“Problema del transporte”

Ejemplo de “Problema del transporte” en su versión más
sencilla.
Para abastecer de madera a tres aserraderos, A1, A2 y A3,
hay dos bosques, B1 y B2, que producen 26 toneladas y 30
toneladas, respectivamente. Las necesidades de cada
aserradero son: 20, 22 y 14 toneladas, respectivamente. Si
los costes de transporte por tonelada de los bosques a los
aserraderos son, en cientos de euros, los que se indican en la
tabla adjunta, propón el transporte con el coste mínimo.
COSTE
Aserradero A1
Aserradero A2
Aserradero A3
Bosque B1
1
2
3
1
1
1
Bosque B2
Si llamamos “x” a la cantidad de madera que entrega el
bosque B1 al destino A1, e “y” a la cantidad de madera que
entrega el bosque B1 al destino A2, el resto de la mercancía
se distribuye en la forma que se recoge en la siguiente tabla:
Madera
(en toneladas)
Aserradero A1
Aserradero A2
Aserradero A3
Bosque B1
x
y
Bosque B2
20 − x
22 − y
26 − x − y
30 − (20 − x ) − (22 − y ) =
= −12 + x + y
Las cantidades entregadas a cada aserradero deben ser no
negativas, es decir, deben cumplir las desigualdades
siguientes:
x ≥ 0 , y ≥ 0 , 26 − x − y ≥ 0 , 20 − x ≥ 0 , 22 − y ≥ 0 , −12 + x + y ≥ 0
Simplificando las desigualdades anteriores, se obtienen las
siguientes inecuaciones:
x ≥ 0 , y ≥ 0 , x + y ≤ 26 , x ≤ 20 , y ≤ 22 , x + y ≥ 12
Teniendo en cuenta la tabla de costes del enunciado y la
tabla anterior, resulta la siguiente función objetivo que se
ha de minimizar:
z = 1 ⋅ x + 3 ⋅ y + 1 ⋅ (26 − x − y ) + 2 ⋅ (20 − x ) + 1 ⋅ (22 − y ) + 1 ⋅ ( −12 + x + y )
Operando y simplificando, se obtiene la función:
z = 76 − x + 2y
El problema de programación a resolver es:
Minimizar z = 76 − x + 2y
s.a.


y ≤ 22


x + y ≤ 26


x + y ≥ 12

x ≥ 0, y ≥ 0 
x ≤ 20
La región factible está delimitada por el polígono ABCDEF.
Los vértices de este polígono son los puntos A(12,0), B(20,0),
C(20,6), D(4,22), E(0,22) y F(0,12).
Como se trata de una región acotada, se calcula el valor de la
función objetivo en cada uno de los vértices:
Vértices
Valor de la función objetivo
z = 76 − x + 2y
A(12,0)
B(20,0)
C(20,6)
D(4,22)
E(0,22)
F(0,12)
64
56
68
116
120
100
Se observa que en el vértice B se minimiza la función
objetivo; por tanto, la solución es x = 20 , y = 0 , es decir, las
cantidades a transportar son las que se recogen en la tabla
adjunta:
Madera
(en toneladas)
Bosque B1
Bosque B2
Aserradero A1
Aserradero A2
Aserradero A3
20
0
0
22
6
8