3º DIVERSIFICACIÓN CURRICULAR
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RELACIONES QUE SE ESTABLECEN ENTRE MAGNITUDES. Las reglas de tres y las fórmulas. Tanto la proporcionalidad directa como las fórmulas son métodos matemáticos para relacionar magnitudes. Existen multitud de ejemplos de magnitudes relacionadas. Sin ir más lejos, el número de “hormigas gigantes voladoras y de tijeretas” que vemos en otoño están relacionadas con la lluvia y el sol que haga. Se puede afirmar que una de las principales inquietudes del ser humano desde la prehistoria ha sido descubrir esas relaciones entre magnitudes (no nos debería costar mucho imaginar ejemplos: migraciones de aves-días de frío, floraciones de plantas-días de calor, nevadas en invierno-ríos con mucho agua en primavera…). Obviamente, desde tiempos remotos, se aplicaron las matemáticas a este tipo de relaciones entre magnitudes. En la actualidad, los dos métodos matemáticos más simples y utilizados para resolver problemas de magnitudes relacionadas son la proporcionalidad directa y las fórmulas. Las reglas de tres Son las famosas reglas de tres que estáis tan acostumbrados a realizar. Se aplican cuando son dos magnitudes directamente proporcionales, es decir, si al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número la otra queda multiplicada (o dividida) por el mismo número. Dos personas van al cine y les cuestan las entradas 16 €, a tres personas les cuesta 24 €, ¿cuánto les costará a cuatro personas? La respuesta es obvia 32 € Si el problema es simple lo hacemos de cabeza, aunque en realidad lo hacemos multiplicando (o dividiendo) la pareja de magnitudes relacionadas por el mismo número. Si el problema no fuera simple algo muy recomendable es situar los datos en una tabla, para no equivocarnos debemos seguir las siguientes recomendaciones: · Cada magnitud estará representada por varios datos, esos datos coincidirán todos en una misma fila. · En cada columna de datos estarán las parejas de datos de las dos magnitudes que guardan una relación. · Siempre trabajaremos con las mismas unidades dentro de cada magnitud. Siguiendo con el ejemplo: 1ª pareja 2ª pareja 3ª pareja Dinero (€) 16 24 ¿x? Número de personas 2 3 4 Observa: el dinero(que siempre está en €) está en la 1º fila de datos y el nº de personas en la 2ª fila de datos; Los 16 € están en la misma columna que las 2 pernonas… Aplicaremos la técnica de la regla de tres para resolver esa tabla (yo te recomendaría si vas a hacer una regla de tres que en la tabla solo haya dos parejas de datos, obviamente una de ellas será la de la incógnita). Se multiplicarán los datos que tiene “próximos la x” y el resultado se dividirá por el dato que está “opuesto a la x” Ámbito científico-tecnológico Siguiendo con el ejemplo: Otras “reglas de tres” Los tantos por ciento, las expresiones del tipo 3 €/kg, 120 km/h, 0’9 g/cm3…, las escalas (de dibujos, de maquetas, de esculturas…)… son en realidad proporcionalidades directas, y se pueden resolver como reglas de tres. Los truquillos en estos problemas son los siguientes: · En los % una magnitud es la porción estudiada y la otra el total. El total del % siempre es es 100 (nunca me lo dicen en los problemas). Es recomendable poner siempre el total en la segunda fila de datos. · En las expresiones del tipo 3 €/kg no olvidar que el número de abajo (denominador) es un 1 pero se ha omitido (la expresión se lee 3 € cuesta 1 kg). Lo recomendable es poner la magnitud de arriba en la fila de datos de arriba y la magnitud de abajo en la fila de datos de abajo. · En las escalas (1:300, 3:1…) el primer número (1ª magnitud) es el de la representación, dibujo, escultura… y el segundo número (2ª magnitud) es el de la realidad. Los datos en toda la tabla reflejarán las mismas unidades (no hay que preocuparse por ellas): si medimos en cm la solución sale en cm, si medimos en km la solución sale en km… Por último decir que es recomendable poner la escala tal y como la encontramos: el 1º número (representación) arriba y el 2º (realidad) abajo. Ejemplos de cada uno de los casos: El 20% de una clase de 25 alumnos son chicos, el resto chicas, ¿cuántos chicos hay? % Pareja de datos Chicos (magnitud 1) 20 ¿x? Total de alumnos (magnitud 2) 100 25 1º) 25·20 = 500 2º) 500:100 = 5 Solución: 5 chicos Un coche avanza a 63 km/h cuanto tiempo ha estado circulando siha avanzado 365000 m . Lo primero es cambiar de unidades: 365000 m = 365 km Pareja referencia Pareja problema Distancia en km 63 365 Tiempo en horas 1 ¿x? 1º) 365·1=365 2º) 365:63= 5’794 horas (aprox.) Solución: 5’794 horas = 5 horas 47 minutos y algún segundo. Ámbito científico-tecnológico A la vista del mapa, ¿qué distancia en línea recta hay entre Punta de la Guerra y Punta de Miradoiro? Si medimos con regla desde una punta a otra obtenemos 6’75 cm Escala Pareja de datos Distancia en el mapa 1 6’75 Distancia real 25000 ¿x? 1º) 25000·6’75 = 168750 2º) 168750:1=168750 Solución: 168750 cm = 1687’5 m = 1’6875 km Las fórmulas Otra forma de relacionar magnitudes son las fórmulas. Lo bueno de las fórmulas es que nos vale para relacionar más de dos magnitudes y por supuesto para relacionarlas de cualquier manera (ya no es necesario que sean directamente proporcionales). Si nos dan la fórmula (la gran mayoría de las leyes científica se redactan como fórmulas) no tenemos que calentarnos la cabeza de cómo están relacionadas: “la fórmula nos lo dice”. Las fórmulas no son mucho más útiles que la regla de tres, nos relacionan más magnitudes (la regla de tres solo relaciona dos) y magnitudes con relación mucho más compleja que la de la proporcionalidad directa. Igual que antes, en las fórmulas es muy importante usar bien las unidades (se tienen que introducir las magnitudes en las unidades que te indique la fórmula). Ejemplos hay infinitos, veamos cuatro fórmulas: · La fuerza con que la Tierra atrae a los cuerpos con masa, situados en las proximidades de la superficie terrestre, se puede calcular aplicando la fórmula: Fuerza (en N) = 9’8 · Masa (en kg) hay que poner la masa en kg y la fuerza saldrán en N (Newton) · La densidad de un cuerpo se puede calcular aplicando la fórmula: Densidad = Masa / Volumen en este caso, según pongamos unas unidades de la masa y del volumen, aparecerán unas unidades u otras en la densidad Ámbito científico-tecnológico · La energía que tienen los cuerpos que llevan una velocidad (energía cinética) se puede calcular aplicando la fórmula: Energía cinética (J) = ½ · Masa (kg) · velocidad2 (m/s) hay que poner la masa en kg y la velocidad en m/s para obtener la energía cinética en J (Julios) · La presión que genera un gas en reposo contra las paredes que lo contiene, en condiciones ideales (sin interacción entre las moléculas del gas) se calcula con: P (atm) = [n (cantidad de moléculas en moles)· 0’082 · Temperatura (K)]/Volumen (L) Veamos un ejemplo ¿Qué presión generan 2 moles de moléculas de oxígeno introducidas en un recipiente de 30 L de volumen y a una temperatura de 300 K? Lo primero que tenemos que hacer es buscar la fórmula que nos calcule la magnitud que nos piden, después tenemos que introducir los datos en la fórmula y lo último calcular la solución: n·0'082·T 2·0'082·300 P 1'64 V 30 Solución: 1’64 atm Las fórmulas son las consecuencias del método científico, una fórmula representa matemáticamente una ley o una teoría. Para que entiendas esto mejor veamos el siguiente ejemplo: Todas las sustancias tienen masa. Newton determinó que dos masas sienten una fuerza atractiva, a esa fuerza la llamó gravitatoria y se puede calcular con la fórmula: Masa1 ( Kg )·Masa2 ( Kg ) F ( N ) 6'67·1011 Dis tancia 2 (m) Gracias a Newton (a su ley de gravitación universal) pudieron explicarse hechos que parecían inconexos de la misma forma (masas que se atraen). Tres ejemplos son: · Las mareas son por la atracción que ejerce la Luna sobre la Tierra, y como el agua es un fluido se deforma y asciende. · Los cuerpos caen hacia la Tierra que los atrae, y además, aunque tengan distinta masa, caen a la vez si son soltados a la vez. · El movimiento orbital de planetas y satélites se entiende por las atracciones entre las masas implicadas (Estrella, Planetas, Satélites…) Ámbito científico-tecnológico