UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
AREA DE SISTEMAS COMPUTACION E INFORMATICA
INVESTIGACION DE OPERACIONES I
(ST-113)
PROBLEMAS
DE PROGRAMACION LINEAL
PROFESORA:
Ing.
IRMA INGA SERRANO
1. PROBLEMA (producción)
DFC es una empresa que fabrica escritorios, mesas y sillas. Para la manufactura de cada
tipo de mueble de requiere de madera y dos tipos de mano de obra calificada: acabado y
carpintería. La cantidad de recursos necesarios para elaborar cada tipo de mueble se da
en la siguiente tabla:
MUEBLE
Escritorio
Mesa
Silla
Madera
(pie-tablón)
8
6
1
Acabado
(Hr)
4
2
1.5
Carpintería
(Hr)
2
1.5
0.5
Semanalmente se cuenta con 480 pies tablón de madera, 200 horas de acabado y 80
horas de carpintería.
Un escritorio se vende en $60 , una mesa en $30 y una silla en $20. La empresa opina
que la demanda de escritorios y sillas es ilimitada pero que se puede vender a lo mas 5º
mesas semanales.
Formule el problema como un PL para maximizar los ingresos semanales de la empresa.
2. PROBLEMA (Dieta)
FJJ opera una granja de propiedad familiar. Para complementar varios productos
alimenticios producidos en la granja, FJJ también cría cerdos para venta. La granja
dispone de tres tipos de alimentos para alimentar a los cerdos (maíz, residuo de grasas y
alfalfa), sabiendo que éstos pueden comer cualquier mezcla de estos alimentos.
En la siguiente tabla se da la cantidad de ingredientes nutritivos presentes en 1 kg de
cada tipo de alimento.
Carbohidratos Proteínas
Vitamina
Maíz
Residuos de grasas
Alfalfa
Requerimiento mínimo diario
90
20
40
30
80
60
10
20
60
200
180
150
El costo de cada tipo de alimento es de: $0.84 , $0.72, $0.60 por cada Kg de maíz,
residuos de grasas y alfalfa respectivamente.
Para evitar demasiada cantidad de un mismo tipo de alimento, no debe incluirse en la
mezcla mas de 3 kg de cada tipo.
Se desea determinar la cantidad de cada tipo de alimento que se debe dar a cada cerdo
por día de manera que cubra los requerimientos nutritivos y a costo mínimo.
2.b. PROBLEMA (Dieta)
El departamento de nutrición del Hospital General de MV prepara el mismo tipo de
menú para la cena de sus pacientes durante un mes. Cada menú contiene: espagueti,
pavo, papas, espinaca y pastel de manzana.
El Director del Departamento de Nutrición, ha determinado que cada menú debe
proporcionar por lo menos 63000 mg de proteínas, 10mg de hierro, 15mg de niacina, 1
mg de tiamina y 50mg de vitamina C.
Cada 100 gr de esta comida proporciona la cantidad de cada nutriente y grasas indicadas
en la tabla siguiente:
Proteínas
Espagueti
5,000
Pavo
29,000
Papas
5,300
Espinacas
3,000
Pastel
4,000
Nutriente (mg/100gr)
Hierro Niacina Tiamina Vit. C
1.1
1.4
0.18
0.0
1.8
5.4
0.06
0.0
0.5
0.9
0.06 10.0
2.2
0.5
0.07 28.0
1.2
0.6
0.15
3.0
Grasa
5000
5,000
7,900
300
14,300
Para evitar demasiada cantidad de un mismo tipo de comida, no debe incluirse en ella
mas de 300 gr de espagueti, 300 gr de pavo, 200 gr de papas, 100 gr de espinacas y 100
gr de pastel de manzana.
Se desea conocer la composición de un menú que satisface los requerimientos
nutricionales y proporcione la mínima cantidad de grasas
3. a. PROBLEMA (Financiero)
Un reconocido banco se encuentra en proceso de formular su política de préstamos para
el próximo semestre. Para ese fin asigna un total de 12 millones de dólares. Siendo una
institución de servicios múltiples está obligado a otorgar préstamos a diversos tipos de
clientes.
La siguiente tabla señala el tipo de préstamo que otorga, la tasa de interés que
cobra por semestre y el % del préstamo que se supone como incobrable en el
semestre:
Tipo de préstamo Tasa de interés (%)
Monto incobrable (%)
Personal
14
10
Automóvil
13
10
Casa habitación
12
3
Agrícola
12.5
5
Comercial
10
2
Los montos que se suponen incobrables, no producen ingreso por concepto de intereses.
La política establecida por el banco es:
 Asignar cuando menos el 40% de los fondos totales asignados a préstamos
agrícolas y comerciales
 Los préstamos para casa habitación deben ser iguales cuando menos al 50% del
total asignado para préstamos personales, para automóvil y para casa habitación.
 La relación global de pagos irrecuperables no puede ser superior al 4%
Formule el problema como un modelo de programación lineal para maximizar los
beneficios del Banco.
3.b. PROBLEMA (Financiero)
Una empresa WSC dispone de 1millón de dólares para realizar inversiones y ha
considerado que puede invertir en cuatro tipos de bonos. El interés anual esperado
(IAE), el interés anual en el peor de los casos (IAPC) y la duración de los bonos en
años, se dan en la siguiente tabla:
Tipo de bono
Bono 1
Bono 2
Bono 3
Bono4
IAE
16%
15%
10%
9%
IAPC
10%
10%
7%
6%
Duración
3
4
7
9
La duración de un bono es una mediada de la sensibilidad del bono respecto a las tasas
de interés. WSC quiere maximizar la ganancia esperada de sus inversiones en bonos,
sujeta a las siguientes condiciones o limitaciones:
1. El interés total en el peor de los casos debe ser de por lo menos 45% del monto
total invertido
2. La duración media de la cartera de bonos tiene que ser a lo mas de 6 años.
3. Se desea la diversificación y es por ello que en un solo tipo de bono se puede
invertir a lo mas 40% de la cantidad total invertida .
Formule el PL correspondiente para maximizar el beneficio total de la empresa.
4.a. PROBLEMA (transporte)
Un avión de carga tiene 3 compartimientos para almacenar carga: delantero, centro y
posterior. Estos compartimientos tienen un límite de capacidad tanto en peso como en
espacio. Los datos se dan en la siguiente tabla:
Compartimiento Capacidad (Ton) Espacio (pies3)
Delantero
12
7,000
Centro
18
9,000
Posterior
10
5,000
Para mantener el avión balanceado, el porcentaje de utilización de los compartimientos
(en peso) deben ser iguales.
Se tienen ofertas para transportar cuatro cargamentos en un próximo vuelo, las cuales
pueden ser aceptadas en forma parcial o total.
CARGA
Peso (Ton) Vol/peso ( pies3 /Ton) Ganancia ($/Ton)
A
20
500
320
B
16
700
400
C
25
600
360
D
13
400
290
Formular el problema como un modelo de programación lineal para maximizar las
ganancias del vuelo.
PROBLEMA 4.b (transporte)
Mr. WH posee un barco carguero el cual tiene 3 bodegas: en la proa, en la popa y en el
centro. Las capacidades máximas de las bodegas en peso y volumen son:
BODEGA
Peso (Ton)
Volumen (pies3)
Proa
2,000
100,000
Popa
1,500
30,000
Centro
3,000
135,000
WH ha recibido ofertas para transportar cargas las cuales pueden ser aceptadas en forma
parcial o total.
CARGA
Peso (Ton) Vol/peso ( pies3 /Ton)
Ganancia ($/Ton)
A
6,000
60
6
B
4,000
50
8
C
2,000
25
9
El barco debe preservar el equilibrio, esto significa que el peso se lleve en cada bodega
debe ser proporcional a su capacidad en Ton. (capacidad de peso).
Formular el problema como un modelo de programación lineal para maximizar las
ganancias del dueño del barco.
5. PROBLEMA (Mezcla)
Sunco Oil produce 2 tipos de gasolina (G1, G2). Cada tipo de gasolina se produce
mezclando 3 tipos de petróleo crudo (P1, P2, P3).
El precio de venta de cada barril de gasolina es: $70 /barril de G1, $60/barr de G2.
El precio de compra por barril de petróleo crudo P1, P2, P3 es de $45, $35 y $25
respectivamente.
Los 2 tipos de gasolina difieren en su índice de octano y en su contenido de azufre. La
mezcla de petróleo crudo que se utiliza para obtener G1 debe tener un índice de octano
promedio de por lo menos 10 y a lo mas 1% de azufre.
La mezcla de petróleo crudo que se usa para obtener G2 debe tener un índice de octano
promedio de por lo menos 8 y a lo mas 2% de azufre.
El índice de octano y el contenido de azufre de los petróleos crudos son:
P1: índice de octano 12
0.5% de azufre
P2: índice de octano 6
2% de azufre
P3: índice de octano 8
3% de azufre
Los clientes de Sunco necesitan diariamente: 3000 barriles de G1 y 2000 barriles de G2.
Sunco tiene la posibilidad de estimular la demanda de sus productos mediante
publicidad. Cada dólar invertido diariamente en publicidad para un tipo de gasolina,
aumenta la demanda de ésta en 10 barriles.
Suponiendo que todo lo que se produce se vende, formule el problema como un modelo
de PL que permita a Sunco maximizar sus utilidades diarias.
6. PROBLEMA
(Programación)
El banco CREDISA atiende a sus clientes de lunes a sábado de 9 a.m. a 5 p.m.
Según los datos estadísticos, la afluencia de clientes al banco por hora es similar cada
día de la semana. Esto ha determinado la necesidad del siguiente número de cajeras por
día:
HORARIO
Nª DE CAJERAS
9–10 10-11 11-12 12-1
8
10
12
12
1-2
2-3
3-4
4-5
10
9
11
12
El banco posee 6 cajeras nombradas de tiempo completo a quienes se les paga $50 por
día.
Debido al incremento de nuevos clientes, el banco va a realizar un concurso para
contrato de nuevas cajeras de tiempo completo y contrato de cajeras de tiempo parcial.
Las cajeras de tiempo completo trabajan de 9am a 5pm, tienen 1 hora de descanso para
refrigerio (el banco determina la hora de refrigerio de las cajeras que puede ser de 12 a
1p.m. ó de 1 a 2 p.m.).
A las cajeras contratadas a TC se les paga $45 por día.
Las cajeras de tiempo parcial trabajan un turno de 4 horas consecutivas cada día (sin
refrigerio) y se les paga $5 la hora.
Para conservar la calidad adecuada de servicio, el banco ha decidido que se debe
contratar a lo mas 5 cajeras de tiempo parcial.
Formule un PL para cumplir con los requerimientos de personal de manera que el costo
total por semana sea mínimo.
7. PROBLEMA (Inventario)
La Cía ABC tiene que determinar cuantos veleros debe producir en cada uno de los
cuatro trimestres. La demanda durante cada uno de los siguientes trimestres es:
Primer trimestre:
Segundo trimestre:
Tercer trimestre:
Cuarto trimestre:
40 veleros
60 veleros
75 veleros
25 veleros
Al inicio del primer trimestre ABC tiene un inventario de 10 veleros. ABC tiene que
decidir al principio de cada trimestre cuantos veleros debe construir en el trimestre y los
veleros que quede en existencia pasarán al siguiente trimestre.
Durante cada trimestre ABC puede producir hasta 50 veleros en horario normal de
trabajo a un costo de $400 por velero. Sin embargo, de ser necesario se podría utilizar
horas extras para construir veleros adicionales a un costo de $450 cada uno.
Al final de cada trimestre, después de terminar la producción y después de satisfacer la
demanda del trimestre actual, se presenta el costo de mantenimiento de inventario para
los trimestre 1 y 2 es de $30 por velero y de $40 para los trimestres 3 y 4. El costo es
aplicado al trimestre en el cual ocurre el inventario.
La administración ha determinado que el inventario al final del trimestre 4 debe ser de
por lo menos 15 veleros.
Formule el problema como un modelo de programación lineal para determinar un
programa de producción que minimice los costos de producción y de inventario durante
los 4 trimestres.
8. PROBLEMA (Producción)
Rylon Corporation fabrica los perfumes Brutte y Chanelle. Se puede comprar la materia
prima para producir los perfumes a $5/lb.
Para procesar 1 lb de materia prima se necesita 1 hr de trabajo en el laboratorio y el
costo de este proceso es de $6/hr .
De la materia procesada se obtiene 3 Oz de perfume Brutte Regular y 4 Oz de perfume
Chanelle Regular.
Se puede vender Brutte Regular a $10/Oz y Chanelle Regular a $8 /Oz. Sin embargo,
Rylon tiene la opción de seguir procesando Brutte Regular para obtener Brutte Luxury
el cual se puede vender a $18/Oz y también procesar Chanelle Regular para obtener
Chanelle Luxury que se puede vender a $14/Oz.
Cada onza de Brutte Regular necesita de 1 hr de proceso en el laboratorio a un costo de
$5/hora, para producir 0.8 onzas de Brutt Luxury.
Cada onza de Chanelle Regular necesita de 1 hr de proceso en el laboratorio a un costo
de $5/hora, para producir 0.7 onzas de Chanelle Luxury.
Cada año Rylon dispone de 6000 hrs de laboratorio y puede comprar hasta 4000 lb de
materia prima.
Suponiendo que todo lo que se produce se vende, formule el problema como un modelo
de PL para determinar el programa de producción que maximice las utilidades de Rylon.
9. PROBLEMA (Producción)
Una empresa de producción fabrica 2 productos químicos: P1, P2, utilizando carbón
como materia prima básica. El precio de venta de P1 es de $4/kg de P1 y de $6/kg de
P2.
La empresa posee sus propias minas que pueden producir hasta 60 Ton de carbón por
mes a un costo de $80/ton.
En el proceso de producción también se utilizan: agua, gasóleo y mano de obra. En el
siguiente cuadro se dan los datos necesarios para fabricar kg de producto:
Producto
P1
P2
Carbón
(kg)
6
9
Gasóleo
(gal)
0.20
0.25
Agua
(m3)
0.10
0.05
M.O.
(hr)
0.20
0.20
El gasóleo se compra a $1.50/gal y por razones ecológicas se restringe su uso a 3,000
gal al mes.
La empresa dispone de 1,800 horas de mano de obra al mes en horario normal a un
costo de $5/hr, pero de ser necesario se puede contratar hasta 300 hrs de mano de obra
en horario extra a un costo de $8/hr.
La compañía de agua posee el siguiente sistema escalonado de tarifas para consumo
comercial:
$1/m3
para los primeros 100 m3
$1.30/m3 para los primeros 50 m3 a partir de los 100m3
$1.80/m3 a partir de 150 m3
La demanda del mercado indica que la producción total de productos debe ser de por lo
menos 2,000 kg al mes.
Suponiendo que todo lo que se produce se vende, formule el problema como un modelo
de programación lineal, para maximizar las ganancias de la empresa.
10. PROBLEMA
CAR Co tiene un presupuesto de 150 mil dólares para hacer publicidad, y de ser
necesario puede conseguir un préstamo de hasta $30mil dólares. Para aumentar la venta
de los automóviles, la empresa considera hacer publicidad en los periódicos y en la
televisión. Cuanto mas utiliza CAR Co un medio de comunicación, menos efectivo es
cada anuncio adicional. En la tabla ajunta se da el número de nuevos clientes alcanzados
por cada anuncio .
N° de ANUNCIOS
Periódico
1 – 10
11 – 20
21 – 30
Televisión
1–5
6 – 10
11 – 15
NUEVOS CLIENTES
900
600
300
10,000
5,000
2,000
Cada anuncio en los periódicos cuesta $1000 y cada comercial en la televisión cuesta
$10,000. Se pueden colocar a lo mas 30 anuncios en los periódicos y a lo mas 15
comerciales en la televisión. ¿Cómo puede CAR Co maximizar el número de nuevos
clientes gracias a la publicidad?. Formule el problema como PL.
11. PROBLEMA (inventario)
Una compañía manufacturera produce dos tipos de productos: P1 y P2. Para fines de los
siguientes dos meses se ha comprometido entregar a uno de sus clientes los siguientes
productos, según el siguiente calendario:
FECHA
Mes 1
Mes 2
PRODUCTOS
5000 unid de P1 y 2000 unid de P2
4000 unid de P1 y 3000 unid de P2
La compañía tiene 2 líneas de montaje: Línea1 y Línea2 con las siguientes horas
disponibles en horario normal por cada mes:
MES
LINEA1
LINEA2
Mes 1
1000
1100
Mes 2
900
1200
En cada mes se puede contratar hasta 100 horas extras en la Línea1 .
Para fabricar 1 unidad de P1 se necesita 0.15 Hr en la Linea1 y 0.16 Hr en la Línea2.
Para fabricar 1 unidad de P2 se necesita 0.12 Hr en la Linea1 y 0.14 Hr en la Línea2.
El costo de la hora de producción en cualquier línea es de $5 en horario normal y de $8
en horario extra, para cualquier producto.
El costo de mantenimiento del inventario, por mes y para cada producto es de $0.20 por
unidad aplicado al inventario final de cada mes. Actualmente hay 500 unidades de P1 y
750 unidades de P2 en el inventario. Al finalizar el Mes2, la Gerencia desea tener en
inventario por lo menos 300 unidades de cada producto.
Formule el problema como un modelo de programación lineal, que minimice el costo
total y satisfaga las demandas a tiempo.
12. PROBLEMA (inventario + programación)
El Banco ABC abre las 24 horas del día . Las cajeras trabajan en dos turnos
consecutivos de 6 horas y reciben un pago de 10 dólares la hora. Loa turnos posibles
son los siguientes: De media noche a 6 a.m., de 6 a.m. a mediodía, de mediodía a 6 p.m.
y de 6 p.m. a medianoche.
Durante cada turno la cantidad de clientes que entran al banco son:
De medianoche a 6 a.m. : 100 personas
De 6 a.m. a mediodía: 200 personas
De mediodía a 6 p.m.: 300 personas
De 6 p.m. a medianoche: 200 personas
Cada cajera puede atender hasta 50 clientes por turno.
Para modelar el costo de la impaciencia de un cliente, suponemos que cada cliente
presente al final de un turno ( que será atendido en el siguiente turno ) “cuesta” al banco
$5.00.
Suponemos que a medianoche de cada día, todos los clientes han sido atendidos y por lo
tanto, el turno de medianoche a 6 a.m. de cada día empieza con 0 clientes en el banco.
Formule un PL que se pueda usar para minimizar la suma de los costos de trabajo y de
impaciencia de los clientes del banco.
13. PROBLEMA
WB vende muchos productos para el hogar mediante un catálogo en línea. La compañía
necesita un gran espacio de almacén para los productos. Ahora planea rentar espacio de
almacén para los siguientes 5 meses. La cantidad de espacio que se necesitará en cada
mes se da en la tabla adjunta. .
Para rentar los espacios existen varias opciones: rentar los espacios necesarios de cada
mes con contratos mensuales, rentar el máximo espacio por 5 meses o una opción
intermedia que sería rentar espacios con diferentes períodos de contratos. En la tabla
adjunta se da el costo de arrendamiento por m2 para diferentes períodos de
arrendamiento.
MES Espacio Requerido
(m2 )
Período de
arrendamiento (meses)
Costo ($/ m2
arrendado)
1
30,000
1
65
2
20,000
2
100
3
40,000
3
135
4
10,000
4
160
5
50,000
5
190
Se desea conocer cuál debe ser la política para rentar los espacios para los próximos 5
meses de manera que el costo total de arrendamiento sea el mínimo. Formule el PL.
14. PROBLEMA
La empresa CPES fabrica equipos para silvicultura y para excavación de tierras.
La venta de cada equipo de silvicultura produce un ingreso neto de $802 por unidad y
para su fabricación se necesitan 700 lb de hierro, 50 horas de mano de obra, 30 horas de
tratamiento térmico y 01 equipo de transmisión.
Un equipo de excavación produce un ingreso neto de $660 por unidad y se requieren
4,200 lb de hierro, 110 horas de mano de obra, 12 horas de tratamiento térmico y 01
equipo de transmisión.
La capacidad de la compañía durante este período es de 680,000lb de hierro, 21,000
horas de mano de obra y 6,000 horas de tratamiento térmico.
Los equipos de transmisión son suministradas por una subsidiaria propiedad de la
empresa. Por tanto la capacidad de fabricación de transmisiones está determinada por la
cantidad de horas dedicadas a su producción en la planta subsidiaria. La fabricación de
los equipos de transmisión tiene 3 fases:
 Fase de la preparación: necesita de 08 horas. En este tiempo no hay producción.
 Fase de arranque: necesita como máximo de 120 horas. En este tiempo se
fabrican 0.5 transmisiones por hora.
 Fase de producción normal: se fabrica 1 transmisión por hora.
La subsidiaria tiene disponible para este período 358 horas en total.
Formule el problema como un problema de programación lineal para maximizar los
ingresos de CPES.
15. PROBLEMA (inventario)
Una empresa nueva XX fabrica un producto PP y dispone actualmente de 10,000
dólares en efectivo.
La proyección de sus ingresos, según el estudio de mercado realizado, y de las cuentas
que tiene que pagar al final de cada uno de los próximos 6 meses se da en la siguiente
tabla:
MES INGRESOS ($) CUENTAS ($)
Marzo
10,000
50,000
Abril
20,000
50,000
Mayo
20,000
60,000
Junio
40,000
20,000
Julio
70,000
20,000
Agosto
90,000
10,000
Es obvio que la empresa tendrá problemas de efectivo para pagar sus cuentas a corto
plazo, hasta que empiece a recibir sus ingresos mas altos. Para resolver este problema,
XX tiene que pedir préstamo de dinero al Banco, para lo cual cuenta con dos opciones:
 A finales de Marzo XX puede obtener un préstamo por 5 meses. El dinero
prestado tiene que pagarse a finales de Agosto, con un interés total del 12%
(cualquier devolución anticipado no reduce el interés del préstamo).
 También puede obtener préstamos por 2 meses. El interés a pagar por el
préstamo es del 7% en total que se pagará al finalizar los 2 meses.
Formule el problema como un modelo de programación lineal para ayudar a XX a
minimizar los costos para pagar sus cuentas a tiempo.
16. PROBLEMA
WSDC está tratando de completar sus planes de inversiones para los próximos 2 años.
Actualmente tiene 2 millones de dólares disponibles para invertir. Además en 6, 12 18
meses WSDC espera recibir un flujo de ingresos de $500,000 , $400,000 y $380,000
respectivamente; los cuales provienen de sus inversiones pasadas.
WSCD está considerando invertir en 2 proyectos de desarrollo existentes (P1, P2) y en
certificados de depósitos (CD).
Proyecto 1 (P1): Proyecto de desarrollo Urbanístico de la ciudad FC
Este proyecto requiere el siguiente flujo de efectivo:
Inversión inicial:
1 millón de dólares
Inversión a 6 meses:
700 mil dólares
Ingresos a 12 meses:
1 millón 800 mil dólares
Ingresos a 18 meses:
400 mil dólares
Ingresos a 24 meses:
600 mil dólares
Proyecto 2 (P2): Proyecto de vivienda para personas de medianos ingresos
El flujo de efectivo que requiere este proyecto es:
Inversión inicial:
800 mil dólares
Ingresos a 6 meses:
500 mil dólares
Inversión a 12 meses: 200 mi dólares
Inversión a 18 meses: 700 mil dólares
Ingresos a 24 meses:
2 millones de dólares
Por política, la empresa no puede recibir dinero en préstamo para hacer inversiones.
También WSCD ha decidido que al comienzo de cada período de 6 meses, los fondos
excedentes (los que no hayan sido asignados a P1 ni a P2), deberá invertir en
Certificados de Depósitos (CD) que produce un interés de 7% durante ese período de 6
meses.
La compañía puede participar en cualquier proyecto a en forma total (100%)o parcial.
Si participa en forma parcial entonces otros inversionistas aportarán la diferencia y
todos los flujos de efectivo de ese proyecto se reducirán proporcionalmente para
WSCD.
Ejemplo: Si participa en el proyecto 1 con el 50% entonces tendría que invertir al
inicio 500 mil dólares, a 6 meses debe invertir 350 mil dólares, a los 18 meses recibirá
un ingreso de 200 mil dólares, etc.
WSCD desea saber cuánto debe invertir en cada uno de los proyectos y cuanto en los
certificados de depósitos semestrales para maximizar el efectivo disponible al final de
los 24 meses.
17. PROBLEMA
SVC fabrica transistores. Un aspecto importante de la producción de transistores es la
fundición del elemento germanio (un componente importante de un transistor) en un
horno.
Desafortunadamente, el proceso de fundición produce germanio de una calidad muy
variable. Existen 2 métodos que pueden utilizarse para fundir germanio: M1 y M2.
Sea Ug la cantidad de germanio utilizado en un transistor. La fundición de germanio
con el método M1 cuesta $50 por cada Ug y con el método M2 cuesta $70 por cada Ug.
En la siguiente tabla se da las calidades de germanio obtenidos mediante M1 y M2
Clase de Germanio
Fundido
Defectuoso
Clase 1
Clase 2
Clase 3
Porcentaje producido
mediante la fundición
M1
M2
30
20
35
25
25
30
10
25
Nota: La clase 1 es mala
y la clase 3 es excelente.
SVC puede volver a calentar el germanio fundido en un intento por mejorar su calidad.
Calentar germanio cuesta $25 por Ug. SVC tiene un horno con capacidad para
recalentar hasta 20,000 Ug al mes.
En la siguiente tabla se da el porcentaje de cada tipo de germanio que se obtiene al
recalentar germanio defectuoso, clase1 y clase2.
Clase de germanio Porcentaje de germanio obtenido
Vuelto a recalentar Defectuoso Clase1
Clase2
Defectuoso
Clase1
Clase2
30
0
0
30
40
0
25
40
50
Clase3
15
20
50
Las demandas mensuales de transistores son: 1000 transistores clase3, 2000 de clase2 y
3000 de clase1.
Formular el problema como un modelo de programación lineal para minimizar el costo
de fundición del germanio a utilizar en la producción de los transistores.
18. PROBLEMA
La empresa CHEESELAC productora de diversos productos lácteos, posee una nueva
planta para fabricar quesos. Los tipos de quesos que se puede fabricara en esta nueva
planta son: queso cremoso y queso fresco, los cuales se venden a $2.50 y $2.20 la libra
(lb) respectivamente.
Para fabricar cualquier tipo de queso se necesitan mezclar leche y crema.
La leche que compra CHEESELAC son de 2 tipos: L1 (leche con mucha grasa el cual
contiene 60% de grasa) y L2 (leche con poca grasa el cual contiene 30% de grasa). Los
costos de compra de L1 y L2 son de $0.80 /lb y $0.40 /lb, respectivamente.
La leche que se usa para producir queso cremoso debe tener en promedio por lo menos
50% de grasa y la leche para producir queso fresco debe tener en promedio por lo
menos 35% de grasa.
Se puede producir crema al evaporar leche con mucha o con poca grasa . Cada lb de
leche con mucha grasa que se evapora produce 0.6 lb de crema y cada lb de leche con
poca grasa que se evapora produce 0.3 lb de crema. La evaporación de 1 lb de leche de
cualquier tipo cuesta $0.40 y el evaporador puede procesar a lo mas 2000 lb de leche
diariamente. De ser necesario se puede comprar hasta 500 lb de crema a un costo de
$1.00/lb
Los ingredientes (leche y crema) se mezclan adecuadamente obteniéndose:
M1(mezcla para producir queso cremoso): por lo menos el 40% de su peso debe ser
crema.
M2 (mezcla para producir queso fresco): por lo menos el 20% de su peso debe ser
crema.
Las mezclas pasan por la máquina de producir quesos, en la cual se tiene que:
1 lb de M1 produce 0.8 lb de queso cremoso.
1 lb de M2 produce 0.7 lb de queso fresco.
El costo de convertir 1 lb de mezcla en queso es de $0.40. Diariamente se puede mandar
por la máquina de fabricar quesos hasta 3000 lb de mezcla.
Para compensar los costos fijos, cada día se debe producir por lo menos 1000 lb de
queso.
Un estudio de mercado indica que diariamente se puede vender hasta 1500 lb de queso
cremoso y hasta 2000 lb de queso fresco.
Formule un PL para maximizar las ganancias de la empresa.
19.- PROBLEMA
JJR es el gerente de inversiones de eléctricas, importante empresa de la región. La
compañía ha programado la construcción de nuevas plantas hidroeléctricas a 5, 10 y 20
años para cumplir con las necesidades de la creciente población en la región que sirve.
Actualmente JJR cuenta con 250 millones de dólares para invertir en proyectos con la
finalidad de obtener ingresos para cubrir sus necesidades de dinero futuro, cuando
realice la construcción de las plantas hidroeléctricas.
La compañía tiene la posibilidad de invertir en 3 tipos de activos fijos (A, B, C). Cada
una de los activos cuesta 1 millón de dólares y producen ingresos a 5, 10 y 20 años. Se
pueden comprar unidades fraccionarias de activos y los ingresos que producen serán
proporcionales al monto invertido.
En cada período: a) si el ingreso es mayor al mínimo requerido, el exceso se usará para
incrementar el pago de dividendos de los accionistas en lugar de ahorrarlo para el
próximo período; b) si el ingreso es menor al mínimo requerido, el faltante será cubierto
con un préstamo cuyo interés es del 30%.
En la siguiente tabla se muestra la cantidad de ingreso generada por cada activo y la
cantidad mínima requerida para cada período futuro en que se construirá una nueva
planta.
Ingresos por activo (en millones)
Años
Activo A
5
10
20
2
0.5
0
Activo B
1
0.5
1.5
Activo C
0.5
1
2
Monto mínimo
requerido
(en millones)
400
100
300
JJR desea determinar la política de inversiones para maximizar los ingresos netos de la
empresa y cubrir los requerimientos futuros para la construcción de las plantas
hidroeléctricas.
20. PROBLEMA
Un fabricante de acero produce 4 tamaños de vigas en I :pequeño, mediano y grande.
Estas vigas se pueden producir en cualquiera de las máquinas: A, B, C.
En la siguiente tabla se da las longitudes (pies) de vigas que cada máquina puede
producir por hora (si solo fabricara ese tipo de viga) :
Viga
Máquina A Máquina B
Máquina C
Pequeña
300
600
800
Mediana
250
400
700
Grande200
350
600
El porcentaje de defectuosos que se obtiene el la máquina A es de 6%, en la Máquina B
es de 4% y en la máquina C es de 1%.
Cada máquina se puede usar hasta 50 horas por semana y los costos de operación por
hora en las máquinas a, B, C y D es de $30, $50 y $90 respectivamente.
Semanalmente, la demanda de las vigas pequeñas, medianas y grandes son de 10,000 ;
8,000 y 6,000 pies respectivamente.
Formule el problema como un PL para satisfacer la demanda al mínimo costo.
21. PROBLEMA
Una empresa que da servicios de reparación de computadoras, requiere para los 5 meses
siguientes la cantidad de horas para reparación (mano de obra calificada):
MES
Mano de obra (hr)
Junio
9,000
Julio
10,500
Agosto
12,000
Setiembre
15,000
Octubre
10,000
A principios del mes de Junio 75 técnicos calificados trabajan para la empresa. Cada
técnico calificado puede trabajar hasta 160 horas por mes. Para cumplir con las
demandas en el futuro, es necesario capacitar a nuevos técnicos (aprendices).
La capacitación de un aprendiz dura 2 meses. Durante los meses de capacitación, los
aprendices requieren de la supervisión de técnicos experimentados. En el primer mes
cada aprendiz necesita de 50 horas de supervisión y durante el segundo mes necesita de
10 horas de supervisión. En el segundo mes un aprendiz ya puede trabajar haciendo un
equivalente de hasta 50 hr de mano de obra calificada.
Cada técnico experimentado gana S/. 2,000 soles al mes (incluso si no trabaja las 160
horas) y cada aprendiz gana S/.300 durante su primer mes y S/. 600 durante su segundo
mes de capacitación.
Al final de cada mes 5% de los técnicos experimentados renuncian por otro empleo.
Formule un PL para cumplir con los requerimientos de mano de obra para los cinco
meses al mínimo costo.
22. PROBLEMA
Un granjero posee 1000 hectáreas de terreno y tiene la posibilidad de utilizarlo para
cultivar maíz o cebada o utilizarlo para criar reses y alimentarlo durante un año.
Cada res cuesta $150 dólares y se vende a $800. Para cada res se requieren 20 horas de
trabajo, media hectárea de terreno y 80 costales de maíz al año. El maíz para las reses
puede ser el que se cultive en el terreno, si alcanza o pueden comprarse.
Concepto
maíz
cebada
Costo de semillas y otros materiales por hectárea
$100
$120
Horas de trabajo requeridas por hectárea
10
8
Rendimiento (costales por hectárea)
120
100
Precio de venta ($ por costal)
$4.5
$5.5
Precio de compra ($ por costal)
$5.0
El granjero puede usar fuerza de trabajo sin experiencia a un costo de $6/hora o con
experiencia a un costo de $10/hora. Cada hora de trabajo del personal sin experiencia
requiere de 0.15 hr de supervisión, mientras que la fuerza de trabajo con experiencia
requiere de 0.05 hr de supervisión. Se dispone de 2000 horas de supervisión al año.
Al inicio del año, el granjero dispone de $200,000 para comprar semillas, insumos,
reses y mano de obra.
Formule el problema como un modelo de programación lineal para maximizar las
utilidades del granjero.
La WP Co tiene tres plantas con exceso en su capacidad de producción. Por fortuna, la
corporación tiene un nuevo producto listo para iniciar su producción y las tres plantas
pueden fabricarlo, así podrá usar todo o parte del exceso.
23.- PROBLEMA
Un producto puede fabricarse en tres tamaños: grande (G), mediano (M) y pequeño (P).
La ganancia bruta que se obtendrá por cada producto es de $420, $360 y $300,
respectivamente. En esta ganancia no están considerados los pagos de indemnización
por despidos de obreros.
Las plantas 1, 2 y 3 tienen capacidad de mano de obra y equipo para producir 750, 900 y
450 unidades diarias de este producto, respectivamente, sin importar el tamaño o la
combinación de tamaños de que se trate.
La cantidad de espacio disponible para almacenar material en proceso impone también
limitaciones en las tasas de producción del nuevo producto. Las plantas 1, 2 y 3 tienen
13,000 ; 12,000 y 5,000 pies cuadrados de espacio respectivamente para material en
proceso de la producción diaria. Cada unidad grande, mediana y pequeña que se
produce requiere de 20, 15 y 12 pies cuadrados, respectivamente.
Los pronósticos de venta indican que si están disponibles, se pueden vender por lo
menos 900, 1,200 y 750 unidades diarias de los tamaños respectivos grande, mediano y
pequeño.
La mano de obra disponible en las plantas 1, 2 y 3 es de 3500, 4500 y 2500 horas por
día respectivamente. Cada unidad de producto grande, mediano y pequeño necesitan de
5, 3 y 2 horas de mano de obra respectivamente.
Si el nuevo producto no utiliza por lo menos el 70% de la mano de obra disponible de
cada planta, será necesario reducir la mano de obra excedente (despido de empleados).
La reducción de cada hora de mano de obra le cuesta a la corporación (por
indemnización) $20.
Para tratar de evitar despidos desiguales en las plantas, el gerente ha decidido que las
plantas deben usar el mismo porcentaje de su capacidad disponible en la fabricación del
nuevo producto.
Formule el problema como un PL.
PROBLEMAS DE TRANSPORTE Y ASIGNACION
PROBLEMA (Transporte)
Una empresa tiene 3 plantas de generación de energía eléctrica (P1, P2, P3) que
suministran la energía requerida a 4 ciudades C1, C2, C3, C4).
Cada planta P1, P2, P3 puede suministrar 35, 50 y 40 millones de Kw-hr
respectivamente.
Las demandas de energía de las ciudades C1, C2, C3, C4 son de 45, 20, 30 y 30
millones de Kw-hr respectivamente.
Los costos ($) para mandar 1 millón de Kw-hr de una planta a una ciudad es:
Planta/Ciudad
C1
C2
C3
C4
P1
8
6
10
9
P2
9
12
13
7
P3
14
9
16
5
Se desea conocer la cantidad de energía que debe enviar cada planta a cada ciudad de
manera que el costo total de envío, sea mínimo.
PROBLEMA (Transporte)
Un hospital necesita comprar un cierto tipo de medicamento perecedero en las
siguientes cantidades: 40 unid para el mes 1, 60 unid para el mes 2, 75 unid para el
mes 3 y 45 unid para el mes 4. Como es un medicamento perecedero, solamente se le
puede usar en el mes de su adquisición.
Este medicamento solamente es distribuido por 3 compañías: A, B, C. La demanda del
medicamento es alta, es por ello que en los próximos 4 meses cada compañía puede
ofrecer al hospital a lo mas 50 unidades. La falta de una unidad de este medicamento “le
cuesta “ al hospital $12 en el mes 1, $15 en el mes 2, $14 en el mes 3 y $13 en el mes 4.
El costo unitario del producto por cada compañía y por cada mes es el siguiente:
Mes1 Mes2 Mes3 Mes4
Cía. A
$8
$7
$8
$6
Cía. B
$7
$8
$7
-Cía. C
$7
$7
$9
$8
Formule el problema como un problema de transporte para minimizar el costo de
transporte y escasez del producto.
PROBLEMA (Asignación)
En el campeonato inter-universitario la UNI va a participar en la competencia de
natación en la modalidad de relevos combinados de 200 m. Un equipo de relevos
combinados está formado por 4 nadadores quienes deben nadar 50m cada uno en un
estilo diferente a sus demás compañeros. Gana el equipo que en total hace el menor
tiempo para los 200m.
El entrenador del equipo de natación de la UNI necesita armar el equipo de relevos
combinados. Para ello ha tomado el tiempo a 5 de los mejores nadadores en 4 estilos
diferentes (tiempo en seg para 50m) dado en la siguiente tabla:
Estilo / Nadador Carlos José
Dorso
Pecho
Mariposa
Libre
38
-33
29
33
35
31
26
David Tony Luis
34
42
39
30
37
33
30
29
35
41
-31
Formule el problema para determinar los nadadores que deben conformar el equipo de
la UNI.
PROBLEMA (Asignación)
Una Cía. Acaba de abrir una nueva tienda y desea determinar los lugares en el que debe
ubicar diversas secciones dentro de la tienda. El gerente de la tienda tiene 5 secciones
(sección zapatos, juguetes, repuestos, utensilios domésticos y discos) pero solo 4
ubicaciones estratégicas, lo cual significa que no habrá ubicación para alguna de las
secciones.
En la siguiente tabla se da las utilidades estimadas anuales (en miles de $) para cada
sección-ubicación.
Sección/Ubicación 1
2
3
4
Calzado
10
6
12
8
Juguetes
15
18
-11
Repuestos
17
10
13
16
Utensilios
14
12
13
16
Discos
14
16
6
12
Formule el problema como un PL para que el gerente de la tienda pueda determinar las
secciones que debe considerar y sus ubicaciones respectivas, de manera que la utilidad
total sea máxima.
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IO-PROBLEMAS-Formulación