UNIDAD
3:
ORGANICEMOS
Y
TABULEMOS
VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS.
Organización y presentación de información.
3.1 Atributos y variables discretas.
Cuando se tiene un conjunto de datos dispersos se procede a su organización para
luego presentarlos en una tabla. Esto es lo que se conoce como presentación
tabular. Una vez que la información se encuentra tabulada, puede presentarse en
gráficas.
 Presentación gráfica.
La información tabulada puede presentarse en gráficos. Aquí estudiaremos los
siguientes: gráfico de barras, gráfico circular y pictograma.
 Gráfico de barras.
Como su nombre lo indica, el
gráfico de barras está constituido por barras.
Este gráfico está formado por barritas, todas del mismo
ancho y con una altura proporcional al número de datos
que representan.
Se acostumbra diferenciar una barrita de las otras, para lo
cual pueden utilizarse colores u otros distintivos.
Una barrita siempre debe estar separada de las otras, aunque
existen los gráficos en los que se unen ciertos grupos de barras.
El gráfico de barras puede ser vertical u horizontal. El que aquí
aparece es vertical.
La ventaja que ofrece un gráfico de barras sobre los datos tabulados, es que a simple vista se
pueden sacar algunas conclusiones.
El orden de colocación de las barras puede ser variado, pero se acostumbra dar prioridad al
orden temporal. Es decir que primero se colocan las que representa los datos más antiguos.
Ejemplo. Se ha recopilado la información siguiente: la producción de carros en los últimos
5 años ha sido la siguiente: 1999: 8000 unidades, 2000: 16000 unidades, 2001: 4000 unidades,
2002: 12000 unidades, 2003: 10000 unidades. Tabular la información anterior y presentarla en
un gráfico de barras vertical y en uno horizontal.
 Solución.
Año
Producción
1999
8000
2000
16000
2001
4000
2002
12000
2003
10000
Para construir los gráficos, le daremos a cada 1 000 unidades medio centímetro de altura. Esto
significa que la barra de 16 000 unidades tendrá una altura de 8 centímetros.
(ton)
16000
2
0
0
0
12000
10000
8000
4000
1
9
9
9
2
0
0
2
2
0
0
1
Gráfico de barras vertical
1999
2000
2001
2002
2
0
0
3
400
800
1000 12000
16000
carros
Gráfico de barras horizontal
 Actividad 7. En los casos siguientes, tabular la información y presentarla en un gráfico
de barras vertical y en un gráfico de barras horizontal.
1. En un colegio se encuestó un total de 100 [email protected] para elegir al [email protected] más carismático.
Los resultados obtenidos en la pizarra son los siguientes:
Profesor/a
Puntos
Alejandro
xxxxx xxxxx xxxxx
Amanda
xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xx
xxx
xxxxx xxxxx
Fidel
xxxxx
xxxxx xxxxx xxxxx
Rafael
xxxxx xxxxx xxxxx
Lissette
xxxxx xxxxx
2. Se ha decidido decorar el salón de deportes del centro educativo. La decoración incluye una
figura. Se realiza una encuesta para determinar qué figura incluir entre las siguientes: una copa,
un trofeo, un pesista o un nadador. El resultado de la encuesta es el siguiente:












 














































Copa:  Trofeo:

Pesista:

Nadador:

3. Juan, Sandra, Alfredo, René y Dorotea participan durante 5 días en una competencia de
siembra de arbolitos. Los resultados son los siguientes:
Para Juan: lunes sembró 15, martes sembró 14, miércoles sembró 12, jueves sembró
10, viernes sembró 9.
Para Sandra: lunes sembró 20, martes sembró 18, miércoles sembró 15, jueves
sembró 12, viernes sembró 10.
Para Alfredo: lunes sembró 25, martes sembró 20, miércoles sembró 10, jueves sembró 5,
viernes sembró 5.
Para René: lunes sembró 15, martes sembró 15, miércoles sembró 10, jueves sembró 5, viernes
sembró 5.
Para Dorotea: lunes sembró 20, martes sembró 10, miércoles sembró 5, jueves sembró 5,
viernes sembró 5.
NOTA: cada barra en el gráfico debe presentar el resultado de los 5 días.
4. El alcalde de San Salvador decide cambiarle el color al Teatro Nacional. Entre los colores
posibles están: blanco, azul y amarillo. Se decide que sea la población quien elija, por lo cual se
efectúa una encuesta. Los resultados son los siguientes: azul: 50%, blanco: 30%, amarillo: 20%.
 Gráfico circular.
El gráfico circular, conocido también como gráfico de pastel, es un círculo dividido
proporcionalmente a los datos que representa. Esto implica que los 360 grados que tiene un
círculo se deben distribuir proporcionalmente a los datos. Por lo tanto se deberá usar un
transportador. Como en el gráfico de barras, se acostumbra diferenciar cada sección del círculo.
90º
90º
90º
90º
Para dividir un círculo proporcionalmente, se necesita calcular
los grados que le corresponden a cada grupo de datos. Se
calculan con la ecuación:
Grados = D x 360º
N
En la ecuación se tiene que:
D: número de datos.
N: total de datos.
Ejemplo. Presentar en un gráfico circular los datos de la tabla siguiente:
Año
Producción
1999
8000
2000
16000
2001
4000
2002
12000
2003
10000
Como recordarás, estos son los datos que anteriormente presentamos en
un gráfico de barras.
Calculemos los grados que le corresponden a la producción de cada año.
Antes calculemos el total de datos:
N = 8000 + 16000 + 4000 + 12000 + 10000 = 50000
Para 1999 tenemos: Grados = D x 360º = 8000 x 360º = 57.6º
N
50000
Para 2000 tenemos: Grados = D x 360º = 16000 x 360º = 115.2º
N
50000
Para 2001 tenemos: Grados = D x 360º = 4000 x 360º = 28.8º
N
50000
Para 2002 tenemos: Grados = D x 360º = 12000 x 360º = 86.4º
N
50000
Para 2003 tenemos: Grados = D x 360º = 10000 x 360º = 72º
N
50000
Agreguemos los grados a la tabla:
Año
Producción
Grados
1999
8000
57.6º
2000
16000
115.2º
2001
4000
28.8º
2002
12000
86.4º
2003
10000
72º
Sumemos los grados:
57.6º + 115.2º + 28.8º + 86.4º + 72º = 360º.
Si la suma hubiese sido diferente de 360º,
significaría un error en los cálculos, los cuales
deben revisarse.
2003
(10000)
El gráfico es el siguiente
2002
(12000)
2001
(4000)
1999
(8000)
2000
(1600)
 Actividad 8.
Presentar la información de los casos de la actividad 7 en un gráfico
circular.
 discusión 2
. Cuatro granjas de gallinas producen 36000 huevos diariamente. En
el gráfico de pastel que presenta la producción de cada granja, se tiene que:
Granja A: 100º
Granja B: 50º
Granja C: 120º
Granja D: 90º
Encuentren la producción de cada granja.
Granja
A
B
C
D
Producción

discusión 3.
Cuatro grandes fincas producen 18 000 cocos al día. Las
proporciones de la producción individual se presentan en el gráfico circular siguiente:
A
B
120º 90º
100º
D
C
Granja
Producción
Porcentajes
A
Calculen cuántos cocos produce cada finca. Además,
calculen los porcentajes.
Coloquen los datos en la tabla.
B
C
D
 Gráfico lineal.
El gráfico lineal está formado por una línea formada por segmentos de recta. Estos
segmentos son la unión de un punto con el siguiente. Estos puntos son pares
ordenados formados con la variable y el número de datos correspondiente. Se utiliza
para representar cuadros estadísticos en los que la variable corresponde a períodos
de tiempo.
Para construir un gráfico lineal, se coloca en el eje horizontal el tiempo, y los datos en el
vertical.
Ejemplo. El aumento en la matrícula de un colegio en los últimos 7 años se presenta en la
tabla siguiente:
Año
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
Incremento
100
80
100
60
80
120
100
120
Presentar esta información en un gráfico de líneas.
Vivimos en un ambiente altamente contaminado. Los medios de
transporte y las fábricas nos contaminan. Colaboremos todos en proteger
nuestro medio ambiente.
 Solución.
120
100
80
60
96
97
98
99
En el gráfico podemos observar lo siguiente:
1. Del 96 al 97 perdió 20 [email protected]
2. Del 97 al 98 recuperó 20 [email protected]
3. Del 98 al 99 perdió 40 [email protected]
4. Del 2000 al 2001 recuperó 40 [email protected]
2000
01
02
03
 Actividad 9. Presentar en un gráfico de líneas la información tabulada:
1.
Año
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
Crecimiento
10000
5000
15000
10000
8000
12000
10000
8000
12000
2.
Mes
Ene
Feb
Producción 1000
Mar
Abr
May
Jun
Jul
Ago
Sept
Oct
Nov
Dic
1200 1200
800
1000
900
600
1100
500
800
1000
700
3.
Semana
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Producción
60
80
80
100
120
60
80
120
100
120
60
 Pictograma.
El pictograma es un gráfico con dibujitos que reflejan la naturaleza de la información.
Estos dibujitos deben ser del mismo tamaño. Además, debe antes indicarse el valor de
cada uno de ellos. Por ejemplo, si una manzana equivale a una tonelada, entonces 10
manzanas equivalen a 10 toneladas. Esto debe indicarse siempre en el encabezado.
Los pictogramas son muy vistosos, siempre que los dibujos estén bien hechos. Esto
requiere de un buen dibujante.
Ejemplo. Una tienda de lentes efectúa las siguientes ventas en el primer trimestre:
Meses
Enero Febrero
Marzo
Ventas
400
150
250
Presentar la información de la
tabla en un pictograma.
 Solución.

Equivale a 50
lentes
El pictograma es








Enero
3.2 Variables continuas.






 
Febrero
Marzo
Recordemos que las variables continuas son aquellas que resultan de medir. Son variables
continuas la estatura, el peso, la distancia...
 Tabla de distribución de frecuencias.
Con un ejemplo comprenderemos qué es una tabla de distribución de frecuencias y
cómo construirla.
64 personas, entre jóvenes y ancianos, recorren 500 metros. El tiempo individual en
minutos se muestra en la siguiente serie estadística simple: 2.2, 4.3, 1.9, 4.9, 3.7, 4.2,
4.5, 4.3, 1.8, 4.2, 2.6, 2.7, 1.9, 3.7, 2.2, 4.3, 4.9, 4.9, 4.5, 3.7, 2.6, 1.8, 2.1, 3.4, 2.7, 3.7,
3.9, 1.8, 4.2, 2.7, 4.5, 3.9, 1.8, 4.2, 3.9, 4.2, 3.4, 4.2, 4.5, 4.2, 1.9, 1.7, 4.3, 3.9, 4.2, 1.8,
4.2, 3.7, 4.2, 4.3, 2.7, 4.2, 2.1, 4.9, 4.3, 3.1, 1.8, 1.7, 1.9, 4.3, 4.2, 2.7, 2.1, 4.2.
Los datos así agrupados no nos dan mayor información. Ordenémoslos de menor a
mayor:
1.7, 1.7, 1.8, 1.8, 1.8, 1.8, 1.8, 1.8, 1.9, 1.9, 1.9, 1.9, 2.1, 2.1, 2.1, 2.2, 2.2, 2.6, 2.6, 2.7, 2.7, 2.7,
2.7, 2.7, 3.1, 3.4, 3.4, 3.7, 3.7, 3.7, 3.7, 3.7, 3.9, 3.9, 3.9, 3.9, 4.2, 4.2, 4.2, 4.2, 4.2, 4.2, 4.2, 4.2,
4.2, 4.2, 4.2, 4.2, 4.2, 4.3, 4.3, 4.3, 4.3, 4.3, 4.3, 4.3, 4.5, 4.5, 4.5, 4.5, 4.9, 4.9, 4.9, 4.9.
Ahora los agruparemos en una tabla de frecuencia:
Minutos Frecuencia Minutos Frecuencia Minutos Frecuencia
1.7
2
2.6
2
3.9
4
1.8
6
2.7
5
4.2
13
1.9
4
3.1
1
4.3
7
2.1
3
3.4
2
4.5
4
2.2
2
3.7
5
4.9
4
La frecuencia indica el
número de datos. Para el
caso, la tabla refleja que el
4.2 está 13 veces.
 Frecuencia absoluta (f). La tabla anterior es una tabla de frecuencias absolutas,
ya que nos muestra con qué frecuencia se repite un dato. Entenderemos por
frecuencia el número de veces que se repite un dato en una serie estadística.
Los 64 datos anteriores podemos agruparlos en una tabla más compacta. Para ello
clasificaremos los datos en clases o intervalos. Formemos 5 clases. Para ello
necesitamos el rango o amplitud de la serie. El rango de la serie se calcula restando el
dato menor del mayor. Para nuestro caso, se tiene que:
Rango = 4.9 – 1.7 = 3.2.
 Ancho de clase (Ic). Al dividir la amplitud entre el número de clases deseadas, se
obtiene el ancho de clase. Para nuestro caso, se tiene que:
Ic = 3.2/5 = 0.64 Este es el valor que sumaremos para encontrar todas las clases.
Las clases son:
2.34
1.7
1.7 + 0.64 ............................
1.7 + 0.64
1.7 + 0.64 + 0.64 ............
....
1.7
2.34
2.98
Así continuamos y obtenemos:
1.7
2.34
2.34
2.98
Cuando se tiene una clase, el ancho de clase se calcula restando el
límite inferior del mayor:
2.98
3.62
2.34 – 1.7 = 0.64
3.62
4.26
4.26
4.9
 límites de clase. Cada clase tiene un límite inferior y uno superior. Como
estamos trabajando con variables continuas, los límites son reales. Para el primer
intervalo, tenemos:
Límite real inferior (lri) = 1.7
Límite real superior (lrs) = 2.34
Surge aquí la pregunta: ¿A qué intervalo pertenece el 2.34? Todos los límites
superiores no pertenecen al intervalo en el que se encuentran, únicamente para el
último intervalo están incluidos los dos extremos. Para señalar esto utilizaremos la
siguiente notación:
1.7
2.34
2.34
2.98
2.98
3.62
3.62
4.26
4.26
4.9
Ahora localizaremos el número de datos que pertenece a cada intervalo. Con esto tendremos la
tabla de distribución de clases y frecuencia.
Tabla de distribución de clases y frecuencias.
Tiempos
Corredores
(f)
1.7
2.34
2.34
2.98
17
7
2.98
3.62
3
3.62
4.26
22
4.26
4.9
15
Suma = 64
La tabla de distribución de frecuencias pudo formarse con más de 5 clases. Se
acostumbran de 5 a 15 clases.
 Punto medio (Pm). Cada clase tiene su punto medio (Pm). Este es la mitad de
la suma de los límites de clase.
Para la primera clase, se tiene: Pm = (1.7 + 2.34)/2 = 2.02
Para la tabla anterior, se tiene:
Tiempos
Pm
Corredores
(f)
2.02
17
2.66
7
1.7
2.34
2.34
2.98
2.98
3.62
3.3
3
3.62
4.26
3.94
22
4.26
4.9
4.58
15
Suma = 64
Observa que la diferencia entre un Pm y el anterior es el ancho de clase. Significa que
un Pm puede calcularse sumándole al anterior el ancho de clase.
 Frecuencia acumulada (fa). La frecuencia acumulada se obtiene sumando las
anteriores frecuencias.
 Frecuencia relativa (fr). La frecuencia relativa es el porcentaje que representa
cada frecuencia absoluta.
Para el caso de la frecuencia absoluta 17, la frecuencia relativa es 17 x 100 / (64) =
26.6%
 Frecuencia relativa acumulada (fra). La fra se obtiene sumando las anteriores
frecuencias relativas.
Para la tabla que estamos trabajando, tenemos:
Tabla de distribución de clases y frecuencias.
Pm
(f)
2.02
17
17
26.6
26.6
2.66
7
24
10.9
37.5
2.98
3.62
3.3
3
27
4.7
42.2
3.62
4.26
3.94
22
49
34.4
76.6
4.58
15
64
23.4
100
Tiempos
1.7
2.34
2.34
2.98
4.26
4.9
Suma = 64
F
fa
fr (%)
.
fra (%)
.
100%
Observa que la sumatoria de fr es 100%. Si esto no ocurre, hay un error y los cálculos
deben revisarse.
Ejemplo. Se tiene la siguiente serie estadística simple: 6.8, 5.8, 4.8, 5.0, 5.6, 6.1,
5.9, 6.3, 5.1, 6.0, 6.0, 6.8, 6.8, 5.2, 6.1, 6.2, 5.6, 5.6, 5.0, 6.7, 6.8, 6.4, 6.0, 5.2, 5.6, 6.7,
6.3, 5.7, 5.7, 6.3, 6.4, 6.4, 6.0, 5.0, 5.1, 6.0, 6.6, 6.8, 6.2, 5.3, 4.8, 6.8, 6.3, 6.3, 6.7, 6.0,
6.1, 5.1, 6.7, 6.8, 6.3, 5.4, 4.8, 5.4, 6.5, 6.8, 6.8, 6.1, 5.1, 6.2, 6.1, 6.9, 6.1, 5.0, 6.3, 6.3,
5.8, 5.8, 4.8, 6.8, 5.8, 6.8, 6.0, 4.8, 6.6, 6.7, 5.1, 6.7, 6.1, 4.8, 6.1, 6.7, 5.1, 6.8, 5.1, 4.9,
6.5, 5.2, 5.3, 6.6, 4.9, 6.7, 4.9, 6.8, 6.2, 6.3, 6.8, 4.9, 5.6, 6.1, 4.9, 5.4, 5.6, 5.8, 6.0, 6.0,
6.3, 6.5, 6.6, 5.0, 5.1, 6.9, 5.0, 5.1, 5.4, 5.0, 5.2, 6.7, 6.8, 6.9.
Presentar la información anterior en una tabla de distribución de frecuencias con 7
clases. Además, incluir en la tabla Pm, fa, fr y fra.
 Solución.
Buscando en los datos, encontramos que 4.8 es el menor valor; y 6.9 es el mayor. La
amplitud es:
6.9 – 4.8 = 2.1
Como necesitamos 7 clases, el ancho de clase es: Ancho de clase = 2.1/7 = 0.3
Sumando 0.3 encontramos las 7 clases: 4.8 ▬ 5.1, 5.1 ▬ 5.4, 5.4 ▬ 5.7, 5.7 ▬
6.0,
6.0 ▬ 6.3, 6.3 ▬ 6.6, 6.6 ▬ 6.9.
Ahora calculemos cuántos valores hay en cada clase. Recordemos que los límites
superiores no están incluidos.
Para la clase 4.8 ▬ 5.1, tomamos 4.8, 4.9 y 5.0; el 5.1 NO está incluido.
6.8, 5.8, 4.8, 5.0, 5.6, 6.1, 5.9, 6.3, 5.1, 6.0, 6.0, 6.8, 6.8, 5.2, 6.1, 6.2, 5.6, 5.6, 5.0, 6.7,
6.8, 6.4, 6.0, 5.2, 5.6, 6.7, 6.3, 5.7, 5.7, 6.3, 6.4, 6.4, 6.0, 5.0, 5.1, 6.0, 6.6, 6.8, 6.2, 5.3,
4.8, 6.8, 6.3, 6.3, 6.7, 6.0, 6.1, 5.1, 6.7, 6.8, 6.3, 5.4, 4.8, 5.4, 6.5, 6.8, 6.8, 6.1, 5.1, 6.2,
6.1, 6.9, 6.1, 5.0, 6.3, 6.3, 5.8, 5.8, 4.8, 6.8, 5.8, 6.8, 6.0, 4.8, 6.6, 6.7, 5.1, 6.7, 6.1, 4.8,
6.1, 6.7, 5.1, 6.8, 5.1, 4.9, 6.5, 5.2, 5.3, 6.6, 4.9, 6.7, 4.9, 6.8, 6.2, 6.3, 6.8, 4.9, 5.6, 6.1,
4.9, 5.4, 5.6, 5.8, 6.0, 6.0, 6.3, 6.5, 6.6, 5.0, 5.1, 6.9, 5.0, 5.1, 5.4, 5.0, 5.2, 6.7, 6.8, 6.9.
Vemos que de 4.8 a menos que 5.1 tenemos 6 + 5 + 7 = 18 valores. Estos valores
aparecen tachados. Siguiendo el procedimiento de tachado, obtenemos:
De 5.1 a menos que 5.4 tenemos 15 valores.
De 5.4 a menos que 5.7 tenemos 10 valores.
De 5.7 a menos que 6.0 tenemos 8 valores.
De 6.0 a menos que 6.3 tenemos 22 valores.
De 6.3 a menos que 6.6 tenemos 16 valores.
De 6.6 hasta 6.9 incluido tenemos 31 valores.
El total de datos es: 18 + 15 + 10 + 8 + 22 + 16 + 31 = 120.
Tabla de distribución de clases y frecuencias.
Clases
4.8
5.1
Pm
(f)
4.95
18
18
15
15
5.25
15
33
12.5
27.5
F
fa
fr (%)
.
fra (%)
.
5.1
5.4
5.4
5.7
5.55
10
43
8.33
35.83
5.7
6.0
5.85
8
51
6.67
42.5
6.0
6.3
6.15
22
73
18.33
60.83
6.3
6.6
6.45
16
89
13.33
74.16
6.6
6.9
6.75
31
120
25.84
100
Suma = 120
100%
 Actividad 10. Con los datos siguientes llenar la tabla (de 5 clases).
5.8, 5.8, 5.8, 5.8, 5.9, 5.9, 5.9, 5.9, 6.1, 6.1, 6.1, 6.1, 6.1, 6.2, 6.2, 6.3, 6.4, 6.4, 6.4, 6.4,
6.4, 6.5, 6.6, 6.6, 6.6, 6.6, 6.6, 6.8, 6.8, 6.8, 6.8, 6.8, 6.8, 6.8, 7.0, 7.0, 7.0, 7.0, 7.0, 7.1,
7.1, 7.1, 7.1, 7.2, 7.2, 7.2, 7.2, 7.3, 7.4, 7.4, 7.4, 7.4, 7.4, 7.4, 7.4, 7.4, 7.4, 7.4, 7.4, 7.4,
7.4, 7.4, 7.5, 7.5, 7.5, 7.5, 7.5, 7.7, 7.7, 7.7, 7.9, 7.9, 7.9, 7.9, 7.9, 7.9, 8.1, 8.3, 8.3, 8.3.
Pm
Clases
(f)
F
fa
fr (%)
.
fra (%)
.
 Actividad 11. Presentar los datos siguientes en una tabla de frecuencias de 8
clases. Agregar Pm, fa, fr y fra.
24.8,
25.6,
26.3,
27.5,
28.4,
28.9,
29.7,
30.6,
32.
24.8, 24.8, 24.9, 25, 25, 25, 25, 25.2, 25.2, 25.2, 25.4, 25.4, 25.4, 25.5, 25.6,
25.6, 25.6, 25.6, 25.8, 25.8, 25.8, 25.8, 25.8, 26, 26, 26, 26.1, 26.1, 26.1, 26.3,
26.3, 26.4, 26.7, 26.7, 26.7, 26.9, 26.9, 27, 27.1, 27.2, 27.3, 27.4, 27.4, 27.4,
27.5, 27.5, 27.5, 27.7, 27.8, 27.9, 28, 28, 28.3, 28.4, 28.5, 28.4, 28.5, 28.4, 28.5,
28.5, 28.4, 28.5, 28.4, 28.5, 28.4, 28.5, 28.4, 28.5, 28.7, 28.7, 28.7, 28.7, 28.8,
28.9, 29, 29.1, 29.2, 29.2, 29.2, 29.2, 29.2, 29.4, 29.5, 29.5, 29.5, 29.5, 29.6,
29.7, 29.8, 29.9, 29.9, 30, 30.1, 30.1, 30.1, 30.2, 30.2, 30.2, 30.3, 30.4, 30.5.,
30.6, 30.7, 30.8, 30.9, 30.9, 31, 31, 31.1, 31.2, 31.3, 31.4, 31.5, 31.6, 31.7, 31.8,
 Actividad 12. Presentar los datos siguientes en una tabla de frecuencias de 6
clases. Agregar Pm, fa, fr y fra.
14.9, 12.4, 10.9, 12.2, 14.9, 11.2, 11.3, 11.4, 11.5, 14.4, 13.8, 12, 15.1, 11.5, 12.2,
14.6, 10.8, 14.9, 15.2, 12.5, 13.3, 11.9, 13.6, 14.1, 12.3, 11.9, 10.8, 14.8, 11.9, 11,
15.3, 14.1, 12.3, 12.6, 13.4, 15.6, 12.6, 11.1, 13.7, 12.9, 13.1, 14.4, 13.8, 11.9, 14,
13.2, 10.8, 14.1, 13.5, 12.2, 14.5, 11.5, 13.1, 13.8, 14, 11.7, 11.8, 12.4, 13.4, 11.3,
14.1, 12.7, 11.5, 14.3, 14.3, 14.3, 14.4, 14.6, 14.7, 14.2, 12, 14.9, 14, 12.2, 15, 15.4,
15.6, 14.3, 14.4, 11.6.
 discusión 4
. Completar las tablas siguientes:
Clases
12.8
13.6
13.6
14.4
Pm
(f)
F
fa
fr (%)
.
fra (%)
.
40
1
70
120
145
165
17.6
200
Pm
Clases
(f)
F
fa
fr (%)
.
fra (%)
.
30
14.8
45
2
55
75
100
110
134
24.4
150
 Presentación gráfica para variables continuas.
 Histograma. El histograma se construye con barras UNIDAS, que representan las distintas
clases. En el eje horizontal se colocan los límites de clase; y la altura de cada barra es
proporcional a la frecuencia de la clase que representa.
Ejemplo. Presentar la información de la tabla en un histograma.
Clases
1.5
2.5
2.5
3.5
3.5
4.5
4.5
5.5
5.5
6.5
6.5
7.5
7.5
8.5
Frecuencia
20
30
40
60
50
40
10
 Solución.
60
50
40
30
20
10
1.5
2.5
3.5
4.5
5.5
6.5
7.5
8.5
 Polígono de frecuencias. El polígono de frecuencias se obtiene al unir con segmentos de
recta los puntos formados por los pares ordenados (Pm, frecuencia)
El polígono arranca y termina en el eje horizontal, por lo que es necesario crear 2
nuevos puntos. Estos se consiguen proyectando 2 puntos medios: uno al inicio y otro
al final. Para esto se resta y suma el ancho de clase a los Pm inicial y final.
Ejemplo. Presentar la información de la tabla en un polígono de frecuencias.
Clases
10
20
20
30
30
40
40
50
50
60
60
70
70
80
80
90
Frec.
40
50
60
20
30
50
70
60
90
100
20
 Solución.
Agregaremos a la tabla el punto medio, también conocido como marca de clase.
Clases
10
20
20
30
30
40
40
50
50
60
60
70
70
80
80
90
90
100
Pm
15
25
35
45
55
65
75
85
95
Frec.
40
50
60
20
30
50
70
60
20
Por la tendencia, antes de 15, el Pm es 5; y después de 95, el Pm es 105.
También podemos restarle a 15 el ancho de clase y sumarlo a 95: 15 – 10 = 5; 95 + 10 = 105.
Tengamos presente que el punto medio de una clase es el valor que mejor representa a todos los
valores de dicha clase.
El polígono de frecuencias es el siguiente:
70
60
50
40
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
105
 Ojivas.
Se tienen 2 tipos de ojiva: una para las frecuencias acumuladas más que, y otra para las
menos que.
Para la de más que, los puntos a considerar son los límites superiores y las
frecuencias acumuladas más que. La ojiva arranca desde el límite inferior más bajo,
que se ubica en el eje horizontal. Crece de izquierda a derecha.
Para la de menos que, los puntos a considerar son los límites inferiores y las
frecuencias acumuladas menos que. La ojiva arranca desde el límite superior más
alto, que se ubica en el eje horizontal. Crece de derecha a izquierda.
La columna para las frecuencias acumuladas más que es la que ya conocemos. La
de menos que se construye partiendo de la sumatoria de las frecuencias y restando la
frecuencia respectiva.
Ejemplo. Representar en ojivas la información de la tabla siguiente:
Clase
f
fa más que fa menosque
.
.
4.5
6.5
20
20
160
6.5
8.5
15
35
140
La columna de fa menos que se
obtuvo así: se inicia con fa
máximo y se le resta f, y así
sucesivamente:
8.5
10.5
10
45
125
160 – 20 = 140
10.5
12.5
25
70
115
140 – 15 = 125
12.5
14.5
40
110
90
14.5
16.5
30
140
50
16.5
18.5
20
160
20
Las ojivas son las siguientes:
125 – 10 = 115
115 – 25 = 90...
160
Menos que
Más que
140
120
100
80
60
40
20
4.5
6.5
8.5
10.5
12.5
14.5
16.5
18.5
 Actividad 13.
Presenta la información de cada tabla en histograma, polígono
de frecuencias y en las 2 ojivas.
1.
Clase
4
f
5.5
20
7
15
7
8.5
10
8.5
10
20
10
11.5
40
11.5
13
30
14.5
20
16
10
5.5
13
14.5
Pm
fa más que fa menosque
.
.
2.
Clase
f
Pm
fa más que fa menosque
.
.
4
5.5
20
7
15
7
8.5
10
8.5
10
25
10
11.5
40
11.5
13
20
14.5
30
16
10
17.5
25
19
20
5.5
13
14.5
16
17.5
Soluciones.
discusión 1. Siempre es mejor una muestra grande, pues los porcentajes obtenidos son más
confiables. En una muestra pequeña, los resultados son dudosos.
Desde luego que una muestra, cuanto más grande es, implica mayores costos
económicos, pues se debe contratar mayor número de personas. De aquí resulta que,
económicamente, una muestra pequeña es más barata. Sin embargo una muestra
pequeña tiene la desventaja de arrojar resultados no muy confiables. En todo caso se
debe tomar una muestra óptima: que no resulte muy pequeña y que a la vez no resulte
muy costosa.
Actividad 5.
1.
2.
3.
4.
5.
¿Cuántos vehículos pasan por minuto en esta carretera?
¿Cuántos alumnos y alumnas tiene este colegio?
¿Cuántos días a la semana hace ejercicio?
¿Cuántos médicos tiene este hospital?
¿Cuántos pollos tiene su granja?
Actividad 6. La estatura, el peso, el tiempo de uso, la velocidad promedio, la velocidad de los
ciclistas, la profundidad del lago, el caudal de un chorro...
Actividad 7.
1. Se le puede dar a cada 5 encuestados, una longitud de 1 cm. 2. Se tienen 25 pesistas, 20
copas, 10 trofeos y 5 nadadores. Se le puede dar a cada 5, 0.5 cm o 1 cm. 3. Se le puede dar a
cada 10 arbolitos, una longitud de 1 cm. Los totales son: Juan: 60, Sandra: 75, Alfredo: 65,
René: 50, Dorotea: 45. 4. Se le puede dar a cada 10% una longitud de 1 cm.
discusión 2.
Es el proceso inverso: se multiplica 36 000 por el cociente grados/360º
Granja
A
B
C
D
Producción
10 000
5 000
12 000
9 000
discusión 3.
Granja
Producción
Porcentaje
A
6 000
33.3%
B
4 500
25%
C
5 000
27.8%
D
2 500
13.9%
Pm
(f)
6.05
15
15
18.75
18.75
6.55
12
27
15
33.75
Actividad 10.
Clases
5.8
6.3
F
fa
fr (%)
.
fra (%)
.
6.3
6.8
6.8
7.3
7.05
20
47
25
58.75
7.3
7.8
7.55
23
70
28.75
87.5
7.8
8.3
8.05
10
80
12.5
100
Pm
(f)
25.25
20
Actividad 11.
Clases
24.8
25.7
F
fa
20
fr (%)
.
16
fra (%)
.
16
26.15
15
35
12
28
26.6
27.5
27.05
12
47
9.6
37.6
27.5
28.4
27.95
10
57
8
45.6
28.4
29.3
28.85
30
87
24
69.6
29.3
30.2
29.75
15
102
12
81.6
30.2
31.1
30.65
14
116
11.2
92.8
31.55
9
125
7.2
100
25.7
26.6
31.1
32
Actividad 12.
Ordenados de menor a mayor se presentan a continuación.
10.8, 10.8, 10.8, 10.9, 11, 11.1, 11.2, 11.3, 11.3, 11.4, 11.5, 11.5, 11.5, 11.5,
11.7, 11.8, 11.9, 11.9, 11.9, 11.9, 12, 12, 12.2, 12.2, 12.2, 12.2, 12.3, 12.3, 12.4,
12.5, 12.6, 12.6, 12.7, 12.9, 13.1, 13.1, 13.2, 13.3, 13.4, 13.4, 13.5, 13.6, 13.7,
13.8, 13.8, 14, 14, 14, 14.1, 14.1, 14.1, 14.1, 14.2, 14.3, 14.3, 14.3, 14.3, 14.4,
14.4, 14.4, 14.5, 14.6, 14.6, 14.7, 14.8, 14.9, 14.9, 14.9, 14.9, 15, 15.1, 15.2,
15.4, 15.6, 15.6.
Pm
(f)
11.2
14
14
17.5
17.5
12
15
29
18.75
36.25
12.8
9
38
11.25
47.5
13.6
10
48
12.5
60
14
14.8
14.4
20
68
25
85
14.8
15.6
15.2
12
80
15
100
Clases
10.8
11.6
11.6
12.4
12.4
13.2
13.2
14
F
fa
fr (%)
11.6,
12.4,
13.8,
14.4,
15.3,
.
fra (%)
.
 discusión 4
. Completar las tablas siguientes:
1.
Pm
(f)
13.2
40
40
20
20
14
30
70
15
35
14.8
50
120
25
60
15.6
25
145
12.5
72.5
16
16.8
16.4
20
165
10
82.5
16.8
17.6
17.2
35
200
17.5
100
Pm
(f)
15.4
30
30
20
20
16.6
15
45
10
30
Clases
12.8
13.6
13.6
14.4
14.4
15.2
15.2
16
F
fa
fr (%)
.
fra (%)
.
2.
Clases
F
fa
fr (%)
.
fra (%)
.
14.8
16
16
17.2
17.2
18.4
17.8
10
55
6.7
36.7
18.4
19.6
19
20
75
13.3
50
20.2
25
100
16.7
66.7
21.4
10
110
6.7
73.4
22
23.2
22.6
24
134
16
89.4
23.2
24.4
23.8
16
150
10.6
100
19.6
20.8
20.8
22
 Actividad 13.
Pm
4.75
6.25
7.75
9.25
10.75
12.25
13.75
15.25
Fa más que
20
35
45
65
105
135
155
165
Fa menos que
165
145
130
120
100
60
30
10
Pm
4.75
6.25
7.75
9.25
10.75
12.25
13.75
15.25
16.75
18.25
Fa más que
20
35
45
70
110
130
160
170
195
215
Fa menos que
215
195
180
170
145
105
85
55
45
20
Descargar

unidad 3: organicemos y tabulemos variables discretas y continuas

EJERCICIOS PROPUESTOS. UNIDAD I

EJERCICIOS PROPUESTOS. UNIDAD I

IntervalosGráficosAnálisis estadísticoDisribuciónFrecuencias: relativas y acumuladas

AO (Amplificador Operacional). Sumador No Inversor

AO (Amplificador Operacional). Sumador No Inversor

Generador de frecuenciasResistencias, osciloscopio, tensionesCircuitosAmplificar corrientesSuma de señales

AO (Amplificador Operacional) Schmitt

AO (Amplificador Operacional) Schmitt

Generador de frecuenciasResistencias, osciloscopio, tensionesPunto de arranqueTensión máximaCircuitosAmplificar corrientes

Fundamentos de óptica

Fundamentos de óptica

FermatHuygensFotonesÓptica Geométrica y FísicaInterferenciasLentesBrewsterReflexión, refracción, SnellColorOjoYoungPolarización