Recta y plano Definición de la lÃ−nea recta •

• Recta y plano
• Recta definición y distintas formas de la ECUACIà N de la recta
• Definición de la lÃ−nea recta
Lamamos recta al lugar geométrico de los puntos tales que tales
• ECUACIÃ N Vectorial de la recta
• Ecuación Vectorial de la recta (punto dirección)
• Ecuación Vectorial de la recta (que pasa por dos puntos)
• Ecuaciones paramétricas de la recta
De
De donde se deducen las ecuaciones paramétricas
• Ecuación Cartesiana o Simétrica de la recta en
Demostración
De esta igualdad efectuando las operaciones necesarias es posible obtener las formas de ecuación antes
enunciadas
• Angulo entre dos rectas
Dadas las rectas de ecuaciones de ecuaciones y y sea el ángulo entre ellas
Como consecuencia es posible deducir que:
• Angulo entre dos rectas de la forma vectorial
Sean los vectores y que indican las direcciones de dos rectas el ángulo entre las mismas esta dado por:
• Posiciones relativas de dos rectas
Este tema se ve mejor en sistemas de ecuaciones lineales
• Familias de rectas
Se llama asÃ− al conjunto de las rectas que satisfacen una única condición geométrica.
• Distancia de un punto a una recta
Demostración
De la definición de seno trigonométrico
(1)
Pero también de la definición de producto vectorial sabemos
1
Remplazando en (1)
De lo que se concluye
• ECUACIÃ N del plano
Gráficamente representaremos al plano por medios de un paralelogramo o en ocasiones un rectángulo
• Ecuación vectorial del plano determinado por tres puntos
Consideramos el plano y determinado por el ponto y la dirección de un vector normal a el. Suponemos
un punto genérico perteneciente al plano entonces:
Ecuación que se verifica para todos los vectores
• Ecuación vectorial del plano determinada por un punto y la dirección de un vector normal
Demostración
Consideramos el plano de la figura se verifica:
pues el producto vectorial de dos vectores cualesquiera es un vector perpendicular al plano que los contiene de
manera.
De manera que:
Desarrollando es posible representar la ecuación anterior de la siguiente forma
• Ecuación Cartesiana del Plano que contiene a un punto.
Demostración
Si para la ecuación vectorial del plano que contiene un punto tomamos
Entonces
Ecuación que responde a la forma Cartesiana del Plano
• Ecuación Cartesiana del Plano en forma general o ImplÃ−cita.
Donde A, B y C no pueden ser nulos al mismo tiempo
Demostración
De
Operando
Se obtiene la Ecuación Cartesiana del Plano en forma general o implÃ−cita.
• Ecuación Vectorial Hessiana del Plano
2
Resulta de dividir ambos miembros por el módulo del vector normal
Demostración
Resolviendo y agrupando
• Ecuación Normal o Hessiana del Plano
Demostración
Si para la ecuación vectorial hessiana del plano que contiene un punto tomamos
Entonces
Donde p es la proyección del vector posición de cualquier punto perteneciente al plano sobre la
perpendicular al mismo que pasa por el origen de coordenadas.
Demostración
Como
y del triángulo rectángulo
Remplazando
De lo anterior es posible concluir que LA ECUACIÃ N NORMAL O HESSIANA ES Ã NICA PARA
CADA PLANO
Por convención se toma la normal con sentido positivo
Si comparamos veremos que los coeficientes A,B,C son proporcionales a los cosenos directores
Por consiguiente es posible obtener un vector convencional normal al plano en función de los
coeficientes mencionado mediante la siguiente expresión:
• Transformación de la forma ExplÃ−cita a la forma Hessiana.
Demostración
Analizando ecuaciones en sus formas vectoriales vemos:
Aplicando esta ultima expresión y resolviendo
Como al comparar
y por convención en la ecuación hessiana p es mayor que cero tomamos el signo de la raÃ−z utilizando el
siguiente artilugio reemplazamos
Por
De manera que la expresión final es
3
• Posiciones particulares del plano respecto a los ejes y planos coordenados
Al considerar la ecuación:
Impusimos que A, B y C no podÃ−an ser nulos al mismo tiempo. Pero puede darse que:
• Que cada uno de los coeficientes se lo sea separadamente
Ecuaciones
significativas
NO
NO
SI
NO
SI
NO
NO
NO
NO
SI
NO
NO
Donde
Donde
Grafica
Plano paralelo al eje z
Plano paralelo al eje x
Plano paralelo al eje z
Donde
• Que el término independiente sea nulo indica que el plano de esa ecuación pasa por el punto
• Dos de los coeficientes separadamente
Ecuaciones
significativas
SI
SI
NO
NO
NO
SI
SI
NO
SI
NO
SI
NO
Donde
Donde
Grafica
Plano paralelo al eje z
Plano paralelo al eje z
Plano paralelo al eje z
Donde
• Que ninguno de los coeficientes ni el término independiente sea igual a cero implica
• Angulo entre dos Planos
Sean dos planos
El ángulos determinado por los mismos al cortarse está dado por la expresión:
Demostración
Por lo los vectores direcciones normales positivos de los mismos:
Como el ángulo entre estos dos vectores esta dado por la expresión
• En particular
• Ecuación del haz de planos
Se llama haz de planos al conjunto de todos los planos que contienen a una recta denominada eje de haz
Sean dos planos
la ecuación del haz de planos cuyo eje de haz es la recta de intersección de los planos antes
mencionados es:
4
Demostración
La expresión se obtiene efectuando una combinación lineal de las ecuaciones del los planos
Luego pueden dividirse ambos miembros por r y llamar k a s/r.
• Distancia de un Punto a un Plano
Dados un punto y el plano la distancia entre los mismos esta dada por la expresión
Demostración
Sabemos que:
Pasando por la forma hessiana
Llegamos a la expresión
• La Recta en el Espacio
Podemos considerar la recta en el espacio como la intersección de dos planos. De manera que
hablaremos de las ecuaciones de la Recta en el espacio puesto.
Si la recta es la intersección de dos planos diferentes cualesquiera:
Es la Expresión General de las Ecuaciones de la Recta en
• Trazas
Las intersecciones de un plano con los ejes coordenados determinan rectas denominadas trazas
• Planos Proyectantes
Llamamos asÃ− a los planos que contienen una recta y son perpendiculares a los planos coordenados
• Caso1
Sean dadas las ecuaciones paramétricas de una recta
Tomando igualdades de a dos es posible obtener las expresiones de los planos proyectantes perpendicular al
plano que contiene a los ejes de las variables presentes en las mismas.
• Caso2
Sean dadas las ecuaciones Generales de las recta
Tomando igualdades empleando el método de resolución de sistemas de ecuaciones que se prefiera es
posible obtener las expresiones de los planos proyectantes perpendicular al plano que contiene a los ejes de las
variables presentes en las mismas.
• Angulo entre dos rectas
5
Sean dos rectas
El ángulos determinado por las mismas al cortarse está dado por la expresión:
Demostración
Por lo los vectores direcciones normales positivos de los mismos:
Como el ángulo entre estos dos vectores esta dado por la expresión
• En particular
• Angulo Recta Plano
Sean la recta
y el plano
El ángulos determinado por la recta y su proyección sobre el planos esta dado
Demostración
Por lo los vectores direcciones normales positivos de los mismos:
Como el ángulo entre estos dos vectores esta dado por la expresión
• En particular
• Angulo entre dos rectas
Sean dos rectas alebeadas (o no coplanares)
Donde
la distancia entre ellas está dada por la expresión:
Demostración
La distancia d de es igual al módulo de al módulo de la único segmento ortogonal a ambas rectas
La dirección de dicho segmento esta dada por el vector
Del dibujo vemos que
Aplicando la definición y sustituyendo
• Transformaciones de sistemas de coordenadas
• Traslación
Dado un punto fijo situado en un sistema cartesiano cuyos ejes son las recta ortogonales x e y y origen
Es posible redefinirlo situándolo en un sistema cartesiano cuyos ejes ortogonales son x' e y' y origen como
6
Demostración
De la gráfica
Renombrando y despejando obtenemos
• Rotación
Dado un punto fijo situado en un sistema cartesiano cuyos ejes son las recta ortogonales x e y y origen
Es posible redefinirlo situándolo en un sistema cartesiano cuyos ejes ortogonales son x' e y' que han rotado
un ángulo respecto del sistema original
Demostración
Del triangulo formado por las coordenadas originales
(1)
Del triangulo formado por las coordenadas de rotación
(2)
Remplazando con (2) en (1) y empleando las identidades del seno y del coseno
Del triangulo formado por las coordenadas originales
(1)
Del triangulo formado por las coordenadas de rotación
(2)
Remplazando con (2) en (1) y empleando las identidades del seno y del coseno
• Cónicas o Secciones Cónicas
• DEFINICIÃ N
Tipos de curvas que reciben ese nombre debido a que primeramente fueron estudiadas por los griegos como
intersecciones de un plano con una superficie cónica circular.
• Superficie cónica
Una superficie cónica es generada por una recta (denominada generatriz) que se mueve de tal manera
que siempre pasa por una curva fija (denominada directriz) y por un punto fijo (denominado
vértice). Las distintas posiciones de la generatriz forman la superficie. Si la directriz es una
circunferencia la superficie generada es una superficie cónica circular.
Aunque también pueden ser estudiadas desde la perspectiva de que son casos particulares de la Ecuación
General de Segundo Grado de dos variables.
• Ecuación General de Segundo Grado con dos variables
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La expresión general de la forma
• Términos Cuadráticos
• Término Rectangular
• Términos Lineales
• Término Independiente
• Clasificación de las Curvas cónicas
Considerando las posibles intersecciones de un plano y una superficie cónica circular las cónicas pueden
clasificarse en:
• Cónicas Verdaderas o Irreducibles
Corresponde a las intersecciones con planos que no pasan por el vértice de la superficie
Sub.-clasificación
Puede establecerse también un nuevo criterio de distinción que es el de considerar la relación entre el
ángulo (correspondiente al ángulo constante determinado por el eje y la generatriz de la superficie en sus
diferentes posiciones)
y el ángulo (considerado como el conformado por el plano de intersección el eje de la superficie), y según
este criterio las cónicas verdaderas se clasifican:
• Si se denominan Elipses Verdaderas (En particular si obtendrÃ−amos una circunferencia que es un caso
particular de Elipse Verdadera).
• Si se denominan Parábolas Verdaderas
• Si se denominan Hipérbolas Verdadera
• Cónicas Degeneradas o Reducibles
Corresponde a las intersecciones con planos que pasan por el vértice de la superficie
Clasificación
Puede establecerse también un nuevo criterio de distinción que es el de considerar la relación entre
el ángulo (correspondiente al ángulo constante determinado por el eje y la generatriz de la superficie en sus
diferentes posiciones)
y el ángulo (considerado como el conformado por el plano de intersección el eje de la superficie), y según
este criterio las cónicas Degeneradas se clasifican:
• Si se denominan Elipses Degeneradas que están degeneradas en dos rectas imaginarias que se cortan en un
punto real (En particular si obtendrÃ−amos una circunferencia degenerada en un punto real)
• Si se denominan Parábolas Degeneradas y degeneran en semirrectas opuestas y concientes
• Si se denominan Hipérbolas Degeneradas y degeneran en dos rectas reales concurrentes
• circunferencia
Definición
Es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo perteneciente al mismo
plano.
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Elementos:
• Centro
Es el punto fijo
• Radio
Es la distancia R constante que relaciona los puntos con el centro.
Sila circunferencia degenera en un punto
Sila circunferencia degenera en una circunferencia imaginaria.
• Conjunto de Puntos
Que forma la curva y que designaremos
• Forma Canónica de la Ecuación del la circunferencia
.
Demostración
• Forma General de la Ecuación del la circunferencia
es la ecuación de una Circunferencia o una circunferencia degenerada (un punto o un conjunto
vacÃ−o) si
Demostración
Desarrollando la ecuación Canónica de la Circunferencia
La ordenamos de manera de poder compararla con la Ecuación General de Segundo Grado.
y observamos que la ecuación obtenida es un caso particular de la misma en que
En consecuencia
Elementos de la circunferencia
Demostración
Completando Cuadrados en la ecuación general
• Elipse
• Definición
Es el conjunto de todos los puntos de un plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es
constante
• Elementos:
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• Punto Generador
punto genérico que representa todos los puntos que cumplen la condición de definición
• Focos
Son los puntos fijos y de la definición
• Distancia Focal
Es la distancia entre los focos
• Ejes
• Eje Principal
Es el segmento que contiene a los dos focos y tiene como extremos los puntos de intercepción con la
gráfica. Designaremos su longitud como
• Eje Secundario
Es el segmento perpendicular al eje principal que intercepta al mismo en un ponto que se encuentra
equidistante de los focos, y tiene como extremos la intercepción del segmento con la gráfica
Designaremos su longitud como
Relación entre los ejes de una elipse
Demostración
Como a es un punto de la elipse cumple
También como es un punto de la elipse cumple
y como y son triángulos concurrentes
Resulta
Como por el teorema de Pitágoras
• Vértices
• Principales
Los puntos de intercepción de la recta que contiene al eje principal con la grafica de la elipse (son dos)
• Secundarios
Los puntos de intercepción de la recta que contiene al eje secundario con la grafica de la elipse (son dos)
• Centro
Es el punto de intercepción de los ejes principal y secundario de la elipse
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• Ecuación de una Elipse
.
Demostración
La definición dice que la suma de la distancia de uno de los focos a un punto que llamamos genéricamente
mas la distancia del foco restante al mismo es igual a una constante que designaremos
• Ecuaciones Canónicas de la Elipse
Son las ecuaciones de la elipse cuyos ejes son paralelos a los ejes de coordenadas. Tiene en el valor de
ser expresiones de relativa sencillez en las cuales se pueden observar los diferentes elementos de esta
sección y que a partir de traslaciones y/o rotaciones pueden describir en general todas las parábolas.
Existen dos clases:
• Correspondiente a las elipses cuyo eje principal es paralelo al eje de las X centro
Demostración
Que el eje principal sea paralelo al eje de las x significa que:
y
para simplificar tomaremos h=0 y k=0
Remplazando en
tenemos
Volvemos a elevar ambos términos al cuadrado
pero como en una elipse
Entonces
Efectuando traslación desde un eje
• Correspondiente a las elipses cuyo eje principal es paralelo al eje de las Y centro
Demostración
Que el eje principal sea paralelo al eje de las x significa que:
y
para simplificar tomaremos h=0 y k=0
Remplazando en
tenemos
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Volvemos a elevar ambos términos al cuadrado
pero como en una elipse
Entonces
Efectuando traslación desde un eje
• Ecuación General de una Elipse con ejes paralelos a los ejes de coordenadas
Es la ecuación general de una elipse o una elipse degenerada con ejes paralelos a los ejes de
coordenadas si
Demostración:
Desarrollando
y como
Análogamente se puede demostrar que lo afirmado es cierto para el caso en que
• Excentricidad de las elipses
Es la razón entre las distancia focal y el eje principal
En especial cuando e=0 la elipse es una circunferencia (caso particular de la elipse) circunferencia de
radio a puesto que
también
reemplazando
• parábola
Definición
Es el conjunto de todos los puntos de un plano tales que equidistan de un punto y una recta fijos.Elementos:
• Punto Generador
punto genérico que representa todos los puntos que cumplen la condición de definición
• Foco
Es el punto fijo de la definición
• Directriz
Es la recta de la definición
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• Distancia Focal
Es la distancia entre el foco y directriz
• Eje
• Eje Principal
Es la recta perpendicular a la directriz que contiene al foco.
• Eje Secundario
Es la recta paralela a la directriz que equidista de la misma y del foco
• Vértice
Es el punto de intercepción del la gráfica y el eje principal tiene coordenadas
• Principales
Los puntos de intercepción del eje principal con la grafica de la elipse (son dos)
• Secundarios
Los puntos de intercepción del eje secundario con la grafica de la elipse (son dos)
• Ecuación de una parábola
.
Demostración
La definición dice que la distancia del foco a un punto genérico es igual a la distancia desde ese punto a la
recta directriz
• Ecuaciones Canónicas de la parábola
Son las ecuaciones de las parábolas cuya directriz es paralela a alguno de los eje. Tiene en el valor de
ser expresiones de relativa sencillez en las cuales se pueden observar los diferentes elementos de esta
sección y que a partir de traslaciones y/o rotaciones pueden describir en general todas las parábolas.
Existen dos clases:
• Correspondiente a las parábolas cuya directriz es paralela al eje y
El signo de P indica el sentido respecto al sistema de referencia de las Distancia dirigida y por
consiguiente la posición de F y D respecto de los ejes de la parábola
Demostración
Que la directriz sea paralela a x implica que:
y
13
para simplificar tomaremos h=0 y k=0
Remplazando en
tenemos
Efectuando traslación desde un eje
• Correspondiente a las parábolas cuya directriz es paralela al eje x
El signo de P indica el sentido respecto al sistema de referencia de las Distancia dirigida y por
consiguiente la posición de F y D respecto de los ejes de la parábola
Demostración
Que la directriz sea paralela a x implica que:
y
para simplificar tomaremos h=0 y k=0
Remplazando en
tenemos
Efectuando traslación desde un eje
• Ecuación General de la Parábola
Es la ecuación de una parábola o parábola degenerada de directriz paralela al eje de las x o la eje de
las y
Si
Demostración
Caso1
La directriz es paralela al eje de las x
Desarrollando
Caso2
La directriz es paralela al eje de las y
Desarrollando
• Lado Recto de una Parábola
Es la longitud de un segmento paralelo a la Directriz de una parábola con extremos en el foco de la
misma y en un punto perteneciente a la gráfica de la parábola.
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• Hiperbola
Definición
Es el conjunto de todos los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus
distancias a dos puntos fijos es constante
Elementos:
• Punto Generador
punto genérico que representa todos los puntos que cumplen la condición de definición
• Focos
Son los puntos fijos y de la definición
• Distancia Focal
Es la distancia entre los focos
• Ejes
• Eje Principal Real o Transverso
Es el segmento contenido en la recta que pasa por los focos y tiene como extremos los puntos de
intercepción con la gráfica. Designaremos su longitud como
• Eje Secundario Imaginario o Conjugado
Es el segmento perpendicular al eje principal que intercepta al mismo en un punto que se encuentra
equidistante de los focos, y tiene como extremos la intercepción del segmento con la gráfica
Designaremos su longitud como
Relación entre los ejes de una hipérbola
Demostración
• Vértices
• Principales
Los puntos de intercepción de la recta que contiene al eje principal con la grafica de la hipérbola (son dos)
• Secundarios
Los puntos de intercepción de la recta que contiene al eje secundario con la grafica de la hipérbola (son
dos)
• Centro
Es el punto de intercepción de los ejes principal y secundario de la elipse
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• AsÃ−ntotas
Rectas a las cuales se aproxima la curva sin interceptarlas nunca en el caso de las parábolas poseen dos
y
• Ecuación de una Hipérbola
.
Demostración
La definición dice que el valor absoluto de la diferencia de la distancia de uno de los focos a un punto que
llamamos genéricamente menos la distancia del foco restante al mismo es igual a una constante que
designaremos
• Ecuaciones Canónicas de la hiperbola
Son las ecuaciones de las hipérbolas cuyos ejes son paralelos a los ejes de coordenadas. Tiene en el
valor de ser expresiones de relativa sencillez en las cuales se pueden observar los diferentes elementos
de esta sección y que a partir de traslaciones y/o rotaciones pueden describir en general todas las
parábolas.
Existen dos clases:
• Correspondiente a las hipérbolas cuyo eje principal es paralelo al eje de las X
Demostración
Que el eje principal sea paralelo al eje de las x significa que:
y
para simplificar tomaremos h=0 y k=0
Remplazando en
tenemos
Volvemos a elevar ambos términos al cuadrado
Efectuando traslación desde un eje
• Correspondiente a las elipses cuyo eje principal es paralelo al eje de las Y
Demostración
Que el eje principal sea paralelo al eje de las x significa que:
y
para simplificar tomaremos h=0 y k=0
16
Remplazando en
Tenemos
Volvemos a elevar ambos términos al cuadrado
Efectuando traslación desde un eje
• Ecuación General de una hipérbola con ejes paralelos a los ejes de coordenadas
Es la ecuación general de una elipse o una elipse degenerada con ejes paralelos a los ejes de
coordenadas si
Demostración:
Desarrollando
y como
Análogamente se puede demostrar que lo afirmado es cierto para el caso en que
• Excentricidad de las Hipérbola
Es la razón entre las distancia focal y el eje principal
• ECUACIà N general de segundo grado con dos variables como EXPRESIà N general de las cónicas
• Ecuación General De Una Cónica O Una Cónica Degenerada Con Ejes Paralelos A Los Ejes De
Coordenadas
Es la ecuación general de una cónica o una cónica degenerada con ejes (en el caso de tenerlos)
paralelos a los ejes de coordenadas si
Demostración
La demostración se sigue como conclusión inmediata de los teoremas que establecen las expresiones
generales de cada uno de los tipos de cónicas.
• Ecuación General De Una Cónica O Una Cónica Degenerada
La Ecuación General de Segundo Grado es la ecuación general de una cónica o una cónica
degenerada para cualquier posición de sus ejes pues puede transformarse mediante la rotación de los
ejes una ángulo
en
Tal que esta expresión cumpla con la condición
Demostración
Efectuamos la rotación de ejes utilizando la fórmula
De donde se obtienen los coeficientes de la nueva expresión producto de la transformación. Como lo que se
17
pretende es encontrar una expresión en que no exista el termino rectangular.
Ahora debe demostrarse que
para ello consideramos el hecho de que si sobre
efectuamos una rotación de obtendremos
pero si los coeficientes cuadráticos pudieran ser nulos al mismo tiempo tendrÃ−amos
si efectuamos una rotación de obtendremos
que es una expresión lineal y no se corresponde con la expresión de partida en conclusión dada una
expresión que cumple
los coeficientes de la nueva expresión producto de la rotación de ejes para cualquier ángulo cumplirán
• Clasificación la Ecuación General De Una Cónica O Una Cónica Degenerada
es una cónica o cónica degenerada. Solo en los casos que no sea degenerada se verifica que es:
• Una Parábola si
• Una elipse si
• Una Hipérbola
Demostración
La expresión de los coeficientes
se denomina discriminante y tiene la propiedad de ser invariante respecto de la rotación de ejes, esto quiere
decir que
esto puede probarse fácilmente reemplazando los coeficientes obtenidos en la demostración del teorema
anterior.
En nuestro caso la rotación se emplea con el objeto de hacer cero el termino rectangular de manera que:
al analizar la expresión
si
Es la condición para que la misma sea una parábola entonces remplazando
si
Es la condición para que la misma sea una elipse entonces remplazando
si
Es la condición para que la misma sea una Hipérbola entonces remplazando
• Superficies o cuádricas
18
• Introducción
• Definición
Se llama superficie al conjunto de puntos en el espacio cuyas coordenadas satisfacen una única
ecuación
• Discución sobre la ecuación de una superficie
Consiste en hacer una investigación preliminar de la ecuación de la misma para identificar ciertas
caracterÃ−sticas antes de proceder al trazado su trazado.
Indicaremos los pasos a seguir utilizando el siguiente ejemplo.
Para esta investigación consideraremos los siguientes enfoques
• Intersección con los ejes coordenados
•
Ej
Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo
En consecuencia
•
Ej
Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo
En consecuencia
•
Ej
Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo
En consecuencia
• Trazas con los planos coordenados
La traza de una superficie con los planos coordenados es la intersección de los misma con dichos
planos.
• Traza sobre el plano XY
Ej
Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo
en consecuencia
• Traza sobre el plano XZ
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Ej
Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo
en consecuencia
o sea los puntos pertenecientes a dicha parábola
• Traza sobre el plano YZ
Ej
Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo
en consecuencia
o sea los puntos pertenecientes a dicha parábola
• SimetrÃ−a
Si una ecuación de una superficie no se altera cambiando de signo:
• Una variable
Es simétrica respecto al plano coordenado de las dos variables que no cambiaron de signo
• Dos variables
Es simétrica respecto al eje coordenado de la variable que no cambió de signo.
• Tres variables
Es simétrica respecto al punto origen de coordenadas.
• Trazas por planos paralelos a los planos coordenados
• Planos paralelos al plano XY
Los planos paralelos al XY tienen la forma
Analizando nuestro ejemplo:
Lo que geométricamente equivale a decir los puntos que están sobre las circunferencias de ecuación
donde
• Planos paralelos al plano XZ
Los planos paralelos al XZ tienen la forma
Analizando nuestro ejemplo:
Lo que geométricamente equivale a decir los puntos que están sobre las parábolas de ecuación
20
• Planos paralelos al plano YZ
Los planos paralelos al YZ tienen la forma
Analizando nuestro ejemplo:
Lo que geométricamente equivale a decir los puntos que están sobre las parábolas de ecuación
• Extensión de la superficie
Consiste en determinar los intervalos de variación para los cuales los valores de x, y, z son reales.
Para ellos es necesario expresar cada una de las variables en función de las restantes, efectuar el
análisis de cada una de las expresiones resultantes.
• Superficies
• Superficies cilÃ−ndricas
Son aquellas generadas por una recta móvil generatriz que se mueve a lo largo de una curva fija
denominada directriz.
Las superficies cilÃ−ndricas pueden ser
• Rectas
Cuando la generatriz es perpendicular al plano que contiene a la directriz
• Oblicuas
En el caso contrario.
Estudiaremos solamente aquellas cuyas rectas generatrices sean paralelas a uno de los ejes
coordenados.
Una ecuación que contenga solo dos variables representa es este tipo de superficies.
Ej
La expresión
tiene como directriz la parábola
las directrices son todas las rectas paralelas al eje coordenado z que interceptan la parábola
• Superficies cónicas
Una superficie cónica es generada por una recta (denominada generatriz) que se mueve de tal manera
que siempre pasa por una curva fija (denominada directriz) y por un punto fijo (denominado
vértice). Las distintas posiciones de la generatriz forman la superficie. Si la directriz es una
circunferencia la superficie generada es una superficie cónica circular.
Nosotros veremos solo las superficies cónicas cuyo vértice coincide con el origen de coordenadas.
21
• Teorema sobre la ecuación de una superficie cónica
Una ecuación representa una superficie cónica con vértice en el origen, si y solo si:
• Es homogénea en las tres variables x, y, z (es decir todos los términos son del mismo grado)
• Y el grado de los mencionados términos no es menor a 2
Ej
Determinar la naturaleza de la superficie:
• Intersección con los ejes coordenados
•
Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo
En consecuencia
•
Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo
En consecuencia
•
Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo
En consecuencia
• Trazas con los planos coordenados
• Traza sobre el plano XY
Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo
en consecuencia
• Traza sobre el plano XZ
Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo
en consecuencia
o sea los puntos pertenecientes dichas rectas contenida en el plano XZ
• Traza sobre el plano YZ
Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo
en consecuencia
o sea los puntos pertenecientes dichas rectas contenidas en el plano XY
• SimetrÃ−a
22
Presenta simetrÃ−a respecto al origen de coordenadas puesto que
si aplicamos las condición de cambio de signo a las variables tenemos
la expresión no se altera
• Trazas por planos paralelos a los planos coordenados
• Planos paralelos al plano XY
Los planos paralelos al XY tienen la forma
Analizando nuestro ejemplo:
Lo que geométricamente equivale a decir los puntos que están sobre las circunferencias de ecuación
• Planos paralelos al plano XZ
Los planos paralelos al XZ tienen la forma
Analizando nuestro ejemplo:
Lo que geométricamente equivale a decir los puntos que están sobre las parábolas de ecuación
• Planos paralelos al plano YZ
Los planos paralelos al YZ tienen la forma
Analizando nuestro ejemplo:
Lo que geométricamente equivale a decir los puntos que están sobre las parábolas de ecuación
• Graficar
• Superficies de Revolución
Una superficie de revolución es engendrada por la rotación de una curva plana (generatriz) en torno
a una recta fija contenida en el mismo plano de la curva (eje de rotación).
• Como reconocer una superficie de revolución cuyo eje de rotación corresponde a alguno de los ejes
coordenados:
Si es posible encontrar un plano coordenado para el cual se cumple la condición de que todas las
intersecciones de la superficie con planos paralelos al mismo son circunferencias que tienen como centro el
respectivo origen de coordenadas. Entonces se trata de una superficie de revolución.
• Como encontrar la ecuación de una superficie de revolución cuyo eje de rotación corresponde a alguno
de los ejes coordenados conociendo la ecuación de la generatriz y el eje de rotación
Sea
la curva y la ecuación del eje de rotación.
23
La superficie de revolución generada tendrá ecuación
Ej
Dada la ecuación
Determinar si se trata de una superficie de revolución.
El eje de rotación
La curva generatriz
Si consideramos los planos de forma paralelos al plano xy
Las posibles intersecciones tienen la forma
que geométricamente corresponde a circunferencias que tienen como centro el punto x=y=0
Analizando nuevamente la ecuación inicial
la ecuación de la generatriz es
• Cuádricas (estudio de la ecuación general de segundo grado)
Dada la ecuación general de segundo grado
Donde por lo menos alguno de los seis primeros coeficientes es distinto de cero. Corresponde a una
cuádrica.
Puede demostrarse que mediante una transformación apropiada de los ejes de coordenadas puede
transformarse la ecuación mencionada de manera que tome una de las dos formas tipo:
• Cuádricas con centro:
Tiene la forma
se denominan de esta forma por que presentan simetrÃ−a respecto de tres planos es decir que representa
simetrÃ−a respecto de un punto que denominamos centro.
una cuádrica con centro puede ser:
• Un elipsoide real
Si todos los
• Ecuación Canónica de la elipsoide
• Gráfica
• Trazas
• Plano
24
Demostración
Es una elipse de ecuación cuya ecuación se puede determinar
• En particular cuando k=0 corresponde a la elipse de ecuación
• Plano
Demostración
Es una elipse de ecuación cuya ecuación se puede determinar
• En particular cuando k=0 corresponde a la elipse de ecuación
• Plano
Demostración
Es una elipse de ecuación cuya ecuación se puede determinar
• En particular cuando k=0 corresponde a la elipse de ecuación
• Un elipsoide imaginario
Si todos los
• Un hiperboloide de una hoja
Si dos de los
y el restante es negativo
• Ecuación Canónica de Un Hiperboloide de una hoja
• Trazas
• Plano
Demostración
Es una hipérbola de ecuación cuya ecuación se puede determinar
• En particular cuando k=0 corresponde hipérbola de ecuación
• Plano
Demostración
Es una hipérbola de ecuación cuya ecuación se puede determinar
• En particular cuando k=0 corresponde hipérbola de ecuación
• Plano
25
Demostración
Es una elipse de ecuación cuya ecuación se puede determinar
• En particular cuando k=0 corresponde a una elipse de ecuación
• Gráfica
• Un hiperboloide de dos hojas
Si dos de los
y el restante es positivo.
• Ecuación Canónica de Un Hiperboloide de una hoja
• Trazas
• Plano
Demostración
Es una hipérbola de ecuación cuya ecuación se puede determinar
• En particular cuando k=0 corresponde hipérbola de ecuación
• Plano
Demostración
Es una elipse cuya ecuación se puede determinar
• En particular cuando k=0 corresponde elipse de ecuación
• Plano
Demostración
Es una elipse de ecuación cuya ecuación se puede determinar
• En particular cuando k=0 corresponde a una elipse de ecuación
• Gráfica
• Cuádricas sin centro:
Tiene la forma
a diferencia de las cuádricas con centro las cuádricas sin centro no son simétricas respecto de una punto.
• Paraboloides ElÃ−pticos
Tienen la forma
26
donde
• Forma Canónica
• Trazas
• Plano
Demostración
Es una parábola
• Plano
Demostración
Es una parábola
• Plano
Demostración
Es una elipse
• Gráfica
• Paraboloides Hiperbólicos
Tienen la forma
donde
• Forma Canónica
• Trazas
• Plano
Demostración
Es una parábola
• Plano
Demostración
Es una parábola
• Plano
Demostración
Es una hipérbola
27
• Gráfica
I-35
Generatriz
Directriz
Vértice
Eje
28