A-1
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Hasta ahora, solo se han visto funciones de una sola variable (variable
independiente). Sin embargo, muchos problemas comunes son funciones de
dos o más variables. Por ejemplo, el trabajo realizado por una fuerza (W = F.D)
y el volumen de un cilindro circular recto (V = π.r2.h) son funciones de dos
variables. El volumen de un sólido rectangular (V = l.w.h) es una función de tres
variables. La notación para una función de dos o más variables es similar a la
utilizada para una función de una sola variable. Ejemplos:
z = f(x,y) = x2 + xy
Función de dos variables “x” y “y”
w = f(x,y,z) = x + 2y - 3z
Función de tres variables “x”, “y” y “z”
Definición de una función de dos variables
Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada `par
ordenado (x,y) de D le corresponde un único número real f(x,y), entonces se
dice que f es una función de x y y. El conjunto D es el dominio de f, y el
correspondiente conjunto de valores z = f(x,y) que son imágenes de los pares
ordenados (x,y) pertenecientes al dominio de la función, es el rango o
recorrido de f.
En la función dada por z = f(x,y), “x” y “y” son las variables
independientes y “z” es la variable dependiente.
f
(x,y)
z = f(x,y)
A-2
ALGUNAS CONDICIONES PARA ESTIMAR EL DOMINIO O
CAMPO DE EXISTENCIA EN FUNCIONES DE VARIAS
VARIABLES.
Siendo f(x,y) y g(x,y) funciones polinómicas
Condición para que h(x,y) ЄR
h(x,y)=
(1) f(x,y) ……………………………………………………  (x,y)ЄR
(2)
………………………………………………..…… g(x,y) ≠ 0
(3)
…………... n: Impar ………………………….  (x,y)ЄR
(4)
…………... n: Par …………………………..... f(x,y
(5)
………….. n: Par ………………………….. g(x,y) > 0
(6)
………….. n: Impar …………………………. g(x,y) ≠ 0
(7)
……………………………………………... f(x,y) > 0
(8) Ln[f(x,y)] …………………………………………………. f(x,y) > 0
(9)
…………………………………………….  (x,y)ЄR
(10) Sen[f(x,y)] ……………………………………………….  (x,y)ЄR
(11) Cos[f(x,y)] ……………………………………………….  (x,y)ЄR
(12) Arcosen[f(x,y)] …………………………………………. -1≤(x,y)≤1
(13) Arcocos[f(x,y)] …………………………………………. -1≤(x,y)≤1
Ejemplo 1
Cuál es el dominio por definición de las siguientes funciones:
(a) f(x,y) = x2 + y2
todo el plano xy
A-3
(b) f(x,y) = Ln(xy)
todos los puntos (x,y) en el plano xy > 0. Esto
consiste en todos puntos del primer y tercer cuadrante.
Dominio de funciones de varias variables
Ejemplo 2
Hallar el dominio de la función: f(x,y) =
Solución
La función f está definida para todos los puntos (x,y) tales que x ≠ 0
x2 + y2 – 9 0
x2 + y2 9.
y
Por tanto, el dominio es el conjunto de todos los puntos que están en el circulo
x2 + y2 = 9, o en su exterior, con excepción de los puntos en el eje y, como se
muestra en la siguiente figura.
z
DOMINIO
y
O
Ejemplo 3
Esboce el dominio natural en el plano xy de la función:
f(x,y) =
Solución
La función está definida para x2 + (y-1)2
0, es decir, la función debe excluir al
punto (x,y) = (0,1) que sería el punto que produce una división por cero (0); al
mismo tiempo y – x2 0
y x2 (lo que representa a una parábola de
vértice = (0,0) y eje focal paralelo al eje y, abriendo hacia arriba, ya que, 4p = 1
A-4
P =
. El dominio seria todos los puntos que están dentro de la
parábola excepto el (0,1).
y
4
(0,1)
1
-2
-1 o
1
2
x
Ejemplo 4
Hallar el dominio de la función: g(x,y,z) =
Solución
La función g está definida para todos los puntos (x,y,z), tales que,
9 – x2 – y2 – z2
x2 + y2 + z2 < 9 por consiguiente, el dominio es el
conjunto de los puntos (x,y,z) que se encuentran en el interior de la esfera de
radio 3, centrada en el origen.
Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma manera
que las funciones de una sola variable. Se puede formar la suma, la diferencia,
el producto y el cociente de funciones de dos variables como sigue.
(f
g)(x,y) = f(x,y)
g(x,y)
Suma o diferencia
(f.g)(x,y) = f(x,y).g(x,y)
g(x,y)
Producto
0
Cociente
A-5
No se puede formar la composición de dos funciones de varias variables.
Sin embargo, si h es una función de varias variables y g es una función de una
sola variable, puede formarse la función compuesta (g o h)(x,y), como sigue.
(g o h)(x,y) = g(h(x,y))
Composición
Ejemplo 5
Dada h(x,y) = 16 – 4x2 – y2 y g(u) =
, encontrar (g o h)(x,y).
Solución
(g o h)(x,y) = g(h(x,y)) =
4x2 + y2
, su dominio será: 16 – 4x2 – y2
El dominio de esta función es el
conjunto de todos los puntos que se encuentran en la elipse o su interior.
Grafica de una función de dos variables
La grafica de una función f de dos variables es el conjunto de todos los
puntos (x,y,z) para los que z = f(x,y) y (x,y) está en el dominio de f. Esta grafica
puede interpretarse geométricamente como una superficie en el espacio, en
donde a la grafica de z = f(x,y) es una superficie cuya proyección sobre el plano
xy es el domino de f. A cada punto (x,y) en el domino de f le corresponde un
punto (x,y,z) de la superficie y, viceversa, a cada punto (x,y,z) de la superficie
le corresponde un punto (x,y) en el dominio de f.
Ejemplo 6
Dibuje la grafica de f(x,y) =
. ¿Cuál es su recorrido o Rango?.
A-6
Solución
f(x,y) =
,
y de acuerdo a lo especificado por las
condiciones del dominio z = f(x,y)
, o sea, si z = f(x,y) =
,
elevando al cuadrado ambos miembros, nos queda:
z2 = 16 – 4x2 – y2
z2 + 4x2 + y2 = 16, dividiendo entre 16, nos queda:
, en donde se puede observar que para que esta ecuación
con x = 0 y y = 0, dé uno (1) con z
rango de la función es 0
es con z = 4, luego el recorrido o
, otra forma de representarla seria: [0,4].
• El dominio de la función que será en el plano xy será:
16 – 4x2 – y2
4x2 +y2
, dividiendo entre 16, nos queda:
, luego el dominio corresponde a todos los puntos (x,y) interior a la
, que es una elipse de eje focal paralelo al eje
elipse de ecuación:
y, con centro (0,0), longitud del semi-eje mayor = a =
semi-eje menor = b =
= 4 y longitud del
= 2.
• Para dibujar a mano una superficie en el espacio, es útil usar trazas en
planos paralelos a los planos coordenados. En este caso, hay que tener
presente a la hora de trazar la grafica que el rango o recorrido es 0
.
- Traza sobre el plano xy, se hace z = 0, luego si z2 = 16 – 4x2 – y2, implica
0 = 16 – 4x2 – y2
4x2 + y2 = 16
, que es una elipse de
eje focal paralelo al eje y, con centro (0,0), longitud del semi-eje mayor = a =
= 4 y longitud del semi-eje menor = b =
= 2, como se indicó
anteriormente.
- Traza sobre el plano xz, se hace y = 0
z2 = 16 – 4x2
A-7
, que es una elipse de eje focal paralelo
4x2 + z2 = 16
al eje z, con centro (0,0), longitud del semi-eje mayor = a =
del semi-eje menor = b =
= 4 y longitud
= 2.
z2 = 16 – y2
- Traza sobre el plano yz, se hace x = 0
Y2 + z2 = 16, que representa un circulo de centro (y,z) = (0,0) y radio = 4.
Luego viene llevar al sistema de coordenadas en el espacio estas trazas.
z
o
y
x
Ejemplo 7
Sea f la función definida por f(x,y) = 9 – x2 – y2 en el dominio =
(x,y): x2 + y2
. Dibuje la grafica de f. ¿Cuál es el Rango o recorrido?.
Solución
• El dominio de f puede representarse geométricamente por la colección de
puntos del plano xy que se encuentra en el circulo x2 + y2 = 9.
Por otra parte, si z = f(x,y) = 9 –x2 – y2
z + x2 + y2 = 9, se puede observar
que para que en estas ecuaciones dé nueve (9) es con x = y = 0, por lo tanto, el
recorrido o rango es 0
.
- Traza sobre el plano xy, se hace z = 0, luego si
z + x2 + y2 = 9, implica
x2 + y2 = 9, que representa a un circulo de centro (x,y) = (0,0) y radio = 3.
- Traza sobre el plano xz, se hace y = 0
z + x2 = 9
x2 = -(z – 9)
A-8
lo que representa una parábola de vértice (x,z) = (0,9), eje focal paralelo al eje
z y abre hacia abajo ya que 4p = -1
p =-
- Traza sobre el plano yz, se hace x = 0
.
z + y2 = 9
y2 = -(z - 9)
lo que representa una parábola de vértice (y,z) = (0,9), eje focal paralelo al eje
z y abre hacia abajo ya que 4p = -1
p =-
.
z
x
y
Ejemplo 8
Trazar la grafica de la función f(x,y) = 6 – x – 2y
Solución
• El dominio seria todo el plano xy
- Traza sobre el plano xy, se hace z = 0, si z = 6 – x – 2y
que es una recta.
x + 2y = 6,
A-9
- Traza sobre el plano xz, se hace y = 0
es una recta.
- Traza sobre el plano yz, se hace x = 0
que es una recta.
z=6–x
z + x = 6, que
z = 6 – 2y
z + 2y = 6,
z
o
y
x
9.- Trazar la grafica de la función f(x,y) = 3 – x2 – y2. (TRABAJO)
10.- Hallar el dominio, Rango o recorrido y dibujar o trazar la grafica de las
siguientes funciones.
10.1.- f(x,y) =
10.2.- f(x,y) = 144 – 9x2 – 16y2
10.3.- f(x,y) = x2 – y2
10.4.- f(x,y) = 4x2 + 9y2
. (TRABAJO)
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