4 Oscilaciones en un tubo en U

Área de Mecánica de Fluidos: Instalaciones de fluidos
1
DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA DE
MATERIALES Y FLUIDOS
ÁREA DE MECÁNICA DE FLUIDOS
SIMULACIÓN DE
ESTADOS TRANSITORIOS
EN MECÁNICA DE FLUIDOS
Javier Blasco
Guillermo Hauke
2003
Esta práctica fue desarrollada inicialmente por Alberto Sánchez Insa, Alfonso
Modrego Marco y Rubén Martínez Fanals como un trabajo de la asignatura
Instalaciones de Fluidos en el curso 2001/02.
Área de Mecánica de Fluidos: Instalaciones de fluidos
2
1 Introducción
La simulación numérica de procesos físicos se ha convertido
actualmente, gracias a los avances de los ordenadores, en
una herramienta de diseño de gran utilidad para el ingeniero.
Las técnicas de simulación numérica presentan ciertas
ventajas respecto a los ensayos experimentales, como gran
flexibilidad en las variables a medir y en los cambios de la
geometría del problema, inversión económica reducida,
resultados en un plazo corto de tiempo, etc.
Sin embargo, los resultados conseguidos mediante
simulaciones numéricas deben ser interpretados siempre con
cautela, siendo conscientes de que su exactitud dependerá en
gran medida del modelo matemático que representa el
proceso físico y de la técnica numérica empleada para
resolver las ecuaciones. Las predicciones de simulaciones
numéricas deberán ser siempre contrastadas con resultados
experimentales.
2 Objetivos de la práctica
El objetivo de la práctica es resolver numéricamente varios
problemas de Mecánica de Fluidos mediante una hoja de
cálculo.
La hoja de cálculo que se va a manejar en la práctica resuelve
las ecuaciones diferenciales que describen los fenómenos
transitorios a partir de una serie de simplificaciones que evitan
el uso de técnicas matemáticas numéricas complejas, no
abordables mediante una hoja de cálculo.
Área de Mecánica de Fluidos: Instalaciones de fluidos
3
Los objetivos de esta práctica son los siguientes:
 Estudiar la influencia de los parámetros de distintos
problemas de mecánica de fluidos mediante simulaciones
numéricas.
 Aprender a escribir las ecuaciones de un problema de
mecánica de fluidos de forma que se pueda realizar una
simulación numérica.
Los casos que se van a estudiar son:
 Estado estacionario en tuberías
 Oscilaciones en un tubo en U
 Flujo por gravedad
 Cálculo de chimeneas de equilibrio
Con el objeto de no saturar el guión de prácticas, el desarrollo
teórico de cada apartado se incluye en un capítulo final
denominado Ecuaciones.
3 Estado estacionario en tuberías
3.1 Descripción del problema
En este apartado se va a calcular el tiempo que tarda un flujo
en alcanzar un régimen estacionario en una tubería cuando se
abre una válvula repentinamente al final del conducto. Para
este cálculo se tendrán en cuenta las pérdidas singulares y las
de fricción.
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4
K: Coeficiente de perdidas
H
L
Inmediatamente después de la apertura de la válvula, la altura
del depósito está disponible para que, mediante la presión
hidrostática, empiece a fluir el fluido. A medida que la
velocidad aumenta también lo hacen las pérdidas singulares y
por fricción, disminuyendo así la carga original disponible.
El depósito tiene en su interior una altura de líquido H y
descarga a través de una tubería horizontal de longitud L cuyo
coeficiente de pérdidas es K.
La simulación mediante este modelo nos permite seguir la
evolución del transitorio hasta la obtención de un estado
pseudoestacionario del fluido circulando por la tubería de
descarga (no es realmente estacionario puesto que el caudal
de descarga es función de la altura de líquido en el depósito).
Se supondrá que el volumen de líquido en el tanque es lo
suficientemente grande como para que se pueda suponer que
la altura de líquido en su interior permanece constante durante
el transitorio.
3.2 Contesta a las siguientes preguntas
La hoja de cálculo permite introducir valores de ciertas
variables del problema (celdas amarillas) y observar cómo
afectan estos cambios al fenómeno físico estudiado.
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5
1) Indicar cuáles son las variables independientes
(parámetros) y las variables dependientes (resultados)
del problema.
2) Realizar un análisis paramétrico del problema. Este
estudio debe incluir gráficas que muestren la influencia
de una variable sobre el fenómeno físico y comentarios
sobre las mismas.
4
Oscilaciones en un tubo en U
Descripción del problema
4.1
En este apartado se simulará lo que ocurre en un tubo en U
cuando el líquido en su interior es desplazado de su posición
de equilibrio. Existen tres casos interesantes de oscilaciones
de un líquido en un tubo en U:



Líquido sin fricción
Líquido con fricción, en régimen laminar
Líquido con fricción, en régimen turbulento
No se tratará el último de estos tres casos debido a la
complejidad de las ecuaciones que gobiernan este fenómeno,
imposibles de resolver mediante una hoja de cálculo simple.
Las variables del problema son: longitud total del líquido
dentro del tubo (L), posición inicial de la superficie libre de la
rama derecha (zo) y la velocidad inicial de dicho punto (vo). El
origen de coordenadas z está en la posición de equilibrio y z
toma valores positivos hacia arriba (ver figura).
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6
zo
L
El flujo transitorio en el interior de este tubo se tratará como
flujo unidimensional a lo largo del recorrido del tubo. Se
emplearán las ecuaciones de continuidad y de cantidad de
movimiento para flujos no permanentes.
4.2 Oscilaciones sin fricción
La hoja de cálculo tiene tres campos amarillos en los que se
deben introducir los datos del problema: longitud de líquido
(L), altura inicial (zo) y velocidad inicial (vo)
Una vez introducidos los datos, la hoja calcula las siguientes
variables: altura máxima (zmax), velocidad máxima del fluido en
el tubo (vmax) y el periodo de oscilación (T) (campos marcados
como “Resultados de la simulación”). Además, se presenta
una gráfica de evolución de la altura del líquido respecto a la
posición de equilibrio y otra superpuesta, correspondiente a
velocidad del fluido, ambas respecto al tiempo.
4.3 Contesta a las siguientes preguntas
1) Introduce los siguientes valores: L=5, zo=2 y vo=0.
Este caso significa que hemos elevado 2 m la rama
derecha y que la soltamos sin imprimirle velocidad.
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2)
3)
4)
5)
7
¿Qué valores obtienes para zmax y para T? Observa
las gráficas de evolución de z y v. ¿Es lógico que zmax
sea igual a zo? ¿Por qué?
¿Qué tipo de movimiento se obtiene? ¿Cuánto tiempo
se tardará en alcanzar el estado estacionario?
¿Qué valor toma z cuando v es cero? ¿Y qué le
ocurre a v cuando pasa por la posición de equilibrio
(z=0)? Razona estos resultados.
Realiza un análisis paramétrico de la influencia de los
parámetros del problema sobre zmax, y sobre T. Este
análisis debe incluir gráficas y comentarios.
Discute sobre si los siguientes factores pueden afectar
al resultado de la simulación: anchura del tubo,
densidad del líquido y radio de curvatura del tubo en
U.
4.4 Oscilaciones con fricción
La hoja de cálculo tiene cuatro campos amarillos en los que se
deben introducir los datos del problema: longitud de líquido
(L), altura inicial (zo), velocidad inicial (vo) y viscosidad
cinemática del líquido ().
Una vez introducidos los datos, la hoja calcula el parámetro m
(ver hoja de cálculo), el cual permite saber si dominan las
fuerzas viscosas sobre las inerciales. También se calcula la
amplitud máxima de la oscilación (Z).
Finalmente, se presenta una gráfica de evolución de la altura
del líquido respecto a la posición de equilibrio y otra
correspondiente a velocidad del fluido, ambas respecto al
tiempo.
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8
4.5 Contesta a las siguientes preguntas
1) Analizar las oscilaciones para la siguiente situación:
L=20 cm, zo=5 cm, vo=2 m/s y =1.08e-6 m2/s (agua),
utilizando tres diámetros internos: D=1 cm, 5 mm y 1
mm.
2) Calcula el diámetro crítico para el cual la viscosidad
empieza a tener importancia en las oscilaciones.
3) Repetir las preguntas 1 y 2 para glicerina (=0.77 Pa s
y =1276 kg/m3) y un diámetro D=3 cm. ¿Cambian los
resultados respecto al agua?
4) En el caso de agua y D=5 mm, las gráficas muestran
que la altura va disminuyendo exponencialmente
respecto al tiempo. Piensa un método gráfico o
numérico para obtener la constante de decaimiento k
(en segundos) que aparecería en la exponencial
negativa de z(t) exp(-t/k). Describe el método y calcula
la constante k para el caso indicado.
5 Flujo por gravedad
5.1 Descripción del problema
Este problema estudia el proceso transitorio que se genera al
abrir la válvula de descarga de un depósito que alimenta a una
línea de tuberías de cota variable.
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9
A partir del diámetro del depósito y del diámetro de la tubería
de descarga, la hoja de cálculo permite calcular la evolución
temporal de la velocidad de descarga, el nivel del depósito y
de la distribución de presiones en la línea de descarga.
Las cotas Z0-Z5 que se indican en la hoja de cálculo tienen su
origen en una referencia inferior dibujada como un “suelo”.
Dichas cotas Z0-Z5 corresponden, respectivamente, con la
superficie libre del depósito, el suelo del depósito y cuatro
cotas más de la tubería de descarga.
Para simplificar la resolución numérica de este problema, se
ha supuesto un estado cuasi-estacionario y se han
despreciado las pérdidas de carga. El fluido transportado es
agua.
5.2 Contesta a las siguientes preguntas
Se va a trabajar con los siguientes valores: Ddepósito=50 m y
Dtubería=1 m.
Área de Mecánica de Fluidos: Instalaciones de fluidos
10
1) Comenta brevemente la evolución de la velocidad, el
nivel del depósito y la distribución de presiones en la
tubería de descarga.
2) Las gráficas muestran que la presión disminuye
paulatinamente con el tiempo. Según esto, llegaría un
momento que la presión disminuiría por debajo de la
presión de vapor del líquido, y se produciría
cavitación. Argumenta por qué esto no es posible en
la situación que estamos estudiando (descarga de un
depósito a la atmósfera).
3) Explica dos situaciones de un flujo en una tubería en
las que sí se pueda producir cavitación.
4) Introducir z4=500 m. Se puede observar que P4=P1,
que es la presión al comienzo de la tubería de
descarga. ¿Es esto lógico? ¿Por qué?
5) Responde a la pregunta anterior en el caso de que se
tuvieran en cuenta las pérdidas de carga.
6 Cálculo de chimeneas de equilibrio
6.1 Descripción del problema
Las chimeneas de equilibrio (surge tanks) son conductos
verticales que se comunican con la tubería de suministro de
agua a las turbinas de una central hidroeléctrica con el objeto
de amortiguar las variaciones de presión en los conductos.
Cuando la válvula previa a las turbinas se cierra, se produce
un aumento de presión en la tubería que se propaga aguas
arriba. Este fenómeno se conoce con el nombre de golpe de
ariete (en inglés, water hammer).
Área de Mecánica de Fluidos: Instalaciones de fluidos
Chimenea
de equilibrio
Embalse
11
D
Z
L
Si no se controla el golpe de ariete, el sistema puede sufrir
daños serios1. Por este motivo el aumento de presión es
controlado mediante la chimenea de equilibrio. Cuando se
produce este aumento de presión, parte del flujo se conduce
por el camino más fácil que tiene: la chimenea. De este modo
se evita que todo el aumento de la presión se produzca en una
tubería cerrada, lo cual podría romper dicha tubería.
Cuando se termina la onda de presión del golpe de ariete, el
flujo vuelve a descender por la chimenea, lo que provoca que
aumente la presión. Esto provoca de nuevo unas ondas de
presión que hacen que el fluido vuelva a ascender por la
chimenea, y así sucesivamente. Esto genera un movimiento
oscilatorio del agua en la chimenea.
Esta simulación pretende visualizar el comportamiento de las
chimeneas de compensación de presiones, analizando la
evolución del agua en su interior a partir de los parámetros
geométricos que definen el sistema.
1
Ver, a modo de ejemplo, el accidente de la central nuclear de Three
Mile Island (Middletown, Pennsylvania, EE.UU.) en 1979, o el
accidente en el Brookhaven National Laboratory (1986).
Área de Mecánica de Fluidos: Instalaciones de fluidos
12
Los parámetros de nuestro modelo se encuentran marcados
en amarillo en la hoja de cálculo. Las variables calculadas son:
altura del nivel de la chimenea (Z), velocidad de la superficie
libre de la chimenea (V) y pérdidas de carga en la chimenea
(hf).
6.2 Contesta a las siguientes preguntas
1) Introduce los siguientes valores: L=200 m,
Dconducto=1.25 m, f=0.01, Q0=2 m3/s y Dchimenea=4 m.
Discute los resultados que se observan en la gráfica
de Z, V y hf como función del tiempo. ¿Crees que las
oscilaciones son amortiguadas?
2) ¿Qué relación hay entre V y hf? ¿Por qué?
3) Varía cada uno de los parámetros del problema y
analiza cualitativamente su influencia en las tres
variables Z, V y hf.
4) Las chimeneas de equilibrio están diseñadas para
disipar parte de la energía cinética del flujo y, por
tanto, amortiguar los efectos del golpe de ariete. A la
vista del análisis realizado en la pregunta anterior,
¿cuál de las tres variables Z, V y hf crees que indica la
energía disipada? ¿Qué parámetros de la chimenea
modificarías para aumentar la eficiencia de la misma?
Da algunos ejemplos numéricos obtenidos con la hoja
de cálculo.
5) Calcula la velocidad de propagación de las ondas de
golpe de ariete (ver datos más abajo).
6) Usando los datos de la pregunta 1, compara la
energía disipada en la chimenea (ver pregunta 4) con
el pico de presión de golpe de ariete dado por la
fórmula de Allievi: p=au, donde a es la velocidad
de propagación de las ondas en la tubería y u es la
variación de velocidad producida por el cierre de la
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13
válvula. Indica el porcentaje de energía del golpe de
ariete que se disipa en la chimenea.
La velocidad de propagación de las ondas viene dada
por la fórmula
a
1
 1 D c


K E e
 
donde  es la densidad del líquido, K es el módulo de
compresibilidad del líquido, E es el módulo de
elasticidad del material de la tubería, D y e el diámetro
y espesor de la tubería.
El valor de la constante c depende del anclaje de la
tubería y del módulo de poisson () del material de la
tubería:
 Tubería anclada aguas arriba y libre aguas
abajo: c=5/4 - 
 Tubería anclada en ambos extremos: c=1-2
 Tubería anclada en ambos extremos y con
juntas de expansión: c=1-/2
Se pueden usar los siguientes datos para agua y
tubería de acero: =1000 kg/m3, K=2.2e9 Pa, E=2e11
Pa , =0.3, D=180 mm y e=4mm. Suponer que la
tubería está anclada en ambos extremos.
Área de Mecánica de Fluidos: Instalaciones de fluidos
14
7 Ecuaciones
7.1 Estado estacionario en tuberías
Las pérdidas de carga se pueden expresar (en unidades de
altura) como:
hp = K
V2
2g
donde K, coeficiente de pérdidas totales, se expresa como
K =f
L
+ ki
D
siendo f el coeficiente de Darcy, L la longitud de la tubería, D
su diámetro y ki las pérdidas singulares.
Escribiendo la ecuación integrada de la segunda ley de
Newton entre los niveles 1 y 2, y teniendo en cuenta que p 1 =
p2 = V1 = 0 y z1-z2 = H obtenemos:
H = hp +
L dV
g dt
(A)
sustituyendo el valor de hp
H=K
V 2 L dV
+
2g g dt
(B)
Área de Mecánica de Fluidos: Instalaciones de fluidos
15
Si representamos la velocidad de flujo estacionario como Vest y
tenemos en cuenta que para flujo estacionario dV/dt = 0,
tenemos que
H=K
2
Vest
2g
Sustituyendo H en la ecuación (B) y podemos despejar dt:
dt =
2L
dV
2
K Vest
- V2
Integrando la ecuación anterior, y teniendo en cuenta que la
constante de integración es cero, ya que V es cero cuando t
es cero, obtenemos
t=
Vest + V
L
ln
KVest
Vest - V
Esta expresión también se puede poner del modo:
t=
LVest Vest + V
ln
2gH
Vest - V
Esta ecuación indica que la velocidad tiende asintóticamente a
Vest y que en teoría le cuesta un tiempo infinito. En la realidad,
ondas elásticas y amortiguamiento provocaran que el
equilibrio se alcance en un tiempo finito.
Cuando V = 0,99 Vest
t 0,99 = 5,293
ó
L
KVest
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t 0,99 = 2,647
16
LVest
gH
7.2 Oscilaciones de un tubo en U
7.2.1 Sin fricción
En el caso sin fricción, aplicamos la ecuación de EulerBernoulli para flujo no permanente.
1 p
z
V V
g V

0
ρ s
s
s t
integrando y considerando p1 = p2 y V1 = V2 se obtiene:
g(z 2  z1 )  L
V
t
donde L es la longitud de la columna de líquido.
Cambiando el nivel de referencia a la posición de equilibrio la
ecuación anterior se transforma:
g(z 2  z1 ) 2gz
y considerando que V es únicamente función del tiempo se
puede escribir
d2 z
dt
2

V dV
2g


z
t
dt
L
Área de Mecánica de Fluidos: Instalaciones de fluidos
17
La solución general de la ecuación es
z  C1cos
2g
2g
t  C 2 sen
t
L
L
Dadas las condiciones iniciales de que cuando t = 0, z = Z y
dz/dt = 0, se obtiene C1 = Z y C2 = 0, resultando la siguiente
ecuación:
z  Zcos
2g
t
L
Esta ecuación representa el movimiento armónico simple para
cualquiera de los meniscos, con periodo 2π L 2g para una
oscilación completa.
La velocidad de la columna de líquido puede hallarse
derivando la coordenada z respecto del tiempo: dz/dt
 2g  
2g 
v  Z
  sen
 t 
 L 
L 



7.2.2 Fricción laminar
Cuando un esfuerzo cortante 0 en la pared del tubo resiste el
movimiento de la columna de líquido, se modifica la ecuación
de Euler para el movimiento a lo largo de una línea de
corriente.
1 p
z
V V 4 0
g V


0
ρ s
s
s t
ρD
Esta ecuación es válida tanto para resistencia laminar como
turbulenta. Utilizando la hipótesis de que la resistencia debida
Área de Mecánica de Fluidos: Instalaciones de fluidos
18
a la fricción en un flujo no permanente es la misma que la
resistencia que en un flujo permanente con la misma
velocidad, el esfuerzo cortante en la pared del tubo es:
τ0 
8V
D
Sustituyendo este valor en la ecuación anterior, integrando
con respecto a s, cambiando a derivadas totales y
considerando que v  dz dt , queda:
d2 z
dt
2

32 dz 2g

z0
L
D 2 dt
Las soluciones de esta ecuación son del tipo:
z  C1eat  C2ebt
donde
a
2
 16 
2g
 
 
2
2 
L
D
D 
16
y
b
2
16
2g
 16 
 
 
2
2 
L
D
D 
Al sustituir las condiciones iniciales z = 0 y dz dt  v o para t =
0, se obtiene:
z
V0
2
 16 
2g

 
2 
L
D 

e
16
t
D2
2
 16 
2g
 
senh 
t
2 
L
D 
y a partir de la derivada dz/dt, puede hallarse la velocidad v,
que tiene la siguiente forma:
Área de Mecánica de Fluidos: Instalaciones de fluidos

V0
v
e
16
t
D2
2
 16 
2g

 
2 
L
D 

 16

 senh
2
 D

2
... 
 16 
2g

 
 cosh
2 
L
D 
19
2
 16 
2g

 
t  ...
2 
L
D 

2
 16 
2g 

 
t
L 
 D2 

En la solución del problema se pueden dar dos casos
diferentes:
2g
16

Caso 1: Dominio de la viscosidad si
2
L
D
En el caso de que la viscosidad domine, ésta resulta ser tan
grande que el movimiento se amortigua durante el primer
período de oscilación sin que se lleguen a alcanzar valores
negativos del valor de la altura del líquido con respecto a la
posición de equilibrio, es decir, z.
Es posible calcular el máximo desplazamiento de la columna
de líquido (z):
z máx

  16 
 
 
L   D2 
 V0 

2g 
  16 
  2  
 D 
2
 16 
2g

 
2 
L
D 




 

 2

 16 


 2 
D 
2
 16 

  2g
 2 
L
D 

2
 16 
2g 

 
L 
 D2 
Caso 2: No hay dominio de la viscosidad si
16
D
2

2g
L









Área de Mecánica de Fluidos: Instalaciones de fluidos
20
En el caso de que la viscosidad no domine, el transitorio se
convierte en un movimiento oscilatorio alrededor de la posición
de equilibrio de amplitud decreciente, pero a lo largo de varios
períodos de oscilación. El valor más grande que puede
alcanzar la variable z es:
z máx  V0 
L
2g








 e




tan 1 
2

2g  16 



L  D2 

 16 


 2 
D 
2 
2g  16   


L  D2   

 16 



 2 

D 


7.2.3 Fricción turbulenta
En la mayoría de los casos prácticos de oscilación en
sistemas de tuberías, se tiene una resistencia de tipo
turbulenta. En efecto, cuando se tienen tuberías grandes o
túneles, el número de Reynolds suele ser grande, excepto
cuando la velocidad es próxima a cero. En nuestro caso, la
resistencia del fluido es proporcional al cuadrado de la
velocidad promedio (se supone el factor f es constante):
Al sustituir τ0 
fV 2ρ
nos queda la siguiente ecuación:
8
1 p
z
V V fV 2
g V


0
ρ s
s
s t
2D
Desarrollando esta ecuación matemáticamente y conociendo
las condiciones iniciales z = z0 y dz dt  0 para t = t0,
obtenemos la siguiente expresión:
Área de Mecánica de Fluidos: Instalaciones de fluidos
d2 z
dt 2
21
2

f  dz 
2g
z0.
  
2D  dt 
L
Para obtener la solución de esta ecuación se debe recurrir a
métodos numéricos de resolución de ecuaciones diferenciales
como el método de Runge-Kutta.
7.3 Flujo por gravedad
Para este caso se puede aplicar la ecuación de Euler-Bernoulli
para flujo no permanente:
1 p
z
V V
g V

0
ρ s
s
s t
Una vez definidas dos secciones, se puede integrar a lo largo
de una línea de corriente:
p 2  p1
V 2  V12
 g(z 2  z1 )  2

ρ
2
2 V
1
t
s  0
Sin embargo en este caso como la descarga del depósito será
muy prolongada en el tiempo, podemos considerar dV/dt  0.
Por tanto, para un instante de tiempos dado, consideraremos
que el sistema se encuentra en estado cuasi-estacionario.
Si tuviésemos que considerar el término de la derivada, la
resolución del problema requeriría la utilización de un método
numérico más complicado, como puede ser el método RungeKutta y su desarrollo en una hoja Excel sería más complejo.
De cualquier forma, los resultados obtenidos en la simulación,
corroboran la poca variación de la velocidad con el tiempo.
Área de Mecánica de Fluidos: Instalaciones de fluidos
22
Con la ecuación de Euler-Bernoulli en estado estacionario y la
ecuación de conservación de masa, el problema se puede
resolver fácilmente tomando como referencia energética la
superficie libre del depósito:
p 2  p1
V 2  V12
 g(z 2  z1)  2
0
ρ
2
V1A1  V2 A 2
7.4 Chimeneas de equilibrio
La chimenea de equilibrio se eleva por encima de la superficie
de embalse para evitar sobrecargas durante la operación. En
condiciones normales el nivel del agua será inferior al del
embalse, en una cantidad hf igual a las pérdidas por fricción
en el conducto que los une.
Conforme las válvulas se cierran, el flujo se deriva hacia la
chimenea de equilibrio y el nivel de agua sube por encima del
embalse. A un tiempo t después de cerrar las válvulas, el
nivel de la chimenea será:
h  Z  hf
Donde Z es la altura tomando como cero el nivel del agua en
el embalse y hf es positiva si el flujo entra en la tubería y
negativa si sale de ella.
La fuerza que se opone al movimiento del agua en el conducto
de alimentación es:
ρgA(Z  hf )
Y la tasa de cambio de momento viene dada por:
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ρAL
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dV
dt
Igualando las dos fuerzas, simplificando y reagrupando se
tiene que:
L dV
 Z  hf  0
g dt
Donde:
hf  4fLV 2 /2Dg KV 2
Si en L se incluyen como distancias equivalentes cualquier
otro tipo de pérdidas en el conducto.
A la entrada de la chimenea se debe aplicar la condición de
continuidad:
AV  A c
dZ
Q
dt
Donde A es la sección del conducto y Ac la sección de la
chimenea y Q es el flujo hacia las turbinas.
Para resolver estas ecuaciones hay que hacer una serie de
suposiciones, sobre la variación del factor de fricción y al tasa
de reducción de flujo hacia las turbinas. Incluso cuando Q = 0,
el factor de fricción variable todavía impide una solución
analítica al problema y por eso se suele hacer una integración
numérica. Sin embargo, si el factor de fricción se ignora, se
puede calcular una aproximación para Zmax y el periodo de
oscilación.
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L dV
Z0
g dt
AV  A c
dZ
(Si Q = 0)
dt
Cuando t = 0, Z = 0 en el caso sin fricción se cumple que:
dZ
 Q0 /Ac
dt
puesto que V es dZ/dt, integrando obtenemos:
Z  (Q0 /Ac ) AcL/Ag * sen(( Ag/AcL ) * t)
Y el nivel máximo Zmax será:
Zmax  (Q0 /Ac ) A cL/Ag
el periodo de oscilación:
T  2π AcL/Ag
Si se incluye el factor de fricción, el nivel máximo Zmax será
menor y por tanto los cálculos son conservadores. Un punto
importante es que el extremo mínimo de la oscilación
representado por –Zmax en el caso sin fricción pudiera ser
inferior a la distancia hasta la tubería de suministro de agua y
eso supondría la entrada de aire hacia la turbina. Hay que
tener en cuenta este aspecto en el diseño.
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Nota: Una manera de resolver las ecuaciones de manera
numérica es dada un caudal inicial conocido, un factor de
fricción conocido y el todos los parámetros geométricos
conocidos, podemos calcular una Z y una V inicial. Así
podremos resolver la ecuación:
L dV
 Z  hf  0
g dt
Si fijamos un intervalos de tiempo pequeños, podemos
calcular dZ y dV, que sumados a los Z y V nos permitirán ir
conociendo los siguientes Z y V. Es decir, conocidos Z0, V0 y
dt, podemos hallar dZ y dV de tal modo que:
Zi+1 = Zi + dZ
Vi+1 = Vi + dV
De este modo podemos resolver el problema incluyendo el
rozamiento. Esta forma de calcularlo se basa en un método de
Euler basado en diferencias hacia delante. Es necesario hacer
notar que la estabilidad del método está condicionada a que
los intervalos de tiempo sean menores a un intervalo de
tiempo máximo, es decir:
t < tmáx
Si el intervalo de tiempo es mayor a este intervalo máximo, la
solución diverge. También es necesario hacer notar que este
método numérico es muy básico, ya que es de orden 1, es
decir, que el error en el resultado es del orden de t1. Podría
haberse optado por implementar un método de orden mayor,
como por ejemplo el método de Runge-Kutta clásico, de orden
4, pero eso se deja como ejercicio voluntario para el alumno.
De esta manera se ha operado en la hoja Microsoft  Excel
para obtener valores numéricos.