Funciones - Facultad Regional Reconquista

Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Reconquista
ANÁLISIS MATEMÁTICO I
Unidad temática 1: NÚMEROS REALES – FUNCIONES
En el cálculo se trabaja en el conjunto de los números reales, razón por la
cual nos proponemos estudiar algunos conceptos básicos que se refieren a
este campo numérico.
Te proponemos que revises en la bibliografía sugerida los siguientes
conceptos:
Los números reales y la recta real. Orden y desigualdades. Propiedades de
las desigualdades. Intervalos en la recta real. Valor absoluto. Propiedades del
valor absoluto. Distancia entre dos puntos.
1.a) Represente en la recta los números -2 y 2. Los puntos que los representan, ¿a qué
distancia están del cero?
La distancia al origen desde un punto cuya coordenada es a es el valor absoluto del
numero a.
Se escribe a y se lee “valor absoluto de a”.
2 es el valor absoluto de……………………..y representa la distancia de…………
……………………………al cero.
1
b) Calcule: 5 
 
0
2
2.a) Gráficamente la distancia entre dos puntos de abscisas 2 y 5, resulta:
¿Cómo encontraría la distancia entre ellos empleando la notación de valor absoluto?
…………………………………………………………………………………………
En general, la distancia entre los dos puntos de ábsidas cualesquiera a y b se puede
calcular…………………………………………………………………………………
b) Según lo concluido en el ejercicio anterior, determina analítica y gráficamente la
distancia entre los puntos de abscisas:
i) 1 y 8
ii) -6 y -2
iii) -4 y 3
3. Elija la opción correcta e interprete gráficamente.
La expresión x  2  5 significa:
a) Todos los números reales que se encuentran a cinco unidades de distancia del dos
en la recta numérica.,
b) Todos los números reales que se encuentran a menos de cinco unidades de
distancia del dos en la recta numérica.
c) Todos los números reales que se encuentran a más de cinco unidades de distancia
del dos en la recta numérica.
d) Todos los números reales que se encuentran a cinco o a menos de cinco unidades
de distancia del dos en la recta numérica
4. Elija la opción correcta e interprete gráficamente.
La expresión x  3  1 significa:
a) todos los números reales que se encuentran a tres unidades o a más de tres
unidades de distancia del uno en la recta numérica.
b) Todos los números reales que se encuentran a una unidad o a más de una unidad
de distancia del tres en la recta numérica.
c) Todos los números reales que se encuentran a más de una unidad de distancia
del -3 en la recta numérica.
d) Todos los números reales que se encuentran a una unidad o mas de una unidad
de distancia del -3 en la recta numérica.
5.a) Utilice el concepto de valor absoluto para expresar simbólicamente “todos los
números reales que distan como mínimo 3 unidades del -2”
b) Halle todos los valores de x reales que verifican esta afirmación.
c) Escriba la solución en notación conjuntista y como intervalo.
6. Expresa el conjunto solución de cada una de las siguientes desigualdades:
a) x -5 ≥ 7
b) 4x + 1 ≤ 2x
c) - 4 < 2x – 3 < 4
d) 3 – 1 > 1 + 1
x 4 x
e)
x >x+3
x + 2 3x + 1
f) x² ≤ 3 – 2x
g) x² + x - 1≤ 5
7. Expresa el conjunto solución de cada una de las siguientes desigualdades:
| 3x – 2 | ≤ 5
1
1 3x
d) <
3
2 x
a)
b)
|x+2 |≥5
c) 1 ≤ | 2 x - 7 | < 5
El objetivo del cálculo es el estudio de las funciones reales de variable real.
A continuación repasaremos las ideas básicas a cerca de estas, sus graficas
y las formas de combinarlas. Para realizar esta revisión, te sugerimos utilizar
la bibliografía recomendada.
8. Deduce una formula para la función que se describe en cada caso y define su
dominio.
a) Un rectángulo tiene 20 m de perímetro. Expresa el área del rectángulo en
función de la longitud de uno de sus lados.
b) Un rectángulo tiene 16 m2 de área. Indica su perímetro como función de la
longitud de uno de sus lados.
c) Expresa el área de un triangulo equilátero en función de la longitud de uno de
sus lados.
d) Da el área de la superficie de un cubo como función de su volumen.
e) Una caja rectangular sin tapa, de 2 m3 de volumen, tiene base cuadrada. Expresa
el área de la superficie de la caja en función de la longitud de uno de los lados de
su base.
9. Se forma una caja sin tapa a partir
de una pieza rectangular de cartón, de
12 cm por 20 cm, cortando cuadrados
iguales de lado x, en cada esquina,
para después doblar hacia arriba los
rectángulos, como se ve en la figura.
Expresa el volumen, V, de la caja, en
función de x.
10. Halla la formula de transición de la escala de Celsio (C) a la de Fahrenheit (F) si se
conoce que 0ºC corresponde a 32º F y 100ºC a 212ºF.
Construye la grafica de la función obtenida.
11. En un triangulo cuya base es b=10 y su altura h=6 esta inscripto un rectángulo.
Expresa la base de dicho rectángulo “y” como función de “x”.
Construye la grafica de la función y halla su valor máximo.
12. Dado f(x) =2 x 4 - 3x³ - 5x² + 6x + 10
1
1
a) Calcula: p (x)=
[f (x) + f(-x) ]
q (x) = [f (x) - f(-x) ]
2
2
b) Demuestra que : f (x)= p (x) + q (x)
.
13. Sea f(x)= (x-1)²
a) Halla: f(5) y f (1+ 2 )
b) Halla el ó los números “x” reales tales que: f (x) = f (x +1)
c) Verifica si los siguientes puntos pertenecen a la grafica:
(-7 ; 64) ; (3 ; 2) ; (-2 ;9 )
d) Hallar los puntos en que la grafica intersecta a los ejes coordenados
14. En las siguientes funciones halla las intersecciones con los ejes
coordenados:
a) y=2x-3
c) y= x2 . 9  x2
b) y=x ² - x -2
d) y= x-1
x -2
15. La función f (x) es lineal hallarla si: a) f (-2)=2 y f (3)=-5
b) f(-1)=2
y f(2)= -3
16. a) Al ascender, el aire seco se expande y se enfría. Si la temperatura a nivel del
terreno es de 20°C y a 1 km de altura es 10°C, expresa la temperatura T, en °C, en
función de la altura h, en kilómetros, suponiendo que la función es lineal.
b) Traza la grafica de la función de la parte a). ¿Qué representa la pendiente?
c) ¿Cuál es la temperatura de 2.5 km de altura?
17. Halla la función entera y racional de segundo grado f(x), si :
f (0)=1, f (1)=0 y f (3)=5
18. Determina los ceros y los intervalos de valores positivos y negativos de
las siguientes funciones:
a) y =1+x
b) y=2+x-x ²
c)y=x ³ - 3x
d)y= ex
19. En las siguientes funciones determina el dominio de definición:
a) f(x) = 4 – x
b) f(x) = x² - 2x – 3
c) f(x) = 4 - x²
1
1
d) f (x)=
e)f (x)=
f) f (x)= 2  x  x 2
3
x2
x 8
g) f(x) = 4 x 2
j) f ( x ) =
h) f(x)= |x-2|
x2 1
x 1
1
l) f(x)= 2
2x
n) f(x)= 4  x
; si
x 1
x 1
k) f(x)= ln |4-x²|
; si x < 1
; si x = 1
2
i) f (x)= ln
m) j) f(x) =
1 x 2 ; si 0 ≤ x ≤1
1
; si 1 ≤ x ≤2
3
x>
; si
x=2
ñ) f(x)= |cos x|
Para desarrollar las dos actividades siguientes debes considerar los conceptos de
función par e impar.
20. Demuestra que el producto de dos funciones pares o de dos impares es una
función par, mientras que el producto de una función par por otra impar es una
función impar.
21. Determina cuáles de las siguientes funciones son pares o cuales impares:
1
a) f ( x ) = (a x + a x )
b) f (x) = 1 + x + x 2 . 1 x + x 2
2
c) f ( x ) = 3 ( x + 1) 2 + 3 ( x 1) 2
e) f (x) = ln(x + 1 + x 2 )
d) f ( x ) = ln
1+ x
1 x
22. Representa gráficamente las siguientes funciones y determina su
dominio y codominio:
x
a) f(x) =
x2
1
; si x = 0
; si 0 ≤ x ≤1
b) f(x) =
; si x > 1
.
x
; si 0 ≤x < 1
x 1 ; si 1 ≤x ≤2
0 ; si 0 ≤ x ≤1
c) f(x) = 1 ; si 1 ≤ x ≤2
0 ; si 2 ≤ x ≤3
23. Deduce la formula de la función que se describe e indicar cual es el dominio y
codominio
24. Dadas las siguientes funciones: f(x)= x³
;
g(x)= 5x +1
a) Calcula la función inversa: f 1 (x) y g 1 (x)
En cada caso representa la función y su inversa
b) Halla: [g ○ f] (x) y [f ○ g] (x)
c) Calcula:[g ○ f] (3) y [f ○ g] (2)
25. Dada la grafica de f.
Úsala para graficar las siguientes funciones:
1
a) y = f(2x)
b) y = f ( x )
2
c) y = f(-x)
d) y = -f(-x)