Problemas sobre números complejos -1- 1.-

Problemas sobre números complejos
-1-
1.- Representa gráficamente los siguientes números complejos y di cuáles son reales, cuáles imaginarios y, de
estos, cuáles imaginarios puros:
5-3i
1 5
 i
2 4
-5i
7
3i
0
-1-i
-7
4i
2.- Obtén las soluciones de las siguientes ecuaciones y represéntalas:
(a) z 2  4  0
(b) z 2  6 z  10  0
(c) 3z 2  27  0
(d) 3z 2  27  0
3.- Representa gráficamente el opuesto y el conjugado de:
(a) 3-5i
(b) 5+2i
(c) -1-2i
(d) -2+3i
(e) 5
(f) 0
(g) 2i
(h) -5i
4.- (a) Calcula las potencias sucesivas de i, desde i 0 hasta i10
(b) Calcula i 20 , i 21 , i 22 y i 23
(c) Averigua un criterio para simplificar potencias de i de exponente natural
5.- Efectúa las siguientes operaciones y simplifica el resultado:
2  4i

(a) 6  5i   2  i   2 5  6i  
(f)
1
(b) 2  3i   5  4i   6  4i  
2
4  2i
1  4i

(g)
3i
(c) 3  2i 4  2i  
(h)
4  4i

 3  5i
5i

(i)
2i
1  5i

(j)
3  4i
(d)  2  3i  5  6i  
(e)  i  13  2i 1  3i  
4  2i

i
2 

(l) 6  3 5  i 
5 

2
 3i  1  2i 
(m)
2  2i
2
27
i 2  3i 
(n)
5i
5  i 5  i 
(o)
i
(k)
6.- Obtén polinomios cuyas raíces sean:
(a) 2  3 i y 2  3 i
(b) -3i y 3i
(c) 1+2i y 3-4i
Escribe, en cada caso, la ecuación cuyas soluciones son las indicadas.
(Observa que solo cuando las dos soluciones son conjugadas, la ecuación tiene coeficientes reales)
7.- Calcula:
(a) 3  2i 2  i   1  i 2  3i  
(b) 3  2i  1  i   4  i 5i 
(c) 4  3i 4  3i   4  3i  
2
 2  3i

4  2i  1  i 
5  2i
1  i  
(e)
3  2i
1  i  3  2i


(f)
2i
1  3i
(d)
Problemas sobre números complejos
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8.- Dados los números complejos z=1-3i, w=-3+2i, t=-2i, calcula:
(a) zwt=
(b) zt  wt  z  
w
t
z
2 z  3t

(d)
w
3z  it
w
3
z 2  wt 2

(f)
2
(c)
(e)
(b) i 126
(c) i 7
9.- Calcula:
(a) i 37
10.- Dado el número complejo
(a) 1  z  z 2  0
z
(d) i 64
1
3

i , prueba que:
2
2
1
(b)  z 2
z
11.- Calcula m y n para que se verifique la igualdad (2+mi) + (n+5i) = 7-2i.
12.- Determina k para que el cociente
k i
sea igual a 2-i.
1 i
13.- Calcula a y b de modo que se verifique a  bi2  3  4i .
14.- Dados los números complejos 2-ai y 3-bi, halla a y b para que su producto sea igual a 8+4i.
15.- Calcula el valor de a y b para que se verifique a  3i  2  bi
5  3i
16.- Halla el valor de b para que el producto (3-6i)(4+bi) sea:
(a) Imaginario puro.
(b) Real.
17.- Determina a para que a  2i 2 sea un número imaginario puro.
18.- Calcula x para que el resultado del producto (x+2+ix)(x-i) sea un número real.
19.- ¿Cuánto debe valer x, real, para que (25  xi) 2 sea:
(a) Real?
(b) Imaginario puro?
20.- Halla el valor que debe tener x para que el cociente 1  3 xi
3  4i
(a) Imaginario puro.
sea:
(b) Real.
21.- ¿Para qué valores de x es imaginario puro el cociente
x  4i
?
xi
22.- Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones:
(a) 1+i y 1-i
(b) 5i y -5i
(c) -2-3i y -2+3i
(e) i 216
Problemas sobre números complejos
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23.- Escribe en forma polar los siguientes números complejos:
(a) z  2  2 3 i
(d) z  2
(g) z  1  i
(j) z  7
(b) z  2  2 3 i
(e) z  1 3 i
(h) z  8i
(k) z  5  12i
(c) z  i
(f) z   3  i
(i) z  3 2  3 2 i
(l) z  3i
24.- Escribe en forma binómica los siguientes números complejos:
(a)
5
6
(d)
rd
6
(c) 2
(b)
17
(g)
0º
3
(f) 8
(e)
225 º
135 º
(h)
495 º
3
 2
(i)
1
(l) 7330 º
1
150 º
2
25.- Escribe en forma binómica y en forma polar el siguiente número complejo:
26.- Sean los números complejos
100 º
(k)
180 º
270 º
4
(j)
240 º
rd
z  8 cos30ºi sen30º  .
z1  460 º y z2  3210º .
(a) Expresa z 1 y z 2 en forma binómico.
z2
, y pasa los resultados a forma polar.
z1
z
(c) Compara los módulos y los argumentos de z1·z 2 y 2 con los de z 1 y z 2 . ¿Qué observas?
z1
(b) Halla z1·z 2 y
27.- Efectúa estas operaciones y da el resultado en forma polar y en forma binómica:
1 ·5
(b) 6 : 3
(a)
150 º
45º
30 º
15º
28.- Dados los complejos
(a) z·t
29.- Dados los complejos
(a) z1·z2
(b) z2·z3
(c) z1·z3
2 ·1 ·3
(d) 5  :1
(c)
10 º
2
rd
3
40 º
70 º
60 º

(e) 1  3 i

5
(f) (3  2i)  (3  2i)
z  545º , w  215º , t  4i , obtén en forma polar:
(b)
z
w2
(c)
z3
w·t 2
(d)
z·w3
t
z1  2i , z2  4120 º , z3  3315º , calcula:
z
(d) 2
z1
z
(e) 3
z1
z ·z
(f) 1 3
z2
3
(g) z
(h) z23
(k) z1  z2
(i) z34
(l) z2  z3
30.- Expresa en forma polar z, su opuesto y su conjugado en cada uno de estos casos:
(a) z  1 3 i
(b) z  2  2i
4
z ·z
(j) 1 53
z2
2
1
(c) z  2 3  2i
Problemas sobre números complejos
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31.- Resuelve la ecuación z3+27=0. Representa sus soluciones.
32.- Calcula:
 2  2i
1 3i

(a)
5
i
(d)
(b)
4
8  8 3i
(e)  1  i 
 1 i 
(h) 

 3i
 25
(f) 4 1  3 i
(i)
(c)
5
(g)  2 3  2i
4

6

(j)  1  3i
3
 2  2 3i
(k)

6
3 i

8
1  i 5
(l)
49
33.- Calcula las siguientes raíces y representa gráficamente sus soluciones:
(a)
3
9
(c)
3
2  2i
(e)
(b)
3
 27
(d)
3
1 i
1 i
(f)
5
32
i
(g)
 25
3
4  4 3i
(h)
4
 16
34.- Resuelve las ecuaciones:
(a) z5+32=0
(b) z2+z+4=0
(c) iz3-27=0
(d) z3+8i=0
(e) iz4+4=0
(f) z4-8z=0
35.- Representa los polígonos regulares que tienen por vértices los afijos de las siguientes raíces:
(a)
5
i
(b)
6
1
(c)
4
2 3  2i
36.- Calcula m para que el número complejo 3-mi tenga el mismo módulo que 2
5  5i.
37.- Halla dos números complejos tales que su cociente sea 3, la suma de sus argumentos

, y la suma de sus
3
módulos 8.
38.- ¿Para qué valores de x es imaginario puro el cociente
x  4i
?
xi
39.- Calcula x para que el número complejo que obtenemos al dividir x+2i entre 4-3i esté representado en la
bisectriz del primer cuadrante.
40.- Representa gráficamente los resultados que obtengas al hallar 3  2  2i
y calcula el lado del triángulo que
se forma al unir esos tres puntos.
41.- ¿Pueden ser las raíces de un número complejo z, los números 228º , 2100 º , 2172 º , 2244 º y 2316 º ? En caso
afirmativo, halla z.
42.- El número complejo 340º
es vértice de un pentágono regular. Halla los otros vértices y el número complejo
cuyas raíces quintas son esos vértices.
Problemas sobre números complejos
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43.- Una de las raíces cúbicas de un número complejo z es 1+i. Halla z y las otras raíces cúbicas.
44.- Halla los números complejos que corresponden a los vértices de estos hexágonos (si consideramos que
están inscritos en una circunferencia de radio 2 y centro en el origen de coordenadas)
45.- Halla los vértices (en forma polar) de un cuadrado de centro el origen de coordenadas, sabiendo que uno
de los vértices es el punto (0,-2)
46.- Calcula el valor de
i 7  i 7
, y representa los afijos de sus raíces cúbicas.
2i
47.- Halla x para que el módulo del número complejo
x  2i
sea 2.
1 i
48.- Halla el perímetro del cuadrado formado por los afijos de los números complejos que se obtienen al
calcular
4
81 .


49.- Calcula: 3  3  i 
 1 i 
2
50.- Determina a y b para que el cociente
a  2i
sea igual a
3  bi
 2
315 º