4º ESO
POLINOMIOS
Hoja 1
1. Polinomio con una indeterminada.
Polinomio con una indeterminada es toda expresión de la forma:
a n x n  a n1 x n1  ...  a 2 x 2  a 1 x  a 0
donde x es la indeterminada, n es un número natural y an, ... , ao, son números reales llamados
coeficientes. Grado del polinomio es el mayor exponente de la indeterminada.
2. Valor numérico de un polinomio.
El valor numérico de un polinomio para x = a se obtiene de sustituir x por a y efectuar las
operaciones indicadas.
3.
División por x – a. Regla de Ruffini.
Ejercicios
Aplicar la Regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de las siguientes divisiones.
Escribe en cada caso la relación D = d. c + r.
1. (2x3 – 6x2 + 3x – 9 ) : (x – 3)
2. (2x5 – 5x3 – 5x + 4) : (x – 2)
3. (x4 – x3 –2x2 + 4x – 8) : (x + 2)
4. (x3 – 8) : (x + 1)
5. ( 2x4 + 3x3 – 4x2 + x – 18) : (x – 2)
6. (3x4 – 10x3 – x2 – 20x + 5) : (x – 4)
7. (2x4 – 10x + 8) : (x + 2)
8. (10x3 – 15) : (x + 5)
Hallar el valor de m para que cada una de estas divisiones sean exactas.
9. (x3 + 8x2 + 4x + m) : (x + 4)
10. (2x4 + 3x3 – 4x2 – m) : (x – 2)
11. (2x3 – 10x2 – 5x + m) : (x – 5)
12. (12x2 – 3x + m) : (x – 8)
4. Teorema del resto.
El resto de la división del polinomio P(x) por el polinomio (x – a) es igual al valor
numérico del polinomio P(x) para x = a.
Calcular el resto de las siguientes divisiones:
13. (3x3 – 4x2 – 9x + 17) : (x – 2)
14. (x57 – x25 + 1) : (x – 1)
15. (x3 – 3x2 + 2x – 10) : (x – 3)
16. (x6 – 1) : (x – 1)
17. (x3 – x2 + x + 14) : (x + 2)
18. (2x3 + 5 2 – 4x + 2) : (x + 2)
Calcular el valor de m para que las siguientes divisiones sean exactas:
19. (x2 + 4x – m) : (x – 3)
20. (x3 – 5x2 + m) : (x – 1)
21. (5x4 + 2x2 + mx + 1) : (x – 3)
22. (3x3 – 4x2 – mx + 6) : (x – 2)
5. Raíces de un polinomio.
Un número a es una raíz del polinomio P(x) si el valor numérico de P(x) para x=a es cero.
Las raíces de un polinomio son también las soluciones de la ecuación P(x) = 0.
Todo polinomio de grado n tiene como máximo n raíces distintas.
4º ESO
POLINOMIOS
Hoja 2
6. Raíces enteras de un polinomio.
Las raíces enteras de un polinomio
con coeficientes enteros son divisores del término
independiente si lo tiene.
Calcular las raíces enteras de los polinomios:
23. x3 + 2x2 – x – 2
24. x4 + 3x3 – x2 – 3x
25. x3 + 3x2 + 4x + 8
26. x4 – 3x3 – 2x – 16
27. 3x4 + 2x2 – 2x + 2
28. x3 – 2x2 – 5x + 6
7. Factorización de un polinomio.
La factorización de un polinomio P(x) de grado n, cuyas raíces son r1 , r2, ... , rn , es
P(x) = an (x – r1) (x – r2) (x – r3) . . . (x – rn)
Factoriza los siguientes polinomios:
29. x3 – x2 – 4x + 4
30. x3 – 2x2 – x + 2
31. x3 – 6x2 + 6x – 6
32. x4 – x3 – 9x2 + 9x
33. x4 – 5 x3 – x2 – 5x
34. x4+ 2x3 – 5x2 – 6x
35. 3x2 + 10x + 3
36. 2x2 – x – 1
37. x3 – 3x2 + 4
38. 2x2 + 2x – 12
39. 3x3 + 3x2 – 12x – 12
40. 3x4 – 2x3 + 2x – 3
41. x3 – 7x2 – x + 7 = 0
42. (x–2)2(x2–2x + 1) = 0
43. (2x + 1)(x2 – 4) = 0
44. x4 +4x3 + 6x2 – 4x + 1 = 0
45. 4x3 – 7x2 – 34x – 8 = 0
46. x3 + 2x2 – 3x = 0
47. 2x4 + x3 – 11x2 + 11x –3=0
48. 2x4 + 7 x3 – 2x2 + 5x – 12 = 0
49. x2 – 4x + 3 = 0
Resolver las ecuaciones:
CUADRADO (Y CUBO) DE UNA SUMA Y/O UNA DIFERENCIA.
50. Calcular:
a) (a - 2)3
b) (2 + a)3
c) (2a - 1)3
d) (1 + 2a)3 - (2 + a)2
51. Calcula, agrupando los términos.
a) (2x2 + x)2
b) (2x2 - x)2
c) (3a2 + 2a)2 - (2a)3
e) (2x - 3)2 - (x - 2)2 - (x - 1)(x + 1)
3y)
d) (a3 + 2a2)2 - (a2-2a3)2
f) (2x +3y)2 - (x2 - 2y)2 - (x2 + 3y)(x2 -
52. Calcular las siguientes potencias:
a) (3 + a)2 b) (a - 3)2
f) (4x - 2y)2 g) (-2 - x)2
c) (2x + 1)2
d) ( 2 - 3x)2
h) (-2 - a) (-2 + a)
e) (3x - 5) (3x + 5)
i) (-2 + x)2
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POLINOMIOS
Hoja 3
53. Calcular:
a) (a - 2b)2 - (b - 2a)2 - (2a - b) (b + 2a)
b) (a2 + b)2 - (ab - a)2 - (a2 - b)(b + a2)
c) (a - 2b)3 - (a2 + 2b)2 - (2 - a2 + b)2 d) (x - 3)2 - (x + 2)2 - (-x + 2)(- x - 2) + 3x2 - 9
a x  a
 
x  x a   a x
54.Calcular: a)       2   2         
 x 2a   x
 
a   a x  x a 
2
2
2
RADICALES.
¿Tienen sentido las expresiones?
1)
7
7)
9
2
2)  3
3)
213
9)
8)
3 
2
 2   3
4)
2  3
5)
2
7
6)
12  4
1) x2 = 36
2. Resuelve las ecuaciones:
5) x2 + 1 = 0

6) x2 - 1 = 0
2) x2 = 169
7) x2 + 4 = 0
3) x2 = -9
4) x2 = 196
8) (x + 1)2 = 4
9) (x - 3)2 = 9
Propiedad fundamental de los radicales.
p
a qn  a q El valor de un radical no varia si se multiplican o dividen por un mismo número el
exponente y el índice del mismo.
pn
7. Comprueba que estos radicales son equivalentes:
8. Simplifica: a)
12
b) 12 x8
x9
c)
5
a10
12
d) 6 8
9a6
6
;
e) 9 64
3a3
18
;
f ) 8 81 g)
3
27a9 ;
24
81a12
8a 6 b9 c3x18
Producto de radicales. Raíz de un producto.
a  n b  n a b
El producto de dos radicales del mismo índice da otro radical del mismo índice,
cuyo radicando es el producto de los radicandos.
La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores.
n
9. Calcular:
e)
a)
b)
2  2a  a 3
10. Calcular:
5
f)
3 a ;
a7  5 a3b  5 b4
2  5 x ;
3
g)
8 x3
3
3a2  3 9  3 a
4 x2 y4 ;
;
4
h)
3
8a5  4 16a6  4 2a
27 a3 x6 y9 z
Sacar factores de un radical
Si alguno de los factores del radicando tiene por exponente un número que sea mayor o
igual al índice podremos sacar del radical a dicho factor elevado al cociente de dividir el exponente
por el índice y queda dentro elevado al resto.
11. Sacar del radical todos los factores posibles:
a) 4x2 a
b)
18
c)
3
32x4
d)
3
81a9 b5c
e)
5
64 f)
4a4 b2  16a4 b4 g) 3(a  b)2
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POLINOMIOS
Hoja 4
Introducir factores en el radical
Para introducir un factor en un radical hay que elevarlo a la potencia que indica el índice.
b) 3a 2  3 ab c)  3a 3 a
a) 3 a
12. Introducir en los radicales los factores que están fuera:
Cociente de radicales. Raíz de un cociente.
na
El cociente de dos radicales del mismo índice es otro radical del mismo índice y como
radicando el cociente de los radicandos.
La raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces.
a
n
nb  b
n
18
;
50
13. Calcular :
n
b3
24
;
6
;
b2a
3
12a
3a
9
;
4
270
;
3
10
;
3
x3
8
Potencia de un radical.
 a
n
p
Para elevar un radical a una potencia se eleva el radicando a dicha potencia.
 n ap
14. Simplifica:
 2
4
;
 3
2

3
;
3
2a 2

 2 3
2
;
2
;

3
2  32 a 4

2
;

5
25 ab2

3
15. Simplifica al máximo las siguientes expresiones:
a)
25 2  81
2 6  33
b)

7776
729 
18 a 3 b 2
c)
3
27 a 2 b
3x y 3  2 x 2 y
d)
32 a5 b3
e)
6 x3 y4
8a 3
Raíz de un radical
n p
a a
np
La raíz de un radical es otro radical cuyo radicando es el mismo y cuyo índice es el
producto de los índices.
16. Reduce a un solo radical:
a
;
5;
3
2a
;
12
;
3 4
2x
Radicales semejantes
Dos expresiones de la forma a n b y c n b son semejantes si tienen el mismo índice y el
mismo radicando. Pueden diferir únicamente en el coeficiente que los multiplica.
17. Comprobar si son semejantes los siguientes radicales:
50 ; 4 8
a) 3 2 ; 18 ;
b) 43 81a3 x
; 2 3 192 x ;
6
9 x2 ; 3 3 3x
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Ejercicio I - Repaso

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