C_lculo de probabilidades

Cálculo de probabilidades
Probabilidad de hacer al menos pareja
P = 1-p(ninguna coincidencia)=1-(44/50)×(43/49)×(42/48)×(41/47)×(40/46)
P=0.487
Probabilidad de hacer al menos trío
a) Si tienes dos cartas diferentes
P = p(dos coincidencias en la misma
carta)=10×(6/50)×(2/49)×(47/48)×(46/47)×(45/46)
P=0.0375
b) Si tienes dos cartas iguales
P = 1-(p(ninguna coincidencia))
P(ninguna coincidencia)= (48/50)×(47/49)×(46/48)×(45/47)×(44/46)
P=0.192
Probabilidad de hacer poker
a) Si tienes dos cartas diferentes
P = p(tres coincidencias en la misma
carta)=10×(6/50)×(2/49)×(1/48)×(47/47)×(46/46)
P=0.00102
b) Si tienes dos cartas iguales
P = 1-(p(ninguna coincidencia)+p(una coincidencia))
P(ninguna coincidencia)= (48/50)×(47/49)×(46/48)×(45/47)×(44/46)
P(una coincidencia)=5×(48/50)×(47/49)×(46/48)×(45/47)×(2/46)
P=0.00816
Probabilidad de hacer al menos dobles parejas
a) si tienen dos cartas iguales
p=p(pareja en mesa) +p(poker)=12×(10×
(4/50)×(3/49)×(48/48)×(47/47)×(46/46) + 0.008
p=0.596
b) si tienes dos cartas diferentes
p=p(pareja en mesa + una coincidencia)+p(una coincidencia en cada
carta)
p(pareja en mesa + una coincidencia)
=11×(10×(4/50)×(3/49)×(6/48)×(47/47)×(46/46)
p(una coincidencia en cada carta)=
(10×(6/50)×(3/49)×(48/48)×(47/47)×(46/46)
p=0.142
Probabilidad de hacer full
a) si tienen dos cartas iguales
P=P(Pareja en mesa + una coincidencia)+p(trio en mesa)
p(pareja en mesa+ una coincidencia)=12×(10×
(4/50)×(3/49)×(6/48)×(47/47)×(46/46)
p(trio en mesa)=12×(10× (4/50)×(3/49)×(2/48)×(47/47)×(46/46)
p=0.0735
b) si tienes dos cartas diferentes
p=p(trio en mesa + una coincidencia)+p(una coincidencia en una carta y
dos coincidencias en la otra)
p(trio en mesa + una
coincidencia)=11×(10×(4/50)×(3/49)×(2/48)×(6/47)×(46/46)
p(una coincidencia en una carta y dos coincidencias en la otra)=
(10×(6/50)×(3/49)×(2/48)×(47/47)×(46/46)
p=0.00593
Probabilidad de hacer color
a) si tienen dos cartas del mismo palo
p=p(tres coincidencias)=
10×(11/50)×(10/49)×(9/48)×(47/47)×(46/46)=0.0842
b) si tienes dos cartas de diferente palo
p=p(cuatro coincidencias)=
5×(12/50)×(11/49)×(10/48)×(9/47)×(46/46)=0.0107
Probabilidad de hacer escalera
Si utilizamos la dos cartas:
a) las dos cartas van seguidas
Caso 1. As-2 As –k
p=p*=p(salga un 3,un4,un5)=
10×(4/50)×(4/49)×(4/48)×(47/47)×(46/46)=0.0054
Caso 2. 2-3 k-Q
P=P(salga as,4,5)+p(salga un4,un5,un6)=2×p*=0.0108
Análogamente calculamos el resto de probabilidades en los diferentes
casos:
Caso 3. 3-4 Q-J
P=3×p*=0.0163
Caso 4. el resto
P=4×p*=0.0218
b) Hay una carta por el medio
Caso 1. As-3 As-Q
P=p(salga un 2,4,5)=p*=0.0054
Caso 2. 2-4 K-J
P=2×p*=0.0108
Caso 3. El resto
P=3×p*=0.0163
C) Hay dos cartas por el medio
Caso 1. As-4 As-J
P=P*=0.0054
Caso 2. Elresto.
P=2×p*=0.0108
Si utilizamos una sola de mis dos cartas:
a) As, K,2
P=p(salga un 2,3,4,5)+p(salga un K,Q,J,10)= 2×P**
=2×(5×(4/50)×(4/49)×(4/48)×(4/47)×(46/46))=0.00009
b) Q,3
P=3×P**=0.00014
c) 4,J
P=4×P**=0.00019
d) 4,J
P=5×P**=0.00023
Probabilidad total:
a) las dos cartas van seguidas
Caso 1. As-2 As –k
p=p*+p**=p(salga un 3,un4,un5)+p(salga un K,Q,J,10)=
P=0.0054463
Caso 2. 2-3 k-Q
P=P(salga as,4,5)+p(salga un4,un5,un6)+P(SALGA
4,5,6,7)=2×p*+P**=0.0108463
Análogamente calculamos el resto de probabilidades en los diferentes
casos:
Caso 3. 3-4 Q-J
P=3×p*+P**=0.0163463
Caso 4. 4-5 J-10
P=4×p*+P**=0.0218463
Caso 5. El resto
P=4×p*+2×p**=0.02189
b) Hay una carta por el medio
Caso 1. As-3 As-Q
P=p(salga un 2,4,5)+P(,4,5,6,7)=p*+P**=0.0054463
Caso 2. 2-4 K-J
P=2×p*+P**=0.0108463
Caso 3. 3-5 Q-9
P=3×p*+P**=0.0163463
Caso 4. Elresto
P=3×p*+2P**=0.01639
C) Hay dos cartas por el medio
Caso 1. As-4 As-J
P=P*+2×p**=0.00549
Caso 2. 2-5 K-10 3-6 Q-9
P=2×p*+2×p**=0.01089
Caso 3. 4-7 J-8
P=2×p*+3×P**=0.01094
Caso 4. El resto.
P=2×p*+4×P**=0.01103
Probabilidad de hacer escalera de color:
P=p(escalera)ΩP(color)=p(color)×p(escalera/color)=p(escalera)×p(color/esca
lera)= p(escalera)×(1/(4×4×4×4×4))
Introducción
En este trabajo he calculado la probabilidad de conseguir las diferentes
jugadas que llevan a ganar en Texas Hold ’em, una de las variedades del
poker. Finalmente he realizado una simulación de 100 millones de partidas,
contando el numero de jugada de cada tipo se produce a lo largo de la
simulación para así comprobar si el calculo de probabilidades e s fiable.
En Texas Hold ’em, se juega en una mesa de 10 jugadores, cada uno de los
cuales recibe 2 cartas de una baraja de 52. Dicha baraja se compone de 4
palos (picas, diamantes, corazones y tréboles)con 13 cartas para cada
palo(desde el As hasta la K con 8,9,10). Las diferentes jugadas del poker
constan de 5 cartas. El ganador será el participante que consiga mejor
jugada con sus cartas y 5 cartas comunes que serán descubiertas sobre la
mesa. Por tanto, debe elegir las 5 cartas de las 7 posibles(2 suyas y 5 en
mesa) que le permiten obtener la mejor jugada.
Cada jugador después de valorar sus 2 cartas decide si jugarlas igualando
la puesta que halla en la mesa. A continuación se descubren tres cartas de la
baraja y se vuelve a apostar, luego la cuarta y se vuelve a apostar y
finalmente la quinta.
La carta de más valor es el As luego la K, y así por orden hasta el dos, el
palo no influye. Siempre hay un ganador o empate. Por tanto si ningún
participante consigue las jugadas que se mencionan a continuación, gana el
que tenga las 5 cartas de mayor valor. A veces puede ocurrir incluso que la
mejor jugada este en las cinco cartas de la mesa y se produzca un empate
conjunto.
En el poker hay 8 jugadas posibles. Como ya se ha mencionado cada jugada
consta de 5 cartas. Por orden, desde la jugada con menos valor hasta la que
gana a todas son las siguientes:
-pareja. Dos cartas iguales en número y las tres más altas.
- doble pareja. Dos parejas y la carta más alta.
-trío. Tres cartas iguales en número y los dos más altas.
-Escalera. Cinco cartas con números consecutivos.
-Color. Cinco cartas del mismo palo.
-Full. Un trío y una pareja
-Poker. Cuatro cartas iguales en numero y la quinta más alta
-Escalera de color. Escalera en la las cinco cartas son del mismo palo.
Los cálculos
Para los cálculos de obtener jugada he partido de las siguientes
simplificaciones:
-siempre cuento con que utilizo las dos cartas ,o una de ellas al menos, de
las que me han repartido porque de lo contrario la mejor jugada estará en la
mesa y es común al resto de jugadores.
-Cuento que en la baraja quedan 50 cartas cuando se empiezan a descubrir
en la mesa. No he tenido en cuenta que además de mis dos cartas faltan en
la baraja las 18 restantes que pertenecen al resto de jugadores, con lo cual
esto resta fiabilidad al cálculo porque la carta que necesitamos la puede
tener un compañero. Este factor que se conoce como incertidumbre
disminuye cuando lo hace el número de jugadores de la mesa.
-He calculado la probabilidad de hacer al menos pareja, es decir estoy
contando también como pareja a las dobles parejas, trío, poker, full. Es
decir, en el momento que haya dos cartas iguales lo considero pareja.
La razón de esto es que la pareja ganará a una pareja más baja o a una
combinación de cartas sin jugadas, pero el poker también. Análogamente he
realizado los cálculos para el resto de las jugadas.
Las probabilidades las he calculado teniendo en cuenta que el hecho de
sacar cinco cartas de una baraja son sucesos dependientes, y por tanto:
P(n éxitos)= [5! / ( (5-n)! × n! )] p(una de las configuraciones)
Una de las configuraciones podría ser, para n=2, siendo a el número de
cartas que me proporcionan el éxito:
a
a-1
50-a
50-a-1
50-a-2
luego, p(una de las configuraciones)= (a/50)× ((a-1)/49) × ((50-a)/48) ×
((50-a-1)/47)×((50-a-2)/46)
La probabilidad
en el
poker
PATRICIA NOVO GARCÍA, 3º -3
La simulación
La simulación de una partida de poker se consigue generando cinco números
aleatorios, que se normalizan del 1 al trece (el número), y a continuación del
uno al cuatro(palo). Cada número aleatorio genera así un vector de dos
componentes que representa una carta. El problema es que podría dar la
casualidad de que dos números aleatorios que representan la misma
carta salieran en la misma partida, y en la realidad una baraja no
consta de dos cartas iguales. He intentado resolverlo eliminando esas
manos, pero no se hasta que punto esto es aleatorio.
Obtenemos una combinación de cinco cartas, y el ordenador contabiliza las
jugadas que se han obtenido con las tres mejores de estas y dos más que
serían las del jugador, introducidas por teclado, en este caso se trata de
dos Ases del mismo palo, que tampoco podrán estar en la baraja. En
este caso he eliminado las manos que los incluyan también. Repitiendo la
operación 100 millones de veces obtenemos una aproximación real de las
probabilidades de cada jugada.
El programa
El programa que lleva a cabo la simulación en fortran es el siguente:
program random
integer
n,a(2,7),n_pareja,n_trio,n_poker,n_dobles,n_full,n_color,control,v,u,k
integer(4) :: l,p,q
real x
integer(2) i,j
idum=-3355
a(:,1)=reshape((/1,1/),(/2/))
a(:,2)=reshape((/1,2/),(/2/))
n_pareja= 0
n_trio=0
n_poker=0
n_full=0
n_dobles=0
n_color =0
n_escalera =0
n_escaleradecolor =0
p= 0
do l=1,100000000
do k=3,7
a(1,k)=int(13.0*drand1(idum))+1
a(2,k)= int(4.0*drand1(idum))+1
q=0
do i=1,k-1
if ((a(1,k)==a(1,i)).and.(a(2,k)==a(2,i))) then
q=1
endif
enddo
if((( a(1,k)==a(1,1)).or.(a(1,k)==a(1,2))).and.((
a(2,k)==a(2,1)).or.(a(2,k)==a(2,2))))then
q=1
endif
if(q==1) exit
enddo
if (q==1) then
p=p+1
else
u=0
v=0
do i=1,2
control=0
do j=i+1,7
if(a(1,i)==a(1,j)) then
control=control+1
endif
enddo
if((control>0).and.(v==0))then
n_pareja=n_pareja +1
v=1
endif
if((control>1).and.(v<2))then
n_trio=n_trio +1
v=2
endif
if((control>2).and.(v<3))then
n_poker=n_poker +1
v=3
endif
enddo
control=0
do j=i+1,7
if((a(2,i)==a(2,j)).and.(u==0))then
control=control+1
endif
enddo
if((control>3).and.(u/=1))then
n_color= n_color+1
u=1
endif
do i=1,6
do j=i+1,7
if(a(1,i)>a(1,j)) then
control=a(1,j)
a(1,j) =a(1,i)
a(1,i) = control
endif
enddo
enddo
control = 0
do i=3,7
enddo
if(a(1,1)==a(1,i)+(i-2)) then
control =control+1
endif
if(control>4)then
n_escalera=n_escalera+1
endif
if((control>4).and.(u==1))then
n_escaleradecolor=n_escaleradecolor+1
endif
control = 0
do i=3,7
if(a(1,1)==a(1,i)-(6+i)) then
control =control+1
endif
enddo
enddo
if(control>4)then
n_escalera=n_escalera+1
endif
if((control>4).and.(u==1))then
n_escaleradecolor=n_escaleradecolor+1
endif
do i=3,6
do j=i+1,7
if(a(1,i)==a(1,j)) then
n_dobles=n_dobles+1
if((a(1,3)==a(1,1)).and.(a(1,4)/=a(1,1)))then
n_full =n_full +1
endif
endif
enddo
enddo
endif
write(*,*)n_pareja,n_trio,n_poker,n_dobles,n_full,n_color,
n_escalera, n_escaleradecolor,p
end program
!
!
!
!
--------------------------------------------------generador de numeros aleatoris
Numerical recipes RAND2
---------------------------------------------------
!
---------------------------------------------------function drand1(idum)
---------------------------------------------------!llavors
parameter(m=714025,ia=1366,ic=150889,rm=1./m)
dimension ir(97)
!
SAVE
230
data iff /0/
if (idum.lt.0.or.iff.eq.0) then
iff=1
idum=mod(ic-idum,m)
do j=1,97,1
idum=mod(ia*idum+ic,m)
ir(j)=idum
end do
idum=mod(ia*idum+ic,m)
iy=idum
end if
j=1+(97*iy)/m
if(j.gt.97.or.j.lt.1) go to 230
iy=ir(j)
drand1=iy*rm
idum=mod(ia*idum+ic,m)
ir(j)=idum
return
end
Resultados
A lo largo de 100 millones de iteraciones se han obtenido los siguientes
resultados:
Nº de partidas válidas = 66866367
NOTA : He eliminado aquellas partidas en las que coincide una carta con las de partida.
Nº de partidas con parejas= 66866367
Nº de partidas con dobles parejas= 39846161
Nº de partidas con trío= 12831574
Nº de partidas con full= 4703300
Nº de partidas con poker= 546050
Nº de partidas con escalera= 11941
Nº de partidas con escalera de color= 172
Nºde partidas con color= 1236415
Calculo de la probabilidad:
Probabilidad de hacer pareja= 1
Probabilidad de hacer dobles parejas= 0.596
Probabilidad de hacer trío= 0.192
Probabilidad de hacer full= 0.070
Probabilidad de hacer poker= 0.008
Probabilidad de hacer escalera= 0.0002
Probabilidad de hacer escalera de color= despreciable
Probabilidad de hacer color= 0.018
Conclusiones
Comparamos los dos casos de probabilidad real y probabilidad calculada,
para el cado de que nuestras dos cartas iniciales sean dos ases del mismo
palo, con una aproximación de tres decimales:
Probabilidad de
conseguir:
Pareja
Dobles parejas
Trio
Full
Poker
Escalera
Escalera de color
Color
calculada
real
1
0.596
0.192
0.074
0.008
0.0001
despreciable
0.012
1
0.596
0.192
0.070
0.008
0.0002
despreciable
0.018
Y comprobamos que son más o menos similares. En el caso de la escalera de
color debemos llegar al octavo decimal por lo que lo desprecio en ambos
casos.