INSTITUCIÓN EDUCATIVA PARTICULAR
“Paul Groussac”
ECUACIONES
NOTA: Debe ser norma general en la resolución de
DEFINICIÓN: Es aquella relación o comparación que
nos indica que dos expresiones tienen el mismo valor:
este tipo de ecuaciones comprobar las soluciones
obtenidas con el objeto de desechar aquellas que no
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES
verifiquen la ecuación original.
I. De acuerdo al Grado:
Ejm.
Pueden ser de primer grado, segundo grado, tercer
grado, etc.
2
Resolver:
x  x  21  7
II. De acuerdo a sus coeficientes:
Pueden ser con coeficientes numéricos o literales.
Resolviendo: x = 5 ; verificando:
5
2
5  21  7
3 = 7  Absurda.
III. De acuerdo a sus incógnitas:
Pueden ser ecuaciones con 1, 2, 3, etc. incógnitas.
Ejm.
x+y+z=9
(Ecuaciones con 3 incógnitas)
x+y=5
(Ecuaciones con 2 incógnitas)
IV. De acuerdo a sus soluciones:
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
A. Ecuación Posible ó Compatible:
Son aquellas ecuaciones que tienen ó admiten
solución y pueden ser:
Llamadas también ecuaciones lineales tienen la
siguiente forma general:
ax + b = 0
1.- Determinadas: Si tienen un número limitado de
soluciones: Ejm.
(x–3)(x+2)=0
 C. S. = { 3 ; –2 }
2.- Indeterminadas: Si tienen un número limitado de
soluciones: Ejm.
 x–3=x–3
 4x2 + 12x + 9 = 4x2 + 12x + 9
B. Ecuación imposible, incompatible ó absurda:
Es aquella ecuación que no admite solución, o cuya
solución no satisface a la ecuación: Ejm.
 2x + 4 = 2x + 7

2
0
x 3
* Solución Extraña: Son las soluciones que se
introducen o se pierden en una ecuación al realizar
ciertas operaciones.
; donde: x  
b
a
Discusión de la raíz:
1. Si: a  0 y b  0 ; la ecuación es determinada y el
valor de “x” es único: x  
b
.
a
2. Si: a  0 y b = 0; la ecuación es determinada y la
ecuación tiene solución única: x = 0.
3. Si: a = 0 y b  0 ; la solución es incompatible.
4. Si: a = 0 y b = 0; la ecuación es indeterminada.
EJERCICIOS
6.- Resolver:
1.- Resolver:
1
xa
a  x 7a
6

2
5
10
b) 20
c) 30
d) 10
a) 60
a x
e) 7
a) a/b
d) 1

1
b x
b) b/a
e) a2b2
1

x a

1
x b
c) ab
2.- Resolver:
2
x 3 x 1
b) –1
a) 1
c) –2
d) 2
e) 0
2px  3 3px  2

 2p  3
x 1
x 1
se reduzca a una ecuación de primer grado; el valor
de “p”, es:
a) 0
b) –1
c) 2
d) 1
e) –2
7.- Para que la ecuación:
3.- Resolver:
x  1 x  1 x  2 19x  21



4
5
2
20
a) Absurdo
b) 0
d) –1
e) Indeterminada
c) 4
8.- Hallar el valor de “x”:
111x   
 1  1  1  1  0

2  2  2  2   
a) 26
4.- Resolver:
x  1 x  2 8x  1


3
5
15
b) –1
e) Incompatible
a) 0
d) 4
5.- Resolver:
3
a) 2
d) 4
2 x 3

2
b) 1/2
e) 1
3
2x 
x2
x
c) –2
b) 28
c) 30
d) 32
e) 50
9.- Resolver:
(x+1) + (x+2) + (x+3) + . . . + (x + n) = n2
c) 2
a)
n
2
b)
n 1
n 1
c)
d) n+1
2
2
e)
n3
2
10.- Hallar “x”:
x  20  10
a) 14
b) 12
c) 20
x 5
d) 5
8
e) 10
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Son aquellas que presentan la siguiente forma
general:
OTRAS PROPIEDADES:
1)
3)
2
ax  bx  c  0
a0
para:
4)
Resolución de una ecuación de 2º grado.
1.- Por factorización: La ecuación se factoriza y cada
uno de los factores se iguala a cero.
Ejm.
x2 – x – 12 = 0
Factorizando; ( x – 4 ) ( x + 3) = 0
x = 4  x = –3
C. S. = {–3 ; 4}
2.- Por fórmula general: (Baskara)
x
2
  b  4ac
Estudio de las raíces de una Ecuación de 2º grado:
Las raíces de la ecuación de segundo grado
dependen de la cantidad subradical. (discriminante)
Casos que se presentan:
Si:  = 0
Si:  < 0
Las raíces son reales y
diferentes.
Las raíces son reales e iguales.
Las raíces son complejas y
conjugadas.
Propiedades de las raíces:
Sea: ax2 + bx + c = 0 ; donde x1  x2 son raíces.
Luego se cumple:
1)
2)
x1  x 2  
x1 . x 2 

2)
a
 x1  x2 2   x1  x2 2  4x1
. x2
Si las raíces son simétricas:
x1  x 2  0
5)
1
1
b


x1 x 2
c
 b=0
Si las raíces son recíprocas:
x1 . x 2  1
 a=c
6)
Sean las ecuaciones:
ax2 + bx + c = 0 . . . (I)
a0
mx2 + nx + p = 0 . . . (II)
m0
Si estas ecuaciones poseen las mismas
soluciones se cumple:
a b c
 
m n p
2
b  b  4ac
2a
Donde: b2 – 4ac es el discriminante de la ecuación
cuadrática y denotamos por: 
Si:  > 0
| x1  x 2 | 
b
a
c
a
FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN DE 2º GRADO
x2 – ( x1 + x2 ) x + ( x1 . x2 ) = 0
Ejm.
Reconstruir una ecuación de 2º grado de raíces:
x1 = 2  x2 = 7
 x2 – ( 2 + 7 ) x + ( 2 . 7 ) = 0
 x2 – 9x + 14 = 0
EJERCICIOS
1.- En la ecuación: x2 – px + 36 = 0
Hallar “p” si se cumple:
a) 25
b) 18
c) 12
1
1
5


x1 x 2 12
d) 24
e) 15
2.- Hallar “q” para que las raíces de las ecuaciones
sean iguales.
x2 – 8x + q = 0
a) 16
b) 12
c) 15
d) 10
e) 20
3.- Hallar “k” para que la ecuación:
x2 + 2 ( k + 2 ) x + 9k = 0
tenga por solución valores reales e iguales.
a) 4; 1 b) 3; 2 c) 2; 1 d) 4; 3 e) 1; 3
4.- En la ecuación: 2x2 + 3x + d = 0
una de las raíces es 3, la suma de la otra raíz mas “d”
es:
a) 
63
63
b)
2
2
c) 
61
2
d) 
9
2
e)
7.- Hallar el producto de las raíces de la décima
ecuación:
x2+x–1=0 ; x2+8x–8=0 ; x2+27x–27=0 ; . . .
a) 729
b) 1000
c) –1000
d) –729
e) 812
8.- Si: x1  x2 son raíces de la ecuación:
x2 + px + q = 0 ; Calcular: (x1 – 1) (x2 – 1) – 1
a) q – p
b) q + p
c) 1
d) 0
e) p
9.- Determinar “m” y “n” tales que las ecuaciones:
(5m – 52)x2 – (m – 4) x + 4 = 0
. . . (I)
(2n + 1)x2 – 5n x + 20 = 0
. . . (II)
tengan las mismas raíces:
a) 9 y 7
b) 11 y 7
c) 7 y 8
d) 10 y 9
e) 12 y 8
9
2
10.- Hallar “m” para que las raíces de la ecuación
sean simétricas:
5.- Dada la ecuación:
x2 – 10x + m = 0 ; si la suma de los cuadrados de sus
raíces es 40. El valor de “m” es:
a) 100 b) –30 c) 30
d) 70
e) 50
6.- Al resolver un problema que se reduce a una
ecuación cuadrática un estudiante comete un error en
el T. I. de la ecuación y obtiene por raíces 8 y 2; otro
estudiante comete un error en el coeficiente del
término de 1er grado y obtiene por raíces –9 y –1.
Hallar la ecuación correcta:
a) x2 + 10x + 9 = 0
b) x2 – 10x + 16 = 0
2
c) x + 10x – 16 = 0
d) x2 – 10x + 9 = 0
2
e) x – 10x + 8 = 0
2
a) 4
b) 3
x  3x m  1

5x  12 m  1
c) 8
d) 5
e) 2
11.- Hallar la suma de los cuadrados de las raíces de
la ecuación:
(2k + 2) x2 + (4 – 4k) x + (k – 2) = 0
sabiendo que las raíces son recíprocas.
a) 82
b) 9
c) 9/82
d) 25/3
e) 82/9
Descargar

“Paul Groussac”

PROGRAMACIÓN I Practica nº1. practica1.pas

PROGRAMACIÓN I Practica nº1. practica1.pas

Programación estructuradaLenguage de programaciónEstructura de control

Funciones lineales

Funciones lineales

Resolución de problemasMatemáticasSistema de funcionesProblemas matemáticosRepresentación gráficaVariablesFunciones linealesIncognitas

Arquitectura de Sistemas Informáticos

Arquitectura de Sistemas Informáticos

Puertas lógicasTabla de VerdadCronogramasMapas de KarnaughSeñales

PRÁCTICA NO. 1 f(x)=ln(x)−5+x 2 Encontrar las dos raíces de la ecuación:

PRÁCTICA NO. 1 f(x)=ln(x)−5+x 2 Encontrar las dos raíces de la ecuación:

MovimientoMétodo de la bisecciónIndustrialesEcuación

Ecuaciones lineales

Ecuaciones lineales

InecuacionesRaíces enterasSistemas por sustituciónMétodo de GaussTérminosSimplificaciónEcuaciones de primer y segundo grado, polinómicas, irracionales, exponenciales, logarítmicas, racionalesDenominadoresIncognitasParéntesis

MÉTODO GRÁFICO

MÉTODO GRÁFICO

ÁlgebraCoordenadasMatemáticasMétodo suma y restaIgualación

Método por sustitución

Método por sustitución

EquiacionesDespejeDos incógnitasSustituciónEjemplo paso a paso

Matemáticas 2º Trimestre efectuando las operaciones. Tema 3

Matemáticas 2º Trimestre efectuando las operaciones. Tema 3

InecuacionesFórmulasInterpolaciónRaícesDiscriminantesValor numéricoSucesiones y progresionesEcuacionesIdentidad

MATEMÁTICAS 2º BACH. (HH Y CC.SS)

MATEMÁTICAS 2º BACH. (HH Y CC.SS)

Resolución de problemasMatemáticasPlanteamiento de problemasSistemasMatricesEcuaciones