Benemérita Universidad Autónoma de Puebla. Postgrado En

Benemérita Universidad Autónoma de Puebla.
Postgrado En Ciencias Matemáticas
Espacios fibrantes equivariantes y la categoría de strong shape equivariante.
Para obtener el grado de:
Doctor En Ciencias Matemáticas.
Presenta:
Texis Texis, Marcelino.
Asesor:
Alexander Bykov .
Puebla Pué. Octubre 2005.
Índice general
Introducción 1
1. Preliminares 5
1.1. Grupos topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. G-espacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. G-espacios matizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. G-ANR-espacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5. Límites en la categoría GT OP . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6. Acciones en espacios de funciones . . . . . . . . . . . . 26
1.7. Encajes equivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.8. Homotopías equivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2. Reflectores y Localizaciones 43
2.1. Categorías y funtores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2. Reflexiones y co-reflexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3. Cálculo de fracciones izquierdas . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4. F -reflexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3. Categoría de Strong Shape Equivariante 69
3.1. G-SSDR-mapeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2. G-espacios brantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3. Cocilindros equivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.4. Cotelescopios equivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.5. Deformaciones de cotelescopios equivariantes . . . . . 99
3.6. G-ANR-resoluciones y extensiones fibrantes
equivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.7. Construcción de la categoría sShGCM . . . . . . . . 106
3.8. Equivalencias en sShGCM . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4. Grupos como Espacios Fibrantes 119
4.1. Grupos compactos como límites de grupos de Lie . . 119
4.2. G-espacios como límites de espacios orbitales . . . . . 122
4.3. Levantamiento de homotopías equivariantes . . . . . . 124
4.4. Grupos compactos como espacios brantes . . . . . . 127
Conclusiones 132
Bibliografía 133
Introducción
La teoría de formas (en inglés: shape theory) surgió en los años 70 en
los trabajos de Karel Borsuk y Sibe Mardésic, y puede considerarse como un
desarrollo de la teoría homotópica clásica. El motivo de la creación de esta
teoría fue la dicultad para aplicar los métodos de la topología homotópica
clásica a los espacios topológicos con mala estructura local. Se sabe que los
métodos homotópicos sirven bien para los espacios topológicos con buena
estructura local, por ejemplo, para los espacios ANR o, en general, para
espacios que tienen el tipo homotópico de complejos CW pero, con frecuencia,
hay que estudiar espacios mas generales.
La idea fundamental de la teoría de formas es considerar, en lugar del
espacio mismo, un sistema de sus vecindades las cuales son espacios ANR.
En general, se puede asociar a todo espacio un sistema inverso de espacios
ANR como su \aproximación". De esta manera fue definida la categoría de
formas (primero para espacios métricos compactos, luego para el caso general)
cuyos objetos son espacios topológicos y cuyos morfismos son ciertas \clases
homotópicas" de las aplicaciones de los sistemas inversos asociados con los
espacios.
A fines de los años 70 y a principios de los 80 fue fundada la teoría fuerte
de formas (strong shape theory). Las ideas principales de esta modificación
de la teoría de formas ordinaria aparecieron en los trabajos de Edwards y
Hastings [19], F.W. Brauer, Y. Kodama y J. Ono, A.Calder y H. Hastings
([13]). Sin embargo, algunas ideas sobre la forma fuerte surgieron antes, por
ejemplo, en el trabajo de Quigley .
En general, se puede decir que la teoría fuerte de formas está más cerca de
la teoría homotópica ordinaria que la teoría de formas misma. Existen varios
enfoques para construir la categoría de formas fuertes. La mayoría de ellos
utilizan sistemas inversos de ANRs asociados con el espacio topológico dado
(por ejemplo, resoluciones aproximativas en el sentido de S. Mardésic ) del
mismo modo que en la teoría ordinaria de formas. Estos sistemas sirven para
definir los morfismos de la categoría de formas fuertes. Los morfismos mencionados
también se puede tratar como \clases homotópicas" de las aplicaciones
de los sistemas inversos, pero bajo condiciones más estrictas, aprovechando,
por ejemplo, las ideas de la así llamada prohomotopía coherente (coherent
prohomotopy), como en el trabajo de Yu. Lisica y S. Mardésic, y en el
libro reciente de Sibe Mardésic \Strong Shape and Homology".