TEMA 11: VECTORES EN EL ESPACIO.
PRODUCTO ESCALAR, VECTORIAL Y MIXTO
1.- Vectores en el espacio. Definiciones.
2.- Operaciones con vectores libres.
3.- Combinaciones lineales. Sistemas generadores.
4.- Dependencia e independencia lineal.
5.- Bases. Tipos de bases.
6.- Sistemas de referencia afines.
7.- Operaciones con vectores expresados en coordenadas.
8.- Producto escalar: definición, propiedades y aplicaciones.
9.- Producto vectorial: definición, propiedades y aplicaciones.
10.- Producto mixto: definición, propiedades y aplicaciones.
INTRODUCCIÓN.
Con este tema empezaremos la parte de Geometría, última de las tres en que hemos dividido
el curso, y para la que nos será de gran ayuda todo lo visto en el curso anterior relativo a vectores en
el plano, pues casi todo lo que veremos será una generalización de eso al caso de “tres coordenadas”, es decir, al mundo en tres dimensiones en el que vivimos: el espacio  3 . Al margen de las
pequeñas diferencias que pueda haber sobre lo ya visto en el plano se introduce dos nuevas operaciones, el producto vectorial y el producto mixto, que sólo tienen sentido en tres dimensiones, por lo
que será totalmente nuevo.
Dada la similitud de este tema con lo que ya vimos el año pasado, no nos recrearemos demasiado en él, pasando rápidamente por encima de la mayoría de los contenidos y parando en aquellas
cosas que realmente puedan ofrecer algún tipo de confusión (conceptos de base, dependencia e independencia lineal, consecuencias de las operaciones,...). Pensemos este tema entonces como una
mera introducción a la geometría. Esto no quiere decir que el tema no tenga importancia, sino todo
lo contrario, éste será el tema fundamental de toda la Geometría, en el sentido de que es necesario
dominar absolutamente todos los conceptos de este tema para poder seguir adelante.
1.- VECTORES EN EL ESPACIO. DEFINICIONES.
Definición:
Llamamos vector fijo AB al segmento orientado que tiene por origen el puno A y por extremo el
punto B el extremo. Mientras no preste confusión el vector v podemos expresarlo simplemente por
v.
B
A
1
Elementos característicos de un vector fijo.
Módulo: Es la longitud del segmento AB. Lo representamos por || AB || .
Dirección: Es la dirección de la recta que lo contiene. Si dos vectores son paralelos, tienen la misma dirección
Sentido: Es el que va del origen al extremo. Lo representamos por la punta de la flecha. Una dirección tiene dos sentidos.
Con lo anterior, si tenemos un vector fijo AB , las coordenadas de dicho vector serán las resultantes
de restar las coordenadas del extremo del vector menos las coordenadas del origen.
A(a1, a2, a3)
B(b1, b2, b3)
AB =( b1 - a1, b2 – a2, b3 – a3)
Ejemplo:
Si A(2,-1,3) y B(5,4,-4), entonces AB =(3,5,-7)
Definición
Llamamos vectores equipolentes a los vectores fijos que tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. Es obvio que hay infinitos vectores equipolentes entre sí, basta con trasladarlos de un lado a otro.
Ejemplo:
Si A(2,-1,3) y B(5,4,-4), entonces AB =(3,5,-7)
Si C(3,0,5) y D(6,5,-2), entonces CD =(3,5,-7)
Por tanto, los vectores AB y CD son equipolentes
Definición
Llamamos vector libre al conjunto formado por un vector fijo y todos los vectores equipolentes a
él. Cualquiera de los vectores fijos es un representante.
Ejemplo:
Todos los vectores equipolentes a los vectores anteriores
como resultado (3,5,-7), por tanto hablaremos
AB y CD nos darán

del vector libre u =(3,5,-7), sin indicar su origen ni su extremo.
2
2.- Operaciones con vectores libres.
Suma de vectores (geométricamente)
 
Para sumar dos vectores u , v , podemos hacerlo de dos maneras:
1.- Desde un punto cualquiera del plano, colocamos un

vector equipolente a u y, a partir del extremo de éste, colocamos otro

vector equipolente a v de manera que coincida el extremo del primero
con el origen del segundo. La suma es el vector que tiene como origen
el origen del primero y como extremo el extremo del segundo.
v
u
u+v
2.- Ley del paralelogramo:
Formamos un paralelogramo con dos vectores equipolentes a los dados
de forma que coincidan los orígenes. La suma es la diagonal del paralelogramo tomando como origen el origen de los vectores equipolentes elegidos.
u
u+v
v
Producto de un vector por un número real (geométricamente)

El producto de un vector v por un número real k es otro vector que expresaremos por kv y que
tiene las siguientes características:

Dirección: la misma que v

Sentido: el mismo que v si k es positivo y sentido contrario si k es negativo.
Módulo: el producto del módulo de v por el valor absoluto de k. || kv ||| k | . || v ||
v
2v
-v
3.- Combinaciones lineales. Sistemas generadores.
  

Definición: Dado un conjunto de vectores v1 , v 2 , v 3 ,......., v n , llamaremos combinación lineal de
dichos vectores a una expresión como:




t1· v1 + t2· v 2 + t3· v 3 + ................+ tn· v n
con
t1, t2, t3,.......,tn.  

Un vector v diremos que es combinación lineal de los anteriores si podemos encontrar números

reales t1, t2, t3,.......,tn tal que v se puede escribir de la forma:





v = t1· v1 + t2· v 2 + t3· v 3 + ................+ tn· v n
3
Ejemplo :




Dados los vectores u  (3,2,5), v  (4,1,6) y w  (2,0,1), , entonces el vector v1  (7,0,18) es


 
  
una combinación lineal de u , v y w ya que v1  u  2v  w
Definición: Llamaremos sistema generador de un espacio a un conjunto de vectores tal que cualquier otro vector se puede expresar como combinación lineal de ellos.
El nombre mismo nos lo dice todo, pues podemos decir que dicho conjunto de vectores ‘genera’ el
espacio, es decir que con ellos podemos conseguir cualquier otro vector sin más que multiplicarlos
por números y sumarlos.
Importante: En  3 , se necesitan al menos tres vectores para poder ser sistema generador.
Ejemplos:
El sistema formado por los vectores S  (1,1,0), (0,1,1), (1,0,1) SI es un sistema generador
El sistema formado por los vectores S  (1,1,0), (3,1,1) NO es un sistema generador
El sistema formado por los vectores S  (1,1,0), (0,1,1), (1,2,1), (1,3,2) NO es un sistema generador
4.- Dependencia e independencia lineal.
  

Definición: Dado un conjunto de vectores v1, v2 , v3 ,......,vm  n , diremos que dichos vectores son
linealmente dependientes cuando alguno de ellos se pueda expresar en función de los otros, o también, cuando alguno de ellos sea combinación lineal de los otros o, equivalentemente, si existen
1, 2 , 3 ,.....,n   , alguno de ellos distinto de 0, tal que:





1  v1  2  v2  3  v3  .......... n  vn  0
Ejemplo:

v1  1, 0,  1, 2


Dados los vectores v2  4, 2,  2, 1 , podemos observar que el vector v3 se obtiene a partir

v3  6, 2,  4, 5
  
   
de los otros dos de la siguiente forma: 2  v1  v2  v3 o equivalentemente, 2v1  v2  v3  0 , por tan  
to, los vectores v1, v2 , v3 son linealmente dependientes.
Además, si hubiésemos estudiado el rango de la matriz formada por dichos vectores, veríamos que su
rango es 2:
1 0 1 2


A   4 2  2 1  Rg A = 2 porque la fila 3ª es el doble de la 1ª más la 2ª.
6 2  4 5


4
Definición: Diremos que dichos vectores son linealmente independientes cuando ninguno de ellos
se pueda expresar en función de los otros, o también, cuando ninguno de ellos sea combinación lineal
de los otros o, equivalentemente, si la única forma de conseguir que:



 
1  v1  2  v2  3  v3  .......... n  vn  0
es cuando 1  2  3  .....  n  0
Ejemplo:

v1  1 1 0

Dados los vectores v2  0 1 3 , puede comprobarse que ninguno es combinación de los otros

v3  1  1 6
dos y para ello basta ver que su rango es 3, es decir el siguiente determinante es distinto de 0:
1
1
0
0 1 3  12
1 1 6
Importante: Elegido un conjunto cualquiera de vectores de  3 , entre ellos, hay como mucho
tres vectores independientes
5.- Bases. Tipos de bases.
A partir de los conceptos anteriores podemos dar la definición de base de un espacio, que es el concepto fundamental de la geometría analítica:
  

Definición: Diremos que un conjunto de vectores { v1 , v 2 , v 3 ,......., v n } forman una base de un
espacio vectorial si es a la vez un sistema generador y son linealmente independientes.
Importante: Una base de  3 está formada por tres vectores independientes.
O lo que es lo mismo, tres vectores del espacio, no coplanarios, forman una base porque cualquier
otro vector se puede expresar como combinación lineal de ellos.
Ejemplos:
B  (1,1,0), (0,1,1), (1,0,1) es una base de  3 ya que está formada por tres vectores independientes
(basta ver que su rango es tres)
Bc  (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) es la base canónica de  3 . Al referirnos a ella la denotaremos como
  
B  i , j, k


5
Definición: Teniendo en cuenta que cualquier otro vector del espacio se puede escribir como com
binación lineal de los vectores de la base, si tengo un vector cualquiera v existirán t1, t2, t3,.......,tn.
  , tal que:





v = t1· v1 + t2· v 2 + t3· v 3 + ................+ tn· v n

A t1, t2, t3,.......,tn.   le llamaremos coordenadas del vector v en dicha base, y podremos ex
presarlo como v = (t1, t2, t3,.......,tn.).
Ejemplo:




Dada la base B  v1 (1,1,0), v 2 (0,1,1), v3 (1,0,1), el vector v  (4,3,5) se puede expresar como:





v  (4,3,5) = 1·(1,1,0)  2·(0,1,1)  3·(1,0,1)  1v1  2v 2  3v 3 , por tanto las coordenadas de v respecto
a la base B son (1,2,3)
Ejemplo:




Dada la base B2  u1 (1,2,1), u 2 (0,1,4), u 3 (2,0,7), el vector v  (4,3,5) se puede expresar como:





v  (4,3,5) = 2·(1,2,1)  1·(0,1,4)  1·(2,0,7)  2·u1  1·u 2  1u 3 , por tanto las coordenadas de v respecto a la base B2 son (2,-1,1)
Por tanto, un mismo vector tiene diferentes coordenadas según se refiera a una base u otra.
Realmente, cuando hablamos de las coordenadas de un vector cualquiera, sin darnos cuenta, estamos expresando ese vector respecto a la base canónica {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, que es la que
utilizamos habitualmente.
Ejemplo:
(4, -2, 5) = 4·(1, 0, 0) –2·(0, 1, 0) + 5·(0, 0, 1)
Definición:
Diremos que una base es Base ortogonal cuando los vectores que la forman son perpendiculares
dos a dos.
Ejemplo:



B  v1 (2,0,0), v 2 (0,3,0), v 3 (0,0,1)
Los vectores son perpendiculares dos a dos
Definición:
Diremos que una base es Base ortonormal cuando los vectores que la forman son perpendiculares
dos a dos y, además, son unitarios (su módulo vale 1).
6
k
Ejemplo:


  
La base canónica es una base ortonormal. Se expresa por B  i , j , k .

|| i ||||
 
i  j;
j
i


j |||| k || 1
   
j k ; i k
(Nota: En el espacio hay infinitas bases ortogonales y ortonormales. Ya veremos m´s adelante como
hallarlas).
6.- Sistemas de referencia afines.
Definición: Llamaos sistema de referencia afín al conjunto formado por:
I. Un punto fijo O del espacio, llamado origen.
II. Una base cualquiera de dicho espacio.
Nosotros, para facilitar nuestras operaciones, tomamos tradicionalmente el punto O(0,0,0) y como
  
base, la base canónica B  i , j , k , por eso, un sistema de referencia en el espacio, queda expresado en la forma siguiente:
  
S  O, i , j , k


 

Elegido un sistema de referencia, a cada punto P (x,y,z) del espacio se le asocia el vector OP que
recibe el nombre de vector de posición.
Expresando el vector OP como combinación
lineal de los vectores que forman la base,
existen tres números reales x, y, z tales que
k
O



OP  x.i  y. j  z.k .
i
P
j
Los números x, y, z reciben el nombre de coordenadas del vector OP y dicho vector se puede expresar simplemente así:
OP  ( x, y, z)
 

  
Está claro entonces que, en nuestro sistema de referencia S  O, i , j , k , las coordenadas del punto coinciden con las de su vector de posición.
7
7.- Operaciones con vectores expresados en coordenadas.
Suma analítica de vectores
Para sumar dos vectores analíticamente, sumamos cada coordenada del primer vector, por la correspondiente coordenada del segundo vector.








Ejemplo: Si u  2i  3 j  5k  (2,3,5) y v  i  4 j  6k  (1,4,6) , entonces


  
u  v  i  7 j  11k  (1,7,11)
Producto analítico de un vector por un número real
Para multiplicar un vector por un número real, se multiplica cada una de las coordenadas del vector
por dicho número.
Ejemplo:

 


Siendo u  3i  2 j  k  (3,2,1) , el producto de u por 3, será:


 



3u  3.(3i  2 j  k )  9i  6 j  3k  (9,6,3)
8.- Producto escalar: definición, propiedades y aplicaciones.
(Nota: Vamos a iniciar con este apartado la parte del tema dedicado a las operaciones digamos “especiales” pues se da
por seguro que todos conocen las operaciones ‘básicas’, es decir, la suma de vectores y el producto de un vector por un
número, así como la representación gráfica de ellas.)
 
Definición: Dados dos vectores u y v , llamamos producto escalar de esos dos vectores a:
 
 
 
u  v = u ·v ·cos(u, v )
Propiedades del producto escalar
1.- Conmutativa:
 
 
u v = v u
 
 
2.- Asociativa respecto a los escalares: (k· u )  v = k·( u  v )

 
3.- u  u  u
   
(ya que u  u  u ·u ·cos0  0 )


 
4.- Si u = 0 ó v = 0  u  v = 0.


 


5.- Si u  0 y v  0 entonces u  v = 0  u  v ,
8
(es decir que el producto escalar de dos vectores (distintos de 0) es 0 sí y sólo sí esos dos vectores
son perpendiculares). Esto es sencillo de ver a partir de la definición y es una propiedad fundamental que utilizaremos en multitud de ocasiones.


 
 

6.- Distributiva respecto a la suma de vectores: u  ( v + w ) = u  v + u  w
Expresión en coordenadas del producto escalar:


Si u = (x1, y1, z1) y v = (x2, y2, z2) son dos vectores cuyas coordenadas están expresadas respecto a
una base ortonormal (por ejemplo la base canónica), entonces:
 
u  v = x1·x2 + y1·y2 + z1·z2
Demostración
Antes de nada fijémosnos en los productos escalares de los vectores de la base canónica:
    
i ·i  j · j  k ·k  1
  
i · j  i ·k  j ·k  0 (todo por la propia definición)
Aplicando las propiedades del producto escalar y las expresiones de esos vectores respecto a la base
canónica, tendremos:






 
u  v = (x1, y1, z1)·(x2, y2, z2)=(x1· i + y1· j + z1· k )  (x2· i + y2· j + z2· k )







=x1·x2· i ·i +x1·y2· i · j +x1·z2· i ·k +y1·x2· i · j +y1·y2· j · j +y1·z2· j ·k +z1·x2· i ·k
 
z1·z2· k ·k
+

Pr op . distr . y asoc .

z1·y2· j ·k +
pero, teniendo en cuenta los productos escalares de los vectores de la base canónica, nos queda:
 
u  v = x1·x2 + y1·y2 + z1·z2
(Esta expresión es la que utilizaremos normalmente para multiplicar escalarmente dos vectores pues
casi siempre conoceremos sus coordenadas).
Ejemplo:








Si u  2i  3 j  5k  (2,3,5) y v  i  4 j  6k  (1,4,6) , entonces
 
u  v  2·(1)  3·4  (5)·(6)  40
Aplicaciones del producto escalar:
1.- Para comprobar si una base es ortogonal u ortonormal.
  
Si B ( e1 , e2 , e3 ) es una base ortogonal de vectores entonces debe cumplir que:
 
e1  e2 =0
 
e1  e3 = 0
 
e2  e3 = 0
9
  
Si B ( e1 , e2 , e3 ) es una base ortonormal de vectores entonces, además, debe cumplir que:
 
e1  e1 =1
 
e1  e2 =0
 
e2  e2 = 1
 
e1  e3 = 0
 
e3  e3 = 1
 
e2  e3 = 0
2.- Para hallar el módulo de un vector en coordenadas:


 
Sabemos que u  u  u , así si u = (x1, y1, z1), teniendo en cuenta la expresión en coordenadas
del producto escalar:

 
2
2
2
u  u  u  x1 ·x1  x2 ·x2  x3 ·x3  x1  y1  z1
z || v || x12  y12  z12
Esto es lo que se preveía, ya que si observamos la figura, el módulo

del vector u , se obtiene aplicando dos veces el teorema de Pitágoras.
Así es como tradicionalmente se calcula y no con el producto escalar.
v
z1
y1
Ejemplo:
y
x1

Calcula el módulo del vector u  (3,2,6)
x
x12  y12

|| u || 9  4  36  49  7
3.- Para calcular el ángulo que forman dos vectores:
A partir de la definición de producto escalar podemos despejar el coseno:
 
  u v
cos(u , v )   
u ·v
De ahí tenemos que:
 


u v
 
Ángulo que forman u y v = (u , v ) = arcos  
u ·v
Ejemplo:


Halla el ángulo que forman los vectores u  (3,2,6) y v  (4,5,1)

u.v  12  10  6  4


|| u || 9  4  36  49  7 ; || v || 16  25  1  42

u.v
4
cos  
.
 
|| u || . || v || 7 42
Buscando con la calculadora el ángulo cuyo coseno es
4
7 42
, se obtiene
10
  84,94º
4.- Para calcular un vector perpendicular u ortogonal a uno dado:


Dado un vector u = (x1, y1, z1), un vector perpendicular u ortogonal a él será un vector v = (x2, y2,
z2) tal que x1·x2 + y1·y2 + z1·z2 = 0
Ejemplo:

Halla el vector perpendicular a u  (3,2,6)


Basta considerar el vector v  (4,0,2) , ya que u.v  12  0  12  0
5.- Para calcular la proyección de un vector sobre otro:
 
Dados dos vectores v y u como los de la figura,



la proyección de v sobre u , que denotamos Pr oyu (v ) ,


es la proyección de v sobre una recta en la dirección de u ,
tal y como vemos en dicha figura:
v
O

A
u
proy. de v sobre u

  Pr oyu (v )
A partir del dibujo tenemos que cos(u , v ) 
, y por tanto:

v
 
 
 
 


 u v
 (v ) =
u  v = u  v ·cos(u, v )  u  Pr oyu (v )
Pr
oy

u
por lo que
u
Ejemplo:
Halla la proyección ortogonal del vector u  (1,1,3) sobre v  (1,2,2)
Solución:

u.v  1.1  (1).2  3.2  5
El ángulo que forman los vectores es agudo
(ya que el producto escalar es positivo)
u  (1,1,3)
x
v  (1,2,2)

|| v || 12  2 2  2 2  3
 
5
u.v || v || .x  5  3.x  x  (que es la medida del segmento x)
3
Dividimos el vector v por su módulo a fin de obtener un vector de la misma dirección y sentido
pero de módulo unidad:

v
1

1 2 2
|| v || 12  2 2  2 2  3 ;   (1,2,2)   , , 
|| v || 3
3 3 3
Finalmente, el vector unitario obtenido lo multiplicamos por 5 3 :
11
5  1 2 2   5 10 10 
proy. de u sobre v  x   , ,    , , 
33 3 3 9 9 9 
9.- Producto vectorial. Propiedades y aplicaciones.


Definición: Dados dos vectores u y v , llamaremos producto vectorial de esos dos vectores, y lo
 
denotaremos u  v a otro vector que cumpla lo siguiente:
   
 
Módulo: u  v  u ·v ·sen(u, v )


Dirección: Perpendicular al plano determinado por los vectores u y a v .
 
Sentido: El del avance de un sacacorchos que gira de u a v por el camino más corto.
(Regla de la mano derecha)
u v
Regla de la mano derecha
v
 h
u
(Nota: A partir de esta definición hay que notar la gran diferencia con el producto escalar visto anteriormente, y es que el producto vectorial de dos vectores ¡es un vector!, mientras que el producto
escalar de dos vectores es un número.)
Propiedades del producto vectorial:


 
1.- Si u  0 o v  0  u  v  0




 
2.- Si u  0 y v  0 , entonces u  v  0  u y v son proporcionales, es decir si son parale

los. ( u = t· v , con t ).
 
 
3.- El producto vectorial es anticonmutativo, es decir, u  v  v  u
  
   
4.- Distributiva respecto a la suma de vectores: u  (v  w)  u  v  u  w
  

 
5.- Asociativa respecto al producto por escalares (números): (t·u )  v  u  (t·v )  t·(u  v )
     
6.- El producto vectorial, en general, no es asociativo, es decir: (u  v )  w  u  (v  w)
Expresión analítica del producto vectorial:
Hasta ahora hemos hablado de cómo es el producto vectorial y de sus propiedades, pero no de cómo
calcularlo. Veamos entonces cómo es su expresión en coordenadas a partir de los vectores que multiplicamos.


Dados dos vectores u  ( x1 , y1 , z1 ) y v  ( x2 , y 2 , z 2 ) , el producto vectorial de esos vectores, en
coordenadas, viene dado por:
12
   y
u  v   1
 y2
z1 z1
,
z2 z2
x1 x1
,
x2 x2
y1
y2




Para ello, previamente vamos a ver cuáles son los productos vectoriales de los vectores de la base
  
canónica B  i , j , k


 
i i  0

 
j  i  k
  
k i  j
  
i j k
 
j j 0
 

k  j  i
 

i k   j
  
j k  i
 
k k  0


Por tanto, dados dos vectores u  ( x1 , y1 , z1 ) y v  ( x2 , y 2 , z 2 ) , éstas son sus coordenadas respecto
a la base canónica, es decir:




u  ( x1 , y1.z1 )  x1i  y1 j  z1k
y




v  ( x2 , y2 , z2 )  x2 i  y2 j  z2 k









 
u  v  ( x1i  y1 j  z1k )  ( x2 i  y2 j  z2 k )  ( y1 z2  z1 y2 )i  ( z1 x2  x1 z2 ) j  ( x1 y2  y1 x2 )k ,
que equivale a decir,
   y
 
u  v  ( y1 z 2  z1 y2 , z1 x2  x1 z 2 , x1 y2  y1 x2 ) , o mejor, u  v   1
 y2
z1 z1
,
z2 z2

e1

e2

e3
(Nota: De forma práctica podemos calcularlo de la siguiente forma: u  v  x1
x2
y2
x3 .
y3
 
y1
x1 x1
,
x2 x2
y1
y2




Lo anterior hay que tomarlo como una ‘regla mnemotécnica’, pues eso no es un verdadero determinante (no
tiene sentido un determinante con números y vectores) y hay que calcularlo desarrollándolo por los elementos de la
primera fila.)
Ejemplo:


1. Calcula el producto vectorial de los vectores u  (1,7,3) y v  (5,0,4)
Conviene colocar el primer vector y debajo de este el segundo:

u  (1,7,3)

v  (5,0,4)
   7 -3 -3 1 1 7 
  (28,11,35)
u  v  
,
,

0
4
4
5
5
0


13
Interpretación geométrica del producto vectorial:
“El módulo del producto vectorial es el área del paralelogramo que ambos vectores forman”.
u v
Basta darse cuenta que el área del paralelogramo es:
Área paralelogramo = Base x altura

Pero como la base es || u || y la altura h || v || sen , tenemos que:


 
Área paralelogramo = Base x altura = || u || . || v || .sen || u  v ||
v
 h
u
Aplicaciones del producto vectorial
1.- Para calcular el área de un paralelogramo
Basta recordar lo anteriormente dicho, es decir, que el módulo del producto vectorial es el área del
paralelogramo que ambos vectores forman.
Ejemplo:

Dados los vectores u  (3,2,5)

y v  (4,1,6) , halla el área del paralelogramo que determinan.
Teniendo en cuenta que el área del paralelogramo que determinan es el módulo del producto vectorial:
   2 5 5 3 3 2
  (7, 2, - 5)
u  v  
,
,

1
6
6
4
4
1


 
Área = || u  v || 7 2  2 2  (5) 2  78 por lo que Área =
78 u 2
2.- Para calcular el área de un triángulo:
Dado el triángulo de vértices A, B y C, los vectores AB y AC determinan un paralelogramo cuya
área es el módulo del producto vectorial.
C
A
B
Como el triángulo es la mitad del paralelogramo, su área será: Área 
1
|| AB  AC ||
2
14
Ejemplo:
Dados los puntos A(1,1,1), B(4,3,6) y C(5,2,7), halla el área del triángulo que determinan.
Solución:
El área del triángulo determinado por los tres puntos viene dada por la fórmula siguiente:
Área 
1
|| AB  AC ||
2
u


Por lo tanto, hallemos u  AB y v  AC
v


Dichos vectores serán: u  (3,2,5) y v  (4,1,6) y su producto vectorial:
   2 5 5 3 3 2
  (7, 2, - 5)
u  v  
,
,

1
6
6
4
4
1


 
1  
78 2
|| u  v || 7 2  2 2  (5) 2  78 y por tanto Área  || u  v ||
u
2
2
3.- Para calcular un vector perpendicular a otros dos dados:
Por definición el producto vectorial de dos vectores es perpendicular a ellos dos y por tanto siempre
que tengamos que calcularlo utilizaremos su producto vectorial. Como consecuencia, si dos vectores no son proporcionales, estos más su producto vectorial siempre serán una base.
Ejemplo:

Dados los vectores u  (3,2,5)

y v  (4,1,6) , halla un vector perpendicular a ambos
Un vector perpendicular a ambos es el producto vectorial:
   2 5 5 3 3 2
  (7, 2, - 5) o también, mediante la regla mnemotécnica:
u  v  
,
,

1
6
6
4
4
1



i
 
j k

 






 
u  v  3 2 5  12i  20 j  3k  8k  5i  18 j  7i  2 j  5k  (7,2,5)
4 1 6
15
10.- Producto mixto: definición, propiedades y aplicaciones.
 

Definición: Dados tres vectores u , v y w , llamamos producto mixto de esos tres vectores, y lo
  
denotaremos u , v , w , al número que se obtiene al realizar el producto escalar del primero por el
producto vectorial de los otros dos:
u, v, w  = u  (v  w )
Expresión analítica del producto mixto:
  


Dada una base ortonormal B( i , j , k ), y tres vectores u  ( x1 , x2 , x3 ) , v  ( y1 , y 2 , y3 ) y

w  ( z1 , z 2 , z 3 ) , entonces:



 y2
 z2
u, v, w = u  (v  w ) = ( x1 ·i  x2 · j  x3 ·k )  
x1 ·
y2
y3
z2
z3
 x2 ·
y1
y3
z1
z3
x1
  
Por tanto, u , v , w = y1
z1
 x3 ·
y1
y3
z1
z3
x1
x2
x3
= y1
z1
y2
z2
y3
z3
y 3  y1
·i 
z3
z1
y 3  y1
·j 
z3
z1
y3  
·k  =
z 3 
x2
x3
y2
z2
y 3 , es decir, para hallar el producto mixto de tres vectores basta calz3
cular el determinante al que dan lugar una vez puestos en su orden oportuno.
Ejemplo:

  


Dados los vectores a  (1,0,1), b  (0,2,1) y c  (2,0,0). , halla el producto mixto [a, b , c ] :
1 0 1
  
  
[a , b , c ]  a.(b  c )  0 2  1  4
2 0 0
Propiedades del producto mixto:
(Nota: todas las propiedades siguientes son consecuencia directa de las propiedades vistas para los
determinantes.)
1.- El producto mixto cambia de signo si intercambiamos dos de los vectores entre sí, es decir:
u, v, w  =  u, w , v
  
  
=  v , u , w =  w, v , u 
2.- Como consecuencia de lo anterior, teniendo en cuenta que intercambiamos dos veces tenemos
que:
u, v, w  = v, w , u = w , u, v
16
   
  
  
3.- Distributiva respecto de la suma de vectores: u  u , v , w = u , v , w + u , v , w
  
  
  
  
4.- Si t es un número real, entonces: t·u , v , w = u , t·v , w = u , v , t·w = t·u , v , w
  
5- Tres vectores son linealmente dependientes (o son coplanarios)  u , v , w =0
Interpretación geométrica del producto mixto:
Vamos a demostrar la siguiente afirmación
El valor absoluto del producto mixto de tres vectores es el volumen del paralelepípedo formado por
esos tres vectores.
u v
 

Para ello, consideremos tres vectores u , v y w , no coplanarios como los de la figura adjunta. Estos tres vectores
definen un paralelepípedo como puede observarse:

h
w
v
Por una parte:
Vparalelepípedo = Área Base · altura
u
 
  

 
 

Por otra parte: w, u, v  w.(u  v ) || w || . || (u  v ) || . cos || (u  v ) || . || w || . cos
Pero como: || (u  v) || es el área de la base de paralelepípedo y || w || . cos  h  altura, entonces,
ambas expresiones son idénticas, por lo que:
w, u, v = Volumen del paralelepípedo.
Aplicaciones del producto mixto.
Para calcular el volumen de un paralelepípedo
Basta aplicar lo anterior, es decir, que el valor absoluto del producto mixto de tres vectores es el
volumen del paralelepípedo formado por esos tres vectores.
Ejemplo:



Dados los vectores a  (1,0,1), b  (0,2,1) y c  (2,0,0). , halla el volumen del paralelepípedo
que determinan.
1 0 1
  
  
Volum en [a , b , c ]  a.(b  c )  0 2  1  4
2 0 0
17
Para calcular el volumen de un tetraedro
El volumen del tetraedro es
Volumen ( tetraedro ) 
1   
u , v , w
6
w
v
u
Ejemplo:
Dados los vectores u  (3,2,5), v  (4,1,6) y w  (2,0,1), halla el volumen del tetraedro que
determinan.
3 2
  
u .(v  w)   4
1
2
0
5
6  3  24  10  8  29
1
Volumen (tetraedro) 
1
29 2
| 29 |
u
6
6
18
Ejercicios resueltos
1.- Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas (1, 1, t), (0, t, 1-t) y (1, -2, t) sean
linealmente dependientes).
Solución:
Si son linealmente dependientes, uno de ellos, se podrá expresar como combinación lineal de los
otros restantes, por tanto,
(1, 1, t) = (0, t, 1-t) + (1, -2, t)
Y de aquí se obtiene:
 1

t  3


t - 2  1
 y de aquí resulta

(1  t )  0
(1 - t )  t  t 
Si (1  t )  0    0 ó 1 - t  0  t  1
Y si t = 1,  = 3
La relación de dependencia es (1,1,1)  3.(0.1.0)  1.(1,2,1) , es decir,
(1,1,1)  3.(0,1,0)  1.(1,2,1)  (0,0,0)
2.- ¿Puede haber dos vectores u y v tales que u.v  3, || u || 1 y || v || 2 ?
Solución:
Si  es el ángulo que forman, de la definición de producto escalar, se obtiene:
u.v || u || . || v || . cos
Y entonces,  3  1.2. cos  cos  1,5
Dicha relación es imposible porque  1  cos   1
3.- Halla el valor de a para que los vectores u  (2,1,5) y v  (a,2,6) , sean perpendiculares.
Solución:
Para que sean perpendiculares, el producto escalar ha de ser nulo, por tanto,
(2,1,5).(a,2,6)  0   2a  2  30  0 y de aquí se obtiene a = 16
4.- Halla un vector w cuyo módulo sea 4 y además perpendicular a u  (2,0,1) y v  (3,1,2)
Sabemos que el producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a cada uno de ellos,
 0 1 1 2 2 0
  (1,1,2)
Por tanto, u  v  
,
,

 -1 2 2 3 3 -1 
Lo dividimos por su módulo para obtener un vector de módulo unidad:
u  v  (1,1,2) es perpendicular a u y a v.
uv
1

(1,1,2)   1 ,  1 ,  2 
|| u  v || 12  (1) 2  (2) 2  6 ;
6
6
6
|| u  v ||

6
El vector unitario obtenido lo multiplicamos por 4 y obtenemos el vector buscado:
 1 1  2   2 6  2 6  4 6 

w  4
,
,
  
,
,

3
3
3
6
6
6

 

19
5.- Comprueba si los vectores (1, 2, 3), (4, 5, 6) y (7, 8, 9) de R 3 son linealmente independientes.
Solución:
Una forma de verlo es formar una matriz y aplicar la reducción de Gauss. Si se llega a una matriz
escalonada, es decir, que tenga por debajo de la diagonal principal todo ceros pero que ninguna fila
de la matriz sea nula, entonces los vectores dados son linealmente independientes.
2
3  1
2
3
 1 2 3 1

 
 

 4 5 6 0  3  6   0  3  6
 7 8 9   0  6  11  0
0
1 

 
 
Ninguna fila es nula y por debajo de la diagonal principal todo son ceros. Los vectores dados son
linealmente independientes.
Otra forma de verlo es hallar el determinante de la matriz y si es distinto de cero, los vectores son
linealmente independientes.
6.- Consideremos el conjunto de los polinomios de grado dos con una indeterminada. Dichos polinomios pueden ser considerados como vectores. Estudia si los polinomios A(x)  1  x  4x 2 ;
B(x)  3  6x  2x 2 y C(x)  2  10x  4x 2 son linealmente dependientes o independientes.
Solución:
Los polinomios dados podemos expresarlos en la forma siguiente:
A = (1, -1, 4), B = (3, 6, 2) y C = (2, 10, -4)
Si aplicamos el método de Gauss, resulta:
4  1 1
4  1 1
4  1 1
10 
1 1

 
 
 

2    0 9  10   0 36  40   0 36  40
3 6
 2 10  4   0 12  12  0 36  36   0 0
4 
 
 

 
Para pasar de la segunda a la tercera matriz, la segunda fila la hemos multiplicado 4 y la tercera fila
por 3.
Hemos llegado a tres filas, ninguna de ellas nulas, y todo ceros por debajo de la diagonal principal.
Los polinomios dados son linealmente independientes.
7.- El vector v  (1,3,2) está dado en la base canónica. Halla sus componentes respecto de la base
B  (1,1,1), (1,0,1), (0,2,3)
Solución:
(1,3,2)  (1,1,1)  (1,0,1)  (0,2,3)
Esto nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones:
  1


  2  3

    3  2
Sumando la 1ª ecuación, cambiada de signo a las otras dos,
20
   2  2
    1 y entonces   4
3  3

Si el valor de  lo llevamos a la 1ª ecuación del sistema inicial,   4  1    5
El vector v queda expresado en función de los elementos que forman la base en la forma siguiente:
(1,3,2)  5(1,1,1)  4(1,0,1)  1(0,2,3)
8.- Estudia si los vectores (1, 1, 0), (0,1, 1) y (2, 1, 1) forman una base de R 3
Solución:
Hemos de saber que:

Dos vectores linealmente independientes de R 2 forman una base de R 2

Tres vectores linealmente independientes de R 3 forman una base de R 3 .

Etc.
En nuestro caso si los vectores dados son linealmente independientes formarán una base:
0  1 1 0
1 1 0 1 1

 
 

1   0 1 1
0 1 1 0 1
 2 1  1  0  1  1  0 0 0 
 


 
Hemos llegado a una matriz con la tercera fila nula, los vectores dados son linealmente dependientes y, por tanto, no forman una base de R 3
9.- Nos dan los vectores a  (1,0,1), b  (0,2,1) y c  (2,0,0). Halla:
a) Valor absoluto del producto mixto de a, b y c y da su significado geométrico.
b) Ángulo que forman b y c.
c) Razona si a , b, c forman una base y, en caso afirmativo, halla las coordenadas del vector
u  (1,2,0) en dicha base.
Solución
1 0 1
0 1
 2(0  (2))  4
a) [a , b, c]  a.(b  c)  0 2  1  2
2 1
2 0 0
Valor absoluto del producto mixto es | 4 | 4
El valor absoluto del producto mixto es el volumen del paralelepípedo definido por los s tres vectores.
b) Para calcular el ángulo que forman b y c aplicamos la definición de producto escalar:
b.c || b || . || c || . cos y de aquí
b.c
0.2  2.0  (1).0
0
cos 


0
|| b || . || c ||
5.2
0 2  2 2  (1) 2 . 2 2  0 2  0 2
Si cos   0 , entonces  = 90º
c) Podemos hacerlo por el método de Gauss o bien por determinantes. Si el determinante es distinto
de cero, los vectores son linealmente independientes.
21
1 0 1
0 1
0 2 1  2
 2(0  (2))  4  0
2 1
2 0 0
Y como estamos en R 3 los vectores forman una base. Esto significa que cualquier otro vector se
puede expresar como combinación lineal de ellos. Si queremos hallar las coordenadas de
u  (1,2,0) respecto de la base, escribimos:
(1,2,0)  (1,0,1)  (0,2,1)  (2,0,0) y ello nos lleva al sistema siguiente
  2  1 

2  2   = 1;  = 1;  = 0 que son las coordenadas buscadas.
     0
10.- Dados los vectores u  (3,2,5) y v  (4,1,6) halla el área del triángulo que determinan.
Solución:
El área del triángulo determinado por dos vectores viene dada por la fórmula siguiente:
Área 
1
|| u  v ||
2
u
v
Hemos de hallar, por tanto, el producto vectorial de los dos vectores dados:
i j k
u  v  3 2 5  7i  2 j  5k  (7,2,5)
4 1 6
|| u  v || 7 2  2 2  (5) 2  78
Área 
1
78
|| u  v ||
2
2
11.- Dados los vectores u  (3,2,5), v  (4,1,6) y w  (2,0,1), halla el volumen del tetraedro
que determinan.
Solución:
1
6
del producto mixto tomado en
en valor absoluto.
El volumen del tetraedro es
w
v
u
22
3
2
u.(v  w )   4
2
1
0
Volumen ( tetraedro ) 
1
29 2
| 29 |
u
6
6
5
6  3  24  10  8  29
1
12.- Halla un vector unitario que tenga la misma dirección que u  (1,1,2)
Solución:
Dado un vector u, entonces el vector
u
es unitario.
|| u ||
Módulo de u:
|| u || 12  12  (2) 2  6
Por tanto,
 1 1 2
(1,1,2)  
,
,
 será unitario (modulo1) y de la misma dirección que u.
6
 6 6 6
1
13.- Prueba que el producto escalar de dos vectores u y v, es igual al módulo de uno de ellos por la
proyección del otro sobre el.
Solución:
u.v || u || . || v || . cos
OA | v || . cos  proy. de v sobre u
luego u.v || u || .OA
v

O
A
u
proy. de v sobre u
En el caso de que el ángulo sea obtuso se obtiene :
Los ángulos  y  son suplementarios
por tanto, cos   cos
v
u.v || u || . || v || . cos
|| v || . cos   || v || cos  OA
donde OA es la proyección de v sobre u


A
O
u
es decir, u.v   || u || .OA
Observación importante:
Cuando el producto escalar es positivo, el ángulo es agudo
Cuando el producto es negativo, el ángulo es obtuso.
14.- Halla la proyección ortogonal del vector u  (1,1,3) sobre v  (1,2,2)
23
Solución:
u.v  1.1  (1).2  3.2  5
El ángulo que forman los vectores es agudo
u  (1,1,3)
x
v  (1,2,2)
|| v || 12  22  22  3
5
(que es la medida del segmento x)
3
Dividimos el vector v por su módulo a fin de obtener un vector de la misma dirección y sentido
pero de módulo unidad:
v
1
1 2 2
 (1,2,2)   , , 
|| v || 12  22  22  3 ;
|| v || 3
3 3 3
Finalmente, el vector unitario obtenido lo multiplicamos por 5 :
3
u.v || v || .x  5  3.x  x 
5  1 2 2   5 10 10 
proy. de u sobre v  x   , ,    , , 
33 3 3 9 9 9 
24
Ejercicios propuestos
1.- Determinar los valores del parámetro a, para los cuales forman base de R 3 los vectores
(a,1,2), (1,a,2) y (2a,1,0)
Sol. Para todo valor de a distinto de 1
2
y de 1
2.- En el conjunto R 3 se consideran los vectores siguientes:
u  (1,2,1), v  (3,-2,0) y w  (-7,10,-2)
Prueba que son linealmente dependientes y encuentra la relación de dependencia.
Sol. Basta comprobar que el determinante es nulo
2(1,2,1)  3(3,2,0)  (7,10,2)  (0,0,0)
3.- Sean los siguientes vectores de R 3 : u  (1,2,1), v  (1,-1,1)y w  (2,5a,-3a)
Determina el valor numérico del parámetro a para que sean linealmente dependientes y encuentra
una relación de dependencia.
Sol. a = 2
4(1,2,1)  2(1,1,1)  2(2,10,6)  (0,0,0)
4.- Dados los vectores A  (a,8,4), B  (-1,2,0)y C  (0,1,2).Halla los valores de a para que A se
pueda expresar como combinación lineal de B y de C
Sol. a = 3
5.- Dados los vectores u  (1,2,3) y v  (1,-1,1),se pide:
a)
¿Son linealmente independientes?
b)
Escribe un vector w tal que u , v y w sean linealmente independientes.
c)
Encuentra un vector t, tal que u , v y t sean linealmente dependientes.
Sol.
a)
b)
c)
Son l.i. porque sus coordenadas no son proporcionales
Puede ser, por ejemplo, w  (0,0,1). Aplíquese primero el método de Gauss
Basta tomar una combinación lineal de los vectores dados.
6.- Prueba que los vectores a  (1,1,1), b  (1,-1,1)y c  (1,1,1)son una base de R 3
Halla las componentes del vector x  (7,9,15) en esta base.
Sol. Como son tres vectores, basta probar que son l.i. (determinante 0)
x  11 .a  8.b  12 c
7.- Determina la expresión general de los vectores de R 3 que son combinación lineal de los vectores (1,2,1) y ((4,1,1)
Sol. (  4,2  ,  )
8.- Los vectores a  i  2k, b  2i  j  k y c  i  2 j  2k están expresados en una base ortonormal. Calcula: a  b; a  (c  a ) y a.(a  b)
25
Sol. a  b  2i  5 j  k ; a  (c  a )  8i  10j  4k ; a.( a  b)  0
9.- Sean u y v tales que || u || 2, || v || 1 y que forman un ángulo de 45º. Calcula  de modo que
u  v sea perpendicular a u
Sol.   2 2
10.- dados los vectores v  (2,5,1) y u  (1,0,3), halla la proyección ortogonal de v sobre u.
3
 1
Sol. x   , 0,

10 
 10
11.- Dados los vectores a  (1,2,1), b  (3,1,2) y c  (4,1,0), determina:
Su producto mixto
Volumen del paralelepípedo determinado por ellos.
Sol. [a , b, c]  -25
V  25 u 3
26
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