El fundamento lógico del número

TERCERAS JORNADAS DE APERTURA SOCIEDAD PSICOANALÍTICA
23 Y 24 DE NOVIEMBRE 2012.
El principio de Hume y la consistencia del teorema de Frege: el fundamento
lógico del número y su relación con el psicoanálisis de Jacques Lacan.
Martín Krymkiewicz
.
Resumen: Cuando Frege está por publicar sus fundamentos lógicos del número,
Bertrand Rusell hace jaque -con su paradoja- al fundamento de la argumentación
fregiana: el axioma de extensión de los conjuntos. Frege intenta escapar de la
paradoja agregando la Ley V, que sin embargo lleva a contradicciones (es
inconsistente). Bertrand Rusell con su paradoja a su vez, hará temblar la formulación
axiomática de la teoría de conjuntos.
Desde los años 80 distintos matemáticos sostienen que Frege parece haber ignorado
o dado por obvio el Teorema de Hume, el cual -sin embargo- parece estar implícito en
sus fundamentos lógicos del número. A partir del teorema de Hume, vuelve a tener
consistencia la propuesta de Frege y puede seguir sosteniéndose sin contradicciones
una relación entre la lógica y el número, y -tal es la apuesta de Lacan- entre lógica y
lenguaje.
“…porque no solamente hay el número: hay número. Para decirlo todo,
veo allí el punto de percepción de la serie de los números naturales, tal
como se nos expresan. Y no se expresan mal. Porque después de todo,
están muy cerca de la naturaleza…”1.
“Frege se abocó a explicar como todo el palabrerío, el bla-bla de la
palabra, desemboca en algo que toma cuerpo, y en lo real. Para que
eso tome cuerpo en lo real, Frege fue llevado a hacer un juego de
escrituras, cuyo estatuto está aún está pendiente. ¿Por qué todas las
estupideces que se dicen sin límite respecto de porqué eso le daría
acceso al real? Sin embargo, el hecho es que, sin que podamos saber
como eso ocurre, el lenguaje sabe contar. ¿O es que la gente sabe
contar gracias al lenguaje?”2
Frege.
El proyecto logicista3 en el cual se inscribe la obra de Frege intenta demostrar
que la aritmética y en particular los números (a diferencia de Kant que los
1
www.staferla.free.fr/ S18 D'UN DISCOURS...doc., pág 248 (traducción mía)
http://www.ecole-lacanienne.net/documents/recherches.doc (Tout Pas-tout Lacan) Respuestas de
Jacques Lacan sobre los nudos y el inconsciente en las Jornadas de la Escuela Freudiana: Los matemas
el psicoanálisis, 31 de octubre al 2 de noviembre de 1976 (publicado en Lettres de l'École Freudienne, Nº
21, agosto de 1977), pg 1810 (traducción mía).
3 “La fundamentación de la matemática ha dado origen también a muchas discusiones, de las que han
emergido tres posiciones distintas: el logicismo, el formalismo y el intuicionismo. Para el logicismo,
2
1
propone como un producto de la intuición) pueden ser concebidos como juicios
analíticos, lo que quiere decir que son deducibles lógicamente.
En Die Grundlagen der Arithmetik (1884) Frege refiere que los números no son
atributos de las cosas, ni tampoco son subjetivos (algo así como imágenes que
nos vienen internamente), sino que tienen una relación muy particular con las
cosas: “dar un número expresa algo factual”4, factual remite a fáctico5, o sea
que el número está en algún tipo de relación con los hechos, con lo que las
cosas “son”. También lo dice así:
Las verdades aritméticas rigen el dominio de lo numerable. Éste lo abarca
todo, pues no sólo le pertenece lo real, no sólo lo intuible, sino también todo
lo pensable. ¿No deberían estar, pues, las leyes de los números en íntima
conexión con las del pensamiento?6
Frege sostendrá que el número está ligado íntimamente al concepto (Begriff).
Para esto apelará a nociones relacionadas con la teoría de conjuntos.
Recordemos que un conjunto puede ser concebido de dos maneras: según su
definición,
por ejemplo el conjunto de las vacas puede ser definido
conceptualmente como una “Especie de mamífero artiodáctilo de la familia
Bovidae…”. Y también el mismo conjunto puede ser entendido según su
extensión o sea como la colección de todas las vacas existentes.
La estrategia de Frege, para dar cuenta del número lógicamente, es articular el
número al concepto. Cuando uno define un concepto, da cuenta de un conjunto
(el conjunto de todos los objetos que caen bajo esa definición), pero también –y
al mismo tiempo- identifica cosas (cada uno de los objetos que cae en ese
conjunto). Retengamos esta idea: el concepto unifica y al a vez identifica
desarrollado por Frege y luego por Peano, Russell y Whitehead, la matemática se reduce a la lógica. Para
el formalismo, defendido por David Hilbert, la matemática puede formalizarse por completo; el método
adecuado a tal efecto consiste en probar la no contradicción de las teorías matemáticas y de todos los
sistemas logísticos apropiados a ellas. Para el intuicionismo, defendido, entre otros, por L. E. J. Brouwer y
Arend Heyting, puede hablarse de entes matemáticos solamente si podemos construirlos mentalmente.”
FERRATER MORA, José. DICCIONARIO DE FILOSOFÍA (Vol. 2). Editorial Sudamericana. 5ta edición
(1964), Entrada MATEMATICA, pág 149.
4 FREGE, Gottlob. Fundamentos de la Aritmética (Die Grundlagen der Arithmetik). Investigación sobre el
concepto de número. Editorial Laia. Barcelona. (1973), página 73.
5 Según la Real Academia: fáctico, ca. (Del lat. factum, hecho). 1. Adj. Perteneciente o relativo a hechos.
2. Adj. Fundamentado en hechos o limitado a ellos, en oposición a teórico o imaginario.
6 FREGE, Op.Cit. página 41.
2
unidades (objetos) que caen bajo ese concepto7. En este sentido Frege insiste
que “una asignación de número contiene una afirmación sobre un concepto”8.
Para decirlo resumidamente, para Frege primero está el CONCEPTO, bajo el
cual caen OBJETOS, que tienen una muy particular relación con el NÚMERO.
El argumento de Frege es que cuando decimos, por ejemplo, que “el número
de satélites naturales del planeta Tierra ‘es’ uno”, tenemos que tener en cuenta
que “satélites naturales del planeta Tierra” y la palabra “uno” son conceptos
equivalentes que apuntan (designan) el mismo objeto. Esto implica una
presuposición fundamental: la existencia de los números como objetos, como
un tipo muy particular de objeto abstracto: los números son cosas lógicas para
Frege.
También para Frege el ‘es’ que liga a “satélite naturales del planeta Tierra” y
“uno” debe ser entendido como el “=” de una ecuación, del mismo modo que la
aritmética9. En algún sentido para Frege esta frase-ecuación quiere decir que si
“hay” luna es porque bajo el concepto “satélites naturales del planeta Tierra”
cae un objeto que puede contarse equivalente al número que designa el
nombre “uno” en la serie de de los números naturales.
Recordemos que antes citamos que para Frege la existencia del número
permite acceder a algo “factual”, en tanto da cuenta de la existencia de objetos.
La noción de “equivalencia” es fundamental en la demostración fregiana: las
cosas existen en la medida que entran en un orden de equivalencia que se
sostiene en un tipo muy particular de objeto10 que son los números. Otra
manera de decirlo podría ser: “lo que existe es contable”. En palabras de
Frege:
(…) la existencia es análoga al número. La afirmación de la existencia, no
es, en efecto, sino la negación del número cero (algo existe porque se lo
puede contar como siendo distinto de cero)11.
La Teoría de los Conjuntos pues, está hecha para rehacer (restaurer) el
estatuto del número. Y lo que prueba que lo rehace (restaure), en la
perspectiva de lo que yo enuncio, es precisamente enunciar como ella lo
7
Dimensiones a las que Lacan se refiere como Einheit (unidad unificante), y Einzigkeit (la unidad
distintiva) (en el seminario 9, clase 11, por ejemplo)
8 FREGE, Op.Cit. pg 82
9 FREGE, op. Cit, pág.83
10 Una de las mayores dificultades para aceptar el argumento de Frege es que hay que asumir que los
números “son” cosas “lógicas”, entes difíciles de concebir para el materialismo imperante. Como si eso
fuera poco, la lógica fregiana además requiere asumir que además de los números, los conceptos, las
extensiones y los valores de verdad (verdadero, falso) son también entidades existentes.
11 FREGE, op. Cit, página 77
3
hace el fundamento del UNO, y hacer reposar el número como clase de
equivalencia.12
Lo que Frege quiere demostrar es que la existencia de números está ligada (de
alguna manera lógicamente deducible) a los conceptos y, consecuentemente
los objetos.
Frege se inspira en la frase de Leibniz “Eadem sunt, quorum unum potest
substitui alteri salva veritate”13, para suponer que el número y la existencia de
objetos puede ser concebida a partir de cierta equivalencia entre conjuntos que
se caracteriza por la posibilidad de sustitución generalizada: “… es en la
sustituibilidad generalizada, de hecho, en donde están incluidas todas las leyes
de la igualdad”14.
Frege (siguiendo a Leibniz) supondrá que lo existente (salva veritate) 15 solo es
posible en función de una relación de equivalencia entre conjuntos
(matemáticamente hablando “equinumerocidad”), esta relación se caracteriza
porque todos los objetos de ambos conjuntos están en relación uno a uno
(relación biyectiva). Este tipo de relación de equinumerocidad, articulada a los
conceptos (entendidos como conjuntos) implican (lógicamente hablando) al
conjunto de los números naturales.
Frege concluye que el conjunto de los números naturales está en cierta
relación de equivalencia con la extensión de los conjuntos. La idea fundamental
es que todos los conceptos que comparten una misma extensión, son a su vez
equinuméricos al conjunto de los números naturales y es esa relación biyectiva
la que se sostiene la existencia de los objetos y a su vez permite deducir el
número. De modo inverso la equivalencia equinumérica con el número del
objeto cero del conjunto de los números naturales indica la imposibilidad de
existencia, lo que no tiene identidad, lo que no es idéntico a sí mismo.
Russell.
12
www.staferla.free.fr/ S19...OU PIRE.doc, pág 272 (traducción mía). Nota de Traducción: restaurer
(restaurar) tiene como una de sus primeras acepciones refair (rehacer) o rétablir (reestablecer), sentidos
que me parecen más adecuados al párrafo (Diccionario Collins Francés-Español www.reverso.net).
13 “Son idénticas, las cosas que pueden ser sustituidas entre sí, sin perjuicio de la verdad”. Leibniz,
Gottfried (1646-1716).
14 FREGE, op.cit, pg 89
15 Debemos considerar a lo verdadero como sostén de la existencia.
4
Como se mencionó previamente a un conjunto se lo puede concebir en base a
su definición conceptual (“Especie de mamífero artiodáctilo de la familia
Bovidae…”) o en función de su extensión, en el ejemplo, el conjunto efectivo de
todas las vacas.
Frege encuentra en la extensión de los conjuntos, la función de equivalencia,
que le permitirá articular el número a la existencia de los objetos del mundo.
Bertrand Russell (1872-1970) en 1902 le escribe una carta Frege -que se
encontraba trabajando en el segundo volumen de sus
Artihmetik (1893)16,
Grundgesetze der
donde le demuestra que hay una contradicción en la
llamada Ley Básica V de su teoría.
Esta ley es fundamental para la argumentación fregiana porque plantea una
relación de equivalencia entre los conceptos y sus extensiones. En su carta,
Russell le demuestra a Frege que es posible definir un concepto de manera tal
que la pertenencia de objetos a ese conjunto (recuerden que para Frege
conjunto y concepto son equivalentes) resulta paradójica. Una forma posible
(hay muchas) de la paradoja es “el catálogo de los catálogos que no se
incluyen a sí mismos”. Si ese catálogo existe, no podría incluirse a sí mismo
(por definición), pero a su vez tendría que estar incluido en sí mismo, porque
se trata de un catálogo de todos los catálogos. Lo que plantea esta paradoja es
que hay un objeto que si pertenece al conjunto, a la vez no puede pertenecer.
Otra manera de pensarlo es como un conjunto entre cuyos objetos se
encuentra el conjunto (siendo objeto y conjunto a la vez).
Respecto de la relación problemática entre conceptos y extensiones, en la
llamada la Ley Básica V de Frege se llega a una conclusión imposible en la que
el dominio17 de conceptos18 tiene que ser estrictamente mayor que el dominio
de extensiones19 y al mismo tiempo el dominio de extensiones tiene que ser
necesariamente mayor que el dominio de conceptos20.
Para nuestro interés, la paradoja de Russell revela que hay problemas entre la
definición conceptual de un conjunto y la extensión de sus objetos, lo que había
16Grundgesetze
debe entenderse como leyes, dado que es la presentación formal de la tesis logicista, a
diferencia de su trabajo anterior (Grundlagen, 1884) donde presenta los fundamentos, más filosóficos de
su argumentación.
17 Todos los objetos que caen bajo un conjunto
18 Entendido como el conjunto de todos los conceptos.
19 Entendido como el conjunto de todas las extensiones.
20
ZALTA, EDWARD N. “Frege’s Logic, Theorem, and Foundations for Artithmetic” en
http://plato.stanford.edu/entries/frege-logic/ artículo muy claro y explicativo sobre el Teorema de Frege (en
inglés), pg. 18
5
sido justamente la vía elegida por Frege para sostener su argumentación de
“equivalencias”.
Valga mencionar que este “problemita” también puso en jaque la teoría formal
de conjuntos y que recién en 1922 será resuelto por Zarmelo y Fraenkel
cuando formalizan definitivamente la teoría de conjuntos.
Con la paradoja de Russell el intento de dar un fundamento lógico del número
(y la aritmética) parecía haber caído en desgracia, se había encontrado una
contradicción insalvable en la demostración fregiana.
Sin embargo21 muchas décadas más tarde C. Parsons (1965) y C. Wright
(1983) demuestran, independientemente, que hay una manera de derivar
lógicamente los axiomas del número (conocidos como los axiomas de
Dedekind y Peano) evitando la problemática Ley Básica V, apelando a lo que
se conoce como el principio de Hume.
En 1993, Heck observa que Frege utilizó para la derivación de la Ley Básica V
el principio de Hume, y se pregunta por las razones por las cuales no asumió
que este principio en sí mismo bastaba para sostener su demostración.
Se llama desde entonces Teorema de Frege la demostración lógica del número
(y la aritmética), que sin apelar a la Ley Básica V (por sus inconsistencias entre
extensiones y conceptos) encuentra su fundamento en el principio de Hume.
La importancia del principio de Hume, es que permite utilizar esencialmente la
misma estrategia lógica fregiana: el concepto, los objetos y el número
vinculados en una relación de equivalencias entre conjuntos, evitando la
relación problemática entre conceptos y extensiones (tal como se articulan en
la Ley Básica V).
Recordemos que este tipo de relación de equivalencia tiene la propiedad de
que los elementos de uno de los conjuntos pueden contar por los del otro
(recuérdese la frase de Leibniz citada en página 2). A su vez la
equinumerocidad implica la noción de elemento único (!), y lo que los
matemáticos definen como “equivalencia material”.
La noción lógica de elemento único y la relación equinumérica entre conjuntos,
determinan la posibilidad de una equivalencia material entre todos los
conceptos. Esto implica que el conjunto de todos los conceptos se lo pueda
concebir organizado en clases de equivalencia (material) que en definitiva son
21
Op. Cit. Pág. 19.
6
el lugar de los números naturales. Dicho de otro modo, el conjunto de los
números naturales determinan clases de equivalencia material de los
conceptos. El número de un concepto (la cantidad de objetos que caen en su
definición) brinda intuitivamente una dimensión de materialidad: “¿Cuántos?”.
El principio de Hume establece que a partir de una relación particular entre
conjuntos llamada equinumerocidad se puede postular un orden de identidad
para todos los conceptos, que se sostiene en el número.
Las principales propiedades que constituyen la relación equinumérica
(existencia de elemento único y equivalencia material) entre conjuntos puede
ser concebida como fundantes de un orden de identidad, que puede resumirse
del siguiente modo: hay conceptos, que realizan (en el número) objetos22.
Lacan.
Frege sentó las bases para una demostración lógica del número y la aritmética,
que permite de un principio de identidad entre conceptos, que articula el
número a lo factual de los objetos.
Es posible conjeturar que este ha sido uno de los puntos de interés para Lacan:
la relación del número con los conceptos puede ser entendida en relación con
el SER de los objetos. Con Frege puede uno desprenderse de todo
materialismo biológico-sustancialista. Lacan, siguiendo a Frege, alude en el
epígrafe citado que la “naturaleza” del mundo de lenguaje se funda en la lógica.
El número remite a la naturaleza de los objetos, o dicho de otro modo, los
objetos existen en la medida que (se) cuentan.
Otra de las consecuencias del teorema de Frege es que aporta una justificación
epistemológica de la existencia de cierta clase de objetos lógicos abstractos
(números, conceptos) que permiten a los psicoanalistas concebir la realidad de
discurso (como lo existente verdadero), en una dimensión no intuitiva y
abstracta y estrictamente afín a la ciencia moderna.
Para Frege ese ente lógico objetivo llamado número “sostiene” en una
particular relación de equivalencia con los conceptos, la verdad (y la existencia)
“a statement of number is an assertion about a concept” (una asignación de número es una afirmación
sobre un concepto). ZALTA, EDWARD, op. Cit pág 44.
22
7
del mundo de objetos de lenguaje que habita el parlêtre23. Frege, en algún
sentido, nos brinda las ecuaciones fundamentales del moterialismo 24 del
parlêtre.
23
Neologismo de Jacques Lacan que conjunta habla y ser, y que A.Eidelsztein propone traducir como
hablanser. “El origen del sujeto en psicoanálisis. Del Big Bang del lenguaje y el discurso en la causación
del sujeto”. El rey está desnudo. Revista para el psicoanálisis por venir. Nº 5. Ed. Letra Viva (2012)
24 “Es, si me permiten emplearlo por vez primera, en ese moterialisme dónde reside el asidero del
inconsciente” En Conferencia en Ginebra sobre el síntoma (04/01/1975). INTERVENCIONES Y TEXTOS
II. Ed. Manantial. Buenos Aires (1988)
8