DESAFIO: El problema de la hormiga. (Escalera hacia el cielo

DESAFIO: El problema de la hormiga. (Escalera hacia el cielo)
Escrito por: César Íñiguez García
Para resolver la segunda pregunta, queda claro que debemos construir una torre inclinada, la
cuestión es COMO se debe inclinar. Si la hacemos parecida a la torre de pisa caerá.
Para estudiar su estabilidad primero debemos conocer el concepto de Centro de Masas. Este
se define como el punto donde las fuerzas externas son simplemente su suma, sirve también
en algunos casos como simplificación al poder calcular como si toda la masa del objeto estaría
concentrada en él.
Matemáticamente se calcula la posición de este “punto” como la suma de las masas
multiplicadas por la distancia a un punto de referencia y dividida por la masa total. Para
objetos sólidos se puede calcular suponiendo que el objeto está compuesto de multitud de
pequeños cubos (integración).
Por ejemplo en el caso de la esfera, o el cubo sería su centro geométrico. Si fuésemos capaces
de colocar en este punto un cable, el objeto giraría libremente y todas sus posiciones serían
posiciones de equilibrio. Este punto no tiene porque ser interior al objeto, como una herradura
o una forma curva muy pronunciada.
En el caso de la Tierra y la Luna su centro de masas se sitúa en el interior de la Tierra, alejada
de su centro en dirección a la Luna, los dos astros giran en torno a este punto.
Volviendo a nuestro caso, las monedas (discos), su centro de masas está en su centro
geométrico
A partir de ahora, por simplificación artística dibujaremos a las monedas de perfil.
Si situamos dos monedas una encima de otra se pueden dar las tres situaciones siguientes:
Como vemos, la moneda superior se puede “cambiar” por una bolita minúscula, si ambas
monedas están poco separadas (izquierda) la bolita no tendrá ningún problema y podremos
considerar que el sistema es estable. Por el contrario, si ambas están muy separadas (derecha)
al hacer el cambio de la moneda por la bolita observamos que esta caería al vacio por lo que
podemos suponer que la moneda se caerá. El caso central supone el caso límite, un poco más a
la derecha y se precipitaría.
Dado que buscamos la máxima eficiencia en nuestro proceso de “inclinar” la torre nos
quedaremos con el caso “límite” (figura central).
Ahora ya estamos preparados para abordar el problema, recordar que el centro de masas
también se puede aplicar a más de una bolita a la vez:
En la figura hemos seguidos los siguientes pasos:
1º Cambiamos la moneda superior por la “bolita roja” y la situamos en el límite de estabilidad
de la moneda inferior.
2º Cambiamos la 1ª y 2ª por una bola conjunta “verde” situada en el centro de los centros de
masas de cada moneda. Y la situamos en el borde de la 3ª moneda.
3º Cambiamos las 3 primeras monedas por la bola amarilla y la situamos en el borde de 5ª
moneda.
4º Repetimos el proceso hasta quedarnos sin monedas….
Ya solo queda aplicar las matemáticas para resolverlo totalmente:
En la primera moneda hemos conseguido un desplazamiento de 1 cm (mitad de la moneda),
En la siguiente uno de 0,5 cm, hemos movido el doble de masa, lo que solo nos ha permitido
movernos la mitad, recordar que la ecuación del CM es una multiplicación de masa por
posición, por lo que cuanta más masa más nos cuesta mover el centro de masas hacia el
interior de la mesa, al ser una relación lineal, el doble de una supone la mitad de la otra.
Los sucesivos valores serán: 0,333; 0,25; 0,2; 0,1666; 0,143;….
La ecuación será por tanto:
Distancia total = ∑ 1/n desde n=1 hasta n=31 que nos da un valor de 4,027 cm
Por tanto, y como conclusión podemos decir que la hormiga será capaz de alcanzar el “Eden”,
eso sí, ha de ser muy precisa, tiene poco margen de error (0,27 mm).
Como curiosidad, la ecuación matemática es una serie armónica, la principal característica de
esta es que resulta divergente para infinitos términos, es decir, si nuestra hormiga consigue un
número infinito de monedas podría apilarlas hasta llegar tan lejos como desee, eso sí, antes
debería atesorar una buena fortuna, cuantas más monedas hay colocadas más cuesta
desplazarse horizontalmente.
De todas formas nos quedamos con el “momento” de gloria de nuestra pequeña amiga,
enhorabuena, y que aproveche.