UNIDAD 1 VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

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UNIDAD 1
VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIÓN DE
PROBABILIDADES
Una variable aleatoria es una función que asigna un número real a cada resultado del
espacio muestral de un experimento aleatorio.
Dicho de otra forma, una variable aleatoria es una función valorada numéricamente,
cuyo valor está regido por factores en los que interviene el azar.
Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas, según su rango de valores.
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
Una variable aleatoria que puede asumir una cantidad finita de valores o una sucesión
infinita de valores enteros se llama variable aleatoria discreta. Por ejemplo, consideremos
que un experimento consiste en contar los vehículos que llegan a un puesto de cobro; la
variable aleatoria de interés es la cantidad de vehículos que llegan en un minuto y sus
posibles valores son 0, 1, 2…
Las variables aleatorias cualitativas deben asumirse como discretas, puesto que a cada
posible valor podría asignársele un número.
La descripción del conjunto de posibles valores de X y la probabilidad asociada a cada uno
se denomina distribución de probabilidad. Si la variable puede tomar un número
pequeño de valores, la forma más simple consiste en construir una tabla que contenga los
posibles valores y sus respectivas probabilidades; si no son pocos, lo más adecuado es
expresar dicha probabilidad como una ecuación.
La distribución de probabilidad se describe mediante una función de probabilidad,
representada por f(x).
EJEMPLO 1.1.
Un embarque de 8 aparatos similares que se envía a un distribuidor contiene 3 aparatos
defectuosos. Si una persona realiza una compra aleatoria de 2 de estos aparatos, encuentre
la distribución de probabilidades para el número de computadores defectuosos
Solución:
2
p(X=0) = 5/8 * 4/7 = 10/28
p(X=1) = 5/8 * 3/7 * 2 = 15/28
p(X=2) = 3/28
Por lo tanto, la distribución de probabilidades puede expresarse así:
x
f(x)
0
10/28
1
15/28
2
3/28
Dicha distribución puede representarse mediante un diagrama de barras, teniendo en
cuenta que se trata de una variable discreta.
Siempre que se evalúen variables aleatorias, se cumple que:
f(x) ≥ 0
2.  f ( x)  1
1.
Además, puede hablarse de una distribución acumulada de dicha variable; ésta se denota
como F(X), indica la probabilidad de que X sea menor o igual a un valor específico y está
dada por:
x x
F(X) = P(X≤x) =

P(X)
x 0
EJEMPLO 1.2.
La producción diaria de 850 partes manufacturadas contiene 50 que no cumplen con los
requerimientos del cliente. Del lote se escogen dos partes al azar; si X es el número de
partes que no cumplen los requerimientos del cliente, hallar F(X=1).
Solución:
F(1) = P(X=0) + P(X=1)
= 800/850*799/849 + 800/850*50/849*2
= 0.997
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El valor esperado (E(x)) de una variable aleatoria discreta es un promedio ponderado de
los valores que puede asumir la variable; los factores de ponderación son las
probabilidades. Dicho valor esperado está dado por:
E( x)     xf ( x)
Su varianza es un promedio ponderado de las desviaciones de cada valor posible respecto
al promedio, elevadas al cuadrado; los factores de ponderación son las probabilidades. La
varianza está dada por:
Var( x)   2  ( x  ) 2 f ( x)
EJEMPLO 1.3.
Calcular el valor esperado y la desviación estándar de la variable del número de aparatos
defectuosos comprados en el caso del ejemplo 1.1.
Solución:
  1*

15
3
 2*
 0.75 aparatos defectuoso s
28
28
10
15
3
* (0  0.75) 2  * (1  0.75) 2  * (2  0.75) 2  0.634 aparatosdefectuosos
28
28
28
Frecuentemente las observaciones que se generan en experimentos estadísticos tienen
algunos tipos generales de comportamiento, por eso sus variables se pueden describir
esencialmente con unas pocas distribuciones, las cuales pueden representarse mediante una
ecuación.
Frente a la complejidad de los fenómenos bajo estudio, el experimentador aproxima y hace
algunos postulados tentativos acerca del mecanismo aleatorio y deriva un modelo por el
empleo de esos postulados en combinación con las leyes de probabilidad.
Un modelo de probabilidad para la variable aleatoria X es una forma específica de
distribución de probabilidades que es asumida para reflejar el comportamiento de X. Las
probabilidades son registradas en términos de parámetros desconocidos que relacionan las
características de la población y el método de muestreo.
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“EL MODELO DEBE SER COHERENTE CON LA REALIDAD”
En esta unidad se examinarán detalladamente algunas distribuciones específicas de
probabilidad que han demostrado, empíricamente, ser modelos útiles para diversos
problemas prácticos. Pero dichas distribuciones son teóricas porque sus funciones de
probabilidad se deducen matemáticamente con base en ciertas hipótesis que se suponen
válidas para esos fenómenos aleatorios.
Dichas distribuciones son idealizaciones del mundo real, por lo tanto sus resultados no
siempre coinciden con la realidad.
ALGUNOS MODELOS DE DISTRIBUCIONES DISCRETAS
1. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL: Se maneja cuando se satisfacen las siguientes
características:
a) El experimento consiste en una sucesión de n ensayos o intentos idénticos.
b) El resultado de cada ensayo se clasifica dentro de dos categorías mutuamente
excluyentes: Éxito o fracaso. El uso de esos términos es por conveniencia, pero no
tienen la misma connotación de la vida real (éxito no necesariamente es lo que
convenga).
c) La probabilidad de éxito permanece constante en todos los ensayos.
d) Los ensayos son independientes, lo que significa que la ocurrencia de uno de ellos no
afecta el resultado de cualquier otro.
La función de probabilidad binomial puede escribirse como:
 n
f ( x)    p x q n x ,
 x
donde x es el número de éxitos, n el número de ensayos, p es la probabilidad de éxito y q
es la probabilidad de fracaso.
A continuación se muestra la representación gráfica de una distribución binomial con
valores de n y p determinados:
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EJEMPLO 1.4.
Cierta aerolínea hace ocho vuelos diarios de Bogotá a Miami. Suponga que la probabilidad
de que alguno de los vuelos se retrase es 0.2.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los vuelos se retrase hoy?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que hoy se retrasen por lo menos 6 vuelos?
Solución:
8
a) P(X=0) =   * 0.2 0 * 0.88  0.1678
 0
b) P(X≥6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8)
8
8
  * 0.2 6 * 0.8 2    * 0.2 7 * 0.81  0.28
=  6
7
= 0.00123
6
Media y varianza de la distribución binomial: Media = np Varianza = npq
Revisemos la distribución de probabilidades de un caso binomial en el que p = 0.3 y el
número de ensayos varía:
En casi todos los libros de estadística se encuentran tablas de la distribución binomial para
valores seleccionados de p. Para ilustrar su uso, veamos el siguiente ejemplo:
EJEMPLO 1.5.
Un examen de selección múltiple contiene 20 preguntas, cada una con cuatro posibles
respuestas, de las cuales sólo una es correcta. Suponga que un estudiante sólo adivina las
respuestas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante conteste correctamente más de la mitad de
las preguntas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante conteste correctamente menos de 5
preguntas?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante gane el examen?
d) ¿Cuál es el número esperado de respuestas correctas?
e) Responder las preguntas a) y c) si cada pregunta tiene 5 opciones.
Solución:
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p=¼
n = 20
a) P(X>10) = 1 – P(X10) = 1 – 0.9961 = 0.0039
b) P(X<5) = P(X4) = 0.4148
c) P(X12) = 1 – P(X11) = 1 – 0.9991 = 0.0009
d)  = np   = 20 * ¼ = 5 respuestas correctas
e) La probabilidad de éxito sería ya de 1/5, por tanto:
P(X>10) = 1 – P(X10) = 1 – 0.9994 = 0.0006
P(X12) = 1 – P(X11) = 1 – 0.9999 = 0.0001
2. DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA: Como el muestreo sin reemplazo viola las
condiciones de Bernoulli si la muestra no es grande, algunas veces es necesario plantear un
tipo diferente de distribución. (Es evidente que la mayoría de muestreos se realiza sin
reemplazo, esto implica que si la población es pequeña las probabilidades cambiarán en
cada observación).
Cuando se selecciona sin reemplazo una muestra aleatoria de tamaño n de una población
de tamaño N y el interés recae en la probabilidad de seleccionar x éxitos de los k artículos
considerados como éxitos en la población, se realiza un experimento hipergeométrico y su
función de probabilidad viene determinada por:
 k  N  k 
 

x  n  x 

f ( x) 
N
 
n
La distribución hipergeométrica requiere el conocimiento de k y N.
La media y la varianza de la distribución hipergeométrica son:

nk
N
y
2 
N n
k
k
* n * 1  
N 1
N N
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EJEMPLO 1.6.
En cierta empresa se fabricaron durante la semana 50 estaciones de juego para video.
Cuarenta de ellas funcionaron perfectamente y las demás tenían algún defecto. Se
seleccionó al azar una muestra de 5; ¿cuál es la probabilidad de que al menos 4 de ellas
funcionaran perfectamente?
Solución:
 4010  4010
      
4 1
5 0
P(X4) =        0.742
 50
 
5
3. DISTRIBUCIÓN DE POISSON: Este es el modelo de probabilidad más adecuado
para eventos que ocurren aleatoriamente a través del tiempo o el espacio. Este tipo de leyes
se aplica a sucesos con probabilidad muy baja de ocurrir, obteniéndose como la
distribución límite de una sucesión de variable binomiales.
Un tipo importante de problemas de decisión bajo incertidumbre es caracterizado por la
pequeña probabilidad de ocurrencia de un acontecimiento particular, tal como un
accidente. La función de probabilidad de Poisson calcula la probabilidad de exactamente x
ocurrencias independientes durante un período de tiempo dado, si los eventos ocurren
independientemente y a una tasa constante. La función de la probabilidad de Poisson
también representa el número de ocurrencias sobre áreas o volúmenes constantes.
Esta distribución supone:
a) Independencia: El número de ocurrencias en un intervalo determinado es independiente
del número de ocurrencias en cualquier otro intervalo.
b) La posibilidad de dos ocurrencias simultáneas puede ser asumida como cero.
c) El número promedio de ocurrencias por unidad de tiempo o espacio se considera una
constante.
d) La probabilidad de que suceda determinado número de eventos en un proceso de
Poisson depende únicamente de la longitud del intervalo observado y no de su
ubicación.
La distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson X, que representa el
número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo, área, espacio o volumen
específico se denota así:
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e  t (  t ) x
f ( x) 
,
x!
donde  es el número promedio de resultados por unidad de tiempo o región y t es la
longitud del intervalo.
A continuación se observa la representación gráfica de una distribución de Poisson con una
media baja:
EJEMPLO 1.7.
Al Departamento de Reservaciones de Aerolíneas Regionales llegan en promedio 48
llamadas por hora.
a) Calcule la probabilidad de recibir 3 llamadas en un intervalo de 5 minutos.
b) Calcule la probabilidad de recibir al menos una llamada en 15 minutos.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la secretaria pueda ausentarse tres minutos sin interferir
con la atención de las llamadas?
Solución:
e 48*1 / 12 (4) 3
 0.1954
a) P( X  3) 
3!
10
P( X  1)  1  P( X  0)
b)
1 
e  48*1 / 4 *120
 0.999994
0!
c) P( X  0)  e 48 / 20  0.0907
Al igual que para la distribución binomial, existen también tablas para la distribución
Poisson. Veamos un ejemplo:
EJEMPLO 1.8.
Los mensajes que llegan a un computador utilizado como servidor lo hacen de acuerdo con
una distribución Poisson con una tasa promedio de 10 mensajes por hora.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen más de 3 mensajes en un espacio de 15 minutos?
b) ¿Cuál es el número esperado de mensajes en una jornada de 14 horas?
Solución:
a)  = 10
t=¼
 = 2.5
P(X>3) = 1 – P(X3)
= 1 – 0.7576
= 0.2424
b)  = 10*14
= 140 mensajes
La media y la varianza de la distribución de Poisson tienen el valor t.
En general utilizaremos la distribución de Poisson como aproximación de
experimentos binomiales donde el número de pruebas es muy alto, pero la
probabilidad de éxito muy baja, teniendo en cuenta que µ = np
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EJEMPLO 1.9.
Se calcula que 0.5% de las llamadas al departamento de facturación de cierta empresa
recibirá el tono de ocupado. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 5 de las 1200
personas que llamaron el día de hoy haya recibido tono de ocupado?
Solución:
µ = 0.005*1200 = 6
P( X  5)  0.7149
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar cualquier valor dentro de un
intervalo de números reales. Por lo tanto, no es posible conocer su valor exacto.
Si la variable aleatoria es discreta, pero el rango es muy amplio, resulta más conveniente
utilizar un modelo basado en variables aleatorias continuas.
Cuando la variable es continua no tiene sentido hacer una suma de las probabilidades de
cada uno de los términos en el sentido anterior, ya que el conjunto de valores que puede
tomar la variable es no numerable. En este caso, lo que generaliza de modo natural el
concepto de suma (Σ) es el de integral (∫).
Dicha función es denominada función de densidad de probabilidad de X (f(x)) y cumple lo
siguiente:

a)
 f ( x) dx 1

b) P( x1  X  x2 ) 
x2
 f ( x)dx
x1
c) f(x) ≥ 0
d) P(X = x) = 0 
P( x1  X  x2 )  P( x1  X  x2 )
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Esta última propiedad podría describirse así: La probabilidad que un modelo de variable
continua asigna a la observación de un valor exacto (es decir, medido con infinita
precisión) es cero.
La función de densidad podría mirarse como un modelo de la curva límite que
obtendríamos en el histograma de una población disminuyendo indefinidamente las
anchuras de cada clase. Lo anterior implica que la función de densidad de una variable
continua se expresa siempre como una ecuación, que es hallada por regresión.
f(x) es más general que un histograma. Trata de reflejar no el comportamiento de una
muestra concreta, sino la estructura de los valores de la variable a largo plazo; además, es
más operativa.
La media o valor esperado de X está dado por:

   xf ( x)dx , donde -∞ e ∞ son los valores extremos posibles

La varianza está dada por:

 2   ( x   ) 2 f ( x)dx =


x
2
f ( x)dx   2

EJEMPLO 1.10.
La demanda semanal de Pepsi, en miles de litros, de una cadena local de tiendas, es una
variable continua X que tiene la densidad de probabilidad
 2( x  1),1  x  2
f ( x)  
0, en cualquierotro caso
Encuentre la media y la desviación estándar de X.
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Solución:
2
  2 x( x  1)dx  5 / 3
1
2
 2  2 x 2 ( x  1)dx  5 / 32  1 / 18    0.236
1
Lo anterior implica que se espera una demanda semanal promedio de 1667 litros de Pepsi y
que la variabilidad de esta variable no es grande.
ALGUNOS MODELOS DE DISTRIBUCIONES CONTINUAS
1. Distribución uniforme continua:
Se caracteriza porque la probabilidad es constante en un intervalo cerrado [a,b] y, por lo
tanto, su función de densidad es plana. Eso implica que la probabilidad de que al hacer un
experimento aleatorio, el valor de X este comprendido en cierto subintervalo de [a,b]
depende únicamente de la longitud del mismo, no de su posición.
Su función de densidad está dada por: f ( x) 
1
, a xb
ba
Función de densidad y función acumulada de una variable uniforme
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b
Su media es:
x
 b  adx 
a
ab
2
ab
1
(b  a ) 2

dx 
y su varianza es:   x 
 *
2  ba
12
a
b
2
EJEMPLO 1.11.
Una aerolínea anuncia un tiempo de vuelo de 125 minutos para un itinerario determinado.
Suponiendo que los tiempos reales de vuelo se distribuyen uniformemente entre 2 horas y
2 horas y media,
a) ¿cuál es la probabilidad de que el vuelo no llegue más de cinco minutos tarde?
b) ¿cuál es la probabilidad de que el vuelo llegue más de diez minutos tarde?
c) ¿cuál es el tiempo esperado de vuelo?
Solución:
130
a) P( X  130) 
 (1 / 30)dx  1 / 3
120
150
b) P( X  135) 
 (1 / 30)dx  1 / 2
135
c)  
120  150
 135 minutos
2
2. Distribución normal:
Es la más empleada para modelar experimentos aleatorios porque describe ajustadamente
muchos fenómenos naturales, industriales e investigativos; los errores en mediciones
científicas se aproximan bien mediante la distribución normal.
Esta distribución puede obtenerse al considerar el modelo de una variable binomial cuando
el número de ensayos tiende a infinito.
La función de densidad de una variable aleatoria normal X, con media µ desviación
estándar σ es:
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f ( x) 
1
2 
e
 ( x )2 

2 
 2

,   x  
La distribución normal presenta las siguientes características:
1. Su gráfica tiene forma de campana.
2. El punto más alto de la curva normal es la media, que también es la mediana y la moda
de la distribución.
3. El área total bajo la curva es 1.
4. La curva es simétrica alrededor de la media; por lo tanto, el área a la izquierda de la
media es 0.5 e igual a su derecha.
5. El eje x es una asíntota horizontal, es decir, los extremos de la curva se prolongan al
infinito en ambas direcciones.
6. La desviación estándar determina el ancho de la curva. A mayores valores de σ se
obtienen curvas más anchas y bajas (mayor dispersión de los datos).
Distribuciones normales con diferentes medias e igual dispersión y distribuciones
normales con igual media y diferente dispersión.
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Por lo descrito, la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor entre a y b es:
P ( a  X  b) 
1
b
e
2 

( x )2
2 2
dx
a
Que gráficamente sería:
Esta integral no es de fácil solución, pero dicho problema puede obviarse mediante la
estandarización de la variable, que consiste en transformar todas las observaciones de
cualquier variable aleatoria normal X a un nuevo conjunto de observaciones de una
variable aleatoria normal Z con media 0 y varianza 1; todas las distribuciones normales
pueden convertirse a “distribuciones normales estándar” restando la media de cada
observación y dividiendo por la desviación estándar.
x
Z

Para la utilización en problemas prácticos de la distribución normal existen ciertas tablas
donde se encuentran los valores F(x) para una serie limitada de valores Z dados.
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La gráfica anterior muestra que aproximadamente el 68% de las veces, una variable
aleatoria normal asume un valor en el intervalo µ±σ, aproximadamente 95% en el intervalo
µ± 2σ y más del 99% en µ ± 3σ
EJEMPLO 1.12.
Durante los últimos años ha crecido el volumen de acciones negociadas en la Bolsa.
Durante las dos primeras semanas de abril, el volumen diario promedio fue de 586000
acciones. La distribución de probabilidad del volumen es aproximadamente normal con
desviación estándar de 115000 acciones.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el volumen negociado en un día sea menor a 395000
acciones?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se negocien más de 800000 acciones?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día se negocien entre 500000 y 600000 acciones?
d) Si la Bolsa quiere emitir un boletín de prensa sobre el 5% de los días más activos, ¿qué
volumen activará la publicación?
Solución:
Sea: X = miles de acciones negociadas.
395 586

a) P( X  395)  P Z 
  P( Z  1.66)  0.0485
115 

800  586

b) P( X  800)  P Z 
  P( Z  1.86)  1  P( Z  1.86)  1  0.9686  0.0314
115 

600  586
 500  586
P(500  x  600)  P
Z
  P(0.75  Z  0.12)
c)
115 
 115
 0.5478 0.2266  0.3212
d ) P(Z  z)  0.05 P(Z  z)  0.95  De la tabla : z  1.645
z
x

 x    z  586  1.645 (115 )  775
Eso implica que la publicación se sacará los días que se negocien más de 775000
acciones.
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Aproximación normal a la distribución binomial:
Una variable aleatoria discreta con distribución binomial se puede aproximar mediante una
distribución normal si p no es cercana a 0 o a 1. La aproximación es muy buena si el
número de ensayos es grande y mucho mejor si p es cercana a 0.5
Como el valor esperado y la varianza de X son respectivamente np y npq, la aproximación
X  np
consiste en hacer Z 
, teniendo en cuenta un factor de corrección por continuidad.
npq
Para que la aproximación sea adecuada debe cumplirse que np y nq sean mayores que 5.
EJEMPLO 1.13.
Una prueba de opción múltiple tiene 200 preguntas, cada una con cuatro respuestas
posibles de las que sólo una es correcta. ¿Cuál es la probabilidad de que con puras
conjeturas se obtengan de 25 a 30 respuestas correctas para 80 de los 200 problemas acerca
de los que el estudiante no tiene conocimientos?
Solución:
La probabilidad de una respuesta correcta para cada una de las 80 preguntas es ¼.
σ=
µ = np = 80(1/4) = 20
Los valores correspondientes son:
z1 
npq =
(80(1/ 4)(3 / 4) )  3.873
24 .5  20
 1.16
3.873
z2 
30.5  20
 2.71
3.873
P(1.16 < Z < 2.71) = 0.9966 – 0.8770 = 0.1196
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Se elige una muestra de 20 empresas colombianas exportadoras. Se sabe por estadísticas
de años anteriores que aproximadamente el 40% de las empresas colombianas
exportadoras registra operaciones en más de 5 ciudades.
a) ¿Qué tan probable es encontrar al menos 18 empresas que tengan operaciones en
más de 5 ciudades? Si ese porcentaje fuera muy alto, ¿creerías que el porcentaje
dado ha variado y que ya las empresas trabajan en más ciudades?
b) ¿Qué tan probable es encontrar entre 10 y 15 empresas que laboren en más de 5
ciudades?
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2. Recientemente se llevó a cabo la Macrorrueda de Negocios de Latinoamérica;
estadísticas publicadas por Proexport muestran que el 40% de los compradores
extranjeros era de México. Si se muestrean 40 compradores extranjeros al azar, ¿cuál es
la probabilidad de que el número de mejicanos sea:
a) Menor o igual a 15
b) Al menos 10, pero menos de 20
3. A mediados del mes pasado se realizó en Medellín la Macrorrueda de Negocios de
Latinoamérica. Si se realizaron en promedio 20 negocios grandes por hora, ¿cuál es la
probabilidad de que:
a) se hicieran 10 negocios o menos entre las 10 y las 10 y media de la mañana de un
día determinado?
b) se realizaran entre 3 y 5 negocios –inclusive- en un período de 10 minutos?
c) se hicieran por lo menos 10 negocios en un espacio de 1 hora?
4. A finales del año anterior estuvieron de visita en Colombia gran parte de los principales
tours operadores de los Estados Unidos para conocer los principales destinos turísticos
que ofrece el país e intercambiar oportunidades de negocios con operadores y
empresarios colombianos. La probabilidad de que uno de esos operadores hubiera
establecido negocios grandes en Colombia es 0.8; si se selecciona aleatoriamente un
grupo de 15 operadores
a) ¿cuál es la probabilidad de que al menos 12 hayan hecho grandes negocios?
b) ¿cuál es la probabilidad de que menos de 5 hayan hecho grandes negocios?
c) ¿cuál es la probabilidad de que más de 5 pero menos de 10 hayan hecho negocios
grandes?
5. Los pasajeros de las aerolíneas llegan al azar e independientemente a la sección de
documentación en un aeropuerto internacional. La frecuencia promedio de llegadas es
de 10 pasajeros por minuto.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no llegue nadie en un espacio de 15 minutos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen al menos 3 pasajeros en cierto minuto?
6. Una encuesta nacional revela que el 60% de los administradores graduados trabajan en
su área de estudios. Si se evalúan los 16 egresados de Administración de la Universidad
X de este año, ¿cuál es la probabilidad de que:
a) todos se empleen en administración?
b) al menos el 75% de ellos se emplee en el área?
c) menos de 10 se empleen en el área?
7. El estudio de un inventario muestra que, en promedio, las demandas de cierto artículo en
un determinado almacén se realizan 10 veces al día. ¿Cuál es la probabilidad de que en
un día dado se pida este artículo
20
a) más de 5 veces
b) ninguna vez
c) entre 15 y 20 veces, inclusive
8. Un especialista en telemercadeo realiza seis llamadas telefónicas por hora y es capaz de
cerrar una venta en el 30% de esos contactos. Durante las siguientes dos horas,
encuentre:
a) La probabilidad de no cerrar ninguna venta.
b) La probabilidad de que concrete por lo menos tres ventas.
c) El número esperado de ventas en ese lapso.
9. Una compañía manufacturera utiliza un esquema para aceptación de los artículos
producidos antes de ser embarcados. El plan es de dos etapas. Se preparan cajas de 25
para embarque y se selecciona una muestra de 3 para verificar si tienen algún artículo
defectuoso. Si se encuentra por lo menos uno, la caja entera se regresa para verificarla
al 100%; si no se encuentra ningún artículo defectuoso la caja se embarca.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja que contiene 3 artículos
defectuosos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una caja que contiene sólo un artículo defectuoso se
regrese para verificación?
c) Suponga que dicha compañía decide cambiar su esquema de aceptación. Bajo el
nuevo esquema un inspector toma aleatoriamente un artículo, lo inspecciona y lo
regresa a la caja; un segundo inspector hace lo mismo; finalmente, un tercer
inspector lleva a cabo el mismo procedimiento. La caja no se embarca si cualquiera
de los 3 inspectores encuentra un artículo defectuoso. Responda la pregunta a bajo
este nuevo plan.
10. Se toma una muestra de 15 paquetes estadísticos para evaluar si permiten hacer un
determinado análisis. Anteriores estudios indican que la probabilidad de que un
software estadístico deje hacer ese análisis es 0.6. ¿Cuál es la probabilidad de que al
menos 13 de los 15 paquetes seleccionados permitan hacer el análisis?
a) Si se toma X = número de paquetes que permiten hacer el análisis.
b) Si se toma X = número de paquetes que no permiten hacer el análisis.
11. Al conmutador de una universidad llegan en promedio 120 llamada/hora durante las
horas de actividad. El conmutador no puede hacer más de 5 conexiones por minuto;
calcule la probabilidad de que:
a) el conmutador se encuentre congestionado en un minuto dado.
b) se pierdan 3 o más llamadas si la recepcionista salió 2 minutos de la oficina.
12. Un embarque de 100 artículos contiene dos unidades defectuosas. Al revisarlo, se
tomará una muestra y las unidades se inspeccionarán. Si se encuentra al menos una
unidad defectuosa, se rechazará todo el embarque.
a) Si se selecciona una muestra de 3 artículos, ¿cuál es la probabilidad de rechazar el
embarque?
b) ¿Cuál es esa probabilidad si la muestra es de 4 artículos?
21
c) ¿Cuál es esa probabilidad si la muestra es de 5 artículos?
d) ¿Qué concluye?
13. Cuando una máquina nueva funciona bien, sólo el 3% de los artículos que produce
tienen defectos. Si se seleccionan al azar 10 partes producidas por la máquina
a) ¿cuál es la probabilidad de encontrar por lo menos un defectuoso?
b) ¿cuál es la probabilidad de que al menos la mitad sean defectuosos?
14. Un nuevo proceso automatizado de producción ha tenido un promedio de 1.5
descomposturas por día. Debido al costo asociado con una descompostura, a la
administración le preocupa la posibilidad de tener tres o más descomposturas durante
un día. Suponga que esos daños ocurren al azar, que la probabilidad de daño es igual
para dos intervalos cualquiera de igual longitud y que las descomposturas en un
período son independientes de las que suceden en otros períodos. ¿Cuál es la
probabilidad de tener 3 o más descomposturas en un día?
15. En la tabla siguiente se observan las distribuciones de probabilidad para calificaciones
en una muestra de altos ejecutivos y mandos medios de sistemas de información. Las
calificaciones van de 1 (muy insatisfecho) hasta 5 (muy satisfecho).
Probabilidad
Calificación de
satisfacción en el
trabajo
1
2
3
4
5
Altos ejecutivos
Mandos medios
0.05
0.09
0.03
0.42
0.41
0.04
0.1
0.12
0.46
0.28
a) ¿Cuál es el valor esperado de calificación en cada grupo?
b) Calcule la desviación estándar para ambos grupos.
c) Con base en las dos medidas anteriores, haga comentarios sobre la satisfacción con
sus trabajos de altos ejecutivos y mandos medios
16. El estudio de un inventario determina que, en promedio, las demandas de un artículo
particular en un almacén se realizan cinco veces al día. ¿Cuál es la probabilidad de que
en un día dado se pida este artículo
a) más de cinco veces?
b) ninguna vez?
17. Una funcionaria de crédito de cierta empresa calcula, con base en sus años de
experiencia, que la probabilidad de que un solicitante no sea capaz de pagar las cuotas
22
del crédito que se le otorgó es de 0.025. El mes pasado esa funcionaria otorgó 40
créditos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no se recuperen 3 de esos créditos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no se recuperen al menos 3 de esos créditos?
1. Los días 27 y 28 de marzo de 2006 se llevará a cabo en Cartagena una macrorrueda de
Agroindustria, donde se pretende que las empresas exportadoras colombianas del sector
muestren la alta calidad, diseño y valor agregado de sus productos. Se tienen datos de
asistencia de compradores internacionales a eventos de este tipo realizados en
Latinoamérica y se ha encontrado que dicha variable tiene una distribución
aproximadamente normal con media de 846 compradores y desviación estándar de 275
compradores.
a) ¿Qué tan probable es que al evento asistan más de 1300 compradores
internacionales?
b) ¿Qué tan probable es que asistan entre 900 y 1200 compradores internacionales?
c) Si el número de compradores internacionales supera por lo menos al 90% de los
compradores internacionales en los eventos latinoamericanos de este tipo, el evento
será destacado en la comunidad internacional mediante un boletín de prensa en
Estados Unidos. ¿Cuántos compradores internacionales deben presentarse como
mínimo para que se presente ese hecho?
2. Se ha encontrado, por datos históricos, que el del monto de negocios en las ferias de
textiles que se han desarrollado en Colombia durante los últimos 5 años sigue
aproximadamente una distribución normal con media 9.8 millones de dólares y
desviación estándar de 8.7 millones de dólares.
a) En Colombiatex, realizada en enero en Medellín, se efectuaron negocios por 33
millones de dólares; ¿hará parte del 5% de ferias textileras donde más negocios se
han hecho?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en una feria de este tipo se hagan negocios por más
de 15 millones de dólares?
3. La revista X publicó el escalafón de las 500 empresas colombianas de mayores
exportaciones en 2005; publicó sus activos, utilidades y patrimonios. Se encontró que
el monto de los activos de dichas empresas sigue aproximadamente una distribución
normal con media de 358 millones de dólares y una desviación estándar de 156.4
millones de dólares.
Si se supone que para 2006 la distribución de los activos de esas empresas no varíe
mucho, responda:
a) ¿Qué tan probable es que los activos de una empresa de las que aparece en ese
escalafón supere los 200 millones de dólares, pero no los 400 millones de dólares?
23
b) ¿Entre qué valores se encuentran los activos en el 80% de las empresas más
“comunes” en cuanto a ese parámetro?
4. Cierta empresa planea exportar un neumático radial con banda de acero que venderá a
través de una cadena americana de tiendas de descuento. La dirección de la empresa
cree que la garantía de millas recorridas que se ofrezca con el neumático será un factor
importante en la aceptación. Antes de firmar ese contrato, la dirección desea contar con
información acerca de las millas que duran los neumáticos.
En pruebas reales en carretera, se ha estimado que el promedio de distancia recorrida es
36500 millas y que la desviación estándar es 5000 millas. Si la distribución de
probabilidad de las duraciones es aproximadamente normal,
a) ¿Cuál es la probabilidad de que las millas recorridas rebasen las 40000?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que los neumáticos duren en buen estado más de 30000
millas, pero menos de 50000?
c) La empresa planea una garantía según la cual el usuario recibirá un descuento en
sus neumáticos de repuesto si los neumáticos originales no rebasan la distancia en
millas especificada en la garantía. ¿Cuáles deben ser las millas recorridas para que
no haya más de 10% de los neumáticos que aprovechen el descuento de la garantía?
5. El tiempo necesario para terminar un examen final en determinado curso se distribuye
normalmente con 80 minutos de media y 10 minutos de desviación estándar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de terminar ese examen en una hora o menos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno termine el examen en más de 60 minutos,
pero en menos de 75 minutos?
c) Suponga que en el grupo hay 60 alumnos y que el tiempo del examen es de 90
minutos. ¿Cuántos alumnos se espera que no puedan terminar el examen en el
tiempo indicado?
6. 3256 personas presentaron los exámenes de ingreso a una universidad, los cuales se
calificaban con un puntaje máximo de 100. Las calificaciones se aproximan a una
distribución normal, con una media de 67.8 y una desviación estándar de 10.1.
a) El 12% de los postulantes con más alta calificación en el examen son aceptados en
la universidad. ¿Un estudiante que obtiene un puntaje de 73 en el examen es
aceptado o no?
b) ¿Qué porcentaje de postulantes obtuvieron una calificación entre 60 y 80?
7. Una prueba de admisión a una universidad tiene 200 preguntas, cada una con 4 posibles
respuestas, de las que sólo una es correcta. Para pasar a entrevista se debe responder
correctamente por lo menos el 75% de las preguntas.
a) Un aspirante está seguro de 107 respuestas, pero tiene que responder las demás al
azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea llamado a entrevista?
b) Un aspirante sólo tiene que adivinar 10 para ajustar el número de respuestas
correctas que necesita, ¿cuál es la probabilidad de que sea llamado a entrevista?
24
8. Se esperaba que la crisis monetaria en Asia a finales de 1997 y principios de 1998
tuviera como consecuencia reducciones apreciables del empleo en Estados Unidos por
la inundación de su mercado con importaciones baratas. Se esperaba que California
estuviera fuertemente afectado. El Instituto de Política Económica estimó que la
cantidad media de pérdidas de empleo en California fuera de 126681. Suponga que la
cantidad de empleos perdidos tiene una distribución normal y que su desviación
estándar es de 30000.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad de empleos perdidos estuviera entre
80000 y 130000?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que esa cantidad sea inferior a 50000?
c) ¿Qué valor de corte dará como resultado una probabilidad de 0.95 de que la cantidad
de empleos perdidos no sea mayor de ese valor?
9. Un estudio sobre el pago de facturas reveló que, en promedio, una factura se pagaba a
los 20 días de su recepción. La desviación estándar equivalía a 5 días.
a) ¿Qué porcentaje de facturas se paga antes de 15 días de su recepción?
b) La gerencia desea estimular a los clientes para que paguen sus facturas mensuales lo
más pronto que les sea posible. Por lo tanto, se anunció que estaría vigente una
reducción de 2% en el precio para los clientes que pagaran en un lapso de siete días
hábiles a partir de que se reciba la factura. Suponiendo que los pagos tienen
distribución normal, de los 200 clientes que se espera este mes, ¿cuántos tendrían
derecho a la reducción si todo continúa igual?
10. Estadísticas publicadas muestran que en una noche promedio de fin de semana, dos de
cada diez conductores están ebrios. Si se verifican 400 conductores al azar la siguiente
noche de sábado, ¿cuál es la probabilidad de que el número de conductores ebrios sea
a) menor que 64?
b) mayor a 100?
c) al menos 70, pero menos de 90?
11. El salario inicial de los administradores de negocios internacionales recién egresados
tiene una distribución aproximadamente normal, con media $1069000 y desviación
estándar $369690.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que Paula, una recién egresada de la carrera, gane
más de $2000000?
b) Sergio gana $2000000. ¿Hace parte del 10% de los que más ganan? ¿Por qué?
c) ¿Por debajo de que valor está el salario del 5% de los más mal pagos?
12. Durante la semana anterior se llevó a cabo la Macrorrueda de Negocios de
Latinoamérica; estadísticas publicadas por Proexport muestran que el 40% de los
compradores extranjeros era de México. Si se muestrean 100 compradores
extranjeros al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el número de mejicanos sea:
a) Menor o igual a 35
25
b) Al menos 40, pero menos de 69
13. Los costos de servicio por mes en una agencia de viajes tienen una distribución
aproximadamente normal, con promedio de $150 millones y desviación estándar de
$6750000.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en el próximo mes los costos de servicio estén entre
120 y 170 millones de pesos?
b) ¿Por debajo de qué valor son los costos de servicio en el 20% de los meses con
menores costos?
14. Sea X la variable aleatoria que denota la vida en horas de cierto equipo. La función de
densidad de probabilidad es:
 20000
 x3

f ( x)  
 0


La ecuación está dada para x>100 y es 0 en cualquier otro caso
Encuentre la vida esperada de este tipo de equipo. Interprete.