REGISTROS SEMIÓTICOS DE REPRESENTACIÓN Y EL TRIÁNGULO

DOCUMENTO EN CONSTRUCCIÓN, NO PUBLICADO
REGISTROS SEMIÓTICOS DE REPRESENTACIÓN Y EL TRIÁNGULO
EPISTEMOLÓGICO EN ACTIVIDADES DE PROBABILIDAD CON ESCOLARES DE 5
A 8 AÑOS DE EDAD
M. en C. Araceli Limón Segovia
Resumen
El trabajo que aquí se reporta forma parte de un proyecto doctoral acerca de la pertinencia de la
introducción de ideas de probabilidad con escolares de 5 a 8 años de edad por medio de
actividades de enseñanza. Se presenta cómo los niños preescolares a partir de la situación de la
bandeja (Piaget, J.; Inhelder, B., 1975) comprenden la irreversibilidad de la mezcla aleatoria y
la ley de grandes números. En particular, se hace un análisis de sus respuestas a la luz de las
representaciones semióticas que utilizan para comunicar lo que están comprendiendo. Se
observó que las representaciones semióticas utilizadas por los niños permiten concluir que cinco
de los seis niños comprendieron la irreversibilidad progresiva de la mezcla y la ley de grandes
números.
INTRODUCCIÓN
El trabajo de investigación que estamos desarrollando acerca de la comprensión de ideas en
estocásticos con niños pequeños inició por una profunda preocupación al percatarnos que esas
ideas se encuentran ausentes en los planes y programas de Educación Preescolar y los ciclos de
primero y segundo grados de Educación Primaria (Limón, 1995)., pues hay quienes afirman que
incluso en el primer grado pueden comprenderse ideas de probabilidad si estas tienen un soporte
intuitivo (Falk y Levin, 1980; Heitele, 1975).
Como parte del proyecto doctoral actual, acerca de la pertinencia de la introducción de
ideas de probabilidad en escolares de 5 a 8 años de edad por medio de un programa de enseñanza,
estamos considerando las ideas fundamentales propuestas por Heitele (1975). El propósito de este
reporte es presentar cómo los niños comprenden las ideas fundamentales de mezcla aleatoria y
Ley de grandes números, por medio de la actividad de la bandeja propuesta por Piaget e Inhelder
(1975).
ELEMENTOS TEÓRICOS
Ideas fundamentales
A partir de un punto de vista epistemológico y pragmático, Heitele (1975, pág. 3) define a
las ideas fundamentales como aquéllas que proporcionan al individuo esos modelos explicativos en
cada etapa de su desarrollo, que son tan eficientes como es posible y que se distinguen en los
distintos niveles cognoscitivos no de manera estructural, sino sólo en su forma lingüística y en sus
niveles de elaboración. El investigador considera que las ideas fundamentales deben ser abordadas
integralmente, desde el nivel preescolar hasta el superior, pues su ofrecimiento desde las etapas
tempranas, derivará en la constitución de intuiciones que auxiliarán a una educación en
estocásticos más analítica en los grados escolares posteriores, cuyo eje sean las ideas
fundamentales y alrededor de las cuales se vaya desarrollando el curriculum en espiral.
Las ideas fundamentales que propone son: medida de probabilidad, espacio muestra,
adición de probabilidades, independencia, producto de probabilidades, equiprobabilidad y simetría,
combinatoria, modelo de urna y simulación, variable aleatoria, ley de grandes números y muestra.
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Registros semióticos de representación
Los registros semióticos de representación que utilizan los niños son un elemento crucial
para analizar la comprensión que ellos tienen acerca de estas ideas fundamentales, pues es por
medio de ellos como podemos obtener información acerca de lo que los niños están entendiendo
sobre la tarea de probabilidad que estén desarrollando; es decir, para el desarrollo y
comunicación de una actividad matemática, un sistema de signos y el soporte de un registro
semiótico, es necesario (Ojeda, 1999; 92). Asimismo, la variabilidad de registros de
representación (figuras, gráficas, escritura simbólica, lenguaje) es trascendental, pues conduce a
una aprehensión conceptual de los objetos.
Para Duval (1993, 1998) las representaciones semióticas son producciones constituidas por
el empleo de signos que pertenecen a un sistema de representación. Una figura geométrica, un
enunciado en lengua natural, una fórmula algebraica, una gráfica, son representaciones
semióticas que pertenecen a sistemas semióticos diferentes. Para que un sistema semiótico pueda
ser un registro de representación debe permitir las tres actividades cognitivas ligadas a la
semiosis: formación de una representación identificable, tratamiento de una representanción o
transformación interna, en el mismo registro y conversión de una representación a otro registro.
Todo registro de representación semiótica debe permitir llenar al menos una de las tres
funciones siguientes: comunicación, objetivación o tratamiento (Duval 1996, pág. 14), mientras
que un sistema semiótico se constituye en un registro de representación cuando permite esas tres
funciones cognitivas (Duval, 1996; pág. 6).
Noción de mezcla aleatoria, irreversibilidad y Ley de grandes números
Piaget e Inhelder (1975) afirman que es bastante probable que el concepto de azar comience
de la idea de una combinación en aumento irreversible de fenómenos. El problema que se
planteaban resolver consistía en determinar si el niño en la presencia de una mezcla obvia de
objetos materiales, percibirá un aumento de la mezcla de los objetos y la irreversibilidad de la
misma, o si en presencia de un desorden evidente, él imaginaría a los diferentes objetos unidos
por conexiones invisibles.
En la la técnica del experimento de la bandeja utilizaron una caja rectangular con un pivote
transversal por el que se puede balancear la caja para un lado y para otro. Colocaron 8 canicas
rojas y 8 canicas blancas, separadas por una división en uno de los lados, de tal manera que con
cada movimiento, las canicas rodaban del lado opuesto, luego regresaban al lado de salida,
ocurriendo un gran número de permutaciones ocasionadas por las colisiones de las canicas con la
bandeja y entre ellas mismas.
Con el propósito de que la mezcla tuviera lugar de manera gradual, poco a poco más
grande, más mezclados los objetos, los balanceos sucesivos de la caja fueron realizados por el
entrevistador suavemente; mientras tanto el niño observaba lo que ocurría. Antes de mover la caja
cuestionaban al niño en cuanto a ¿cuál sería el arreglo de las canicas cuando regresaran a su lugar
de inicio?, ¿estarían las canicas rojas en un lado y las blancas en otro? o ¿estarían mezcladas y
aproximadamente en qué proporción? Preguntaban la predicción para un segundo balanceo y para
un gran número de balanceos, pues se deseaba observar si los niños notaban la existencia de una
mezcla progresiva o explicaban la situación argumentando un cruzamiento general (las canicas
rojas al lado de las blancas y viceversa) o el regreso a su lugar original (reordenamiento final). Se
le pedía al niño que fuera dibujando el arreglo, él podía dibujar su predicción de la disposición de
las canicas al primer movimiento hasta la disposición de las canicas de la mezcla máxima.
Piaget e Inhelder observaron que no siempre coincide lo dicho con lo dibujado o las
trayectorias de las canicas. Estos investigadores lograron identificar las siguientes características
de las respuestas de los individuos, descritas en tres estadios:
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Tabla 1
Estadios identificados para la Mezcla aleatoria y Ley de grandes números.
Primer estadio (4 a 7 años) Falla para entender el Segundo estadio (7 a 11 años)
azar natural de la mezcla
Inicio de la idea de combinatoria
Tercer estadio (11 o 12)
Permutaciones
e
interacción de trayectorias
 Conflicto entre los factores anunciados
por el niño cuando es forzado a ver un
progresivo desorden y las interpretaciones
cuando él busca y cuando permanece ajeno
a la idea de mezcla aleatoria.
 El sujeto es obligado a aceptar el cambio
de posición.
 Predice el regreso de las canicas a su
lugar original.
 El desplazamiento total es tomado como
desorden.
 No hay, en el sentido estricto, mezcla
real o azar.
 Afirma que tendrán un cambio regular
de posición, pero no arreglo al azar.
 El regreso es en una sola trayectoria,
simple. Las rojas desplazan a las blancas
con un gran número de movimientos.
 La mezcla es concebida como un
desplazamiento total de los elementos, pero
sin ninguna intención de una permutación
de la posición individual o alguna
anticipación de una interacción de las
trayectorias.
 Trayectoria: inicia la idea de
permutaciones.
 Se tiene la idea de que las canicas
regresarán al lugar de inicio cuando el
factor de mezcla ha sido establecido
previamente.
 Concibe la mezcla aleatoria
(irreversible), como reversible.
 No posee reversibilidad de operaciones
mentales.
 Existe incapacidad del sujeto para
concebir un fenómeno en el contexto de sus
posibles transformaciones.
 Concibe la Mezcla como la interrupción
momentánea del orden.
 La mezcla es
concebida como un
sistema de
permutaciones debido a
las colisiones fortuitas
en las trayectorias.
 Surge el
pensamiento formal.
 Concibe la mezcla
como sistema de
permutaciones.
 Se observan dibujos
con coincidencia entre
trayectorias y posición
final.
 Ley de grandes
números (todo es
posible si aumentamos
el número de
movimientos o si
disminuimos el número
de bolas).
 IIA Hay una progresiva
individualización de las
posiciones en las trayectorias,
por una construcción gradual
de un esquema intuitivo de
permutaciones, pero sin una
completa generalización.
 La intuición de cambio de
apariencia a lo largo, cuando
el establecimiento de las
primeras operaciones
concretas interrelacionadas y
reversibles.
 Predicción correcta de la
mezcla progresiva.
 Cruce general, o
colisiones, sin
correspondencia precisa entre
las partes y la posición final,
considerando la mezcla
máxima.
 IIB Son movimientos
cruzamiento.
 Retorno a la posición
inicial, es posible pero muy
poco probable.
 Ley de los pequeños
grandes números.
 No tienen el pensamiento
formal.
 Incapaz de concebir en
forma acabada un sistema de
varios desplazamientos.
 No puede generalizar lo
sucedido en pocos ensayos.
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Triángulo epistemológico
Las nociones de estocásticos implican una matemática diferente que contradice al
determinismo; consecuentemente, no se le puede enseñar de la misma manera que la matemática
escolar (Steinbring, 1989, 1991), es decir, de manera lineal y deductiva. El investigador afirma que
la interacción rutinaria y a manera de embudo en el salón de clases entre estudiantes y maestros, y
los efectos de la planeación metódica, producen un concepto matemático deformado del azar
(Steinbring, 1991). Lo más importante fue que identificó en la secuencia de enseñanza de la
probabilidad la existencia de una ruptura epistemológica debida a la circularidad del concepto o su
autoreferencia.
Analiza la epistemología del conocimiento matemático refiriéndose al siguiente esquema:
Objeto/contexto
de referencia
Sistema
signos/símbolos
Concepto
Fig. 1 Triángulo epistemológico del conocimiento
Este diagrama (Fig. 1) representa las relaciones en que no se puede deducir el conocimiento
situándose en uno de los vértices, el formal o el objetivo, sino que siempre se requiere de un
balance entre los tres vértices (Steinbring, 1991) o un interjuego (Steinbring, 1997); es decir, el
conocimiento estocástico requiere en cada etapa de desarrollo de un mecanismo relacional de
objeto-signo-concepto, en donde se articulen aspectos formales, de cálculo, y contextos
interpretativos.
En particular, los triángulos epistemológicos que se pueden identificar en la actividad de la
bandeja se presentan a continuación.
Objeto/contexto
de referencia
Urna
(Permutaciones
de objetos ocasionadas por
balanceo de bandeja)
Sistema
signos/símbolos
Lengua natural
Concepto
Mezcla aleatoria
Fig. 2 Primer Triángulo epistemológico incluido en la actividad
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Objeto/contexto
de referencia
Urna
(Permutaciones
de objetos)
Sistema
signos/símbolos
Registro de acomodo de canicas
Registro de trayectorias de canicas
Concepto
Mezcla aleatoria
Fig. 3 Segundo Triángulo epistemológico incluido en la actividad
Objeto/contexto
de referencia
Urna
(Incremento de
la mezcla aleatoria)
Sistema
signos/símbolos
Registro de acomodo de canicas
Registro de trayectorias de canicas
Concepto
Ley de grandes números
Fig. 4 Tercer Triángulo epistemológico incluido en la actividad
PROCESOS DE INVESTIGACIÓN
Sujetos. Se trabajó con un grupo de educación preescolar al que asistían seis niños con edades
entre 5 y 7 años, quienes nunca habían desarrollado en el aula actividades sobre probabilidad.
Método e instrumentos. Se desarrollaron entrevistas clínicas individuales,
aproximadamente de 45 minutos con cada preescolar. Utilizamos caja rectangular (ver figura 5)
con un pivote transversal por el que se puede balancear la caja para un lado y para otro. Se
colocaron 7 canicas rojas y 7 canicas azules, sin separarlas por la división en uno de los lados,
pues puede presentarse un anclaje de los niños en la función del separador de la bandeja (Gurrola,
1999; pág. 115) y ésta división puede constituirse en un signo natural para el niño, como signo de
orden, no dando cabida a la idea de azar (Ojeda, 1999). Con cada movimiento, las canicas
rodaban al lado opuesto, luego regresaban al lado de salida, ocurriendo un gran número de
permutaciones ocasionadas por las colisiones de las canicas con la bandeja y entre ellas mismas.
40 cm
6 cm
24 cm
Fig. 4. Dimensiones de la bandeja utilizada
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Tabla 2
Protocolo de la entrevista
SITUACIÓN
1. Siete canicas
blancas y siete
canicas rojas,
acomodadas en
la bandeja.
2. Mover la
caja una vez y
que el niño
observe lo que
sucede.
3. Prediga lo
que sucederá
para muchos
movimientos
4. Mezcla
máxima
a) Las canicas
regresarán a su
lugar inicial.
b) Todas las
canicas rojas se
cambiarán por
las azules
ACCIONES/JUSTIFICACIONES
1. Antes de mover la caja
1.1 ¿Cómo te parecen que van a colocarse las canicas cuando
regresen, después de mover la caja?
1.2 (Solicitar que tracen las trayectorias o caminitos que van a
seguir las canicas al moverse)
2.1 Para un segundo movimiento
2.1.1¿Cómo te parece que van a colocarse las canicas cuando
regresen después de mover la caja? Dibújalo.
2.1.2 Traza las trayectorias que van a seguir las canicas al moverse.
2.2 Para cinco movimientos
2.2.1 ¿Cómo te parece que van a colocarse las canicas cuando
regresen después de mover la caja cinco veces? Dibújalo.
2.2.2 Traza las trayectorias que van a seguir las canicas al moverse
cinco veces.
3. Un gran números de veces
3.1 ¿Cómo te parece que van a colocarse las canicas cuando
regresen, después de mover la caja un gran número de veces?
Dibújalo.
3.2 Traza las trayectorias que van a seguir las canicas al moverse.
4.1 Dibuja la disposición de la mezcla máxima de canicas.
5 ó 20
¿Cuándo te parece que eso sucederá, si muevo la caja 5 veces o si la
muevo 20 veces?
Caja más chica
¿Si tuviera una caja más chica, como ésta (mostrar la ilustración de
la caja con 4 canicas), que le cupieran 4 canicas, dos rojas y dos
azules y empezara a moverla ¿tú crees que alguna vez las canicas
regresarán a su lugar inicial?
O ¿Tú crees que alguna vez se intercambiarán los colores?
4 o 10
Cuando te parece más que se intercambien (revuelvan más o
regresen), ¿con la cajita de dos canicas a cada lado, o con la de siete
a cada lado?
Caja más grande
Y si tuviera una caja más grande, con 50 canicas rojas y azules
¿crees que alguna vez regresarán (o se cambiarán) las canicas?
PROPÓSITOS
Analizar cómo el
niño comprende
La
indeterminación
de la mezcla
aleatoria.
Irreversibilidad
propia de la
mezcla.
Mezcla
irreversible.
Ley de grandes
números.
Ley de grandes
números
¿Crees que alguna vez regresen las canicas a su posición inicial?
¿cuándo es más fácil, cuando son 5 canicas o cuando son 100.
RESULTADOS Y ANÁLISIS
Comprensión de la indeterminación de la mezcla
En la entrevista se llevó a cabo el experimento de la bandeja similar al realizado por
Piaget e Inhelder (1975) con las variantes ya explicitadas y justificadas.
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Las siete canicas azules y las siete canicas rojas se colocaron en la caja, agrupadas por
color, como se muestra en la siguiente figura:

 ROJO
 AZUL
Se le solicitó al niño que observara y describiera lo que había y, antes de balancear la caja,
se formuló el cuestionamiento acerca de cómo le parecía que se colocarían las canicas cuando
regresaran, después de balancear una vez la caja. Se le invitó a colorear en su hoja de respuesta,
identificada como colocación 1.1 cuáles serían los lugares que ocuparían las canicas.
Posteriormente, se le pidió al niño que anticipara las trayectorias (caminitos) que iban a
seguir las canicas al moverse.
En este aspecto, pudimos identificar tres tipos de respuestas.
Caso 1. El primer caso corresponde a Malcon (6,1) quien no logra anticipar que las canicas se
mezclarán en el primer movimiento. Tanto la justificación que hace utilizando la lengua natural,
la representación gráfica de la colocación de las canicas y el dibujo de las trayectorias nos
conducen a interpretar que Malcon, en principio no acepta que las canicas se mezclen y que las
colisiones entre ellas y con la caja puedan ocasionar esto. En la siguiente tabla mostramos las
evidencias para la conclusión anterior.
Tabla 3
Comprensión de la indeterminación de la mezcla, caso 1.
Escolar
Anticipación
(lengua natural)
¿Cómo crees que
quedarían las canicas
después de un
movimiento?
Malcon M: Se mueven.
(6,1)
E: Y qué más, mira las
vamos a mover... ¿cómo
qué te imaginas que va a
suceder con las canicas,
cómo piensas tú que
quedarían acomodadas
aquí?
M: Separadas.
E: ¿Separadas? Te pido
un favor.. ¿separadas y
qué más?
Colocación de las canicas
(Representación gráfica)
Dibuja cómo quedarían las
canicas después de un
movimiento.
Trayectorias
(Representación gráfica)
Dibuja los caminitos que
seguirían las canicas para
quedar así.
M: Se van para arriba y para
abajo.
E: Ah ¿y vuelven a quedar
iguales, la mitad rojas y la
mitad azules... aquí de un
lado las azules y del otro
lado las rojas?
M: Sí.
E: Ah bueno. Ah, vuelven a
su mismo lugar.
M: ¿Rayas?
E: Sí, como piensas tú que
van a regresar a su mismo
lugar, muy bien...
M: (Dibuja las trayectorias
de las canicas, muy rectas y
se observa que regresan las
canicas a su lugar inicial).
E: Ah, así es como se van a
mover... bien.
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Caso 2. Dentro de este ubicamos a Mario (6,0) y Beto (5,7), quienes anticipan verbalmente que
las canicas se revolverían; sin embargo, al representar gráficamente la colocación de las canicas
con el primer movimiento, dibujan 7 canicas rojas y luego, 7 azules; manifestando que habrá
intercambio de todas las rojas por todas las azules. En cuanto al dibujo de las trayectorias, se
puede observar un estado transicional en cuanto a que señalan el intercambio de algunas canicas
rojas por azules, otras que regresan a su lugar y finalmente, que algunas canicas cambian de
lugar.
Tabla 4
Comprensión de la indeterminación de la mezcla, caso 2.
Escolar
Mario
(6,0)
Beto
(5,7)
Anticipación
(lengua natural)
Colocación de las
Trayectorias
canicas
(Representación gráfica)
(Representación gráfica)
¿Cómo
crees
que Dibuja cómo quedarían Dibuja los caminitos que
quedarían las canicas las canicas después de un seguirían las canicas para
después
de
un movimiento.
quedar así.
movimiento?
M: Se revolverían.
Las trayectorias que dibuja
E: ¿Por qué?
indican:
M: Porque así es la vida. (Dibuja las rojas y las a) algunas
rojas
se
azules en sus mismas
intercambian por azules y
posiciones iniciales)
viceversa.
E: ¿Qué podría pasar?
b) Algunas regresan a su
M: Se podrían pasar para
mismo lugar.
acá (señala intercambio de c) Otras canicas cambian de
las rojas por las azules).
lugar.
E: ¿Qué otra cosa podría
pasar?
M: Que se queden así (5
rojas y 5 azules)
B: Se revuelven, porque
unas rojas se van para
acá y unas azules para
allá (responde de manera
inmediata).
E: ¿Cómo piensas que
quedarían las canicas
después
de
ese
movimiento?
B: (Coloca:
ARARARAAAARRRR).
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B: (Dibuja las trayectorias de
las canicas sin orden. Refiere
trayectorias irregulares, pero
afirma que regresarán a su
lugar).
E: ¿Qué es eso?
B: Están revueltas.
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Caso 3. En este caso ubicamos a Carlos (6,2), Leslie (6,2) y Alfredo (6,3). Lo característico de
sus respuestas es que manifiestan la aceptación de que las canicas se mezclarán y que, las
colisiones entre ellas y con la caja, puede ocasionar esto. Llama la atención que para el primer
balanceo, Carlos (6, 2) dibuja las trayectorias tipo "caligrafía", observándose que ese dibujo
podría corresponder a muchos movimientos. En contraste con Carlos, Alfredo (6,3) traza muy
claramente las trayectorias de las canicas, permitiendo observar que él está considerando que las
canicas no regresan a su lugar ni se intercambian todas las rojas por todas las azules. Por su parte,
Leslie (6,2) tuvo mucha dificultad para realizar los dibujos de las trayectorias, sin embargo por
sus justificaciones es que la hemos considerado dentro de este caso 3.
Tabla 5
Comprensión de la indeterminación de la mezcla, caso 3
Escolar
Carlos
(6,2)
Anticipación
(lengua natural)
¿Cómo crees que quedarían
las canicas después de un
movimiento?
C: Se moverían para adelante
y para atrás y se revolverían.
Colocación de las canicas
(Representación gráfica)
Dibuja cómo quedarían las
canicas después de un
movimiento.
E: ¿Cómo piensas que
quedarían las canicas después
de ese movimiento?
E: (Coloca 4 rojas y 4 azules:
RRRRAAAARAARR)
¿Piensas que quedarían 4 rojas
y luego cuatro azules?
C: No. (Reacomoda las
canicas:
AARARRRARAARAA). Y así
las dibuja.
Trayectorias
(Representación gráfica)
Dibuja los caminitos que seguirían las
canicas para quedar así.
C: (Dibuja las trayectorias de las
canicas), sin orden.
E: ¿Qué es eso?
C: Se moverían para adelante y para
atrás y se revolverían los colores.
E: ¿Y qué es esto? (la entrevistadora
señala un cruce de trayectorias roja
con azul) ¿Chocarían?
C: Pudieran chocar las rojas con las
azules y las azules con las rojas.
Leslie
(6,2)
L: Las azules se van a mover E: (Ilumina: AARRAAR
acá y las rojas acá (señala
RAARRAR).
intercambio)
E: ¿Todas?
L: Algunas, porque se
cambian así de lugar (señala).
L: (Dibuja trayectorias de dos
canicas).
E: ¿Qué es eso?
L: Las rojas se pegan.
E: ¿A dónde?
L: Las rojas le pegan a las azules.
Alfredo
(6,3)
A: Se van a revolver, van a
A: (Hace su dibujo sin seguir
venir así y se van a desjuntar. un orden: RARRAAR
AARRARA).
E: Van a ser así, ¿una roja y
una azul?
A: Van a venir desjuntadas, así
de rápido van a venir y a irse
pero así, desjuntadas.
A: (Dibuja trayectorias irregulares de
canicas).
E: Eso quiere decir que van a chocar
con la tabla ¿verdad?
A: Sí.
E: ¿Y con quién más van a chocar?
A: Van a hacer así ¡plash! entre ellas.
(Golpea con sus manos, para indicar
que chocan entre ellas las canicas).
Obsérvese que desde este momento los tres escolares identifican las colisiones que tienen las
canicas con la caja y entre ellas mismas.
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Irreversibilidad propia de la mezcla
Se movió la caja una vez y el niño observó y explicó lo que sucedía. Se le solicitó a los niños
que anticiparan cuál sería la colocación de las canicas y sus trayectorias para 2, 5 y un gran
número de movimientos o balanceos de la caja.
Tabla 6
Niños que aluden a la irreversibilidad propia de la mezcla.
Escolar
Anticipación
Trayectorias
(Representación gráfica)
Justificaciones
(lengua natural)
Colocación de las canicas
(Representación gráfica)
¿Cómo crees que quedarían Dibuja los caminitos que
las canicas después de 2, 5 seguirían las canicas para
muchos balanceos?
quedar así.
Mario
(6,0)
2) RARARRARRRARAA
Dibuja las trayectorias
señalando intercambios
irregulares de las canicas.
5) ARARRRAARRRRRA
Se observa inicio y término
de cada trayectoria.
m) RARRAAARRRRRRR
Carlos
(6,2)
2) RARRAAA RRRRRRR
ooooooo
5) RAARARARRRRAAA
ooooooo
m)
ARRRRAAR AARRRA
oooooooo
Dibuja las trayectorias,
indicando intercambio
irregular de las canicas.
C: (Hace el dibujo de la
trayectoria de una canica.
Se observa una trayectoria
no regular que la ubica en
otro lugar).
E: ¿Qué pasa con las canicas?
M: Chocan con la caja.
E: ¿Y con quién más?
M: Chocan entre ellas.
E: ¿Qué quieres decir con ese dibujo?
M: Que sí están revueltas porque se cambiaron
de lado.
E: No veo que choquen con la caja.
M: Es que no puedo dibujarlo.
E: Pero ¿sí chocan?
M: Sí.
E: Explícame qué dibujaste.
C: La canica puede llegar acá o a otros lugares.
E: ¿Regresarían las canicas al mismo lugar?
C: No.
E: ¿Chocan unas con otras?
C: Puede ser, sí puede ser.
C: (Dibuja las trayectorias
como si fuera caligrafía).
E: Carlitos, si movemos la bandeja 5 veces qué
ocurriría.
C: Se revolverían.
C: (Hace el dibujo de la E: ¿Quedarían más o menos revueltas que si las
trayectoria de una canica. movemos 2 veces?
Se observa una trayectoria C: Quedarían más revueltas con 5.
no regular que la ubica en
otro lugar).
E: Explícame qué dibujaste.
C: La canica puede llegar acá o a otros lugares.
E: Explícame qué es que no estén igual.
C: Una azul aquí, una roja, una azul, una roja
(va acomodando las canicas y colocándolas en
la bandeja).
E: (Se observa que se refiere en un principio
que regresarán las canicas al mismo lado de la
bandeja, pero no en el mismo orden).
E: Explícame qué pasaría con una sola canica.
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DOCUMENTO EN CONSTRUCCIÓN, NO PUBLICADO
Alfredo
(6,3)
2) RARARARARRARAA
ooooooo
A: (Realiza el dibujo de las
trayectorias en donde se
observa que las canicas no
regresan a su mismo lugar
y el choque con un lado de
la bandeja).
E: ¿Y si las movemos 2 veces, qué ocurriría?
A: Se van a revolver más.
E: Muy bien.
A: Y van a chocar mucho.
E: ¿Más que cuando las movimos una vez?
A: Sí, ujú.
E: Bueno, dibuja cómo quedarían las canicas.
E: ¿Alfredo, si movemos la bandeja 5 veces
qué ocurriría con las canicas?
A: Van a chocar más.
E: ¿Más que con dos movimientos?
A: Sí.
A: (Dibuja las trayectorias
ooooooo que se observan más
irregulares que en los
dibujos previos. Sólo dibuja
las trayectorias para 3
canicas).
E: Bien Alfredo, ¿qué va a ocurrir si movemos
la bandeja muchas veces?
m) ARARARARARARAR A: (Dibuja las trayectorias). A: Van a chocar un resto.
5) RRAARRARARAAAR
ooooooo
En las tablas anteriores se observa que para los tres preescolares es clara la
irreversibilidad propia de la mezcla.
En la tabla 7 se encuentran ubicados los niños en los que aún persiste la afirmación o duda
acerca de que algunas canicas regresarán a su mismo lugar, es decir, no es claro que ellos ya
hayan comprendido la irreversibilidad de la mezcla. Se puede observar en los dibujos de Beto
(5,7) cómo muestra un incremento de la mezcla aleatoria y en sus diálogos, como se explica que
las canicas chocan entre sí y con las paredes de la bandeja. Finalmente, Beto acepta la mezcla
aleatoria.
Leslie (6,2) asegura finalmente que algunas canicas se van a cambiar y otras regresarán a
su mismo lugar.
Por los argumentos de Beto (5,7) y Leslie (6,2) concluimos que para ellos no es
completamente clara la irreversibilidad de la mezcla aleatoria.
En la tabla 8 se muestran los argumentos de Malcon (6,1) quien continúa afirmado que las
canicas regresarán a sus lugares iniciales. Por esa situación, observamos que para este escolar no
es clara la irreversibilidad progresiva de la mezcla, ocasionada por las colisiones de las canicas
entre sí y con las paredes de la caja. Fue el único niño que durante toda la actividad sostuvo que
las canicas regresarían a su lugar inicial y sin mezclarse. Se concluye que este niño no concibe la
irreversibilidad de la mezcla aleatoria, lo cual queda demostrado por los dibujos que realiza de las
canicas, las trayectorias de éstas y sus argumentaciones al respecto.
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DOCUMENTO EN CONSTRUCCIÓN, NO PUBLICADO
Tabla 7
Niños que no aluden completamente a la irreversibilidad propia de la mezcla.
Escolar
Anticipación
Trayectorias
(lengua natural)
(Representación gráfica)
Colocación de la scanicas
(Representación gráfica)
¿Cómo crees que quedarían Dibuja los caminitos que
las canicas después de 2, 5 seguirían las canicas para
muchos balanceos?
quedar así.
Beto
(5,7)
2) AAAARRRAAAAAAR
oooo
5) ARRRAARARRAARR
oooooooo
B: (Realiza el dibujo de las
trayectorias. Se observa que
inician y terminan en el
mismo lugar. Se observa
que se refiere, en un
principio, que regresarán las
canicas al mismo lado de la
bandeja, pero no en el
mismo orden).
Justificaciones
E: ¿Qué ocurre con las canicas?
B: Chocan.
E: ¿En dónde?
B: En la madera.
E: ¿Y en dónde más?
B: Y así, solitas se pegan (toma una canica
roja y una azul para indicar cómo se
golpean)
E: ¿Van a regresar o no a su mismo
B: (Dibuja las trayectorias lugar?
de manera más irregular, B: Van a regresar.
indicando algunos cruces de E: ¿Estos cruces quiere decir que van a
canicas).
chocar las canicas?
B: Sí.
B: (Mueve 5 veces la bandeja y observa
cómo quedan).
E: ¿Qué ocurrió cuando balanceas más
veces la caja?
B: Se chocan y se golpean con la madera y
entre ellas.
E: ¿Regresan a su mismo lugar?
B: Creo que no.
E: ¿Quedaron bien separadas o se
revolvieron?
B: Se revolvieron.
m) ARRAARRAARRRA
ooooooo
C: ¡Cha, cha, cha! y regresa
a su lugar (dibuja las
trayectorias,
aún
más
irregulares
que
las
anteriores, cada vez que
chocan las canicas él dice
cha)
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DOCUMENTO EN CONSTRUCCIÓN, NO PUBLICADO
Leslie
(6,2)
2) ARARARA RARARAR
E: ¿Se van a acomodar una roja y una azul
y así, una roja y una azul?
L: Sí.
ooooooo
L: (Realiza el dibujo de dos
trayectorias).
E: Muy bien, explícame qué quieres decir
con eso.
L: (Señala con sus dedos las trayectorias de
las canicas y no corresponden a lo que
dibujó, pues indica cómo se van a mover, a
chocar y a cambiarse de lugar).
E: Leslie, ¿todas las rojas se van a cambiar
por las azules?
L: Algunas.
E: ¿Regresarían todas las canicas a su
L: (Hace los dibujos de mismo lugar?
 ooooo o algunas trayectorias, las L: Algunas se van a cambiar y otras
cuales se observan menos regresarán a su mismo lugar.
regulares que las iniciales.
Además
indica
cómo
chocan con las caras de la
caja y entre ellas).
m) ARRRAAA RRRAARA
ooooooo L: (Dibuja las trayectorias,
con mucha dificultad).
5) AAAAARARRRRARA
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DOCUMENTO EN CONSTRUCCIÓN, NO PUBLICADO
Tabla 8
Niño que no alude a la irreversibilidad propia de la mezcla.
Escolar
Anticipación
Trayectorias
(lengua natural)
(Representación gráfica)
Colocación de la scanicas
(Representación gráfica)
¿Cómo crees que quedarían Dibuja los caminitos que
las canicas después de 2, 5 seguirían las canicas para
muchos balanceos?
quedar así.
Malcon
(6,1)
2) ARARRAARAARARR
E: Entonces que todas las caniquitas
regresen a su lugar cuando las movemos 5
veces, fíjate, vamos a mover 5 veces y tú te
vas a fijar qué ocurre con las caniquitas,
fíjate, mitad y mitad acá; las azules y acá
las rojas. Ayúdame una, dos... tres....cuatro
y cinco.
M: (Balancea la bandeja, junto con la
entrevistadora).
E: ¿Qué paso con las canicas?
M: no quedaron.
E: ¿No quedaron qué?
M: Como yo dije.
E: No, y qué pasó ¿se revolvieron o no se
revolvieron?
M: Sí.
ooooooo
M: Van a quedar así.
E: La mitad y la mitad; ¿la mitad de un lado
(azules) y la mitad (azules) del otro, las
rojas como estaban?
M: Mjú.
E: Sí ¿o se van a cambiar las rojas por las
azules? ¿Qué es lo que me quieres decir
ahí?
M: Se van a quedar en su lugar.
5) AAAAAAARRRRRRR
ooooooo
m) RRRRRRRAAAAAAA
ooooooo
Justificaciones
E: ¿Qué quiere decir eso?
M: (traza las trayectorias de M: Van a seguirse derechitas, van para allá
las canicas).
y regresan a su lugar.
Como ya hemos venido insistiendo, Malcon (6,1) fue el único escolar que no comprende
la irreversibilidad propia de la mezcla pues tanto sus representaciones figurales como sus
argumentaciones nos indican que él tiene presente, en todo momento, que las canicas regresarán a
su mismo lugar, independientemente de la cantidad de balanceos que realiza con la bandeja.
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DOCUMENTO EN CONSTRUCCIÓN, NO PUBLICADO
Ley de grandes números
Se le solicitó al niño que dibujara la disposición de la mezcla máxima de canicas.
Colateralmente, se le realizaron a los niños dos cuestionamientos, dependiendo de las respuestas
que habían expresado previamente:
a) Si el niño afirmaba que las canicas regresarían a su lugar inicial ¿cuándo te parece que eso
sucederá, si muevo la caja 5 veces o si la muevo 20 veces?
b) Si en niño afirmaba que todas las rojas se cambiarán por las azules, se planteaban dos
preguntas:
 Si tuviera una caja más chica, como ésta (se mostraba el dibujo de una caja pequeña,
con los dibujos de dos canicas rojas y dos azules), que le cupieran 4 canicas, dos rojas
y dos azules y empezara a moverla ¿tú crees que alguna vez las canicas regresarán a su
lugar inicial? O,
 ¿Tú crees que alguna vez se intercambiarán los colores?
c) ¿Cuándo te parece más que se intercambien o regresen, con la cajita de dos canicas a cada
lado, o con la de cinco de cada lado?
d) Y si tuviera una caja más grande, con 50 canicas rojas y azules ¿crees que alguna vez
regresarán (o se cambiarán) las canicas?
e) ¿Crees que alguna vez regresen las canicas a su posición inicial? ¿Cuándo es más fácil que
regresen, cuando son 5 o cuando son 100?
En la siguiente tabla (9) se han concentrado las repuestas de los escolares y como podemos
darnos cuenta, Mario (6,0); Alfredo (6,3); Beto (5,7); Carlos (6,2) y Leslie (6,2) consideran la
mezcla máxima y afirman que las canicas quedarán revueltas y nunca regresarán a su lugar
original. Estas afirmaciones coinciden con las representaciones gráficas que ellos elaboraron y en
el caso del dibujo de las canicas, en ninguno de ellos se identifica algún patrón que pudieran
haber seguido para indicar un orden en el acomodo de las canicas. Asimismo, aseguran que las
canicas chocan y se revuelven más conforme aumenta la cantidad de balanceos o con el aumento
en la cantidad de las canicas.
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DOCUMENTO EN CONSTRUCCIÓN, NO PUBLICADO
Tabla 9
Niños que consideran la Ley de grande números.
Escolar
Mario
(6,0)
Predicción de la disposición de canicas y trayectorias para mezcla máxima con Justificaciones
a) Si tuviéramos una caja más grande, con muchas canicas y moviéramos la caja muchísimas veces, toda
la tarde y hasta en la noche ¿cómo quedarían las canicas? Dibújalo.
b) Si tuviera una caja más chica, como ésta (se muestra la ilustración con 4 canicas) con dos azules y dos
rojas de cada lado ¿cómo quedarán las canicas después de mover la bandeja muchas veces? Dibújalo.
E: ¿Tú crees que en algún momento regresarán a su mismo
a) Hace el dibujo de las canicas: lugar?
RRRAARRAARR RRRRRRAAAAR
M: No, nunca... No.
E: ¿Por qué?
oooooooooooooo M: Porque cuando la mueves chocan y se cambian de lugar.
E: Entonces ¿se revolverán más?
M: Se revolverán más. Toda la vida.
b) Hace el dibujo de las cuatro canicas:
E: ¿Cuándo se revuelven más, cuando son muchas canicas o
RARA
poquitas?
M: Cuando tenemos muchas, porque si tenemos poquitas
o o
quedan igual.
E: ¿Cuándo se revuelven más, cuando movemos la bandeja 1,
2, 10 o más veces?
M: Cuando se mueve 10 o muchas veces.
E: ¿Por qué?
M: Porque chocan.
Escolar
Predicción de la disposición de canicas y trayectorias para mezcla máxima con justificaciones
a) Si tuviéramos una caja más grande, con muchas canicas y moviéramos la caja muchísimas veces1, toda
la tarde y hasta en la noche ¿cómo quedarían las canicas? Dibújalo.
b) Si tuviera una caja más chica, como ésta (se muestra la ilustración con 4 canicas) con dos azules y dos
rojas de cada lado ¿cómo quedarán las canicas después de mover la bandeja muchas veces? Dibújalo.
Alfredo a) Hace el dibujo de las canicas:
E: Cuándo se revuelven más ¿Cuando las mueves más o
(6,3)
menos?
RAARARAARAR ARRARAARARR
A: Cuando las mueves más.
E: ¿Cuándo se revuelven más ¿Cuando son muchas o cuando
ooooooooooo
son pocas canicas?
A: Cuando son muchas.
b) Hace el dibujo de las cuatro canicas
E: Qué es más fácil ¿que se revuelvan o regresen a su lugar?
A: Que queden revueltas.
RARA
oo
1
Para que quedara claro con los niños a qué nos estamos refiriendo con muchísimas veces, se hizo referencia a
balancear la caja toda la tarde y la noche.
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DOCUMENTO EN CONSTRUCCIÓN, NO PUBLICADO
Carlos a) Hace el dibujo de las canicas:
(6,2)
AAAAARRRRRRRARAAAA
oooooooo
b) Hace el dibujo de las cuatro canicas:
RARA
oo
Beto
(5,7)
a) Hace el dibujo de las canicas:
RARAAAAAAAR RARARARAARR
Leslie
(6,2)
a) Hace el dibujo de las canicas:
E: ¿Tú crees que en algún momento regresarán a su mismo
lugar?
C: No, nunca.
E: ¿Por qué?
C: Porque se revuelven.
E: ¿Cuándo se revuelven más las canicas, cuando tenemos 2
y 2, 10 y 10 o 1000 y 1000?
C: Si tuvieras 800 millones y 800 millones.
E: ¿Cuándo se revuelven más?
C: Si tuvieras 999 millones de canicas.
E: Si muevo una vez la bandeja y cuando la movemos
mucho. Cuando movemos la bandeja ¿se revuelven más o
menos que cuando la movemos muchas veces?
C: Menos, casi todas quedan en su mismo lugar.
E: ¿Y cuando la movemos mucho?
C: Quedan muy revueltas.
E: ¿Crees que alguna vez las canicas regresará a su mismo
lugar?
C: No, nunca.
E: ¿Cuándo se revuelven más las canicas cuando movemos
mucho o poco la bandeja?
B: Cuando se mueven mucho.
E: Cuándo se revuelven más las canicas ¿cuándo tenemos
ooooooooo
muchas o poquitas?
b) Hace el dibujo de las cuatro canicas: B: Cuando tienes muchas.
E: ¿Cuándo crees que las canicas regresará a su mismo lugar?
RARA
B: No, nunca.
E: ¿Por qué?
oo
B: Porque se revuelven mucho.
ARRRRAAAAAA ARRRRRRRRRR
oooooooooooooo
b) Hace el dibujo de las cuatro canicas
RARA
oo
E: Cuándo te parece más que las canicas regresen a su lugar
¿con la cajita de dos a cada lado o con la de 5 a cada lado?
L: Cuando tenemos poquitas regresan a su lugar. Cuando
tenemos muchas ya no regresan a su lugar.
E: ¿Crees que con la caja más grande, con 50 canicas,
regresen a su lugar, en algún momento las canicas?
L: No, nunca.
E: ¿Cuándo se revuelven más las canicas, cuando son muchas
o poquitas?
L: Cuando son muchas canicas se revuelven más.
E: ¿Cuándo se revuelven más las canicas, cuando movemos
la bandeja una vez, cinco o muchas veces?
L: Si movemos una vez la bandeja, no. Cuando movemos las
mil veces la bandeja, se revuelven las canicas.
De los seis escolares, Malcon (6,1) fue el único que nunca aceptó que las canicas se revolvieran.
Siempre sostuvo que las canicas regresarían a su mismo lugar, además de que el trazo de las
trayectorias las realizó muy rectas, indicando lo que verbalizaba.
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DOCUMENTO EN CONSTRUCCIÓN, NO PUBLICADO
Tabla 10
Niños que no considera la irreversibilidad propia de la mezcla ni la ley de grandes números.
Escolar
Predicción de la disposición de canicas y trayectorias para mezcla máxima con justificaciones
a) Si tuviéramos una caja más grande, con muchas canicas y moviéramos la caja muchísimas veces, toda
la tarde y hasta en la noche ¿cómo quedarían las canicas? Dibújalo.
b) Si tuviera una caja más chica, como ésta (se muestra la ilustración con 4 canicas) con dos azules y dos
rojas de cada lado ¿cómo quedarán las canicas después de mover la bandeja muchas veces? Dibújalo.
Malcon a) Hace el dibujo de las canicas:
(6,1)
AAAAAAAAAAAARRRRRRRRRRRR
E: Todas revueltas, se revuelven, fíjate. Malcom, supón que
oooooooooooo
tenemos muchas, muchas canicas en una caja grandísima y la
movemos muchas veces ¿cómo crees tú que quedarían las
b) Hace el dibujo de las cuatro canicas
canicas si tuviéramos la mitad rojas y la mitad azules en una
caja hasta allá (señala la entrevistadora la otra barda del patio
ARRA
del jardín de niños)? Malcom, la movemos muchas veces
oo
cómo se revolverían las canicas o regresarían a su mismo
lugar? ¿Qué piensas? Dibújalo por favor.
M: (Realiza el dibujo de las canicas).
E: ¿Qué quiere decir eso?
M: Que van a quedar en su lugar.
CONCLUSIONES
Mezcla aleatoria. Una vez presentados los resultados y análisis, pudimos observar que 5 de los 6
escolares comprendieron la irreversibilidad progresiva de la mezcla aleatoria, lo cual se avala por
las justificaciones que fueron dando a la investigadora. Resultó relevante que al inicio de la
actividad Malcon (6,1) fue el único escolar que permaneció anclado a su respuesta primaria y no
logró percatarse de la irreversibilidad progresiva de la mezcla.
Fue muy importante solicitar a los niños y las niñas la explicación de sus dibujos, pues en
algunas ocasiones no hay correspondencia entre lo que dibujan y lo que expresan, no porque no
tengan ellos clara la situación, sino porque les es difícil dibujar. Además, el uso del lenguaje
natural por medio del cual los niños explicaban la situación, nos permitió identificar cómo
estaban interpretando la irreversibilidad de la mezcla.
Ley de grandes números. Al respecto pudimos observar que a excepción de Malcon (6,1) los
demás escolares manifiestan por medio de sus distintas representaciones semióticas (lenguaje
natural, representaciones figurales) que comprenden la mezcla como un sistema de
permutaciones debido a las colisiones fortuitas en las trayectorias. Asimismo, sus respuestas
apuntan a una constitución previa a la etapa propuesta por Piaget en cuanto a la comprensión de
la Ley de los grandes números, desde un punto de vista intuitivo.
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DOCUMENTO EN CONSTRUCCIÓN, NO PUBLICADO
REFERENCIAS
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Duval, R.: 1996,
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Iberoamérica.173-20.
Falk, R; et al. :1980, A Potential for Learning Probability in Young Children.. Educational
Studies in Mathematics. 11, 181-204. Reidel.
Heitele, D. :1975, Un enfoque epistemológico en las ideas estocásticas fundamentales.
Educational Studies in Mathematics. 6, págs. 187-205. Reidel, Holland. (Traducción
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Limón, A., :1995, Elementos para el análisis crítico de la posible inserción curricular de
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obtener el grado de M. en C., Especialidad en Matemática Educativa, CINVESTAV-IPN,
México.
Ojeda, A. M.: 1999, Concept and Representation in the Research on Probability Education.
Proceedings of the 21st. Annual Meeting of PME-NA (Hitt, F.; Santos, M; eds). México.
Vol. 1, 83-96
Piaget, J.; Inhelder, B.: 1975, The origin of the Idea of Chance n Children, (tr. Lowell Leake, et
al);  1951, V. W. Norton & Company Inc.
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