“Paul Groussac”

INSTITUCIÓN EDUCATIVA PARTICULAR
“Paul Groussac”
ECUACIONES
NOTA: Debe ser norma general en la resolución de
DEFINICIÓN: Es aquella relación o comparación que
nos indica que dos expresiones tienen el mismo valor:
este tipo de ecuaciones comprobar las soluciones
obtenidas con el objeto de desechar aquellas que no
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES
verifiquen la ecuación original.
I. De acuerdo al Grado:
Ejm.
Pueden ser de primer grado, segundo grado, tercer
grado, etc.
2
Resolver:
x  x  21  7
II. De acuerdo a sus coeficientes:
Pueden ser con coeficientes numéricos o literales.
Resolviendo: x = 5 ; verificando:
5
2
5  21  7
3 = 7  Absurda.
III. De acuerdo a sus incógnitas:
Pueden ser ecuaciones con 1, 2, 3, etc. incógnitas.
Ejm.
x+y+z=9
(Ecuaciones con 3 incógnitas)
x+y=5
(Ecuaciones con 2 incógnitas)
IV. De acuerdo a sus soluciones:
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
A. Ecuación Posible ó Compatible:
Son aquellas ecuaciones que tienen ó admiten
solución y pueden ser:
Llamadas también ecuaciones lineales tienen la
siguiente forma general:
ax + b = 0
1.- Determinadas: Si tienen un número limitado de
soluciones: Ejm.
(x–3)(x+2)=0
 C. S. = { 3 ; –2 }
2.- Indeterminadas: Si tienen un número limitado de
soluciones: Ejm.
 x–3=x–3
 4x2 + 12x + 9 = 4x2 + 12x + 9
B. Ecuación imposible, incompatible ó absurda:
Es aquella ecuación que no admite solución, o cuya
solución no satisface a la ecuación: Ejm.
 2x + 4 = 2x + 7

2
0
x 3
* Solución Extraña: Son las soluciones que se
introducen o se pierden en una ecuación al realizar
ciertas operaciones.
; donde: x  
b
a
Discusión de la raíz:
1. Si: a  0 y b  0 ; la ecuación es determinada y el
valor de “x” es único: x  
b
.
a
2. Si: a  0 y b = 0; la ecuación es determinada y la
ecuación tiene solución única: x = 0.
3. Si: a = 0 y b  0 ; la solución es incompatible.
4. Si: a = 0 y b = 0; la ecuación es indeterminada.
EJERCICIOS
6.- Resolver:
1.- Resolver:
1
xa
a  x 7a
6

2
5
10
b) 20
c) 30
d) 10
a) 60
a x
e) 7
a) a/b
d) 1

1
b x
b) b/a
e) a2b2
1

x a

1
x b
c) ab
2.- Resolver:
2
x 3 x 1
b) –1
a) 1
c) –2
d) 2
e) 0
2px  3 3px  2

 2p  3
x 1
x 1
se reduzca a una ecuación de primer grado; el valor
de “p”, es:
a) 0
b) –1
c) 2
d) 1
e) –2
7.- Para que la ecuación:
3.- Resolver:
x  1 x  1 x  2 19x  21



4
5
2
20
a) Absurdo
b) 0
d) –1
e) Indeterminada
c) 4
8.- Hallar el valor de “x”:
111x   
 1  1  1  1  0

2  2  2  2   
a) 26
4.- Resolver:
x  1 x  2 8x  1


3
5
15
b) –1
e) Incompatible
a) 0
d) 4
5.- Resolver:
3
a) 2
d) 4
2 x 3

2
b) 1/2
e) 1
3
2x 
x2
x
c) –2
b) 28
c) 30
d) 32
e) 50
9.- Resolver:
(x+1) + (x+2) + (x+3) + . . . + (x + n) = n2
c) 2
a)
n
2
b)
n 1
n 1
c)
d) n+1
2
2
e)
n3
2
10.- Hallar “x”:
x  20  10
a) 14
b) 12
c) 20
x 5
d) 5
8
e) 10
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Son aquellas que presentan la siguiente forma
general:
OTRAS PROPIEDADES:
1)
3)
2
ax  bx  c  0
a0
para:
4)
Resolución de una ecuación de 2º grado.
1.- Por factorización: La ecuación se factoriza y cada
uno de los factores se iguala a cero.
Ejm.
x2 – x – 12 = 0
Factorizando; ( x – 4 ) ( x + 3) = 0
x = 4  x = –3
C. S. = {–3 ; 4}
2.- Por fórmula general: (Baskara)
x
2
  b  4ac
Estudio de las raíces de una Ecuación de 2º grado:
Las raíces de la ecuación de segundo grado
dependen de la cantidad subradical. (discriminante)
Casos que se presentan:
Si:  = 0
Si:  < 0
Las raíces son reales y
diferentes.
Las raíces son reales e iguales.
Las raíces son complejas y
conjugadas.
Propiedades de las raíces:
Sea: ax2 + bx + c = 0 ; donde x1  x2 son raíces.
Luego se cumple:
1)
2)
x1  x 2  
x1 . x 2 

2)
a
 x1  x2 2   x1  x2 2  4x1
. x2
Si las raíces son simétricas:
x1  x 2  0
5)
1
1
b


x1 x 2
c
 b=0
Si las raíces son recíprocas:
x1 . x 2  1
 a=c
6)
Sean las ecuaciones:
ax2 + bx + c = 0 . . . (I)
a0
mx2 + nx + p = 0 . . . (II)
m0
Si estas ecuaciones poseen las mismas
soluciones se cumple:
a b c
 
m n p
2
b  b  4ac
2a
Donde: b2 – 4ac es el discriminante de la ecuación
cuadrática y denotamos por: 
Si:  > 0
| x1  x 2 | 
b
a
c
a
FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN DE 2º GRADO
x2 – ( x1 + x2 ) x + ( x1 . x2 ) = 0
Ejm.
Reconstruir una ecuación de 2º grado de raíces:
x1 = 2  x2 = 7
 x2 – ( 2 + 7 ) x + ( 2 . 7 ) = 0
 x2 – 9x + 14 = 0
EJERCICIOS
1.- En la ecuación: x2 – px + 36 = 0
Hallar “p” si se cumple:
a) 25
b) 18
c) 12
1
1
5


x1 x 2 12
d) 24
e) 15
2.- Hallar “q” para que las raíces de las ecuaciones
sean iguales.
x2 – 8x + q = 0
a) 16
b) 12
c) 15
d) 10
e) 20
3.- Hallar “k” para que la ecuación:
x2 + 2 ( k + 2 ) x + 9k = 0
tenga por solución valores reales e iguales.
a) 4; 1 b) 3; 2 c) 2; 1 d) 4; 3 e) 1; 3
4.- En la ecuación: 2x2 + 3x + d = 0
una de las raíces es 3, la suma de la otra raíz mas “d”
es:
a) 
63
63
b)
2
2
c) 
61
2
d) 
9
2
e)
7.- Hallar el producto de las raíces de la décima
ecuación:
x2+x–1=0 ; x2+8x–8=0 ; x2+27x–27=0 ; . . .
a) 729
b) 1000
c) –1000
d) –729
e) 812
8.- Si: x1  x2 son raíces de la ecuación:
x2 + px + q = 0 ; Calcular: (x1 – 1) (x2 – 1) – 1
a) q – p
b) q + p
c) 1
d) 0
e) p
9.- Determinar “m” y “n” tales que las ecuaciones:
(5m – 52)x2 – (m – 4) x + 4 = 0
. . . (I)
(2n + 1)x2 – 5n x + 20 = 0
. . . (II)
tengan las mismas raíces:
a) 9 y 7
b) 11 y 7
c) 7 y 8
d) 10 y 9
e) 12 y 8
9
2
10.- Hallar “m” para que las raíces de la ecuación
sean simétricas:
5.- Dada la ecuación:
x2 – 10x + m = 0 ; si la suma de los cuadrados de sus
raíces es 40. El valor de “m” es:
a) 100 b) –30 c) 30
d) 70
e) 50
6.- Al resolver un problema que se reduce a una
ecuación cuadrática un estudiante comete un error en
el T. I. de la ecuación y obtiene por raíces 8 y 2; otro
estudiante comete un error en el coeficiente del
término de 1er grado y obtiene por raíces –9 y –1.
Hallar la ecuación correcta:
a) x2 + 10x + 9 = 0
b) x2 – 10x + 16 = 0
2
c) x + 10x – 16 = 0
d) x2 – 10x + 9 = 0
2
e) x – 10x + 8 = 0
2
a) 4
b) 3
x  3x m  1

5x  12 m  1
c) 8
d) 5
e) 2
11.- Hallar la suma de los cuadrados de las raíces de
la ecuación:
(2k + 2) x2 + (4 – 4k) x + (k – 2) = 0
sabiendo que las raíces son recíprocas.
a) 82
b) 9
c) 9/82
d) 25/3
e) 82/9