FUNCIONES CUADRÁTICAS TEORIA: AX2+BX+C EJEMPLO: 3X2+5X+6

FUNCIONES CUADRÁTICAS
TEORIA:
LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS TIENEN LA FORMA: AX2+BX+C
EJEMPLO: 3X2+5X+6
(X+3)2 ESTA FUNCION HABRIA QUE ORDENARLA, SIGUIENDO UNA DE LAS FORMULAS:
(a+b)2= a2+2ab+b2
(a−b)2= a2−2ab+b2
(a+b)·(a−b)= a2−b2
EN ESTE CASO SERÁ CON LA 1ª FORMULA.
(X+3)2= X2+2X·3+32= X2+6X+9.
LAS GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS SIEMPRE SERÁ UNA PARÁBOLA.
VÉRTICE MÁXIMO
VÉRTICE MÍNIMO
LAS PARÁBOLAS SON SIMÉTRICAS RESPETO AL EJE VERTICAL QUE PASA POR SU
VÉRTICE.
PROPIEDADES DEL CUOFICIENTE A:
SI LA A>0: LA PARÁBOLA TENDRÁ UN VÉRTICE MÍNIMO, ES DECIR, PASARÁ DE SER
DECRECIENTE A SER CRECIENTE.
SI LA A<0: LA PARÁBOLA TENDRÁ UN VÉRTICE MÁXIMO, ES DECIR, PASARÁ DE SER
CRECIENTE A SER DECRECIENTE.
CUANTO MAS GRANDE SEA LA A, MAS ESTRECHA SERÁ LA PARÁBOLA.
PROPIEDADES DEL CUOFICIENTE C:
EL PUNTO EN EL CUAL LA PARÁBOLA CORTARÁ EL EJE DE LAS Y(X,Y), SERÁ EL PUNTO
(0,C).
DETERMINACIÓN DEL VÉRTICE:
PARA SABER LA X DEL VÉRTICE, LA FORMULA QUE DEBEMOS UTILIZAR ES:
XV= _ B .
2A
1
PARA SABER LA Y DEL VÉRTICE, HAY QUE SUBSTITUIR LA XV POR LA X DE LA FUNCIÓN.
LA Y QUE NOS SALGA SERÁ LA Y DEL VÉRTICE.
PARA GRAFICAR UNA PARÁBOLA, LO PRIMERO QUE HAY QE HACER, ES CALCULAR
DONDE ESTARÁ EL VÉRTICE. DESPUÉS, CALCULAMOS LAS INTERSECCIONES CON LOS
EJES. Y SI TODAVÍA NO SABEMOS COMO SERA LA PARÁBOLA, CALCULAREMOS PUNTOS
CRECANOS AL VÉRTICE.
INTERSECCIÓN CON LOS EJES:
INTERSECCIÓN CON EL EJE DE LAS Y:
X=0 SERÁ EL PUNTO (0,C)
EJEMPLO:
EN LA FUNCIÓN:
Y=X2,
INTERSECCINARÁ CON EL EJE DE LAS Y EN EL PUNTO (0,0) PORQUE LA C=0.
INTERSECCIÓN CON EL EJE DE LAS X:
Y=0
EJEMPLO:
EN LA FUNCIÓN:
Y=X2
0=X2
PARA SABER EL VALOR DE LA X SE RESUELVE LA ECUACIÓN CON LA FÓRMULA:
X= −B+− B2−4AC
2A
PRÁCTICA:
GRAFICAR PARÁBOLAS:
SE CALCULA DONDE ESTARÁ EL VÉRTICE, LAS INTERSECCIONES CON LOS EJES, Y SI
TODAVÍA NO SE DETERMINA BIEN LA FORMA DE LA PARÁBOLA, SE BUSCAN PUNTOS
CERCANOS AL VÉRTICE.
TRASLACIONES:
SI LA TRASLACIÓN ES HACIA ARRIBA, SE LE SUMA EL NUMERO DE UNIDADES SUBIDAS
A LA C DE LA FUNCION.
2
EN CASO DE QUE SE TRASLADE HACIA ABAJO, EN VEZ DE SUMAR, SE RESTARÁ.
EJEMPLO:
FUNCIÓN:
Y=X2 LA TRASLADAMOS 5 UNIDADES HACIA ARRIBA.
C=0 0+5=5 C=5
LA FUNCIÓN QUEDARÁ:
Y=X2+5
CALCULAR EL VÉRTICE:
SE CALCULA LA XV CON LA FÓRMULA:
XV= _ B .
2A
LUEGO SE CALCULA LA YV SUBSTITUYENDO.
EJEMPLO:
FUNCIÓN:
Y=X2
XV = _ 0 = 0
2·1
YV = 02 = 0 POR TANTO V(0,0)
INTERSECCIÓN CON LOS EJES:
INTERSECCIÓN CON EL EJE DE LAS Y:
EJEMPLO:
Y=X2
X=0 (0,C) (0,0)
INTERSECCIÓN CON EL EJE DE LAS X:
Y=0
0=X2
3
X= 0+− 02−4·1·0 = 0+− 0 = 0
2·1 2 0
INTERSECCIONARÁ EN EL EJE DE LAS X EN EL PUNTO (0,0).
PARÁBOLAS INDETERMINADAS:
LAS PARÁBOLAS INDETERMINADAS SON LAS PARÁBOLAS QUE TE DICEN PERO QUE LES
FALTA UNO O VARIOS CUOFICIENTES. POR CADA CUOFICIENTE QUE FALTE, NOS
DEBERAN DAR UNA PISTA. SI NOS DAN EL PUNTO DONDE SE ENCUENTRA EL VÉRTIVE,
NOS ESTAN DANDO DOS PISTAS.
EJEMPLO:
FUNCIÓN:
Y= 2X2−3X+C PASA POR EL PUNTO (2,−1)
FALTA UN CUOFICIENTE POR SABER, NOS DAN UNA PISTA.
SE RESUELVE SUBSTITUYENDO:
−1= 2·22 − 3·2 + C
−1=2·4 − 6 + C
−1=8 − 6 + C LA FUNCIÓN QUEDARIA:
−1=2 + C Y=2X2 −3X −3
−1−2= C
−3=C
INTERSECCIÓN ENTRE UNA PARÁBOLA Y UNA RECTA:
PARA CALCULAR LOS PUNTOS EN LOS QUE SE CORTAN UNA PARÁBOLA Y UNA RECTA
HAY QUE HACER UN SISTEMA DE ECUACIONES.
EJEMPLO:
PARÁBOLA: Y= −X2 +6
RECTA: Y= −2X+3
Y=−X2 +6 −X2 +6 = −2X +3 −X2+2X+3=0
Y=−2X +3 X= −2+− 22−4(−1)·3 = −2+− 16 =
2(−1) −2
4
X=−1 = −2+−(4) = −1
Y=−2(−1)+3 = 5 (−1,5) −2 3
X=3
Y=−2·3+3 = −3 (3,−3) PUNTOS DONDE INTERSECCIONAN.
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