Intervalo de confianza para la media

La talla de los varones recién nacidos en una determinada
ciudad sigue aproximadamente una distribución normal con
desviación típica de 2,4 cm. Si en una muestra de 81 recién
nacidos de esa ciudad obtenemos una talla media de 51 cm,
a) encontrar un intervalo de confianza al 97 % para la talla
media de los recién nacidos de esa ciudad.
b) Interpretar el significado del intervalo obtenido.
c) Si quisiéramos un intervalo de confianza de menor
amplitud, ¿qué opciones tendríamos?
X: talla de los varones recién nacidos de una ciudad.
X sigue una distribución normal N ( µ , 2, 4 )
µ desconocida, σ = 2, 4 cm
Se toma una muestra de tamaño n = 81 y la media muestral
es x = 51 cm
Sabemos que el intervalo de confianza para µ con un nivel de
confianza 1 − α es:

σ
σ 
, x + zα ⋅
 x − zα ⋅

n
n

2
2
1 − α = 0, 97
⇒
α = 0, 03
⇒
α 0, 03
=
= 0, 015
2
2


α
p  Z ≤ zα  = 1 − = 1 − 0, 015 = 0, 985


2

2 
⇒
zα = 2,17
2
El intervalo para la media poblacional µ con un nivel de
confianza del 97 % es el siguiente:

σ
σ  
2, 4
2, 4 
x
−
z
⋅
,
x
+
z
⋅
=
51
−
2,17
⋅
,
51
+
2,17
⋅

 
=
α
α
n
n 
81
81 

2
2
= ( 51 − 0,58 , 51 + 0,58 ) = ( 50, 42 , 51,58 )
a) µ estará comprendida entre 50,42 y 51,28 cm con una
probabilidad del 97%, es decir, con un nivel de confianza del
97%.
p ( 50, 42 < µ < 51, 58 ) = 0, 97
b) Hemos estimado que µ estará comprendida entre los
valores 50,42 y 51,28 cm con un nivel de confianza del 97%.
Esto significa que si se construyen todos los intervalos de
confianza posibles con muestras de tamaño 81, el 97% de
ellos contendrán a µ y el 3% restante no lo contendrán. Por
tanto, el intervalo obtenido podrá pertenecer al 97% que sí
contienen a µ o al 3% restante que no lo contienen.
c) La amplitud del intervalo de confianza es 2zα ⋅
2
σ
n
.
Por tanto, si queremos disminuir la amplitud del mismo
tenemos dos opciones:
- Aumentar el tamaño de la muestra, es decir, n.
- Disminuir el valor crítico zα . Para ello el nivel de
2
confianza tendría que ser menor.