Ficha 6

Ficha 7
Liceo nº26 – Turno Nocturno
Matemática – 6º Arquitectura
Estudio analítico y representación gráfica de funciones (EA y RG)
Al estudiar analíticamente una función, estudiaremos los siguientes puntos:
1) Dominio de f
En primer lugar se pedirá estudiar el dominio de la función. Acordaremos que cuando pedimos estudiar el
dominio de f, estudiamos el máximo dominio en el que dicha función puede estar definida.
2) Raíces, signo de f y ordenada en el origen
Siempre y cuando tengamos las herramientas necesarias para hacerlo, en segundo lugar hallaremos las
raíces de f y realizaremos su signo. También estudiaremos f (0) (valor en donde el gráfico corta al eje Oy.)
3) Continuidad de f
Recordemos que como vimos en fichas anteriores, las funciones elementales son continuas en todo su
dominio. Por lo que deberemos estudiar los límites laterales en los valores que no pertenecen al dominio.
4) Ramas infinitas y asíntotas
Debemos estudiar los límites cuando x   y cuando x  

Si lím f ( x)  l entonces la recta y = l es asíntota horizontal cuando x  
x  
- lím
x 
f ( x)
m0 y
x
entonces la recta

lím  f ( x)  mx   n
x  
y  mx  n es asíntota oblicua cuando x  
Si lím f (x )  
x  
- lím
x  
f ( x)
0
x
f tiene Dirección asintótica paralela a Ox cuando x  
- lím
x  
f ( x)

x
f tiene Dirección asintótica paralela a Oy cuando
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5) Derivada
Hallaremos la función derivada de f, a la que llamaremos f’. Estudiaremos sus raíces y signo, a partir de ello
podremos extraer la siguiente información:
 Crecimiento y decrecimiento de la función
Si f ' ( x0 )  0  f es creciente en x0
Si f ' ( x0 )  0  f es decreciente en x0
 Máximos o mínimos relativos
Si f(x) es derivable en x0 y tiene un máximo o mínimo en x0  f ' ( x0 )  0
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Repaso de cada ítem:
1) Dominio de f
Sean u(x), n(x) y d(x) funciones con dominio  .
Entonces:
o Si f ( x)  u( x) . El dominio de la función f es el conjunto {x   / u( x)  0}
n( x )
o Si f ( x )
. El dominio de la función f es el conjunto {x   / d ( x)  0}
d ( x)
o Si f ( x )  L(u( x )) . El dominio de la función f es el conjunto {x   / u( x)  0}
o Si f ( x )  e
u( x )
. El dominio de f es  .
2) Raíces, signo de f y ordenada en el origen
o Si f es una función polinómica:
 Si es de primer grado ( f ( x )  ax  b ) la única raíz es x   ab

Si es de segundo grado ( f ( x)  ax2  bx  c ) las raíces se pueden calcular según
 b  b 2  4ac
la fórmula x 
. Y pueden ser dos raíces distintas, una única raíz
2a
(llamada doble) o ninguna.
 Si es un grado mayor a dos, puede tener como máximo una cantidad de raíces
idéntica al grado de la función. Y podría tener una raíz evidente si:
 la suma de los coeficientes es cero, tiene raíz x=1.
 la suma de los coeficientes de grado par es igual a la suma de los
coeficientes de grado impar, tiene raíz x=–1.
 el término independiente es cero, tiene raíz x=0.
u( x )
o Si f ( x )  e , no tiene raíces y el signo de las imágenes es siempre positivo.
o Si f ( x )  L(u( x )) , tiene una raíz donde u( x )  1 .
o Si f ( x)  u( x) , tiene raíces donde u( x )  0 .
3) Propiedades de Límites (para el estudio de “Continuidad de f” y “R.I.AS”)
Suma
a
b
b
+∞
-∞
+∞
-
b
+∞
-∞
+∞
-∞
-∞
Producto
a+b
+∞
-∞
+∞
-∞
indet..
Indeterminación
0
0
a
b0
∞
0
b
∞
∞
∞
Cociente
ab
∞
∞
indet..
a
b
b0
∞
0
∞
b0
∞
0
b
0
∞
a/b
0
∞
∞
indet..
indet..
Si n y d son funciones polinómicas y, además, n(a)=0 y d(a)=0.
n( x )
( x  a )n' ( x )
n' ( x )
 lim
 lim
x a d ( x )
x a ( x  a )d ' ( x )
x a d ' ( x )
Si p es una función polinómica, entonces: lim p( x ) es igual al
Entonces: lim
-
Indeterminación   
x  
límite, cuando x   , del término de mayor grado del
polinomio.
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ord ( f )  ord ( g )

-
Indeterminación


lim
x a
x  

Ordenes de infinitos para x   ord( Lx)
Indeterminación 0  
Como f ( x )  1
-
no se comparan
 ord( x  )  ord(e x )  ord( x x )
 1 


 f ( x) 
-
ord ( f )  ord ( g )
ord ( f )  ord ( g )
0
f ( x)


b0
g( x)

 lim f ( x )  g ( x )  lim
x a
x 
x a
x 



g( x)
1 

f ( x ) 
Algunos infinitésimos equivalentes:
lim u( x )  0
e u( x )  1 ~ u( x)
lim u( x )  0
a u( x )  1 ~ u( x) La
lim u( x )  0
L(1  u( x)) ~ u( x)
lim u( x )  1
e u( x )  e ~ e(u( x)  1)
lim u( x )  1
L(u( x)) ~ u( x)  1
lim u( x )  a
e u( x )  e a ~ e a (u( x)  a)
x  
x  
x  
x  
x  
x  
4) Derivada
REGLAS DE DERIVACIÓN
Funciones elementales:
f(x)
f’(x)
k
x
kx
0
1
k
xn
nxn 1
Lx ; L x
1
x
e
x
e
Funciones compuestas:
f
f’
un
Lu ; L u
n.u n1.u'
1
.u '
u
e
x
Operaciones:
 Derivada de la suma: (
 Derivada del producto:
u
u
e .u '
f  g )'  f ' g '
(k. f )'  k. f '
( f  g)'  f '.g  f .g'
'

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Derivada del cociente:
 f 
f '.g  f .g '



g
g2
 
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