LECCION 11 . LA MINIMIZACI

LECCION 11.
LA MINIMIZACIÓN DEL
GASTO.
José L. Calvo
LA FUNCIÓN DE DEMANDA COMPENSADA.
Cantidades que, dados unos precios de los bienes y un
determinado nivel de utilidad que se desea alcanzar,
minimizan el gasto.
Min. p1X1 + p2X2
s.a. U = U(X1,X2)
= XX11(p
(p11,p
,p22,U)
,U)
XX11 =
= XX22(p
(p11,p
,p22,U)
,U)
XX22 =
LA FUNCIÓN DE DEMANDA COMPENSADA.
Propiedades (I).
ADITIVIDAD.- La
La suma
suma de
de las
las funciones
funciones de
de demanda
demanda compensadas
compensadas
ADITIVIDAD.multiplicadaspor
porsu
suprecio
precioes
esla
lafunción
funciónde
degasto,
gasto,que
quees
esigual
igualaala
la
multiplicadas
capacidadde
decompra
compradel
delindividuo
individuo(renta
(rentamonetaria).
monetaria).
capacidad
(U,pp1,p
,p ))++pp2hh2(U,
(U,pp1,p
,p ))==m
m
pp11hh11(U,
1 22
2 2
1 22
HOMOGENEIDAD
HOMOGENEIDAD.-.- Las
Las funciones
funciones de
de demanda
demanda compensadas
compensadas son
son
homogéneas
homogéneasde
degrado
grado00en
enlos
losprecios.
precios.
hhi(U,
(U,θp
θp1,,θp
θp2))==hhi(U,p
(U,p1,p
,p2))
i
1
2
i
1
2
LA FUNCIÓN DE DEMANDA COMPENSADA
Propiedades (II).
TEOREMA DE
DE YOUNG
YOUNG.-.- Las
Las derivadas
derivadas cruzadas
cruzadas de
de las
las funciones
funciones de
de
TEOREMA
demandacompensadas
compensadasson
sonsimétricas.
simétricas.
demanda
(U,p1,p
,p2)/
)/∂∂pp2==∂∂hh2(U,p
(U,p1,p
,p2)/
)/∂∂pp1
∂∂hh1(U,p
1
1
2
2
2
1
2
1
NEGATIVIDAD
NEGATIVIDAD.-.- La
La matriz
matriz nxn
nxn formada
formada por
por los
los elementos
elementos
,p )/ ∂p i,j = 1,2 es semidefinida negativa, lo que obliga a
∂h
∂hi(U,p
i(U,p11,p22)/ ∂pj j i,j = 1,2 es semidefinida negativa, lo que obliga a
que
que su
su determinante
determinante sea
sea no
no positivo.
positivo. Esta
Esta matriz
matriz es
es conocida
conocida
como
matriz de
de sustitución
sustitución oo matriz
matriz de
de Slutsky
Slutsky de
de respuestas
respuestas
como la
la matriz
compensadas
a
los
precios
.
compensadas a los precios.
ECUACIÓN DE SLUTSKY.
(Una reinterpretación)
La
La variación
variación en
en la
la cantidad
cantidad demandada
demandada de
de un
un bien
bien ante
ante una
una variación
variación de
de su
su
propio
propioprecio
preciopuede
puededescomponerse
descomponerseen
endos
dosefectos:
efectos:
••
1.
Un efecto
efecto sustitución
sustitución, , que
que varía
varía la
la cantidad
cantidad demandada
demandada del
del bien
bien
1. Un
manteniendo
constante
el
nivel
de
utilidad,
aproximado
a
través
manteniendo constante el nivel de utilidad, aproximado a través del
del
cambio
Esteefecto
efectosustitución
sustituciónes
esno
no
cambioen
enla
lafunción
funciónde
dedemanda
demandahicksiana.
hicksiana.Este
positivo.
positivo.
2.
2.
2.
Un efecto
efecto renta
renta, , igual
igual al
al producto
producto de
de la
la cantidad
cantidad inicialmente
inicialmente
2. Un
demandada
por
la
variación
en
la
cantidad
asociada
a
un
cambio
demandada por la variación en la cantidad asociada a un cambio en
en la
la
renta
renta del
del individuo.
individuo. Este
Este efecto
efecto será
será positivo
positivo sisi es
es un
un bien
bien inferior
inferior yy
negativo
negativosisies
esun
unbien
biennormal.
normal.
∂g1(m,p
(m,p1,p
,p )/∂ p = ∂h (U,p ,p )/ ∂ p - X (∂g /∂m)
∂g
1
1 22)/∂ p11 = ∂h11(U,p11,p22)/ ∂ p11 - X11(∂g11/∂m)
ECUACIÓN DE SLUTSKY (II).
X2
p1 > p0
m/p2
ES = E0A
A
E1
X11
ER = AE1
E0
X1ES m/p11 X10
ET = E0E1
m/p10
X1
LA FUNCIÓN DE GASTO.
El mínimo gasto de alcanzar un determinado nivel de
utilidad dados los precios de los bienes. Se obtiene
sustituyendo las funciones de demanda compensadas en
el elemento minimizador.
G(p1,p
,p ,U) = p h (p ,p ,U) + p h (p ,p ,U)
G(p
1 22,U) = p11 h11 (p11,p22,U) + p22 h22 (p11,p22,U)
LA FUNCIÓN DE GASTO.
Propiedades (I).
HOMOGENEIDAD.-.-La
Lafunción
funciónde
degasto
gastoes
eshomogénea
homogéneade
degrado
grado11
HOMOGENEIDAD
enlos
losprecios.
precios.
en
G(U,λp
λp1,,λp
λp2))==λλG(U,
G(U,pp1,,pp2))
G(U,
1
2
1
2
CRECIMIENTO.-.- La
La función
función de
de gasto
gasto es
es creciente
creciente con
con la
la Utilidad,
Utilidad,
CRECIMIENTO
no decreciente
decreciente con
con los
los precios,
precios, yy creciente
creciente al
al menos
menos con
con un
un
no
precio.
precio.
CONCAVIDAD.-.-La
Lafunción
funciónde
degasto
gastoes
escóncava
cóncavaen
enlos
losprecios,
precios,de
de
CONCAVIDAD
forma que
que cuando
cuando éstos
éstos crecen,
crecen, el
el gasto
gasto crece
crece no
no menos
menos que
que
forma
linealmente.
linealmente.
LA FUNCIÓN DE GASTO.
Propiedades (II).
CONTINUIDAD.-.-La
Lafunción
funciónde
degasto
gastoes
escontinua
continuaen
enlos
losprecios,
precios,yy
CONTINUIDAD
existen tanto
tanto la
la primera
primera como
como la
la segunda
segunda derivada
derivada de
de éstos,
éstos,
existen
salvopara
paraprecios
preciosiguales
igualesaacero
cero..
salvo
LEMMA DE
DE SHEPHARD
SHEPHARD.-.- Cuando
Cuando existen,
existen, las
las derivadas
derivadas parciales
parciales
LEMMA
de la
la función
función de
de gasto
gasto con
con respecto
respecto aa los
los precios
precios son
son las
las
de
funcionesde
dedemanda
demandacompensadas.
compensadas.
funciones
1
(U,pp111,p
,p211))== ∂G(U,
∂G(U,pp111,p
,p211)/
)/∂∂pp1
XX111 ==hh11(U,
1
2
1
2
1
1
(U,pp111,p
,p211))== ∂G(U,
∂G(U,pp111,p
,p211)/
)/∂∂pp2
XX221 ==hh22(U,
1
2
1
2
2
LA FUNCIÓN INDIRECTA DE UTILIDAD.
Máximo nivel de utilidad que se puede alcanzar dada una
forma específica de la función de utilidad, una renta
monetaria, y los precios de los bienes. Se obtiene
sustituyendo las funciones de demanda marshallianas en
la función directa de utilidad.
U(X1,X
,X2))=
=U{g
U{g1(p
(p1,p
,p ,m), g (p ,p ,m)} = ψ (p ,p ,m)
U(X
1
2
1
1 22,m), g22(p11,p22,m)} = ψ (p11,p22,m)
RELACIONES ENTRE LAS FUNCIONES DE
GASTO Y UTILIDAD.
Función
Funciónde
deGasto:
Gasto:
FunciónIndirecta
Indirectade
de
Función
Utilidad:
Utilidad:
,p2,m)
,m)==UU
(p1,p
ψψ(p
INVERSION
G(p
G(p11,p
,p22,U)
,U)==m
m
1
F.demanda
F.demandaHicksianas:
Hicksianas:
XXi ==hhi (p
(p1,p
,p2,U)
,U)
i
i
1
2
2
F.demandaMarshallianas:
Marshallianas:
F.demanda
(p1,p
,p2,m)
,m)
XXi==ggi(p
SUSTITUCION
i
i
1
2
DUALIDAD.
Máx.
Máx.UU==U(X
U(X1,1,XX2)2)
DUALIDAD
MinppX
1X1+ p 2X2
Min
1 1+ p 2X2
s.a.UU==U(X
U(X,1,XX)2)
s.a.
s.s.aapp1XX1++pp2XX2 ==m
m
1 1
2 2
1
F.F.demanda
demandaMarshallianas:
Marshallianas:
XXi ==ggi (p
(p1,p
,p2,m)
,m)
i
i
1
demandaHicksianas:
Hicksianas:
F.F.demanda
i (p,p
1,p,U)
2,U)
XXi==hh(p
2
i
F.Indirecta
F.Indirectade
deUtilidad:
Utilidad:
ψψ(p
(p1,p
,p2,m)
,m)==UU
1
2
i
1
2
Funciónde
deGasto:
Gasto:
Función
G(p,p
=m
m
1,p,U)
2,U)=
G(p
2
SUSTITUCION
1
2
FUNCIÓN COBB-DOUGLAS.
F. de demanda Hicksianas y F. De Gasto.
Min.pp1XX1++pp2XX2
Min.
1 1
2 2
sujetoaaXX1ααXX2ββ==UU
sujeto
1
2
FUNCIONESDE
DEDEMANDA
DEMANDAHICKSIANAS:
HICKSIANAS:
FUNCIONES
1/(α+β) (αp /βp )ββ/(α+β)
/(α+β)
=(U)
(U)1/(α+β)
XX11=
(αp22/βp11)
1/(α+β) (βp / αp )α/(α+β)
α/(α+β)
=(U)
(U)1/(α+β)
XX22=
(βp11/ αp22)
FUNCIÓNDE
DEGASTO:
GASTO:
FUNCIÓN
1/(α+β) {p (αp /βp )ββ/(α+β)
/(α+β) + p (βp / αp )α/(α+β)
α/(α+β)}
G=(U)
(U)1/(α+β)
G=
{p11(αp22/βp11)
+ p22(βp11/ αp22)
}
BIENES COMPLEMENTARIOS PERFECTOS.
F. de demanda Hicksianas y F. De Gasto.
Min.pp1XX1++pp2XX2
Min.
1 1
2 2
sujetoaamin{aX
min{aX1,bX
,bX2}}==UU
sujeto
1
2
FUNCIONESDE
DEDEMANDA
DEMANDA
FUNCIONES
HICKSIANAS:
HICKSIANAS:
=U/a
U/a
XX11=
=U/B
U/B
XX22=
FUNCIÓNDE
DEGASTO:
GASTO:
FUNCIÓN
/a+p
+p2/b)
/b)
=U(p
U(p1/a
GG=
1
2
BIENES SUSTITUTOS PERFECTOS.
F. de demanda Hicksianas y F. De Gasto.
Min.pp1XX1++pp2XX2
Min.
1 1
2 2
sujetoa:
a:aX
aX1+bX
+bX2==UU
sujeto
1
2
FUNCIONESDE
DEDEMANDA
DEMANDA
FUNCIONES
HICKSIANAS:
HICKSIANAS:
>(a/b)p2⇒
⇒XX1=0;
=0;XX2==U/b
U/b
pp11>(a/b)p
2
1
2
=(a/b)p2⇒X
⇒X1∈(0,U/a);
∈(0,U/a);XX2∈(0,U/b)
∈(0,U/b)
pp11=(a/b)p
2
1
2
<(a/b)p2⇒
⇒XX1=U/a;
=U/a;XX2=0
=0
pp11<(a/b)p
2
1
2
FUNCIÓNDE
DEGASTO:
GASTO:
FUNCIÓN
>(a/b)p2⇒
⇒GG==pp2U/b
U/b
pp11>(a/b)p
2
2
=(a/b)p2⇒
⇒GG∈(p
∈(p1U/a,
U/a,pp2U/b)
U/b)
pp11=(a/b)p
2
1
2
<(a/b)p2⇒
⇒G=
G=pp1U/a
U/a
pp11 <(a/b)p
2
1
PREFERENCIAS CUASILINEALES.
F. de demanda Hicksianas y F. De Gasto.
Min.pp1XX1++pp2XX2
Min.
1 1
2 2
sujetoa:
a:lnX
lnX1+X
+X2==UU
sujeto
1
2
FUNCIONESDE
DEDEMANDA
DEMANDA
FUNCIONES
HICKSIANAS:
HICKSIANAS:
=pp2/p
/p1
XX11=
2
1
=UU––ln(
ln(pp2/p
/p1))
XX22=
2
1
FUNCIÓNDE
DEGASTO:
GASTO:
FUNCIÓN
1+UU--ln
lnpp2/p
/p1))
=pp2((1+
GG=
2
2
1
SISTEMA LINEAL DE GASTO.
F. de demanda Hicksianas y F. De Gasto.
Min.∑∑ippXiXi
Min.
i i i
sujetoa:
a:U=
U= ∏
∏i(X
(Xi--γγ)i)βiβi
sujeto
i
i
i
FUNCIONESDE
DEDEMANDA
DEMANDA
FUNCIONES
HICKSIANAS:
HICKSIANAS:
=ppγiγi+
+βββiβ0U∏
U∏i ppβiiβi
ppiX
iXi i=
i i
i 0
i
i
1..n, ∑∑ββi==11
i i==1..n,
i
FUNCIÓNDE
DEGASTO:
GASTO:
FUNCIÓN
=∑∑ippγiγi+
+ββ0U∏
U∏i ppβiiβi
GG=
i i i
0
i
i