REPRESENTACION GRAFICA. Problemas de selectividad
Calcular puntos notables e intervalos de monotonía y curvatura de
1
y = ------Dibujar gráfica
x
e
D= R
1
1
y = ------ = e - x ; y ' = - e - x = - ---ex
ex
1
y'' = e - x = ---- ;
ex
Monotonía:
y''(x) = 0 ; 1 ≠ 0
y' (x)= 0 ; -1 ≠ 0 NO EXISTE Max, Min
NO EXISTE P.I
y' < 0  x ya que y'= - ( 1 / e x ) < 0  xR Decreciente
Curvatura:
y'' > 0  x ya que
y'' = + ( 1 / e x ) > 0  xR Convexo
Corte eje OY :
1
x = 0 ; y = ----- = 1
( 0 , 1)
o
e
1
1
1
A. H; y = lim ---- = ----- = ---- = 0 ; y = 0
x-> e x
e

1
1
y = lim ---- = ------ = e =  NO EXISTE
x-> - e x
e- 
Dada la función f(x) =
a) Hallar sus máximos y mínimos locales y/o globales.
b) Determinar el valor del parámetro a>o para el cual ∫0a f(x) dx = -1
(Selectividad Prueba 2005-06)
a) D=R
Posibles máximos, mínimos
Monotonía.
(-∞,-1): X=-2 ;
Creciente
Máx(-1,1)
(-1,1): x=0;
Decreciente
Min(1,-1)
(1,∞) : X=2 ;
Creciente
b)
0
=
Como
x
Considérese la curva y = --------- (aR dado)
x2 + a
1º) Hallar a de manera que la curva tenga un extremo relativo
para x = 3. 2º) Para a = 4 , hallar los puntos de inflexión, los extremos y las regiones de concavidad y convexidad de la curva.
3º) Representar aproximadamente la curva para a = 4.
1º) Calculemos la y'(x)
x2 + a - x.2x
- x2 + a
y' = --------------- = ---------- Hagamos y'(3) = 0
(x2 + a)2
(x2 + a)2
- 32 + a
-3+a
------------ = 0 ==> -------- = 0 ==> - 3 + a = 0 ==> a = 3
(32 + a)2
(3 + a)2
x
2º) y = -------x2 + 4
x2 + 4 - x.2x
- x2 + 4
y' = ---------------- = ----------- = 0
(x2 + 4)2
(x2 + 4)2
x2 = 4 x = ± 2 son los posibles extremos de la función.
Para ver si lo son, calculemos la y''(x) y particularicemos para dichos valores
±2
-2x.(x2 + 4)2 - (-x2 + 4).2.(x2 + 4).2x
y'' = -------------------------------------------- =
(x2 + 4)4
- 2x3 - 2x + 4x3 - 16x
2x3 - 18x
= -------------------------- = ------------(x2 + 4)3
(x2 + 4)3
16 - 36
1
- 16 + 36
y''(2) = --------- < 0 Máximo ( 2, - ) y''(-2) = ----------- > 0
+
4
+
Para calcular los Puntos de inflexión hacemos la y''(x) = 0
x=0
2x3 - 18x = 0 ==> 2x.(x2 - 9) = 0
x=±3
(6x2 - 18).(x2 + 4)3 - (2x3 - 18x).3.(x2 + 4)2.2x
y'''(x) = ------------------------------------------------------(x2 + 4)4
1
Mínimo ( -2, - - )
4
Particularizamos para los valores 0 y ± 3
- 72
y'''(0) = ----  0 P.I ( 0,0 )
44
(54 - 18). 13
y'''(± 3) = ---------------  0
134
3
-3
P.I ( 3,--- ) y P.I ( -3,--- )
13
13
Será convexa x  (-3,0) U (3,)
Será cóncava x  (-,-3) U (0,3)
Asindota Vertical: No existe pues el dominio es todo R.
x
Asindota horizontal: y = lim -------- = 0 ==> y = 0
x-> x2 + 4
f(x)
No existe asindota oblicua pues la m = lim ----- = 0
x-> x
2.x
Dada la función y = ---------- . Se pide determinar su dominio, sus
1 + 4.x2
máximos y mínimos, si los tiene y cuantos elementos contribuyan a
elaborar la gráfica de mi función. Dibujarla.
1
Dominio: 1 + 4.x2 = 0 ; 4.x2 = - 1 ; x2 = - --- ; x que anule el denominador
4
luego D = R
2.x
Puntos corte con eje OX: y = 0 ==> 0 = ---------- ; 2.x = 0 ; x = 0 ==> (0;0)
1 + 4.x2
2.0
0
Puntos corte con eje OY: x = 0 ==> y = ---------- = -- = 0 ; y = 0 ==> (0;0)
1 + 4.02
1
2.(1 + 4.x2) - 2.x.8.x
2 + 8.x2 - 16.x2
- 8.x2 + 2
Máximos y mínimos: y' = ------------------------- = ------------------ = -----------(1 + 4.x2)2
(1 + 4.x2)2
(1 + 4.x2)2
Como y' = 0
1
1
0 = - 8.x2 + 2 ; 8.x2 = 2 ==> x2 = - ==> x = ± 4
2
- 16.x.(1 + 4x2)2 - (- 8.x2 + 2).2.(1 + 4x2).8.x
Calculo la y''= ----------------------------------------------------(1 + 4.x2)4
- 16.x - 64.x3 + 128.x3 - 32.x
64.x3 - 48.x
y'' = ----------------------------------- = ---------------(1 + 4.x2)3
(1 + 4.x2)3
1
64.(1/8) - 48.(1/2) y''( -- ) = ---------------------- = -- < 0
2
( 1 + 4.(1/4) )3
+
1 1
Max ( - ; - )
2 2
1
- 64.(1/8) + 48.(1/2) +
1 1
y''( - -- ) = ------------------------- = -- > 0 Min ( - - ; - - )
2
( 1 + 4.(1/4) )3
+
2 2
Puntos de inflexión: Hacemos la y'' = 0
64.x3 - 48.x = 0 ==> 8.x.(8.x2 - 6) = 0 de donde
3
ó bien x = 0 ó bien 8.x2 - 6 = 0 ==> 8.x2 = 6 ==> x2 = -4
3
==> x = ± --- son los tres posibles puntos de inflexión.
2
- 64 + 48
y''(-1) = ----------- < 0
125
cóncava
- 8 + 24
y''(- 1/2) = ---------- > 0 convexa
125
3 3
P.I. ( - ---; - --- )
2
4
P.I (0;0)
8 - 24
y''(1/2) = -------- < 0
125
cóncava
64 - 48
y''(1) = --------- > 0
125
convexa
3 3
P.I ( --- ; --- )
2 4
2.x

Asintota Horizontal: y = lim f(x) = lim --------- = -- = L'H
x->
x-> 1 + 4.x2 
2
2
= lim ---- = -- = 0 ==> y = 0 es asintota.
x-> 8.x 
Asintota vertical:
No existe.
Asintota oblicua: y = m.x + n
f(x)
2.x

2
m = lim ----- = lim --------- = --- = L'H = lim ----------x-> x
x-> x + 4.x3 
x-> 1 + 12.x2
==> m = 0 ==> No existe Asintota oblicua.
Dada la función f(x) = e -x ·(x2 + 1) se pide:
a. Dibujar la gráfica de f(x) estudiando crecimiento, decrecimiento,
puntos de inflexión y asíntotas.
1
b. Calcular ∫ f(x) dx.
0
D = R ya que e
-x
y x2 + 1 están definidas para todo x perteneciente a R.
Estudio de asíntotas:
 No existen Asíntotas verticales porque D = R
 Asíntotas Horizontales:
-x
y = lim
2
e (x + 1) =
e- . ∞
x→
2
2
= lim -- = --- = 0
x→ x
e

y = lim
x2 + 1
∞
2x

= lim ------- = -- = lim --- = --x→
x→
ex
∞
ex

y=0
=
x→  es Asíntota Horizontal
e-x (x2 + 1) = e . (-∞)2 = ∞. ∞ = ∞
No existe A. Horizontal cuando x→-
x→ - 

Asíntotas oblicuas:
m = lim
x→
x2 + 1
∞
2x

2
2
------- = -- = lim ------------ = ---- = lim = ----------------- = --- = 0
x→
ex. x
∞
ex . x + ex
 x →
ex . x + ex + ex

No existe Asíntota oblicua cuando x→ 
e-x (x2 + 1)
e- . (∞)
∞
- e-x (x2 + 1) + e-x . 2x
m = lim -------------- = ----------- = ---- = lim = --------------------------x→-
x→-
x
-∞
-∞
1
-e . (∞) + e . ∞
---------------------- =  No existe a. Oblicua cuando x→-, existe rama parabólica
1
Estúdio de Max, mín.:
y’ = - e-x (x2 + 1) + e-x .2x = e-x (-x2 - 1 + 2x)
e-x = 0  No existe x
____
2±√4-4
-x2 +2x - 1 = 0  x2 - 2x + 1 = 0; x = -------------- = 1
2
x = 1  posible máx., mín.
y’ = 0
y’’ = - e-x (- x2 + 2x - 1) + e-x (-2x + 2) = e-x (x2 - 2x + 1 – 2x + 2) = - e-x (x2 – 4x +3);
y’’(1) = - e-x (1- 4 + 3) = 0 No existe máx., mín.
_______
4 ± √ 16 – 12
4±2
f’’(x) = 0 ; x2 – 4x +3= 0; x = ----------------- = --------- =
2
2
)(
1
-
)(
3
3
Posibles PI
1
+
(- , 1) x= 0
y’’(0) > 0 
(1, 3) x= 2
y’’(2) < 0  -
(3, ) x=4
y’’(4) > 0 
+
PI (1, 2/e)
PI (3, 10/e)
+
Monotonía: (- ,  ) x= 0 y’(0) = e0 (-1) < 0 Decreciente siempre
Corte eje ox  y = 0 ; x2 + 1 = 0 , no hay corte con el eje de las x
Corte eje oy  x = 0; y(0) = 1  (0,1)
1
u = x2 + 1
du = 2x dx
b) ∫ e (x + 1) dx = Por partes =
-x
2
0
dv = e- x
u=x
v= ∫ e- x dx = - e- x
du= dx
= - (x2 + 1) e- x + 2 ∫ x. e- x dx =
= - (x2 + 1) e-x + 2 [-x e-x +∫ e- x dx]
dv= e- x dx
v = - e- x
1
= - (x2 + 1) e- x - 2x e- x + (-2 e- x ) = e- x (- x2 - 1- 2x -2) = [e- x (- x2 - 2x - 3)] =
0
-1
[e
- 6 + 3e
(- 1 - 2- 3)] - [e (- 0 – 0 -3)]= -6. e + 3= - 6/e + 3 = ---------- u2
e
0
-1
1
Dada la función f(x)= -----. Se pide:
x
a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto
(a,f(a)) para a>0.
b) Hallar los puntos de corte de la recta tangente hallada en el
apartado a), con los ejes de coordenadas.
c) Hallar el valor a>0 que hace que la distancia entre los 2 puntos
hallados en b) sea mínima.
(Selectividad 2004-05)
a)
La recta tangente será : y - f(a) = f´(a) (x - a)
1
1
Como y= ------ ; f(a)= -------x
a
1
1
y - ----- = - ------- (x-a)
a
a2
1
1
1
y = - ---- x + --- + --a2
a a
1
1
y´= - ------ ; f´(a) = - ---x2
a2
1
2
La recta tangente es y = - ------ x + ---a2
a
b)
Corte eje OX
1
2
1
2
y= - ---- x + ----- ---> ---- x = ---- ;
a2
a
a2
a
y=0
Corte eje OY
x = 2a
Corte en (2a , 0)
1
2
y = - ---- x + ---- --->
a2
a
x=0
2
y = ---a
Corte en (0, 2/a)
c)
d(AB) =[AB]
AB=(-2a, 2/a)
Si A=(2a, 0) B=(0, 2/a)
[AB]=
(-2a)2 + (2/a)2
=
4a 2 + 4/a 2
Para que d sea mínimo,calculo d´
8a - 8/a 3
d´= -------------------- ,d´= 0 , 8a4 -8 = 0 , a4 = 1 , a = ± 1 Cogemos el valor a= 1 >o
2
4a2 +4/a2
Si hallo d´´, la particularizo d´´(1) > 0
para que la distancia sea mínima.
Estudiar y representar gráficamente y = x3 - 3x + 2
Dominio = R
Corte con eje OX ==> y = 0 ==> x3 - 3x + 2 = 0
1 0 -3 2
1
1 1 -2
1 1 -2 0
1
(1,0)
2
x +x-2=0 x=
-2
Corte con eje OY ==> x = 0 ==> y = 2
(-2,0)
(0,2)
y' = 3x2 - 3 ==> y' = 0 ==> 3x2 - 3 = 0 ==> 3x2 = 3
Máximos y mínimos:
x2 = 1 ==> x = ± 1
y'' = 6x
y''(1) = 6 > 0
Punto de inflexión:
Min (1,0) y''(-1) = - 6 < 0 Max (-1,6)
y'' = 0 ==> 6x = 0 ==> x = 0
y''' = 6 ==> y'''(0) ╪ 0
P.I (0,2)
No existe A.Vertical
No existe A.Horizontal pues y = 
No existe A.Oblicua pues m =  , habrá dos ramas parabólicas.
Estudiar la curva representable para la función f(x) = x2 + 2/x
- Dominio: para todo x ε R menos para x = 0
D= (-∞ , 0) U ( 0, +∞)
-Crecimiento y decrecimiento. Máximos y Mínimos ;
x3 +2
y = ----------x
3x2 · x - (x3+2)
3x3 - x3 - 2
2 x3 - 2
Y '= --------------------- = --------------- = ---------x2
x2
x2
y' = 0 ; 2 x3 = 2 ; x3 = 1 ; x = 1
Estudio : (-∞ , 0) , ( 0,1 ) y ( 1, +∞)
-2 -2
_
-∞ < x < 0 ; x = - 1 ; y'= ------------ = -------- < 0 Decreciente
( -1 ) 2
+
0´125 – 2
_
0 < x < 1 ; x = 0´5 ; y' = -------------- = --------- < 0 Decreciente
+
+
16 – 2
+
1 < x < +∞ ; x = 2 ; y' = ------------ = ------- > 0 Creciente
+
+
En x = 1 pasa de decreciente a creciente  Min ( 1, 3)
-Concavidad , conversidad , P.I :
6 x2 . x2 - (2x3 – 2) · 2x
6x3 – 4x3 +4
2x3 + 4
y'' = ------------------------------- = ---------------- = -----------x3
x3
x3
__
3
3
3
y'' = 0  2x = - 4 ; x = - 2 ; x = √-2 = - 1,26
-Estudio de los intervalos : ( -∞ , 3√-2) (3√-2 , 0 ) ( 0 , +∞ )
-16 + 4
_
; y'' = ------------- = --------- > 0 Convexa
-8
–
-2+4
+
3
√-2 < x < 0 ; x= -1
; y''= ------------ = ------ < 0 Concava
-1
–
-∞ < x < 3√-2 ; x= - 2
x=3√-2
P.I.
x=0 No existe
0 < x < +∞ ; x = 1
;
2+4
+
y''= ------- = ----- > 0
+
+
Convexa
-Asintotas :
x3 + 2
*Horizontal  y = lim ----------- = +∞ No existe
x->
x
* Vertical  x = 0 ; y = ∞
luego x = 0 es asintota Vertical
x3 + 2
∞
3 x2
∞
6x
Rama
*Oblicua  m= lim ---------- = ----- = ------- = ------ = lim ----- = ∞ Parabolica
x->
x2
∞
2x
∞
x->∞ 2
-Cortes con los ejes :
x= 0 ; y = ∞
y = 0 ; 0 = x3 + 2 ; x3 = - 2
; x = 3√-2
 (3√-2 , 0 ) Punto de Corte
Estudiar la curva representada por la función f(x)= (5 - 2x3) / x
Dominio: todos los valores de x pertenecientes a R salvo para x = 0 → D = R-{0}
Crecimiento, Decrecimiento, máximos y mínimos
y = 5 – 2x³ / x
; y’ = [(- 6 x²) · x – (5 - 2x³)] / x² = (- 6x³ - 5 + 2x³) / x² =
= (-4x³ - 5) / x²
____
y’ = 0 → - 4x³ - 5=0 ; x³ = -5/4 ; x = ³√ -5/4 = - 1’077 Posible máx o min
Tomo los intervalos (-∞, -1’077) , (-1’077, 0) y (0, ∞)
-∞ < x < -1’077 x = -2 y’= - 4· (-2)³ - 5 / (-2)² = 32- 5 / (-2)² = + / + > 0 Creciente
-1’077 < x < 0 x = - 1 y’= - 4 · (-1)³ - 5 / (-1)² = - 1/ (- 1)² = - / - < 0 Decreciente
0<x<∞
x = 1 y’= - 4 · (1)³ - 5 / 1² = - / + < 0
Decreciente
x= - 1’077 pasa de creciente a decreciente → Max en (-1’077, -6’962)
Concavidad, convexidad y PI
y’’= (- 12x²) / x² - (- 4x³ - 5) · 2x / x4 = - 12x³ - (- 4x³ - 5) · 2 / x³ =
= -12 x³ + 8x³ + 10 / x³
y’’= - 4x³ + 10 / x³
y’’= 0 → 4x³ = 10 ;
x³ = 5/2 ;
___
___
___
x = ³√ 5/2
En x = ³√ 5/2  y = 0
PI ( ³√ 5/2, 0)
____
___
Posibles cambios de concavidad en (-∞, 0) , (0, ³√ 5/2 ) y (³√ 5/2, ∞)
-∞ < x < 0; x = - 1 f’’(x) = -4 · (-1)³ + 10 / (-1)³ = + / - < 0 Cóncava
___
0 < x < ³√ 5/2 ; x = 1 f’’(x) = - 4 · 1 + 10 / (1)³ = + / + > 0 Convexa
____
³√ 5/2 < x < ∞ x = 2
f’’(x) = - 4 · (2)³ + 10 / (2)³ = - / + < 0 Cóncava
Asíntotas
Horizontal : y = lim 5 – 2x³ / x = ∞ / ∞ = lim - 6x² / 1 = ∞ No hay
x→∞
Verticales en x = 0 → y = ∞ → x = 0
Oblicuas m = lim - 5 – 2x³ / x² = ∞
x→∞
x→∞
Asíntota V.
Rama parabólica
Cortes con los ejes
x=0 ;
y=∞
No corta
y=0 ;
___
5 – 2x³ / x = 0 ; 5 – 2x³ = 0 ; x = ³√ 5/2
( 1’3572 , 0) es corte con eje OY
___
 (³√ 5/2 , 0) ;
Hallar los máximos y mínimos relativos y los puntos de Inflexión de
la función
3x 2  x  3
f x  
x2 1
b) determinar una función f(x) tal que su derivada sea f(x) y además
f(0)=4
a) Calculamos la primera derivada:
f ( x) 
6 x  1  x 2  1  3x 2  x  3·2 x  6 x 3  6 x  x 2  1  6 x 3  2 x 2  6 x 
x
2

1
x
2
2

2
1
 x2 1
x
2

2
1
f ( x)  0   x 2  1  0  x 2  1  x  1 posibles max, min
f ( x) 

 
x

2

 2 x x 2  1   x 2  1 2· x 2  1 ·2 x
2
 2x 3  2x  4x 3  4x
x

1
2
f (1) 
3


1
4


 

 2 x x 2  1   x 2  1 ·2·2 x
x
2

1
3
2x3  6x
x
2

1
3
26
 7
 0  Máximo 1, 
3
2
 2
f (1) 
26
 0  Mínimo  1,0
23


3
2
P. Inflexión: f ( x)  0  2 x  6 x  0  2 x x  3  0
como D=R
x  0; x  0
x 2  3  0; x   3
los intervalos de curvatura son:

 16  12
12  3 

 0    PI   3 ,


4



26
( 3 ,0)  x  1  f (1) 
 0    PI 0,3


(, 3)  x  2  f (2) 
0, 3   x  1  f (1)  2  6  0  



3 ,   x  2  f (2) 

12  3 

 PI  3 ,
4 

16  12
0



b) F(x)=

f x dx  
3x 2  x  3
dx 
x 2 1
x 
x
1 2x
1

F ( x)    3  2 dx   3dx   2 dx  3x   2 dx  3x  ln x 2  1  c
2 x 1
2
x 1
 x 1

Si f (0)  4  4  3·0 
F(x) = 3 x 


1
ln x 2  1
2
1
ln 1  c  c  4
2

Hallar máximos y mínimos relativos y puntos de inflexión de la
función f(x)= sen x + cos x , para 0 < x <  . Dibujar la curva en el
intervalo (0,  ).
y= sen x + cos x ; y´= cos x – sen x ; y´´= - sen x – cos x ; y´´= - cos x + sen x
y´= 0 → cos x = sen x →
tg x = 1 → x =  /4
y´´(  /4)= - sen  /4 – cos  /4 = en (  /4,
2
−
2
2
= - 2 < 0. Hay un máximo
2
2)
y´´= 0 → -sen x = cos x → tg x = -1 → x = 3  /4
y´´´(3  /4) = - cos 135 + sen 135 =
2
+
2
2
=
2
2 0
Hay un punto de inflexión en (3  /4 , 0)
Para dibujar la curva, calculemos los puntos extremos en x = 0 y en x = 
Para x = 0 → y = sen 0 + cos 0 = 1 (0,1)
Para x =  → y = sen  + cos  = -1 (  ,-1)
Para cada valor de c >0, a) calcular el área de la región acotada
comprendida entre la gráfica de la función:
; el eje OX y las rectas
b) Hallar el valor de c para el cual el área obtenida en el apartado a) es
mínima.
a) Si c > 0,
Teniendo en cuenta que la función siempre es positiva (está
situada siempre por encima del eje OX), el área en un intervalo será:
b) El área mínima se obtiene derivando la expresión respecto de c e igualando a cero.
La comprobación de que se trata de un área mínima se hace con la segunda derivada.
Para
Para
el área es mínima.
el área es máxima.
Representar esquemáticamente la gráfica de y 
ex
,
x
determinando para ello sus extremos relativos, si los tiene, sus
intervalos de crecimiento, puntos limites, etc...
El dominio, no existirá para el valor de x = 0 que es que anula el denominador de la
funcion, ya que la funcion exponencial esta definida para todo numero real.
D = R – (x = 0)
Los cortes con los ejes no existen en esta función ya que para y = 0 
ex
 0
x
e x  0  x = Ln 0 No existe.
Máximos y mínimos
ex  0
y´
e xe
e  ( x  1)

; y´ 0  e x  ( x  1)  0 
2
x
x2
x
x
No existe.
x
x 1  0 x  1
(e x  ( x  1)  e x )  x 2  e x  ( x  1)  2 x x 2  e x  2 x  e x  2e x
y´´

x4
x3
y´´(1) 
1  e1  2  e 1  2  e1
 e  0 Mínimo (1; e)
1
Puntos de inflexión
ex  0
No existe
y´´ 0  e  ( x  2x  2)  0 
x
2
x 2  2 x  2  0 No existe
Asintota vertical: x = 0 que hace que y = ∞
Asuntota horizontal:
e x e 
1
1



 0 y = 0 es asintota cuando x -∞

x   x
 e

y  lim
Asintota oblicua: No existe pues m = ∞ para x  y vale m = 0 para x  -∞
Creciente y decreciente:
En (,0) y´(1) 
 2e 1
0
1
En (0,1)
y´(0,5) 
En (1,  )
y´(2) 
Decreciente
0,5e 0,5
 0 Decreciente
0,25
e2
0
4
Creciente
Concavidad y convexidad:
En (-∞,0)
y´´(1) 
En (0,∞)
y´´(1) 
e 1  2e 1  2e 1 5e 1

0
1
(1) 3
e  2e  2e e
 0
1
13
Cóncava
Convexa
e-2
-1
x = -2 y = ---- = ------2
2e2
e-1
-1
x = -1 y = ----- = -----1
e
Representar la grafica de la función
y = cos x - 1
y = cos x – 1 ;
D = R por ser la función cos x sinusoidal y periódica y la función -1 es constante.
-4π
y = cos x-1
-2π
Corte eje OX
cos x -1 = 0 ; cos x = 1 ; x =
0
y=0
2π
4π
corta en : …(-4π, 0) , (-2π, 0) , (0, 0) , (2π, 0) , (4π, 0)….
Corte eje OY ; x = 0 ; y = cos 0 – 1 = 1 – 1 = 0
→ (0, 0)
Posibles max min ; y´ = - sen x ; y´= 0 ; - sen x = 0; sen x = 0
-2π
-π
x = 0
π
2π
y”(-2π) = - cos(-2π) = -1 < 0 max(-2π, 0)
y”(-π) = - cos(-π) = +1>0
min(-π, -2)
y” = - cosx → y”(0) = - cos0 = -1 <0
max (0, 0)
y”(π) = - cosπ = -(-1) > 0
min (π,-2)
y” ( 2π) = - cos2π = -1 < 0 max (2π,0)
x = -3π / 2
x = -π / 2
Posibles PI ; y” = - cosx ; y” = 0 ; cos x = 0 →
x=π/2
x = 3π / 2
|
(
-2π -3π/2
)(
–π/2
)(
π/2
)(
|
3π/2 2π
(- 3π/2,- π/2) → x = - π ; y”(-π) = - cos(-π) = 1 > 0
PI (-π/2, -1)
(-π/2, π/2) → x = 0 ; y”(0)= - cos 0 = -1 < 0
PI (π/2, -1)
(π/2, 3π/2) → x = π ; y”(π) = - cosπ = 1 > 0
3x+2
Representar f(x ) = ------2x+1
2x + 1=0 ; 2x = - 1 ; x = - 1/2
Dom: R - x = -1/2
(se iguala el denominador a 0 para saber los valores que lo anulan)
Cortes OX
3x + 2
3x + 2
y = --------- = --------- = 0 ;
2x + 1
2x + 1
3x+2=0 ; 3x = -2 ; x = - 2 / 3
y=0
Cortes OY
Los cortes estan en (- 2/3, 0) y (0, 2)
3x + 2
y = ---------2x + 1
2
y = --- = 2
1
x=0
Posibles mas, min : se halla y’ y se iguala a 0
3· (2x + 1) - (3x + 2)·2
6x + 3 - 6x – 4
-1
y´ = ----------------------------- = ------------------ = ----------(2x + 1)2
(2x + 1)2
(2x + 1)2
y’ = 0 ;
-1 ≠0
no existe max, min.
Posibles P.I : Se halla y’’ y se iguala a 0
- (- 1)· [2·(2x + 1)·2]
4
4
y’’= --------------------------- = ----------- ; y’’= 0 ---------- = 0 ; 4 ≠ 0 no existe P.I
(2x + 1)4
(2x + 1)3
(2x + 1)3
Asuntota vertical
Asuntota horizontal
Asuntota oblicua
x = -1 / 2
(coincide con la x del dominio)
3x + 2
y = lim --------- = 3/2
x ∞
2x + 1
3x + 2
3x + 2
m = lim -------------- = lim ---------- = 0 no existe A.O
x->∞ x· (2x + 1)
x->∞ 2x2 + x
y
x
Representar la grafica de la función:
x+1
d) y = ------x–2
D = R – {x = 2}
D = para todo x € (-∞, 2) U (2, ∞)
A.V.; x = 2
x+1
∞
1
--------- = ---- = lim
----- = 1 → y = 1
x→ ± ∞ x – 2
∞
x→±∞ 1
A.H. : y = lim
A.O. m = lim
x→±∞
Corte eje ox ;
Corte eje oy
x+1
--------- = 0
x2 – 2x
No existe
x+1
y = ------- → x + 1 = 0 ; x = -1 (-1, 0) corte eje ox
x–2
y=0
x+1
y = ------- → y = - ½ → (0, -1/2) corte eje oy
x–2
x=0
x – 2 – (x + 1)
-3
Posibles max , min : y´= ------------------ = ---------- ; y´= 0 ;
(x – 2)2
(x – 2)2
no existen max, min
-3 ≠ 0
no existe x € R
- (-3)·2 ·(x – 2)
6
Posibles PI ; y” = ------------------ = -------- ; y” = 0 ; 6 ≠ 0 no existe x € R no existe P.I.
(x – 2)4
(x - 2)3
El único intervalo en donde se puede estudiar monotonia y curvatura es en el Dominio
y´(0) = - 3 / (-2)2 < 0 Decrece
En (- ∞, 2)  x = 0
y´´(0) = 6 / (-2)3 < 0
y´(3) = -3 / + <0
En (2, ∞)  x = 3
y”(3) = 6 / + > 0
Decrece
Representar esquemáticamente la grafica de
, determinando
para ello los cortes, asíntotas, extremos relativos, puntos de
inflexión y con todo ello su grafica.
.
Representar y= x2 / x - 1
Se buscan los valores que anulan el denominador y se quitan de la recta real.
D = (-∞, 1) U (1, ∞+)
y = x2 / x - 1
x2 / x – 1 = 0; x2 = 0; x = 0
Cortes con el eje OX
y=0
y = x2 / x - 1
Cortes con el eje OY
y=0
se resuelve el sistema entre la curva y
el eje OX
se resuelve el sistema entre
la curva y el eje OX
x=0
Posibles máximos, mínimos
Se halla la derivada, se iguala a cero y se buscan los posibles x de los máximos y
mínimos.
2x · (x - 1) – x2 2x2 – 2x - x2
x2 - 2x
y´= ------------------- = ----------------- = -----------(x - 1) 2
(x - 1) 2
(x - 1) 2
y´=0
x2 - 2x
--------- = 0;
(x - 1) 2
son estos los posibles
x=0
x2 - 2x = 0; x · (x - 2) = 0
x – 2 = 0; x = 2
Se calcula la y” y se particulariza para los posibles máximos o mínimos.
(2x – 2) · (x – 1) – (x2 - 2x) · 2 (x – 1) 2x2 – 2x – 2x + 2 - 2x2 + 4x
2
y” = ---------------------------------------------- = ----------------------------------- = ---------(x – 1) 4
(x – 1) 3
(x – 1) 3
2
y” = ---------(x – 1) 3
2
y”(0) = --------- < 0
(-1) 3
0
y = -------- = 0
0-1
Max (0, 0)
2
y”(2) = ---------- > 0
(2 - 1) 3
22
y = -------- = 4
2-1
min (2, 4)
Posibles PI. Se igual la y” = 0 para buscar los posibles valores de x que sean PI. Aquí no
hay.
2
y” = 0 ; ------------ = 0;
2 = 0 no existe PI
3
(x – 1)
Asintotas.
A.V
x=1
A.H
x2
y = lim --------- = ∞
x →∞ x – 1
A.O
no existe A.H
x2
------x–1
x2
m = lim ------------ = lim
--------- = 1
x →∞
x
x → ∞ x2 - 2x
x y
y=x+1
x2
x
n = lim
-------- - x = lim -------- = 1
x →∞ x – 1
x →∞ x – 1
1 2 3 4 5
0 1
2 3
x3
Representar y = ----------1 - x2
Dominio: 1 - x2 = 0 ; x2 = 1 ; x = ± 1 ; D = R - ± 1
Puntos corte con eje OX: y = 0 ==> x3 = 0 ; x = 0 ==> (0;0)
0
Puntos corte con eje OY: x = 0 ==> y = ----- = 0 ; (0;0)
1
x3
Asintota horizontal: y = lim --------- =  No existe
x->
1 - x2
x3
Asintota vertical: x = 1 y x = -1 ya que lim --------- =  y lim
x->1 1 - x2
x-> -1
x3
-------- = 
1 - x2
Asintota oblicua: y = m.x + n
f(x)
x3
m = lim ----- = lim --------- = - 1
x-> x
x->
x - x3
y=-x
x3
x3 + x - x3
n = lim -------- + x = lim ------------- = 0
x-> 1 - x2
x->
1 - x2
3x2 (1 - x2) - x3 (-2x)
3x2 + 3x4 + 2x4
- x4 + 3x2
Máximos y mínimos: y' = -------------------------- = ------------------- = ------------(1 - x2)2
(1 - x2)2
(1 - x2)2
→ x=0
Como y' = 0
- x4 + 3x2 = 0 ; x2 (- x2 + 3) = 0
→ - x2 + 3 = 0 ; x2 = 3 ; x = ± √3
(- 4x3 + 6x ) (1 - x2 )2 + (- 4x3 + 3x2 ) 2 ( 1 - x2 ) ( 2x )
2x3 + 6x
y''= ------------------------------------------------------------------- = -------------(1 - x2)4
(1 - x2)3
y'' (0) = 0 No exiten máximos y mínimos.
6 √3 + 6 √3
+
y''(√3 ) = ------------------ = ---- < 0
(1 - 3)3
-
- 3√3
Max (√3 ; --------- )
2
- 6 √3 - 6 √3
+3√3
y''( - √3 ) = ----------------- = ---- > 0 Min ( -√3 ; -------- )
(1 - 3)3
2
Puntos de inflexión:
→ 2x = 0 ; x = 0
y'' = 0 ;
3
2
2x + 6x = 0 ==> 2x (x - 3) = 0
→ x2 - 3 = 0 ; No existe
-16 - 12
¼+3
+
y'' (-1/2) = ----------- = ----- > 0 Convexa. y'' (-1/2) = ------------- = ----- > 0 Concava
(1–¼)
(1 – ¼ ) 3
En x = 0 Existe P.I (0 , 0)
- 5,06 + 6,75
y''(-2) = ----------------- < 0 Decreciente
+
0
y''(0) = ---- = 0 creciente (0+ y 0-)
1
-5,06 + 6,75
y''(3/2) = ----------------- < 0 Creciente
-16 + 12
y''(2) = ----------- < 0
+
Decreciente
 -2 )( -3/2 )(0)( 3/2 )( 2 
-√3
-1
1
√3
Creciente para cualquier x perteneciente (-√3, -1) U (-1,1) U (1, √3)
Decreciente para cualquier x perteneciente (- , -√3 ) U (√3 , )
Representar y = ln x
__
y = ln x = x½ = ½ · ln x
D = x Ɛ (0, ) ya que el cero y los números
negativos no dan valores reales para la función logaritmo
x 0 No existe f(x)
x = 0 f(x) = 
__
y = ln x
__
 y = ln 0
x=0
__
y = ln x
__
 0 = ln x
y=0
Corte eje OY
Corte eje OX
y = ln 0 y =  No hay cortes eje oy
__
e0 =x
No hay cortes eje oy
Posibles Maximos y minimos
__
y = lnx = ln x½ = ½ · ln x
y´= 0  1 / 2x = 0
y ´= ½ · 1/x = 1 / 2x
1  0  existe MAX / MIN
Posibles Puntos de inflexion
1
0 – 2· 1
-2
-1
y´ = y´´=  =  = 
2x
(2x)²
4x²
2x²
-1
 = 0
2x²
y´´=0
-20
 existe P.I
A.Verticales
x=0
f(x)=  A.V  x = 0
A.Horizontales
__
lim (L x ) = lim (L x½) = lim (½ L x) = ½ ln  = 
x->
A.Oblicuas
f(x)
m = lim 
x->
x
x->
x->
o existe A.H
½Lx
Lx

m = lim  = lim  = 
x->
x->
x
2x

Aplicamos la regala de L´Hopital: Se deriva numerador y denominador
(L x)´
1/x
m = lim  = lim  = lim 1 / 2x = 1 /  = 0 No existe A.O
x->
x->
(2x)´ x-> 2
Monotonia: Crecimiento y decrecimiento
y´= 1 / 2x
x  D
y´ 0 creciente
Ej: x = 2 y´= ¼ 0 creciente
Curvatura: Concavidad y convexidad
y´´ = - 2 / 4x²
x  D y´´0 cóncava
Ej: x = 2  y´´= -2 / 16 0 cóncava
Representar
. Calcular previamente sus asíntotas si las
tiene, los cortes con los ejes, sus máximos, mínimos y puntos de inflexión si los tiene. Intervalos de monotonía y curvatura.
D:
AV;
/ x + 1 > 0 ; x > - 1 ; D:
ln(x+1) = ln 0 =
AH;
x+1)= ln
AO; m=
=
Corte eje OX
//
=
x=
es A.V.
A.H.
=
=
ln(x+1) = 0
=0
A.O.
= ; x + 1= 1
; y = 0;
(0, 0)
Máximos y mínimos
=0
PI:
Monotonía
(-1, ); X= 0
;1
=0
-2
y´(0) = > 0
PI
Creciente.
Curvatura
(-1, ); X=0
y´´=
<0
-
Representar f(x) = x 2 
1
x4  1
=
x2
x2
Dom f(x)= R  x  0

x4  1
y  2
4
4
Corte con eje OX 
x  x  1  0  x  1   corte con eje OX
y  0


x4  1
1
y  2
Corte con eje OY 
x  y    corte con eje OY
0
x  0

AV  x  0
x4  1
AH  lim 2     AH
x 
x
x4  1
2
x4  1
AO  m  lim x  3     AO   Rama parabolica
x 
x
x
Posibles maximos y minimos

 4 x32
·x 2    x 4  1·2 x  4 x 4   2 x 4  2  2 x 4  2


f ( x) 



x 43
x3
x3
f ( x0 )  0  2x4  2  0  x4  1  x  1 posibles max./min.
8x ·x
f ( x) 
3
3
 3x 2 ·(2 x 4  2) 
x6
 f (1)  0  max(1, 2)
x 2 (8x 4 )  (6 x 4  6) 2 x 4  6



x64
x4
 f (1)  0  min(1, 2)
Posibles puntos de inflexion
f ( x)  0  2 x4  6  0  2 x4  6   puntos de inflexión
x=0
Sea:
donde
significa logaritmo neperiano de x. Hallar el área de la
región acotada limitada por la gráfica de f(x), y por la recta y=1.
Lo primero es acotar el área, si es posible, representar el área pedida y a continuación
calcular los limites de integración.
La función f(x) está definida por expresiones elementales
, por lo que su
representación es sencilla.
El área pedida se calcula como la suma de dos áreas.
La primera comprendida entre la función y =
, y las rectas y = 1, x = 1. El
límite de integración inferior se calcula como intersección de y=
con y = 1.
:
=1;
x=0; x=2 (no válida por ser mayor que 1).
La segunda, comprendida entre y =
intersección de y =
con y = 1.
, y = 1, x = 1. El límite superior se calcula como
:
Conocidos los límites de integración se calcula el área.
Área =
Cálculo de las primitivas:
Calculadas las primitivas, se calcula el área.
Sea f(x) = Ln │ x │ . a) Representar la grafica. b) Hallar f ´(x)
indicando su dominio
El dominio son todos los valores de x / │ x │ > 0 es decir que salvo el x = 0
siempre existe f(x)
D : R – {x = 0}
Ln (-x) x < 0
f(x) =
-1 / - x = 1 / x
x<0
1/x
x>0
f´(x) =
Ln x
x>0
La f(x) corta en Ln (-x) = 0  e Ln (- x) = e 0
- x = 1  x = - 1  (-1, 0)
La f(x) corta en Ln (x) = 0  e Ln ( x) = e 0
x = 1  x = 1  (1, 0)
La f ´(x) = 1 / x siempre para todo x perteneciente al Dominio ya que x = 0 es el
valor que anula el denominador
1 – x2/4
x < 3/2
Sea f(x) =
7
/12 (1 – (x – 2)2)
x ≥ 3/2
a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f(x)
b) Hallar los máximos y mínimos locales de f(x)
c) Dibujar la gráfica de f(x)
¼ (4 – x2)
x < 3/2
¼ (-2x) = - x/2
x < 3/2
7
x ≥ 3/2
f ’(x)=
Sea f(x) =
7
/12 ( - x + 4x – 3) x ≥ /2
2
3
/12 (-2x + 4)
a) f(x) en (-∞, 3/2) y en (3/2, ∞) es continua  x Є R por ser funciones polinómicas de
grado 2 => f(x) continua en cada intervalo.
7
Lim
/12 (-x2 + 4x – 3) = 7/12(- 9/4 + 6 – 3) = 7/12 (- 9/4 + 3) = 7/12 · ¾ = 7/16
x3/2+
En x= 3/2
¼ (4 – x2) = ¼ (4 – 9/4) = ¼ · 7/4 = 7/16
Lim
x3/2−
Como L1 = L2 Ǝ Lim f(x) = f( 3/2) => f(x) continua en x = 3/2
x3/2
f’(x) en (-∞, 3/2) y en (3/2, ∞) es continua  x Є R por ser funciones polinómicas de
grado 1 => f’(x) continua en cada intervalo => f(x) es derivable en cada intervalo
7
Lim
/12 (-2x + 4) = 7/12 (- 3 + 4) = 7/12
L1 ≠ L2 => Ǝ Lim f’(x) =>
x3/2+
En x=
3/
2
x3/2
Lim
-x
=> f’(x) no es continua =>
f(x) no es derivable en x= 3/2
-3
/2 = /4
x3/2−
b) Máximos y mínimos.
En (-∞, 3/2)
y’ = - x / 2 = 0 => x = 0 posible máx, min
y’’= - 1/2
En (3/2, ∞)
;
y’’(0) < 0
y’= 7/12 (-2x + 4) = 0; 2x – 4 = 0;
y’’= - 7/6 ;
y’’(2 )< 0
Máx (0, 1)
x = 2 posible máx, min
Máx (2, 7/12)
c) Gráfica.
En (-∞, 3/2)
x
y
3
7
/2
0
-2
En (3/2, ∞)
/16
1
0
(Del límite)
Máx
Corte eje OX
7
x
y
3
7
/2
2
3
/16
/12
0
7
(Del límite)
Máx
Corte eje OX
/12 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7
/16 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
-2
-1
1
3/2
2
3
Sea la función:
senx
f(x) = -----------2 – cosx
definida en el intervalo cerrado y acotado [ -2π, 2π] se pide:
a) Calcular los puntos del intervalo dado donde f alcanza los valores
máximo y mínimo absoluto.
b) Dibujar la gráfica de f en el intervalo dado.
c) Calcular:
 π/3
0 f(x)dx.
(Selectividad Septiembre 2002-03)
a) El dominio es [ -2π, 2π]
cos x·(2 – cos x) – sen x·sen x 2cos x – cos2 x - sen2 x
2 cos x - 1
y’= --------------------------------------- = ---------------------------- = ---------------( 2 – cos x)2
( 2 – cos x)2
( 2 – cos x)2
y’ = 0 ;
x=
2 cos x – 1 = 0 ; cos x = 1/2
-5π/3
-π/3
π/3
5π/3
son posibles máximos, mínimos de f(x)
-2 sen x·(2 – cos x)2– ( 2cos x – 1)· 2 (2 – cos x)·sen x
y’’ = ---------------------------------------------------------------------- =
( 2 – cos x)4
-4sen x + 2sen x·cos x – 4sen x·cos x + 2 sen x
- 2 sen x – 2sen x·cos x
= ----------------------------------------------------------- = ------------------------------ =
( 2 – cos x)3
( 2 – cos x)3
- 2 sen x·( 1 + cos x)
= -------------------------( 2 – cos x)3
- 2 sen( -5π/3)·[ 1 + cos(-5π/3) ]
-2 √3/2 · (1 + ½)
_
y‘’(-5 π /3)= --------------------------------------- = ------------------------ = ---- = < 0 max.
( 2 – cos (-5π/3))3
( 2 – ½)3
+
-2 sen ( -π/3)· [ 1 + cos(-π/3) ]
-2·(-√3/2) · (1 + ½)
+
y’’(-π/3) = -------------------------------------- = -------------------------- = ----- = > 0 min.
( 2 – cos (-π/3))3
( 2 – ½)3
+
-2 sen (π/3)· [ 1 + cos(π/3) ]
-2· √3/2 · (1 + ½)
_
y’’(π/3) = ------------------------------------ = ------------------------ = ----- = < 0 max.
( 2 – cos (π/3))3
( 2 – ½)3
+
-2 sen ( 5π/3)· [ 1 + cos(5π/3) ]
-2·(-√3/2) · (1 + ½)
+
y’’(5π/3) = --------------------------------------- = ------------------------- = --- = > 0 min.
( 2 – cos (5π/3))3
( 2 – ½)3
+
Es decir Max (- 5 π /3, √3 /3) Max (π /3, √3 /3)
Min (-π /3, - √3 /3)
Min (5π/3, - √3 /3)
Cortes eje OX
x = -2π
x = -π
x=0
x=π
x = 2π
Calcular
y = 0 ; sen x = 0
Cortes en
(-2π ,0)
(-π , 0) [π,0]
( 0 , 0)
[2π,0]
senx
 π/3 ---------- dx = [ Ln ( 2 – cosx) ] π/3 =
0
0
2 – cosx
= Ln ( 2 – cos π/3) – Ln ( 2 – cos 0) = Ln ( 2 - ½ ) – Ln ( 2 – 1) = Ln 3/2 – Ln 1 =
= Ln 3/2
Se considera la f(x) =
ex
:
(1  e x ) 2
a) Calcular los extremos locales de f(x).
b) Determinar el valor del parámetro a tal que

a
0
f ( x ) dx 
1
4
a) D= R ya que 1+ e x = 0; e x = - 1  lne x = ln(-1)  x no existe que anule el
denominador.
f ' ( x)



1  e 

e x 1  e x  e x ·2 1  e x e x
x 4
e x  e 2 x  2e x
=
1  e 
x 3
=
e x  e2x
1  e 
x 3
Posibles máximos y mínimos f’(x)= 0
e x  e 2 x  0 ; e x  e 2 x ; ln e x  ln e 2 x  x  2x  x  0 POSIBLE.
No hace falta hallar f   x  , basta con estudiar la monotonía de f x 

+
1 1
 2
e
e 0



e e
 ,0 ; x  1; f ' (1) 
1  e 1


e1  e 2 
 0
0,  ; x  1; f ' (1) 
1  e 3 

1

2

En  ,0) f ( x es creciente
 1
 En x=0 existe un MAXIMO en el punto  0, 
 4
En 0,  f ( x) es decreciente
b)
a
ex
 1  e 
0
Como
x 2
a
a
0
ex
 1  e 
0

dx   e x  1  e
x 2
dx 

x 2

 1 ex
dx  
  1

1
a
a



1 
1
  
  
x 
a
 0  1  e  o  1  e




1
1 1 1
   ;4  1  e a
a
2 4 4
1 e
1
1
1 1

 
a
4
2 4
1 e
3  e a ; ln 3  ln e a

 
1
   
0
  1 e

a  ln 3



1
1
  

0
2
1 e

Se considera la función
Se pide:
a) Calcular a y b para que f sea continua y derivable a todo R.
b) Para los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior,
calcular el área de la región acotada limitada por la gráfica de
f, el eje horizontal y las rectas x = 1, x = 3.
Para que una función sea continua en un punto, el valor de la función en el punto
debe ser igual al valor del límite de la función en él, lo cual equivale a que sean iguales
los límites laterales en el punto.
Continua en x = -2:
Continua en x = 2:
En definitiva se llega a una sola relación.
La segunda relación se obtiene con la condición de derivabilidad. Una forma sencilla
de demostrar la derivabilidad de la función en un punto frontera (punto donde cambia la
expresión de función), es demostrar que en dicho punto las derivadas laterales coinciden.
La derivada de la función se obtiene derivando las distintas expresiones que la definen
y expresando los intervalos en forma abierta.
Derivable en x = -2
Derivable en x = 2
Con la condición de derivabilidad se obtiene el valor de a.
Con el valor de a y la condición de derivabilidad, se obtiene el valor de b.
Para que la función sea continua y derivable en todo R su expresión debe ser:
Nota:
Sea g(x) una función continua y derivable
siguiente información:
I) g’(x) >0
II)
III)
, de lo que se conoce la
IV)
Se pide: a) Analizar la posible existencia o no de asíntotas verticales,
horizontales u oblicuas. b) Dibujar de manera esquemática la grafica
de la función g(x).
a) A.V.
ya que la función es continua
A.H.
A.O. ;
b) Si
Si
Pasa por (-1, 0), máx. (0, 2), min ( 2, 1)
: el dominio es toda la recta real.
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