Matemática - Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales

Matemática – Ciclo Nivelación
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
FISICAS Y NATURALES
CILCO DE NIVELACIÓN
2009
Matemática – Ciclo Nivelación
PROGRAMA DE MATEMÁTICA
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Matemática – Ciclo Nivelación
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Programa de:
Matemática
Ciclo Nivelación
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA
Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales
República Argentina
Código:
Carrera: todas
Escuela: todas
Departamento: Ciclo de Nivelación.
Materia nº: 01
Plan:
Carga
Código:Horaria: 29 hs.
Semestre: Ingreso
Carácter: Obligatoria
Bloque:
Puntos:
Hs. Semanales: 6.87
Año lectivo: 2009
Objetivos:
1.
2.
3.
Utilizar una metodología adecuada para el estudio de la Matemática.
Alcanzar destreza operativa con números reales y complejos, polinomios, relaciones y funciones, ecuaciones de primer
y segundo grado y trigonometría.
Aplicar los conceptos básicos del Álgebra y la Trigonometría a situaciones problema.
Programa Sintético:
1. Número reales y complejos.
2. Polinomios.
3. Relaciones y funciones.
4. Ecuaciones de primer y segundo grado.
5. Trigonometría.
Programa Analítico: de foja 2 a foja 2.
Programa Combinado de Examen (si corresponde): de foja
Bibliografía: de foja 3 a foja 3.
Correlativas Obligatorias:
Secundario
a foja .
Correlativas Aconsejadas:
Rige: 2004
Aprobado HCD, Res.:
Modificado / Anulado / Sust. HCD Res.:
Fecha:
Fecha:
El Secretario Académico de la Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales (UNC) certifica que el programa está aprobado
por el (los) número(s) y fecha(s) que anteceden. Córdoba,
/
/
.
Carece de validez sin la certificación de la Secretaría Académica:
Matemática – Ciclo Nivelación
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PROGRAMA ANALITICO
Contenidos Temáticos:
UNIDAD 1: NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS
Los números reales, operaciones y propiedades. Potencias y raíces de números reales. Números complejos,
operaciones en forma binómica. Representación trigonométrica de un número complejo. Producto y cociente de
números complejos en forma trigonométrica.
UNIDAD 2: POLINOMIOS
Polinomios, grado. Operaciones con polinomios; divisibilidad; valuación. Teorema del resto. Raíz de un polinomio, orden
de multiplicidad. Descomposición factorial de un polinomio. Factorización.
UNIDAD 3: RELACIONES Y FUNCIONES
Conjuntos y subconjuntos. Operaciones. Par ordenado. Producto cartesiano. Correspondencia entre puntos de la recta y
números reales. Relación y sus representaciones. Funciones, su representación gráfica. Funciones lineal y cuadrática.
UNIDAD 4: ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO
Ecuaciones de primer grado con una incógnita. Ecuación de segundo grado con una incógnita.
Sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
UNIDAD 5: TRIGONOMETRÍA
Longitud de un arco de circunferencia. Ángulos y su medición. Funciones trigonométricas. Relaciones fundamentales.
Fórmulas de adición. Resolución de triángulos.
METODOLOGÍA DE DESARROLLO
Exposición dialogada. Resolución de ejercicios y problemas.
EVALUACION
Condiciones para aprobar la materia:
Aprobar el examen final con nota mayor o igual a cuatro (4) en alguna de estas fechas:
Dos fechas de examen en el turno febrero-marzo. En la primera fecha se exige la condición de regular, que se
alcanza con un mínimo de 80% de asistencia a las clases teórico-prácticas, o bien ser alumno de años anteriores.
Una fecha de examen en julio.
Una fecha de examen en diciembre.
REGULARIDAD
Para regularizar la materia el alumno debe cumplir un mínimo de 80% de asistencia a las clases teórico - prácticas.
LISTADO DE ACTIVIDADES PRACTICAS Y/O DE LABORATORIO
Se pretende que en cada unidad el alumno desarrolle habilidades en el planteo y la resolución de problemas que
involucren herramientas y modelos provistos por el Álgebra y !a Trigonometría básicas, como así también que adquiera
precisión en sus razonamientos.
Para lograr estos objetivos se dispone de una Guía de Estudio de Matemática que contiene:
El desarrollo de los conceptos básicos con ejemplos, y un conjunto de ejercicios de complejidad creciente, de aplicación
de los algoritmos estudiados, que tiene como fin que el alumno adquiera destreza en su manejo. En todos los casos se
cuida que sean de simplicidad numérica. Se tiene previsto su realización por los alumnos en las clases prácticas con la
presencia del docente que sirve como guía.
Matemática – Ciclo Nivelación
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Un conjunto de problemas sencillos vinculados a las Ciencias Aplicadas cuya resolución implica la utilización de
herramientas y modelos provistos por el Álgebra y la Trigonometría básicas. Se trata de incentivar la creatividad del
alumno en el planteo y resolución de problemas.
Se realiza una prueba espejo por unidad y una final integradora, todas de carácter no vinculante, las mismas permiten
conocer la situación para que tanto docentes como alumnos tomen medidas correctivas y familiariza al estudiante con el
examen final.
DISTRIBUCION DE LA CARGA HORARIA
ACTIVIDAD
HORAS
TEÓRICO
7,5
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 15
CONSULTAS
5
EXAMEN FINAL
1,5
TOTAL
29
BIBLIOGRAFIA
Allendoerfer, Cari y Cletus Oakley. Fundamentos de Matemáticas Universitarias. Tercera edición. McGraw-Hill. México.
1973.
Azpilicueta, J. Guía de Estudio de Matemática. Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Universidad Nacional
de Córdoba. Córdoba. 2009.
Camuyrano, M. et al. Matemática I. Modelos matemáticos para interpretar la realidad. Ed. Estrada Polimodal. Buenos
Aries. 2000.
Millar, C. et al. Matemática: Razonamiento y Aplicaciones. Octava edición. Addison Wesley Longman. México. 1999.
Rees, P. et al. Álgebra. Décima edición. McGraw-Hill. 1991. México.
Sobel, Max y Norbert Lemer. Precálculo. Quinta edición. Editorial Prentice Hall. 1998.
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CORDOBA
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, FISICAS Y NATURALES
DEPARTAMENTO INGRESO
CICLO DE NIVELACION 2009
MATEMATICA
Director: Ing. Msc. Jorge Azpilicueta
Para la etapa de modalidad no presencial, Matemática ha previsto la atención de alumnos en el
Edificio Centro (Duarte Quirós y V. Sársfield) de nuestra Facultad en el box correspondiente al
Ciclo de Nivelación (segundo piso, a la izquierda). Dicha atención tendrá lugar desde el 6 de
noviembre hasta el 28 de noviembre en días y horarios publicados en el sitio www.efn.uncor.edu
en el link: INGRESO 2009.
El examen de Matemática tendrá lugar el día viernes 5 de diciembre a las 11:30 horas en el
edificio de Ciudad Universitaria. Deberá traer documento oficial que acredite fehacientemente su
identidad y los elementos necesarios para realizar una prueba (hojas en blanco, lápiz, goma, regla,
birome). NO SE PERMITE EL USO DE CALCULADORA. Se le permite escribir el desarrollo del
examen con lápiz. En una pizarra dispuesta a la entrada del edificio estará publicada el aula que le
corresponde por carrera. Habrá personal para indicarle su ubicación. La duración del examen es
de una hora y media, al finalizar el mismo se le informara cuando estarán las notas publicadas en
los avisadores de Ingreso y el día y hora en que UD. podrá revisar su examen.
Recuerde que para aprobar el examen final de Matemática del Ciclo de Nivelación es necesario
alcanzar un 60% del puntaje total asignado a la evaluación, este porcentaje corresponde a una
calificación de 4 (cuatro), y sepa que la nota obtenida formará parte de su historia académica.
Toda consulta o sugerencia que desee formular, puede hacerla llegar a la coordinación por
medio de los docentes, personalmente, o bien a la dirección de correo electrónico abajo
mencionada. Estamos a disposición de quienes no pueden concurrir personalmente a los horarios
de consulta.
Si no aprobara el examen en diciembre, recuerde que debe reinscribirse ese mismo mes hasta
el 17 de diciembre de 2008, para poder cursar Matemática a partir del 26 de enero de 2009
(modalidad presencial).
Esperamos contarlo entre nuestros alumnos.
Coordinador de Matemática: Ing. Msc. Jorge Azpilicueta
Ayudante de coordinación: Ing. Pablo Bobatto.
[email protected]
Matemática – Ciclo Nivelación
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UNIDADES 1 A 5
SINTESIS DE UNIDADES
GUIA DE EJERCICIOS
EVALUACIONES ESPEJOS
Matemática – Ciclo Nivelación
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Unidad 1
Lógica Simbólica.
Números reales y números complejos
Objetivos
Al finalizar esta unidad usted deberá ser capaz de:




Operar con proposiciones simples para obtener proposiciones compuestas
mediante operadores lógicos.
Identificar tautologías, implicaciones lógicas y equivalencias lógicas
Identificar números naturales, enteros, racionales, irracionales y complejos.
Operar con números reales y complejos utilizando sus propiedades.
Contenidos
1.1 Proposiciones. Conectivos lógicos y tablas de verdad. Implicaciones y equivalencias lógicas.
Tautologías, contradicciones y contingencias. Cálculo de predicados.
1.2 Números reales. Operaciones y propiedades. Potencias y raíces de números; reales.
1.3 Números complejos. Operaciones en forma binómica.
Esquema conceptual
LÓGICA SIMBÓLICA
REALIDAD MENSURABLE
SISTEMA NUMÉRICO
NÚMEROS REALES
NÚMEROS COMPLEJOS
ÁLGEBRA
Introducción
En esta unidad se presenta una introducción a la lógica simbólica y se revisan los conceptos
necesarios para trabajar las principales operaciones en el campo de los números reales y
complejos, que ya se han visto en cursos de la escuela media.
Matemática – Ciclo Nivelación
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Orientación del aprendizaje
Lea la introducción teórica de cada tema y desarrolle personalmente los ejemplos que le siguen.
Realice la ejercitación correspondiente.
Bibliografía de la unidad

Allendoerfer, Cari y Cletus Oakley. Fundamentos de Matemáticas Universitarias. Tercera
edición. McGraw-Hill. México. 1973.

Azpilicueta, J. Guía de Estudio de Matemática. Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y
Naturales. Universidad Nacional de Córdoba. Córdoba. 2004.

Camuyrano, M. et al. Matemática I. Modelos matemáticos para interpretar la realidad. Ed.
Estrada Polimodal. Buenos Aries. 2000.

Millar, C. et al. Matemática: Razonamiento y Aplicaciones. Octava edición. Addison
Wesley Longman. México. 1999.

Rees, P. et al. Álgebra. Décima edición. McGraw-Hill. 1991. México.

Sobel, Max y Norbert Lemer. Precálculo. Quinta edición. Editorial Prentice Hall. 1998.
Matemática – Ciclo Nivelación
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UNIDAD 1 - Guía de ejercitación
Resuelva:
1
1)
2)
2
1 9 
 1  3  8   8  5 32 

 
 

 2 

 

6
3



 

1
1
1

3

1
3
1  3  1 
343
2


 64   5



 
2
3)
3
3
 2  1  1   2  1  3  
6 1 


2


5



1

   
   

2 2 
 3   
 3   

1
4)
5)
6)

9 
2 1
 1  



16 
3 6


3  4  33
1
63

1 
 0,25  0,3    1  0,36  3
5
64

2
2

1
 
  0,4

4

3
   3    0,2  



3
3
 0,2 
 1  0,784  
 5 




Resuelva las siguientes sumas o restas de números complejos:
1)
2)
3)
3  6i   8  i  
 4  3i    3  7i  
14  11i   13i 
Resuelva los siguientes productos de números complejos:
1)
2  5i    3  i  
2)
3)
7 i  7 i 
7i   3  6i  



Resuelva los siguientes cocientes de números complejos:
1)
2)
3)
3  2i  /4  3i  
 6  2i    3  2i  
3i / 5  4i  
Matemática – Ciclo Nivelación
Resuelva:
1)
2)
3)
i  2  21  i   3i  1 
2  i   3  2i   1  2i  
1  i 2
i 4  i 9  i16

2  i 5  i10  i15
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Matemática – Ciclo Nivelación
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Evaluación Espejo – Unidad Nº 1 – Números Reales y Complejos
Tiempo: 30 minutos
1
1)
2)
5
 1 1   1   12 
 3     1     
4
 3 6   2   15 
1
1
2
(2  2i ) 2

(2  i )  (1  2i )
1

Matemática – Ciclo Nivelación
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Unidad 2
Polinomios.
Objetivos
Al finalizar esta unidad usted deberá ser capaz de:





Identificar polinomios.
Efectuar correctamente las operaciones con polinomios
indeterminada.
Determinar si un polinomio A es divisor de un polinomio B.
Determinar el orden de multiplicidad de la raíz de un polinomio.
Factorizar polinomios.
en
una
Contenidos
o Polinomios. Grado.
o Operaciones con polinomios: adición, multiplicación y división.
o Divisibilidad. Valuación. Teorema del Resto.
o Raíz de un polinomio. Orden de multiplicidad.
o Descomposición factorial de un polinomio.
Esquema conceptual
POLINOMIOS
OPERATORIA
ADICION
SUSTRACCION
MULTIPLICACION
DIVISION
RAIZ - ORDEN DE
MULTIPLICIDAD
FACTORIZACION
Introducción
Una expresión de la forma a0  a1  X  ........ an  X n recibe el nombre de
polinomio en la indeterminada X. Este tipo de expresión aparece frecuentemente
en diversas ramas de la matemática, como el algebra, la geometría y el análisis,
por lo que estudiaremos sus propiedades y operaciones.
Orientación del aprendizaje
Consideraremos los polinomios como entes abstractos, definiendo operaciones
entre ellos y estudiaremos sus propiedades básica.
Bibliografía de la unidad

Allendoerfer, Cari y Cletus Oakley. Fundamentos de Matemáticas
Universitarias. Tercera edición. McGraw-Hill. México. 1973.
Matemática – Ciclo Nivelación
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
Azpilicueta, J. Guía de Estudio de Matemática. Facultad de Ciencias
Exactas, Físicas y Naturales. Universidad Nacional de Córdoba. Córdoba.
2004.

Camuyrano, M. et al. Matemática I. Modelos matemáticos para interpretar
la realidad. Ed. Estrada Polimodal. Buenos Aries. 2000.

Millar, C. et al. Matemática: Razonamiento y Aplicaciones. Octava edición.
Addison Wesley Longman. México. 1999.

Rees, P. et al. Álgebra. Décima edición. McGraw-Hill. 1991. México.

Sobel, Max y Norbert Lemer. Precálculo. Quinta edición. Editorial Prentice
Hall. 1998.
Matemática – Ciclo Nivelación
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UNIDAD 2 - Guía de ejercitación
Efectúe las operaciones indicadas:
1)
2)
3)
X  3X  X  5  X  7 X  9 X  12 
1
1

X  4 X  8 X  2 X  8  9 X  6 X  12 X  3 
2
3
7   X  5 X   5  X  2 X  2 X  1  X  2  3  X  1  X  1 
4
2
4
3
3
2
2
2
3
3
2
2
2
Encuentre el cociente y el resto de la división de P por Q:
3)
4)

P  3  4 X

P  X 4  2 X 3  3X 2  5 X  4
5
 2X  7X 3



Q  X 3  2X 1
1

Q    X 3  2X 
2

Encuentre el cociente y el resto de la división de P por Q aplicando la regla de
Ruffini:
5)
6)




P  X 4  5X 3  2 X 2  X  5
P  X 5  3X 4  2 X 2  X  3
Q   X  2
Q   X  1
7)
Determine el polinomio de tercer grado, cuyas raíces son los números: 2;
-1 y 3 y tal que el coeficiente de X3 es el número 1.
8)
Determine el polinomio de cuarto grado cuyas raíces son los números: 1;
-1; 2 y 5, y tal que f(0)=6.
9)
Determine si el número 2 es raíz del polinomio P  X 4  5 X 3  8 X 2  4 X .
En caso afirmativo, dé su multiplicidad y, si es posible, las demás raíces.
Calcule todas las raíces de f(x)
10)
11)
f ( x)  X 3  2 X 2  X  2 . Dato: una raíz es: -1
f ( x)  X 4  X 3  3X 2  X  2 Dato: una raíz es 1 con orden de
multiplicidad 2.
Matemática – Ciclo Nivelación
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Evaluación Espejo – Unidad Nº 2 – Polinomios - Tiempo: 30 minutos
1) Verificar si el número 2 es raíz del polinomio
P( x)  2x 4  10x 3  12x 2  8x  16 De ser cierto, dar el orden de
multiplicidad de la misma, y las demás raíces.
2) Expresar el polinomio como producto de factores primos.
Matemática – Ciclo Nivelación
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Unidad 3
Funciones.
Objetivos
Al finalizar esta unidad usted deberá ser capaz de:





Operar con conjuntos.
Comprender la correspondencia entre puntos de la recta y números reales.
Aplicar el concepto de intervalo en las relaciones y funciones.
Comprender el concepto de función.
Utilizar las funciones de primer grado, de segundo grado, exponencial y
logarítmica en situaciones de problema.
Contenidos
o Conjuntos y subconjuntos.
o Operaciones de conjuntos.
o Par ordenado. Producto cartesiano.
o Correspondencia entre puntos de una recta y números reales.
o Pares ordenados de números reales.
o Conjuntos de puntos. Intervalos.
o Relación y sus representaciones.
o Funciones. Definición.
o Funciones de primer y segundo grado.
o Las funciones exponencial y logarítmica.
Esquema conceptual
REALIDAD FISICA
LENGUAJE MATEMATICO
FUNCIONES
Introducción
En esta unidad se considera el concepto de conjunto y sus operaciones. El
producto cartesiano con la noción de par ordenado. La correspondencia entre
puntos de la recta y números reales. Los intervalos, como conjuntos de puntos.
Las relaciones y sus distintas representaciones. El concepto de función como
caso particular de una relación y las funciones de primer grado, de segundo
grado, exponencial y logarítmica.
Orientación del aprendizaje
Lea la introducción teórica de cada tema y desarrolle personalmente los ejemplos
que le siguen. Realice la ejercitación correspondiente..
Matemática – Ciclo Nivelación
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Bibliografía de la unidad

Allendoerfer, Cari y Cletus Oakley. Fundamentos de Matemáticas
Universitarias. Tercera edición. McGraw-Hill. México. 1973.

Azpilicueta, J. Guía de Estudio de Matemática. Facultad de Ciencias
Exactas, Físicas y Naturales. Universidad Nacional de Córdoba. Córdoba.
2004.

Camuyrano, M. et al. Matemática I. Modelos matemáticos para interpretar
la realidad. Ed. Estrada Polimodal. Buenos Aries. 2000.

Millar, C. et al. Matemática: Razonamiento y Aplicaciones. Octava edición.
Addison Wesley Longman. México. 1999.

Rees, P. et al. Álgebra. Décima edición. McGraw-Hill. 1991. México.

Sobel, Max y Norbert Lemer. Precálculo. Quinta edición. Editorial Prentice
Hall. 1998.
Matemática – Ciclo Nivelación
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UNIDAD 3 - Guía de ejercitación
1)
2)
Determine la función f ( x)  y  a x  b , que tiene por representación
gráfica la recta indicada en cada figura:
Represente gráficamente las siguientes funciones:
a) y  x  2
2
b) y  x  2
3
c) y  3x  5
d) y   x
e) y  3
f) y  x
3)
Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos: (1;2) y (-2;-3).
Calcule su intersección con los ejes coordenados.
4)
Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (2;4) y es
paralela a la recta y  4 x  5 .
5)
Represente las funciones:
a) y  x2
b) y  2x2  3
c) y   x2  4
d) y  x2  5x  6
e) y  2x  1x  3
f)
y  x  1
2
6)
Determine la ecuación de la parábola que tiene su vértice en (-3;1) y
pasa por el punto (0;10).
7)
Determine la ecuación de la parábola que pasa por los siguientes puntos
(0;0) , (-2;-2) , (-3;0).
Matemática – Ciclo Nivelación
8)
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Represente gráficamente la función y  3x 2  6x  4 expresándola
previamente en la forma y  ax  s  t . Indique además dominio e
imagen.
2
9)
Determine en cada caso la función y  ax2  bx  c , cuya representación
gráfica es:
a=1/2
Matemática – Ciclo Nivelación
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Evaluación Espejo – Unidad Nº 3 – Funciones - Tiempo: 30 minutos
Ejercicio Nº1:
2
3) Graficar la función y   x  4
3
4) Indicar dominio e imagen.
Ejercicio Nº2:
a) Representar gráficamente la función y  3x 2  6x  4 , expresándola
previamente en la forma y  a( x  s) 2  t
b) Indicar dominio e imagen.
Matemática – Ciclo Nivelación
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Unidad 4
Ecuaciones
Objetivos
Al finalizar esta unidad usted deberá ser capaz de:







Resolver ecuaciones de primer grado con una y dos incógnitas.
Resolver sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
Resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
Resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas de primer y
segundo grado.
Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
Trasladar al lenguaje algebraico relaciones de igualdad expresadas en el
lenguaje ordinario.
Adquirir una metodología adecuada para resolver problemas.
Contenidos
o Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
o Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
o Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
o Ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
o Reconstrucción de la ecuación de segundo grado con una incógnita
conocidas sus raíces.
o Sistemas mixtos.
o Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
Esquema conceptual
ECUACIONES
PRIMER GRADO
SEGUNDO GRADO
EXPONENCIALES
LOGARITMICAS
SISTEMAS DE ECUACIONES
FUNCIONES
Introducción
En esta unidad se consideran distintos tipos de ecuaciones y la operatoria
correspondiente para obtener la solución de cada una de ellas. Agruparemos
estas ecuaciones para obtener sistemas de ecuaciones y detallaremos la
metodología conveniente para resolverlos. También plantearemos problemas de
Matemática – Ciclo Nivelación
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distintas naturaleza que se expresaran matemáticamente por una o más
ecuaciones.
Recuerde: aprender a calcular con exactitud y operar símbolos con
facilidad es un gran objetivo. Pero poder resolver problemas fáciles y difíciles,
prácticos y abstracto, es una proeza suprema.
Orientación del aprendizaje
Lea la introducción teórica de cada tema y desarrolle personalmente los ejemplos
que le siguen. Realice la ejercitación correspondiente..
Bibliografía de la unidad

Allendoerfer, Cari y Cletus Oakley. Fundamentos de Matemáticas
Universitarias. Tercera edición. McGraw-Hill. México. 1973.

Azpilicueta, J. Guía de Estudio de Matemática. Facultad de Ciencias
Exactas, Físicas y Naturales. Universidad Nacional de Córdoba. Córdoba.
2004.

Camuyrano, M. et al. Matemática I. Modelos matemáticos para interpretar
la realidad. Ed. Estrada Polimodal. Buenos Aries. 2000.

Millar, C. et al. Matemática: Razonamiento y Aplicaciones. Octava edición.
Addison Wesley Longman. México. 1999.

Rees, P. et al. Álgebra. Décima edición. McGraw-Hill. 1991. México.

Sobel, Max y Norbert Lemer. Precálculo. Quinta edición. Editorial Prentice
Hall. 1998.
Matemática – Ciclo Nivelación
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UNIDAD 4 - Guía de ejercitación
1) Resuelva las siguientes ecuaciones. Verifique la solución encontrada.
a) 6 x  6  2 x  2
x 3
5
b)  x  x  6
2 4
4
2
c) 2 x  5  0
d) x 2  4 x  3  0
2)
Resuelva analíticamente y gráficamente los siguientes sistemas:
2 x  y  4
a) 
 x  2 y  3
x  y  2
b) 
2 x  2 y  8
3)
Encuentre los puntos de intersección entre la recta: y  2 x  1 y la
parábola: y  x 2  5x  1 .
4)
Encuentre los puntos de intersección entre la recta: y   x  3 y la
parábola: y   x 2  2x  3 .
5)
Para construir un canal una empresa compró palas y picos. Si cada
pala costó $10 y cada pico $15 y se gastaron $280 por 22 de esos
elementos. ¿Cuántas palas y cuántos picos se compraron?.
Matemática – Ciclo Nivelación
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Evaluación Espejo – Unidad Nº 4 –Ecuaciones - Tiempo: 30 minutos
5) Para construir un canal una empresa compró palas y picos. Si cada pala
costó $10 y cada pico $15 y se gastaron $280 por 22 de estos elementos.
¿Cuántas palas y cuántos picos se compraron?
6) Resolver por sustitución:
x  y  2

2 x  y  3
Matemática – Ciclo Nivelación
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Unidad 5
Trigonometría
Objetivos
Al finalizar esta unidad usted deberá ser capaz de:







Comprender el concepto de ángulo y su medición.
Comprender el concepto de función trigonométrica.
Definir y graficar las funciones trigonométricas.
Resolver triángulos rectángulos.
Comprender los teoremas del seno y del coseno.
Resolver triángulos oblicuángulos.
Comprender las formulas de adición.
Contenidos
o Longitud de un arco de circunferencia.
o Ángulos y su medición.
o Funciones trigonométricas.
o Resolución de triángulos.
o Formulas de adición.
Esquema conceptual
LONGITUD DE UN ARCO DE CIRCUNSFERENCIA
ANGULO EN RADIANES
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS
TEOREMAS DEL SENO Y DEL COSENO
RESOLUCION DE TRIANGULOS OBLICUANGULOS
FORMULA DE ADICION
Introducción
En esta unidad se considera la longitud de un arco de circunferencia. El
concepto de ángulo y su medición en grados sexagesimales y en radianes. El
concepto de funciones trigonométrica y la definición y estudio de las funciones
trigonométricas. La resolución de triángulos rectángulos. Los teoremas del seno y
Matemática – Ciclo Nivelación
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del coseno y su aplicación en la resolución de triángulos oblicuángulos. Las
fórmulas de adición.
Orientación del aprendizaje
Lea la introducción teórica de cada tema y desarrolle personalmente los ejemplos
que le siguen. Realice la ejercitación correspondiente..
Bibliografía de la unidad

Allendoerfer, Cari y Cletus Oakley. Fundamentos de Matemáticas
Universitarias. Tercera edición. McGraw-Hill. México. 1973.

Azpilicueta, J. Guía de Estudio de Matemática. Facultad de Ciencias
Exactas, Físicas y Naturales. Universidad Nacional de Córdoba. Córdoba.
2004.

Camuyrano, M. et al. Matemática I. Modelos matemáticos para interpretar
la realidad. Ed. Estrada Polimodal. Buenos Aries. 2000.

Millar, C. et al. Matemática: Razonamiento y Aplicaciones. Octava edición.
Addison Wesley Longman. México. 1999.

Rees, P. et al. Álgebra. Décima edición. McGraw-Hill. 1991. México.

Sobel, Max y Norbert Lemer. Precálculo. Quinta edición. Editorial Prentice
Hall. 1998.
Matemática – Ciclo Nivelación
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UNIDAD 5 - Guía de ejercitación
1)
Calcule el área y el perímetro de los siguientes triángulos:
3
a)
b)
2
c)
12
8
12
7
12
e)
d)
10
7
30°
60°
60°
2)
Calcule h.
30º
90º
h
90º
10
3)
Calcule a
30°
60°
a
10
Matemática – Ciclo Nivelación
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Evaluación Espejo – Unidad Nº 5 – Trigonometría - Tiempo: 30 minutos
Ejercicio Nº1: Calcular el área y el perímetro del triángulo rectángulo ABC de la
figura:
C
b
A
a

=60º
B
c=10m
Ejercicio Nº2: Calcular el área y el perímetro del triángulo de la figura:
c
b
120º
30º
a = 10m
Matemática – Ciclo Nivelación
MODELOS DE EXAMEN
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Matemática – Ciclo Nivelación
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Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales-U.N.C.
Ciclo de Nivelación 2007-Examen de Matemática- 27/02/07- Tema 4
Apellido y Nombre:................................................................................Acta:…....................
Carrera:....................................Grupo:.....................D.N.I..:......................................
Ejercicio
1
2
3
4
5
Total
Puntaje máximo 2
2
2
2
2
10
Puntaje obtenido
Docente
1. Calcule:
36 32
.
1  i3
3
25 60


8

7




1
i
 2
 1  5   4 2
 1  .   1
 1   5 
 5
2. Resuelva la siguiente ecuación:
x  4 x  2 4x  2


x  2 x  2 x2  4
3. Dado el polinomio P( x)  2x4  2x3  8x2  8x y Q( x)  x 2  4
a)Determine si Q(x) divide exactamente a P(x). Si es así:
b)Indique todas las raíces de P(x) y su respectivo orden de multiplicidad
c)Exprese el polinomio P(x) como producto de polinomios primos en .
4. Determine analíticamente la ecuación de la recta que pasa por el punto
(2,-1/2) y por el punto dado por la intersección de las rectas y  x  1 e
y  x 1
b)Grafique la recta obtenida en un sistema de ejes coordenados cartesiano.
5. Calcule el área y el perímetro del triángulo rectángulo ABC de la figura.
BD = 6 m
A
C
D
30°
B
Ayuda:
1
2
3
sen 45°=
sen 60°=
2
2
2
En todos los ejercicios debe justificar la respuesta.
No se permite uso de calculadora.
Los teléfonos celulares deben permanecer apagados durante el examen
sen 30°=
Matemática – Ciclo Nivelación
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Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales-U.N.C.
Ciclo de Nivelación 2007-Examen de Matemática- 27/02/07- Tema 3
Apellido y Nombre:.......................................................................Acta:.....................................
Carrera:.........................................................Grupo:....................D.N.I.:....................................
Ejercicio
1
2
3
4
5
Total
Puntaje máximo
2
2
2
2
2
10
Puntaje obtenido
Docente
1. Calcule:
1
2
1  2 3   1  2
     .2
63 4 2
1  i3


i


 20 1 
 1  
4

 2

2. Resuelva la siguiente ecuación:
4x
2x

2
x 4 x2
2
3. Dado el polinomio P( x)  2x3  8x2  2 x  8 , se pide que
a)Determine si Q( x)  x2 1 divide exactamente al polinomio P(x). Si es así:
b)Indique todas las raíces de P(x) y su respectivo orden de multiplicidad y
c)Exprese el polinomio P(x) como producto de polinomios primos en .
4. a)Determine analíticamente la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,6) y por el
punto dado por la intersección de las rectas y  2 x  2 e y  2 x  2 .
b)Grafique la recta obtenida en un sistema de ejes coordenados cartesiano.
5. Calcule el área y el perímetro del triángulo rectángulo ABD de la figura.
BC = 4 m
B
60°
A
D
C
1
2
3
sen 45°=
sen 60°=
2
2
2
En todos los ejercicios debe justificar la respuesta.
No se permite uso de calculadora.
Los teléfonos celulares deben permanecer apagados durante el examen
Ayuda:
sen 30°=
Matemática – Ciclo Nivelación
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U.N.C. – Facultad de Ciencias Exactas Físicas y Naturales
Ciclo de Nivelación 2008 – Examen de Matemática – 07/12/07
Apellido y Nombre:……………………………………………... Aula:….….
DNI:……………………… ………Carrera:……….……………………..
Ejercicio
1
2
3
Puntaje máximo
2
3
2
Puntaje obtenido
Docente
1.
Tema 1
4
3
NOTA
Calcule:




3
1
2 
2
 3  i4
2
2
4 4 4
 21 2  


=


1
2  2 
2i
 10 5  


1
 125 3  2   1   

  2   
2.
Px  X 5  2 X 4  10X 3  20X 2  9 X  18, se pide:
2
a) Verifique si es divisible por el polinomio Qx   X  9 .
Dado el polinomio
b) Verifique si 1 es raíz de P(x). En caso afirmativo, indique su orden de multiplicidad,
calcule
las
demás
raíces
y expresar
al
polinomio
de
la
forma
P x  a( X  X 1 )(X  X 2 ).....(X  X n ) ; siendo: X1; X2; …..Xn sus raíces y “a” un

número real.
3.
Determine analítica y gráficamente los puntos de intersección entre las siguientes funciones:
y  x 1  0
 x 2  y  2x  1  0
4.
Determinar las dimensiones del triángulo rectángulo de la figura si el área del mismo es
Ayuda:
tg 30º 
1
. Racionalice los resultados
3
a
30º
b
c
En todos los ejercicios se debe justificar la respuesta con su respectivo desarrollo.
NO SE PERMITE EL USO DE CALCULADORA – DURACIÓN: 1:30hs
Se aprueba con un 60% que equivale a un 4 (cuatro)
Los teléfonos celulares deben permanecer apagados durante el examen
6 3.
Matemática – Ciclo Nivelación
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U.N.C. – Facultad de Ciencias Exactas Físicas y Naturales
Ciclo de Nivelación 2008 – Examen de Matemática – 07/12/07
Apellido y Nombre:………………………………………..… Aula:……….
DNI:……………………………..Carrera:……….……………..
Ejercicio
1
2
3
Puntaje máximo
2
3
2
Puntaje obtenido
Docente
1.
NOTA
Calcule:
1

  1 2  2 
1
 64 3  2     
2 
  2   
6




2  
2
1
3
5 
3
3


5 5 5




2.
4
3
Tema 2
1
2  i3
=

1 i
Px  X 5  2 X 4  13X 3  26X 2  36X  72, se pide:
2
a. Verifique si es divisible por el polinomio Qx   X  4 .
Dado el polinomio
b.
Verifique si 3 es raíz de P(x). En caso afirmativo, indique su orden de multiplicidad,
calcule
las
demás
raíces
y expresar
al
polinomio
de
la
forma
P x  a( X  X 1 )(X  X 2 ).....(X  X n ) ; siendo: X1; X2; …..Xn sus raíces y “a” un

número real.
3.
Determine analítica y gráficamente los puntos de intersección entre las siguientes funciones:
y  4  3x  0
 x2  y  x  4  0
4.
Determinar las dimensiones del triángulo rectángulo de la figura si el perímetro del mismo es
Ayuda:
sen45º 
2
. Racionalice los resultados.
2
a
45º
b
c
En todos los ejercicios se debe justificar la respuesta con su respectivo desarrollo.
NO SE PERMITE EL USO DE CALCULADORA – DURACIÓN: 1:30hs
Se aprueba con un 60% que equivale a un 4 (cuatro)
Los teléfonos celulares deben permanecer apagados durante el examen
3 2.