamiento, con ellas se realizan diferentes operaciones básicas. Después de consultar las siguientes páginas de Internet y la bibliografía recomendada en este material: U N I V E R S Enuncie las diferentes tipos propiedades que cumple la aritmética matricial y demuestre cada una mediante un ejemplo. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed990289-02/ed99-0289-02.html http://www.webmath.com/ http://fresno.pntic.mec.es/~jvaamond/producto .htm www.recursosmatematicos.com/interactiva.ht ml I D A D 36 D E A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD DIF´s # 4 UNIDAD OTEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES TITULO: Interruptores FECHA DE ENTREGA: En algunas áreas profesionales como la electrónica, la mecánica, la economía, etc. surgen problemas cuya solución requiere de sistemas de ecuaciones lineales con un considerable número de ecuaciones e incógnitas los cuales no son posibles de resolver por los métodos de eliminación y por ello se recurren a los métodos matriciales. Consulte la Internet y los textos de ingeniería que considere pertinente y traiga un ejemplo de dichos problemas con el desarrollo de su solución, para discutir en clases. U N I V E R S http://www.mvps.org/vexpert/articles/mat_gau ss.htm http://200.13.98.241/~javier/algebra_lineal_cu rso.pdf. http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/jvaz quez/teleco.html http://fresno.pntic.mec.es/~jvaamond/product o.htm www.recursosmatematicos.com/interactiva.h tml I D A D 37 D E A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD DIF´s # 5 UNIDAD OTEMA: VECTORES Y ESPACIOS VECTORIALES TITULO: Interruptores FECHA DE ENTREGA: Si se quieren definir elementos que requieran más de una característica para su comprensión y tenerlos de forma ordenada para su procesamiento, la forma ideal que nos brinda la matemática es la representación vectorial y las propiedades de las operaciones que se realizan con los conjuntos de elementos o vectores, definidos como espacios vectoriales. Consulte la Internet y la bibliografía necesaria y traiga un ejemplo de alguna aplicación específica que se le de en las carreras de ingeniería de Sistemas y Telecomunicaciones U N I V E R S a los vectores y/u operaciones con espacios vectoriales http://fresno.pntic.mec.es/~jvaamond/product o.htm www.recursosmatematicos.com/interactiva.h tml http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial http://html.rincondelvago.com/algebralineal_vectores-y-espacios-vectoriales.html http://www.satd.uma.es/matap/frodriguez/Apu ntes/ev.pdf. I D A D 38 D E A Q U I N O B O L I V I A