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DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS.
APUNTES DE AULA.
Año académico: 2006-2007
I.E.S. “La Ería”
Departamento Didáctico de
Matemáticas
Nivel: ESO
2º ciclo
Tema: Progresiones aritmet. y geomet.
Complementos teórico-prácticos.
Realizados por: D. Juan José Menéndez Díaz, Ldo. en CC. Físicas por la U.C.M. y profesor agregado de Matemáticas en E.S.
Progresiones.

Definición de sucesión: una sucesión numérica no es más que una lista, o
serie, ordenada de números reales.
 Ordenada, ya que si los números no ocupan una posición bien determinada,
como las cifras que hay dentro del bombo de un sorteo de lotería, no forman
una serie, es en el momento de su extracción ordenada cuando configuran la
serie de extracción, de modo que cada cifra sale una o varias veces, pero cada
vez en una posición distinta.
 El valor de los números en la serie puede o no depender de la posición en
la que éstos se encuentran, de ahí que puede haber series aleatorias, sin ninguna relación en cuanto al orden y valor de los números, y series que siguen
una ley o criterio de formación.
Conceptos:

Término de una serie es cada uno de los elementos que la componen y consta
de dos partes bien diferenciadas:
 Orden del término, que nos indica qué posición ocupa dentro de la sucesión el número en cuestión, así el primero, el segundo, ....., el vigésimo, etc. ...
 Valor del término, es el valor numérico asociado al mismo.
 Notación: para referirnos a un término de la sucesión lo haremos poniendo
a n  b , donde n indica el orden o posición del término, a es el nombre genérico del
término, y b es el valor numérico del término.
 Terminología: para nombrar términos de una sucesión utilizaremos letras
minúsculas, a, b, c, etc. .... junto con un subíndice, un número, que nos indica
la posición dentro de la serie. Cuando nos refiramos a una posición genérica
utilizaremos una letra minúscula n, k, i, j, etc. ...
37
 Ejemplo: a 7 
nos dice que el término séptimo de la serie tiene el
4
valor numérico asociado de treinta y siete cuartos.
 Término general: es la forma en la que nos referiremos a un término cualquiera de la sucesión, se suele indicar por a n ; a k ; a i etc. ..

Términos equidistantes de los extremos: son aquellos que se
encuentran a igual distancia del primero y del último, por ejemplo:
 2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18 ; 22 , son equidistantes el 6 y el 18 y el 10 y el 14.
Adaptaciones nivel 3.
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 Si nos fijamos en el orden, el segundo y el penúltimo, el tercero y el antepenúltimo, en general el a k 1 y el a n  k , es decir a 2 y a n-1 ; a 3 y a n-2 , etc. ...

Clases de sucesión:
 Limitadas, cuando constan de un número finito de términos, 10, 12, 40, etc.
 1 ; 1.1 ; 1.2 ; 1.3 ; 1.4 ; 1.5 ; 1.6 ; 1.7 ; 1.8 ; 1.9 ; 2
 Ilimitadas, cuando el número de términos es infinito.
 1 ; 2 ; 3 ;  ; n  1 ;  

Formas de expresar una sucesión:
 Describiendo los términos, una sucesión queda bien determinada siempre
que sean conocidos los primeros términos y la ley por la cual pueden obtenerse
nuevos términos, o bien, a través de la propiedad que caracteriza a cada uno de
sus términos, por ejemplo:
 Los números naturales acabados en siete: 7 ; 17 ; 27 ; 37 ;
 Los múltiplos de siete: 7 ; 14 ; 21 ; 28 ; 35 ;
 Reproducir “literalmente”, pero utilizando cifras, lo que esta escrito en el
término justo anterior:
1
11

21
, ya que el primero es “un uno”, por lo que el segundo
1 211
1 112 21
son “dos uno”, el tercero “un dos un uno”, etc. ...
 Mediante una expresión analítica, o fórmula del término general, ya que en estos casos basta con ir dando valores al contador del término
general para ir obteniendo todos y cada uno de los términos de la sucesión, por
ejemplo:
 a n  2n  2 , vamos dando a n valores naturales empezando por 1, así,
a1  2  1  2  4 , a 2  2  2  2  6 , a 3  2  3  2  8 , etc. ... y nos quedaría la sucesión 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ;
 Mediante una ley de recurrencia, es decir, una relación entre un término cualquiera y los anteriores, o entre un término, los anteriores y el lugar que
éste ocupa, por ejemplo:
 Un término cualquiera es igual a la suma de los dos que le preceden, es
decir a n  a n 1  a n  2 , si partimos de a1 = 1, y a2 = 1, obtenemos la sucesión 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; , conocida como sucesión de
Fibonacci.
 Ley a n  a n 1  n , con a1 = 1, obtenemos 1 ; 3 ; 6 ; 10 ; 15; 21;
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1
1
1

1
1
1
2
3
4
1
3
, si suponemos que a ambos lados del primer
1
6
4
1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
uno y a la izquierda de los que están a la izquierda, y a la derecha de los
que están a la derecha, hay ceros, 0, cada fila se obtiene poniendo entre
medias de los números de la fila anterior la suma de éstos. Esta estructura
es conocida como triángulo de Pascal o triángulo de Tartaglia, y las sucesiones que con él se forman son de lo más variopinto, la propia de Fibonacci se encuentra dentro de esta estructura.
 Por ejemplo, sumando todos los números de cada fila se obtiene
la sucesión de potencias de 2, la segunda diagonal empezando por
la derecha, de izquierda a derecha, es la sucesión de los números
naturales, la tercera es la sucesión de los números triangulares, o
modo de apilar bolas sobre un plano, poniendo en cada fila las
bolas apiladas a la fila anterior en los huecos que quedan entre cada
dos bolas, así:
0
0
0
0 0
 0;
etc. ...
; 0 0 ;
1
0 0
0 0 0
0 0 0
3
0 0 0 0
6
10
 Practica un poco:
a) Escribe los cinco primeros términos de las sucesiones:
a1) a n  5  2n
a2) b n  2n 1
a5) a n  1  n 2
a6) b n 
a9) a n  3n 1
a10) b n 
1
n3
2n
3
a3) a n  n 2  1
a4) b n 
n 3
2n  1
a7) a n  2n 2  1
a8) b n 
3n  2
n 1
a11) a n  25  n 2
a12) b n 
 12
2n  5
b) Halla el término general de cada una de estas sucesiones:
b1) 3 ; 1 ;  1 ;  3 ;  5 
b3) 1 ;
1 1 1
1
; ;
;

4 9 16 25
b2) 2 ;  6 ; 18 ;  54
b4) 5 ; 5.5 ; 6 ; 6.5 ; 7
1 1 1 1
; ;
; 
2 3 4 5
b5)  1 ; - 4 ; -16 ; - 64
b6) 1 ;
b7) 2 , 2,1 ; 2,2 ; 2,3 
b8)  3 ; 6 ;  12 ; 24
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Progresiones.
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b9)
1 2 3 4
, , , , 
2 3 4 5
b11) 3 ,
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b10)  1 , 2 ; 5 ; 8 ; 11
3 3 3
;
; 
2 4 8
b12) 1 , 4 ; 9 ; 16 ; 25
 Como has podido observar, no siempre es sencillo encontrar una expresión
analítica que nos permita generalizar la ley de formación de cada término.
Hay un tipo de sucesiones, llamadas progresiones, en las que esto último es
relativamente sencillo.
 Progresiones, son un caso particular de sucesiones en las que la ley de formación de términos, y otra serie de características, las hacen interesantes de analizar. Hay dos tipos, o clases, de progresiones que merece la pena estudiar en detalle:
 Progresiones aritméticas:
 Ley de formación: son aquellas en las que cada término, excepto el primero, se obtiene sumando una cantidad fija, llamada diferencia, o razón, al inmediato anterior, así a 2  a1  d ; ; a n  a n 1  d .
 Propiedades, o características, más importantes:
 La diferencia, en valor absoluto, entre dos términos consecutivos
cualesquiera es constante e igual a la razón.
 Ejemplo: a1  1, a 2  8, a 3  15, a 4  22, a 5  29, a 6  36
donde podemos comprobar que a 4  a 3  7, a 6  a 5  7 , etc.

La suma de términos equidistantes es constante e igual a la suma
de los extremos.
 Del ejemplo anterior, podemos observar que a1  a 6  37 , y
que a 2  a 5  37 , y que a 3  a 4  37 .
 Término general: podemos poner, en general, que a 2  a1  d
a 3  a 2  d  a1  d  d  a1  2d , a 4  a 3  d  a1  2d  d  a1  3d y
siguiendo el principio o ley de inducción, llegaríamos a que en el caso
general a n  a1  n  1  d , que es el término general.
 Ejemplos:
 1 ; 8 ; 15 ; 22 ; ; 1  n - 1  7 , o sea, a n  1  7  n  1
 2 ; 5 ; 8 ; 11; ; 2  n - 1  3 , o sea, a n  2  3  n  1
 Interpolación: interpolar p-medios aritméticos, o medios diferenciales,
entre otros dos números, a y b dados, consiste en buscar p-números
que estén en progresión aritmética con ellos, y que estén comprendidos
entre ellos. Para ello debemos proceder en la siguiente forma:
 Primero hallamos la diferencia D en valor absoluto entre los
números dados, que van a ser los extremos de la progresión.
 En segundo lugar dividimos dicha diferencia entre el número de
términos que queremos interpolar más uno, ese valor, d, será la
razón de la progresión.
 Obtendremos los términos pedidos sumando sucesivamente la
razón al primero, luego al número así obtenido, y así hasta completar el número de términos pedidos.
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 Ejemplo_1: interpolar cinco términos, o medios aritméticos,
o números, entre 12 y 16:
4 2
 D  16  12  4  d  
6 3
2 38
38 2 40
42
44
 
 a1  12  
, a2 
, a3 
, a4 
3
3
3 3
3
3
3
46
y a5 
son los números pedidos, ya que el siguiente
3
en la progresión que hemos generado, sería
48
a6 
 16 , que es el extremo que nos han dado.
3
 Ejemplo_2: interpolar cuatro números entre 1 y 36:
35
7
 D  1  36   35  35  d 
5
 a1  1  7  8 , a 2  8  7  15 , a 3  15  7  22 ,
a 4  22  7  29 son los números pedidos, ya que el
siguiente sería a 6  29  7  36 , que es el número que
me dieron de referencia.
 Tipos de progresiones aritméticas:
 Limitadas, cuando tienen un número finito de términos.
 Ilimitadas, cuando tienen infinitos términos.
 Crecientes, cuando un término cualquiera es siempre mayor que
todos los que le preceden, la razón es positiva.
 Decrecientes, cuando un término cualquiera es siempre menor que
todos los que le preceden, la razón es negativa.
 Suma de todos los términos de una progresión aritmética: para poder
realizar la suma y que esta sea una cantidad razonable, finita, es necesario que la progresión sea limitada. Para obtener la expresión que nos
permita calcular la suma de modo sencillo nos basaremos en la segunda
propiedad de las progresiones aritméticas, por ejemplo:
 a1  1, a 2  8, a 3  15, a 4  22, a 5  29, a 6  36 , la suma de sus
términos sería:
6
S   a i  a1  a 2  a 3  a 4  a 5  a 6  1  8  15  22  29  36
i 1
donde el símbolo  (sigma mayúscula) representa, matemáticamente, el sumatorio de los elementos indicados como ai, desde el
número indicado debajo como i = 1, hasta el indicado arriba, en
este caso 6.
 Podíamos haber puesto también la suma inversa, es decir, de mayor a menor, S  36  29  22  15  8  1 , y si colocamos cada una
de ellas una encima de la otra, y sumamos miembro a miembro,
tendríamos:
S  1  8  15  22  29  36
S  36  29  22  15  8  1
2S  37  37  37  37  37  37
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Ya que la suma de términos equidistantes de los extremos es
37
 6 , que
constante e igual a la suma de éstos, con lo que S 
2
es el resultado final, es decir 111, compruébalo haciendo la suma término a término.
 Para una limitada pero más genérica 2 ; 5 ; 8 ; ; 2  k 1 3 , ya
que 2  k  1  3  2  k  2  3   3  6  3 , es la diferencia
de la progresión, tendríamos:
S  2  5  8    2  k  2  3  2  k  1  3
S  2  k  1  3  2  k  2  3    5  2
2S  2  2  k  1  3  5  2  k  2  3    2  k  2  3  5  2  k  1  3  2
Si realizamos las operaciones encerradas entre los paréntesis, todas dan como resultado 1  3  k , que también podemos escribir
como 2  2  3  k 1 , o lo que es también lo mismo, a1  a k ,
por la propiedad segunda de las progresiones aritméticas.
Como hay k-sumandos iguales, nos queda por último que la sua a
ma será S  1 k  k .
2
a1  a n
 n , siendo n el número de
 Expresión general de la suma: S 
2
términos de la progresión.
 Progresiones geométricas:
 Ley de formación: son aquellas en las que cada término, excepto el primero, se obtiene multiplicando una cantidad fija, llamada razón, al inmediato anterior, así a 2  a1  r ; a 3  a 2  r ; ; a n  a n 1  r .
 Propiedades, o características, más importantes:
 El cociente, el término entre su anterior, entre dos términos consecutivos cualesquiera es constante e igual a la razón.
 Ejemplo: a1  2, a 2  6, a 3  18, a 4  54, a 5  162, a 6  486
donde podemos comprobar que a 4  a 3  3, a 6  a 5  3 , etc.

El producto de términos equidistantes es constante e igual al producto de los extremos.
 Del ejemplo anterior, podemos observar que a1  a 6  972, y
que a 2  a 5  972, y que a 3  a 4  972.
 Término general: podemos poner, en general, que a 2  a1  r ,
a 3  a 2  r  a1  r  r  a1  r 2 , a 4  a 3  r  a1  r 2  r  a1  r 3 y siguiendo el
principio o ley de inducción, llegaríamos a que en el caso general
a n  a1  r n 1 , que es el término general.


Adaptaciones nivel 3.

Ejemplos:
1 1
1
1
; ; 1 ; 2 ;  ;  2 n 1 , o sea, a n   2 n 1

4 2
4
4
n 1
 2 ; 6 ; 18; 54 ; ; 2  3 , o sea, a n  2  3n 1
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 Interpolación: interpolar p-medios geométricos entre otros dos números, a y b dados, consiste en buscar p-números que estén en progresión geométrica con ellos, y que estén comprendidos entre ellos. Para
ello debemos proceder en la siguiente forma:
 Primero hallamos la razón R como valor absoluto del cociente
entre ambos números, mayor entre menor si queremos que sea
creciente y viceversa si queremos que sea decreciente.
 En segundo lugar calculamos la raíz de índice igual al número de
términos que queremos interpolar más uno, dicha raíz será la razón
r de la progresión que queremos generar.
 Obtendremos los términos pedidos multiplicando sucesivamente la
razón por el primero, luego por el número así obtenido, y así hasta
completar el número de términos pedidos.
 Ejemplo: interpolar cuatro términos, o medios geométricos,
o números, entre 1/4 y 8:
8
 R
 32  r  5 32  2 .
1
4
1
1
1
 a1   2  , a 2   2  1 , a 3  1  2  2 ,
4
2
2
a 4  2  2  4 , son los números pedidos, ya que el
siguiente sería a 5  4  2  8 que es uno de los extremos que me dieron.
 Tipos de progresiones geométricas:
 Limitadas, cuando tienen un número finito de términos.
 Ilimitadas, cuando tienen infinitos términos.
 Crecientes, cuando un término cualquiera es siempre mayor que
todos los que le preceden, la razón, en valor absoluto, es mayor
que la unidad.
 Decrecientes, cuando un término cualquiera es siempre menor que
todos los que le preceden, la razón, en valor absoluto, es menor
que la unidad.
 Alternantes: cuando la razón es negativa se van alternando términos positivos con términos negativos.
 Suma de todos los términos de una progresión geométrica: para poder
realizar la suma y que esta sea una cantidad razonable, finita, es necesario que la progresión sea limitada, aunque en el caso en el que la razón
sea menor que la unidad, también podremos hacer la suma de progresiones geométricas ilimitadas. Para obtener la expresión que nos
permita calcular la suma de modo sencillo, procederemos como sigue:

n
Como a n  a1  r n 1  S   a i  a1  a1  r    a1  r n 1 , por otro
i 1
lado r  S  a1  r  a 2  r 2    a1  r n , si r  1  r  S  S , colocamos apiladas ambas expresiones y restamos a la mayor la menor,
quedándonos:
Adaptaciones nivel 3.
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Progresiones.
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r  S  a1  r  a1  r 2  a1  r 3    a1  r n 2  a1  r n 1  a1  r n
S  a1  a1  r  a1  r 2    a1  r n 3  a1  r n 2  a1  r n 1
r  S  S  a1  r  a1  a1  r 2  a1  r    a1  r n 2  a1  r n 3  a1  r n 1  a1  r n 2  a1  r n  a1  r n 1
Reduciendo términos semejantes, y despejando la suma, oba  r n  a1
tenemos S  1
.
r 1
 Expresión general de la suma de los términos de una progresión
a1  r n  a1
geométrica limitada y de razón mayor que la unidad: S 
,
r 1
a1  r n  a1 a n  r  a1

que en función de los extremos quedaría S 
.
r 1
r 1
 Para el caso de una ilimitada, de razón menor que la unidad,
tendríamos:
S  a1  a1  r  a1  r 2    a1  r n 3  a1  r n 2  a1  r n 1
r  S  a1  r  a1  r 2  a1  r 3    a1  r n 2  a1  r n 1  a1  r n
S  r  S  a1  a1  r  a1  r  a1  r 2    a1  r n 3  a1  r n 2  a1  r n 2  a1  r n 1  a1  r n 1  a1  r n
Ya que si r  1  r  S  S , y reduciendo términos semejantes
a1  a1  r n 1
, si revisamos las propiedades de las
1 r
potencias de base menor que la unidad veremos que
si p  0 y 0  a  1  si p    a p  0 , como se dan ambas
a
condiciones en nuestro caso, podemos concluir que S  1
1 r
 Expresión general de la suma de los términos de una progresión
a1
geométrica ilimitada y de razón menor que la unidad: S 
1 r
llegamos a S 
Actividades de aplicación.
P1.- Responder a las siguientes preguntas:
a) ¿ En qué cifra termina la potencia 3456758?.
b) ¿En qué cifra termina la potencia 824305?.
c) ¿Qué puesto ocupa la potencia de 3 de exponente 599 que termina en 7?
d) ¿Cuál es el exponente de la potencia de 8 que termina en 4 y ocupa el puesto 150
de las potencias de 8 que terminan en 4?.
P2.- Una progresión aritmética de 50 términos empieza por 9 y termina por 200.
Calcular su diferencia y la suma de sus términos.
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P3.- Calcula el resultadode 3 32 33  34   3350 dando el mismoen formade potencia.
P4.- Un cuerpo cae por acción de la gravedad y recorre 4.9 m en el primer segundo,
14.7 m en el segundo, 24.5 m en el tercero, etc. … ¿Qué espacio recorre en el séptimo segundo?. ¿Cuánto tarda en llegar al suelo si cae desde una altura de 490 metros?.
P5.- Si ahorras 12,02 € en Enero, 13,22 € en Febrero, 14,42 € en Marzo, etc. … ¿Cuánto tardarás en ahorrar 240,40 €?.
P6.- En cierto lugar se ha detectado la existencia de aguas subterráneas y el Ayuntamiento ha concedido a una empresa una subvención de 12.020,24 € para intentar
llegar hasta ellas.
El gerente de la empresa ha calculado los costes de la excavación, que son:
 Primer metro de perforación, coste 360,61 €.
 Segundo metro de perforación, coste 432,73 €.
 Restantes metros de perforación, coste 72,12 € más que el inmediato anterior.
¿Cuánto costaría excavar el décimo metro?.
¿Hasta qué profundidad pueden llegar con la subvención?.
P7.- Una empresa que construye pozos cobra 420,71 € por el primer metro perforado. A
medida que sigue perforando cobra 90,15 € más por cada metro perforado de más.
Si necesitamos construir un pozo de 70 m de profundidad, ¿Cuánto nos costará la
construcción del mismo?.
P8.- Calcula la suma de todos los números comprendidos entre 1.121 y 3.121, ambos
inclusive.
P9.- Calcula la suma de los mil primeros números pares y de los mil primeros números
impares. ¿Cuál es mayor?.
P10.- La suma del segundo término y del undécimo término de una progresión
aritmética vale 46. El cuarto término vale 13. Escribe el término general de la
misma.
P11.- ¿Cuánto dinero llevó Raquel a sus vacaciones si el primer día gastó 120,20 €,
cada día que pasaba gastaba 3,01 € diarios menos y el dinero le duró 20 días?.
P12.- El término central de una progresión aritmética es 13 y la suma de sus términos
es 715, ¿Cuántos términos tiene la sucesión?.
P13.- La presidenta de la asociación de padres de tu centro tiene que convocar a todos
los padres y madres para la próxima reunión. Para ello envía cinco cartas a cinco
domicilios de alumnos, de manera que cada uno de ellos haga llegar la noticia a
otros cinco padres, y así se organice una cadena de información. Si en total hay
625 alumnos en el centro, ¿Cuántos envíos se tienen que realizar?. Se considera un
envío al bloque de cinco cartas que manda cada padre.
Adaptaciones nivel 3.
Página.- ix
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P14.- En un laboratorio se está investigando sobre la cepa de la gripe del año 2002.
Para ello se hace un cultivo de diez virus. Este virus se divide en dos cada veinticuatro horas. ¿Cuántos virus tendremos dentro de quince días?.
P15.- Calcula el primer término de una progresión geométrica cuyo octavo término es
1.280 y cuya razón es dos.
P16.- La población de una ciudad ha aumentado en progresión geométrica. En 1996
era de 200.000 habitantes y en 1998 era de 345.600. Calcula la población en el año
1997. ¿Cuál es la razón con la que crece la población?. ¿Cuál será la población en
2001?.
P17.- Si el primer día sacaron de nuestro pozo diez litros de agua, el segundo veinte, el
tercero cuarenta, etc. ..., al cabo de dos semanas, ¿Cuántos litros de agua, en total,
nos han sacado del pozo?. Si nos pagan a razón de 0.15 ptas. por litro, ¿Cuántos
euros nos deben abonar?.
P18.- Suma los veinte primeros múltiplos de siete.
P19.- Halla la suma de todos los términos de la progresión 128; 76,8 ; 46,08 ; 27,648 ;
.. etc. ...
P20.- Obtén el término general de una progresión geométrica que cumple que a3=75 y
a4=375.
P21.- La población mundial es de 5.000 millones de habitantes y crece a un ritmo del
2% anual. ¿Cuál será la población dentro de 10 años?.
P22.- En un jardín hay seis filas de árboles. Cada fila tiene tres árboles más que la anterior. La fila tercera tiene once árboles. Halla los árboles que hay en la primera
fila, en la última y el número total de árboles del jardín.
P23.- La suma de los cinco primeros términos de una progresión geométrica es
31
y
4
la razón es 2. Calcula los valores de esos cinco términos.
P24.- El primer término de una progresión geométrica es a1= -1 y el sexto a6= -243.
Calcula la suma de los seis primeros términos.
P25.- Las progresiones aritméticas con un número impar de términos poseen un
término central que podemos llamar ac.
a) Comprueba que la suma de una progresión aritmética de tres términos es
S  3  ac
b) Comprueba que si la progresión aritmética tiene cinco términos, la suma es
S  5  ac
c) Calcula la suma de los trece primeros términos de una progresión aritmética en la
que el séptimo término es 15.
Adaptaciones nivel 3.
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Progresiones.
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P26.- En una huerta hay plantados 100 árboles en hilera, distando 10 metros cada dos
consecutivos. A 20 metros del primer árbol está el pozo que se utiliza para el riego.
Averigua el camino que habrá de recorrer el hortelano para echar un cubo de agua
en cada árbol, suponiendo que al acabar deje el cubo en el pozo, donde estaba al
iniciar el riego.
P27.- Un reloj da las horas con repetición y anuncia los cuartos de hora con un toque,
las medias horas con dos, los tres cuartos con tres y las horas con el número correspondiente a la misma. ¿Cuántos toques da diariamente?.
P28.- Un coronel dispone parte de su regimiento en forma de triángulo, a saber: un
soldado en la primera fila, dos en la segunda, tres en la tercera, y así sucesivamente, resultando un total de 231 hombres, ¿Cuántas filas tiene la formación?.
P29.- En una parada militar, un conjunto formado por 7260 soldados de infantería
recibe la orden de colocarse en filas sucesivas, de tal modo que cada fila cubra
exactamente los huecos de la fila anterior y que el conjunto forme un triángulo
equilátero. Halla el número de hombres que habrá de colocarse en la primera fila.
P30.- Se cuenta que el inventor del ajedrez pidió como recompensa la siguiente: “un
grano de trigo por el primer cuadrado del tablero, dos por el segundo, cuatro por el
tercero, ocho por el cuarto, y así sucesivamente, duplicando siempre hasta el último cuadrado”. Averigua los granos de trigo que recibe por el último cuadrado. Si
cada grano de trigo pesara 1 dgr. , halla el peso total de trigo que se llevaría por
todo el tablero.
P31.- Un mendigo pide hospitalidad a un avaro, haciéndole la siguiente proposición:
“Yo pagaré 1€ por el primer día, 2€ por el segundo, 3€ por el tercero, y así sucesivamente. En cambio Ud. Me dará 0,001 céntimos el primer día, 0,002 céntimos el
segundo día, 0,004 céntimos el tercer día, y así sucesivamente, duplicando siempre
la cantidad del día anterior”. El avaro encontró esta proposición como un buen negocio y consintió en el arreglo por 30 días. Haz la liquidación de la deuda.
P32.- En una población que cuenta con 29.524 habitantes mayores de siete años, uno
de ellos se entera de una noticia en cierto instante. Al cabo de un minuto lo ha comunicado a tres de sus amigos. Cada uno de ellos se lo comunica en otro minuto a
otras tres personas, las cuales continúan extendiendo la noticia de igual modo, y
así sucesivamente. ¿Al cabo de cuánto tiempo se habrán enterado todos los habitantes mayores de siete años?.
P33.- De un barril de vino que contenía 5 Hl. 1 dal. y 2 l., se extrajo el 1 de Enero,
para celebrar el primero de año, la mitad del contenido; al día siguiente se sacó del
barril la mitad del resto; al tercer día se extrajo la mitad de lo que aún quedaba, y
así sucesivamente. ¿Qué cantidad de vino se sacó del barril el día 13 de Enero?.
P34.- Se deja caer una pelota desde un cuarto piso (12 m). La pelota en cada rebote
alcanza una altura igual a los 2/3 de la altura anterior.
 ¿Cuánto sube en el tercer rebote?. ¿Y en el sexto?.
 Halla el término general de la progresión que forman las alturas alcanzadas.
 Calcula la altura alcanzada en el quincuagésimo rebote.
Adaptaciones nivel 3.
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Progresiones.
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 Calcula los metros recorridos arriba y abajo por la pelota hasta que queda
quieta.
P35.- En una isla del pacífico reside una especie de quelonios en peligro de extinción.
Los biólogos afirman que cada año muere una sexta parte de la población y nace
un 10%. ¿En qué porcentaje disminuye cada año la población?. ¿Formarán las
poblaciones de estos quelonios durante los años venideros una progresión?. ¿De
qué tipo?. ¿De qué razón?.
P36.- En el país de los discretos, un ciudadano se enteró casualmente de un secreto del
primer ministro. Como era reservado, en una hora sólo se lo contó a otros cinco
ciudadanos. Cada uno de éstos, a su vez, se lo contó en la hora siguiente a otros
cinco, y así sucesivamente. ¿Cuántos ciudadanos estaban al corriente del secreto al
cabo de siete horas?.
P37.- Un jardinero tiene que echar un cubo de agua al pié de los treinta árboles que
hay a un lado del camino. Dos árboles, consecutivos, distan entre sí seis metros y
el pozo dista del primero diez metros. ¿Cuántos metros ha recorrido desde que
llena el primer cubo hasta que lo devuelve al lado del pozo después de regar el
último?. ¿Y si llevara dos cubos de cada vez?.
P38.- Una empresa alquila un local en las siguientes condiciones: 1.803,04 € al mes y,
al final de cada trimestre, se le aumentará en 60,10 € el alquiler mensual. ¿A cuánto ascenderá el importe de los alquileres pagados en diez años?.
P39.- Juan estuvo de vacaciones el verano pasado en París. ¿Cuánto dinero llevó si el
primer día gastó 270,46 €, fue disminuyendo gastos a razón de 9,02 € por día, y el
dinero le duró treinta días?.
P40.- Un coche deportivo costó inicialmente 48.080,97 €. Al cabo de un año se vendió
por la mitad del precio; pasado otro año se volvió a vender a la mitad del año anterior, y así sucesivamente. ¿Cuánto le costó el coche al quinto propietario?. ¿Y al
décimo?. ¿Qué cantidad pagaron entre los seis primeros propietarios?. ¿Y entre los
diez primeros?.
P41.- Para saldar una deuda de 18.631,38 €, una familia pagará 1.803,04 € al final del
primer año, 1.953,29 € al final del segundo año, 2.103,54 € al final del tercer año,
etc. ... ¿Cuánto tardará en saldar la deuda?.
P42.- Un balón de goma se eleva después de cada bote en el suelo hasta los tres quintos de su altura inicial. Se deja caer desde cinco metros de altura:
 ¿A que altura se elevaría después de cuatro botes?.
 Calcula la distancia que recorre entre subidas y bajadas en los diez primeros
botes.
Adaptaciones nivel 3.
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Progresiones.