DE PILAR
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE PILAR
Facultad de Ciencias Aplicadas
Instituto de Ciencias Ambientales
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CIENCIAS
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PILAR - ÑEEMBUCÚ
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ID A D
N A C I O N AL
CALCULO NUMÉRICO (Apuntes Para el Aula)
Lic. Roberto Riveros Escurra
TEORÍA DE ECUACIONES
Raíces enteras de polinomios enteros
Una de las razones principales para factorizar polinomios es la de encontrar sus raíces, o sea,
los valores de la variable para las cuales el polinomio asume el valor 0.
Introducción
Si x es una variable, y las expresiones algebraicas como:
1
3
7


e x  x 2  2x  3
x3 – x2 + 3x + 2 = 0,
, 3  2x  1  x ,
2x  4 x  5 x  2
Estos polinomios son denominados ecuaciones en x o ecuaciones con variable x.
Dada cualquier ecuación en x, si al sustituir a x con un número a se obtiene un enunciado
verdadero, entonces a se llama solución o raíz de la ecuación f(x) = 0. Comúnmente se dice
que a satisface la ecuación.
Ejemplo
Verificar si a 
5
es una solución de la ecuación: (8x – 2) (3x + 4) = (4x + 3) (6x – 1)
12
Solución:
Para verificar si a 
5
es raíz de la ecuación, se sustituye en la ecuación y se obtiene
12
(8x – 2) (3x + 4) = (4x + 3) (6x – 1)
5
5
5
5


 


 8   2  3   4    4   3  6   1
 12  12   12  12 
 10  5
  5  5 
  2   4     3   1
3
 4
  3  2 
 4  21  14  3 
      
 3  4   3  2 
4 21 14 3
  
3 4
2 2
7=7
Se verifica que la situación planteada es una proposición verdadera.
Resolver una ecuación significa hallar todas sus raíces o soluciones.
Si todo número en el dominio de la variable x es una solución de una ecuación dada, a esta
ecuación se le llama identidad.
Lic. R. Riveros
DE
LICADAS
AP
D
L
IVERSIDA
1
A
PIL
R
2
Ejemplo
(x – 7)2 – 4 = (x – 9) (x – 5) es una identidad, puesto que se convierte en una proposición
verdadera para todos los números del dominio de x, en este caso .
Una ecuación puede tener o no solución, esto depende del sistema de números que se considera
para la variable x.
Ejemplo
Halla la raíz de la ecuación 3x = 1 en Z (conjunto de los números enteros).
Solución:
Bajo estas condiciones la ecuación 3x = 1 no tiene solución, ya que no existe ningún numero
entero igual a 1/3. Sin embargo, existe solución a esta ecuación, pero en Q (conjunto de los
números racionales), ya que 1/3 pertenece a los números racionales.
Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
El método más usado para resolver ecuaciones consiste en generar una sucesión de ecuaciones
equivalentes, cada una de las cuales es más sencilla que la anterior, hasta llegar a una ecuación
cuyas soluciones son obvias. Por lo general, esta sucesión de ecuaciones equivalentes se logra
usando propiedades de los números reales, tales como: sumar o restar la misma expresión a
ambos lados de la ecuación, multiplicar o dividir a ambos lados de la ecuación por una
expresión diferente de cero, elevar al cuadrado a ambos lados de la ecuación, etc. El siguiente
ejemplo ilustra este proceso.
5x – 3 = 2x + 1
5x – 3 + 3 = 2x + 1 + 3
5x = 2x + 4
5x – 2x = 2x + 4 – 2x
3x = 4
x = 3/4
Durante el proceso de reducción se puede multiplicar por una expresión que se anula para
algún valor de x, o tomar el cuadrado a ambos lados de la ecuación, estas operaciones pueden
producir ecuaciones que no son equivalentes.
Ejemplo.
2x  3  x  6
(2 x  3) 2 

x6

2
4x2 – 12x + 9 = x + 6
4x2 – 13x + 3 = 0
De donde se obtiene que: x = 3
y
x
1
4
Al sustituir x = 3 en la ecuación 2x  3  x  6 , éste se verifica, o sea, hace la proposición
1
verdadera. Sin embargo, al sustituir x  en la ecuación 2x  3  x  6 , esta no se verifica,
4
por lo tanto ¼ no es solución de la ecuación original.
Cualquier solución de la nueva ecuación que no es solución de la ecuación original se llama
1
solución extraña. Así, x  es una solución extraña de la ecuación 2x  3  x  6
4
Lic. R. Riveros
3
Lo que sucedió, en este caso, es que al tomar el cuadrado a ambos lados de la ecuación se
obtiene una ecuación que no es equivalente con la anterior, y por lo tanto, algunas soluciones
de la última ecuación podrían no serlo de la ecuación original.
Una ecuación de la forma: P(x) = anxn + an–1 xn–1 + … + a1x + a0 = 0
Donde cada ai   y an  0; se llama ecuación polinomial
Si P(a) = 0, entonces se dice que a es un cero del polinomio P(x), o bien, a es una solución o
raíz de la ecuación P(x) = 0.
A excepción de casos especiales, resulta muy difícil encontrar las raíces de una ecuación
polinomial. Por ejemplo, no son evidentes las raíces de la ecuación polinomial
x8 – x7 + 6x6 – 12x5 + 2x4 – 5x3 – 8x – 5 = 0
Aún más, no existe una fórmula que pueda usarse para encontrar tales raíces.
Buscar las soluciones de una ecuación f(x) = 0, no es en general una tarea fácil, ni aún cuando
f(x) es un polinomio. La situación se complica cuando se involucra funciones trascendentes.
A excepción de los casos triviales, podría decirse que las únicas ecuaciones f(x) = 0 que se
pueden resolver de forma exacta, son aquellas para las cuales f(x) es un polinomio de grado
menor o igual a 3, después del proceso de reducción.
Por esta razón, se necesitan métodos que permitan por lo menos, aproximar las soluciones de
una ecuación dada. Este tipo de métodos cae dentro de un área de la matemática que se conoce
como Análisis Numérico o Cálculo Numérico.
Teorema del residuo:
El valor de de P(a) es el residuo obtenido al dividir P(x) entre (x – a)
Demostración:
Al dividir P(x) entre (x – a) se obtiene la descomposición:
P(x) = Q(x) (x – a) + R
Donde Q es el cociente y R es el residuo. Como el divisor de (x – a) es de grado 1, el residuo
es constante. Si se evalúa en (x = a), se obtiene.
P(x) = Q(x) (x – a) + R
P(a) = Q(a) (a – a) + R
P(a) = Q(x) 0 + R
P(a) = 0 + R
P(a) = R
Teorema del factor:
Dados un polinomio P(x) y un número real a, si (x – a) es un factor de P(x), entonces a es una
raíz de P(x) y recíprocamente, si un numero a es raíz de un polinomio P(x), entonces (x – a) es
un factor de P(x)
Demostración:
Si (x – a) es factor de P(x) entonces:
De donde
a es raíz de la ecuación
P(x) = Q(x) (x – a)
P(a) = Q(x) (a – a) = 0
P(x) = 0
Lic. R. Riveros
4
Si a es raíz de la ecuación P(x) = 0, entonces P(a) = 0.
Según el teorema del residuo se tiene que:
P(x) = Q(x) (x – a) + P(a) = Q(x) (x – a), entonces (x – a) es factor de P(x).
Ejemplo:
Hallar las raíces del polinomio: x3 – 8x2 + 9x + 18
Solución:
Los divisores del término independiente (10) son: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Para decidir cual de los valores es raíz del polinomio se puede utilizar la división sintética.
Normalmente se comienza analizando con los enteros más pequeños. Se toma (x – 1) y se
aplica la división sintética:
–8
+9
18
1
1
–7
2
1 –7
2
16
Se comprueba que (x – 1) no es raíz de la ecuación x3 – 8x2 + 9x + 18, pues el residuo (16) no
es 0.
1
Luego se toma (x + 1) y se aplica la división sintética:
–8
9
18
–1
9 – 18
1 –9
18
0
Se comprueba que (x + 1) es raíz de la ecuación x3 – 8x2 + 9x + 18, pues el residuo es 0.
1
–1
Entonces: x3 – 8x2 + 9x + 18 = (x + 1) (x2 – 9x + 18). Para encontrar las raíces racionales de
(x2 – 9x + 18), se aplica la formula general para polinomios de segundo grado o el caso de
factoreo correspondiente.
De esta manera se tiene que: x2 – 9x + 18 = (x – 3) (x – 6)
Luego: x3 – 8x2 + 9x + 18 = (x + 1) (x – 3) (x + 6)
Número de raíces de un polinomio:
Un polinomio P(x) de grado n puede tener cuando más n raíces.
Raíces racionales de Polinomios enteros
Considerando el polinomio P(x) = anxn + an–1 xn–1 + … + a1x + a0 de grado n con coeficientes
p
enteros y a0  0. an recibe el nombre de coeficiente principal. Si
es una raíz racional de P(x)
q
p
= 0, con la fracción
en su mínima expresión, entonces:
q
n
 p
 p
a n    a n 1  
q
q
n 1
 p
 ...  a1    a 0  0 , multiplicando por qn se tiene:
q
an pn + an–1 pn–1q + … + a1pqn–1 + a0 qn = 0
Luego: an pn + an–1 pn–1q + … + a1pqn–1 = – a0 qn
Factorizando p del lado izquierdo de la ecuación:
p(an pn–1 + an–1 pn–2q + … + a1pqn–1) = – a0 qn
Lic. R. Riveros
5
Se tiene que p es un divisor del primer miembro de la ecuación, por consiguiente también lo es
p
del lado derecho, pero si p es divisor de – a0 qn , como
está en su mínima expresión, p no
q
puede dividir a q y entonces debe ser divisor de a0. Por lo tanto p es divisor de a0.
De la misma forma, de an pn + an–1 pn–1q + … + a1pqn–1 + a0 qn = 0, se tiene
an–1 pn–1q + … + a1pqn–1 + qn = –anpn
Procediendo como la demostración anterior se obtiene que q es divisor de an.
p
De esto se concluye que las raíces racionales de
de un polinomio con coeficientes enteros
q
P(x) = anxn + an–1 xn–1 + … + a1x + a0 y a0  0 son tales que p es divisor de a0 y q es divisor de
an.
Si el polinomio tiene la forma P(x) = anxn + an–1 xn–1 + … + a1x + a0, buscar las raíces
racionales equivale a encontrar las raíces enteras del polinomio, o sea, se debe analizar en los
divisores de a0.
Ejemplo:
Encontrar las raíces racionales del polinomio:
2x3 – 3x2 – 9x + 10
Solución:
Los divisores del término independiente (10) son: 1, 2, 5, 10
Los divisores del coeficiente principal (2) son:
1, 2
1
5
p
Considerando todos los posibles cocientes de la forma : 1,  , 2, 5,  , 10
2
2
q
Para decidir cual de los valores es raíz del polinomio se puede utilizar la división sintética.
Normalmente se comienza analizando con los enteros más pequeños. Se toma (x – 1) y se
aplica la división sintética:
–3
–9
10
1
2
– 1 – 10
2 – 1 – 10
0
3
2
Entonces: 2x – 3x – 9x + 10 = (x – 1) (2x2 – x – 10).
2
Para encontrar las raíces racionales de (2x2 – x – 10), se observa que los posibles cocientes son
los mismos que en el caso del polinomio original, por lo tanto, puede utilizarse el mismo
método, sin embargo, al ser este polinomio de segundo grado, es mas sencillo aplicar la
formula general para polinomios de segundo grado.
De esta manera se tiene que: 2x2 – x – 10 = (x + 2) (2x – 5).
Luego: 2x3 – 3x2 – 9x + 10 = (x – 1) (x + 2) (2x – 5)
Se observa que 2x – 5 = 0, resolviendo se tiene que x =
5
2
Las raíces racionales del polinomio: 2x3 – 3x2 – 9x + 10 son: 1, – 2 y
5
2
Forma sencilla de evaluar polinomios:
La tecnología actualmente permite contar con máquinas que pueden realizar cálculos precisos,
con errores mínimos y con una extraordinaria rapidez. La utilización de las calculadoras
electrónica a las matemáticas facilita enormemente este proceso, al evaluar en forma directa un
Lic. R. Riveros
6
polinomio cualquiera, que luego de encontrar las raíces, se procede a realizar las
demostraciones u ordenamientos correspondientes respecto de cada polinomio evaluado.
Polinomios que no tienen raíces racionales
Una sencilla regla para verificar si un polinomio con coeficientes enteros tiene o no raíces
racionales es la siguiente. Considerando el polinomio:
P(x) = an xn + an–1 xn–1 + … + a1x + a0, de grado mayor o igual a 2 y cuyos coeficientes son
números enteros. Si an, a0 y P(1) son impares, entonces P(x) no tiene raíces racionales.
Ejemplo:
Encontrar las raíces racionales del polinomio:
P(x) = 27x8 – 8x7 + 16x6 – 11x5 + 3x4 – 5x3 – 18x – 25
Solución:
El coeficiente del termino de grado mayor (27x8) es 27, el termino independiente es (– 25), y al
evaluar el polinomio en P(1), el resultado obtenido es (– 21). Los tres números (27, – 25, – 21)
son impares, se concluye que el polinomio no tiene raíces racionales según la regla precedente.
Si no es posible contar con el criterio de los enteros impares, se debe proceder de otra forma
Regla de los signos de Descartes.
Teorema de Descartes:
El numero de raíces positivas de una ecuación f(x) = 0 es menor o igual que el numero de
variaciones de signo en f(x). El numero de raíces negativas es menor o igual que el numero de
variaciones de signo en f(– x). (Cada raíz se cuenta tantas veces como indica su orden de
multiplicidad)
Si P(x) es un polinomio, escrito en orden descendente y con término independiente distinto de
cero:
1. El numero de raíces positivas de P(x) es igual al numero de cambios de signo de los
coeficientes del polinomio, o bien, el numero de cambios de signo menos un entero par.
2. El numero de raíces negativas de P(x) es igual al numero de cambios de signo de los
coeficientes del polinomio P(–x) , o bien, el numero de cambios de signo de P(–x)
menos un entero par.
Ejemplos:
1) Demostrar el número de raíces positivas y negativas del polinomio
P(x) = x5 + 9x4 + 17x3 – 7x2 + 30x – 50
Solución:
El polinomio es de grado 5, por lo tanto puede tener a lo sumo 5 raíces.
Los signos del polinomio P(x) = x5 + 9x4 + 17x3 – 7x2 + 30x – 50, son:
+ +
+
–
+
–
El numero de cambios de signo del polinomio es 3, entonces puede haber tres raíces positivas o
solo una.
Los signos en P(– x) = – x5 + 9x4 – 17x3 – 7x2 – 30x – 50
Los signos son:
– +
–
–
–
–
Hay dos cambios de signos, entonces hay dos raíces negativas o ninguna.
Siguiendo el procedimiento para encontrar las raíces racionales y usando división sintética se
tiene que: P(x) = (x – 1) (x + 5)2 (x2 + 2).
Lic. R. Riveros
7
Como (x2 + 2) no tiene raíces reales, se concluye que el polinomio tiene una raíz positiva y dos
negativas. De (x + 5)2 se tiene que la raíz (– 5) es una raíz doble, se cuenta dos veces, por su
orden de multiplicidad.
2) Determina el numero de raíces positivas en  del polinomio P(x) =– 6x2 + x4 – 27
Solución:
Primeramente se ordena el polinomio en orden descendente: P(x) = x4 – 6x2 – 27
El polinomio es de grado 4, por lo tanto puede tener como máximo cuatro raíces.
El numero de cambios de signo del polinomio es uno, entonces puede haber una sola raíz
positiva.
Analizando en P(– x) = x4 – 6x2 – 27
El número de cambio de signos es uno, el polinomio tiene una raíz negativa.
Aplicando procedimientos para hallar las raíces racionales y usando división sintética se tiene
que: P(x) = x4 – 6x2 – 27 = (x + 3) (x – 3) (x2 + 3).
Como (x2 + 3) no tiene raíces reales, se concluye que el polinomio tiene una raíz positiva y una
negativa.
Cotas para las raíces de polinomios
En la búsqueda de raíces de polinomios, saber que ellas se encuentran en un intervalo
determinado, reduce el número de posibilidades facilitando enormemente los cálculos,
ahorrando tiempo de trabajo y operaciones a realizar. Se debe buscar dos números A y B de tal
manera que pueda asegurarse que las raíces del polinomio se encuentran en el intervalo [A, B],
donde A es una cota inferior y B es una cota superior de las raíces del polinomio.
Teorema:
Sea P(x) un polinomio.
Si b es un numero positivo tal que al efectuar la división sintética de P(x) entre (x – b), los
números obtenidos, es decir, los coeficientes del cociente y el residuo, son todos positivos o
cero, entonces b es una cota superior para las raíces de P(x).
Si a es un numero negativo y al efectuarse la división de P(x) entre (x – a), los números
obtenidos, es decir, los coeficientes del cociente y el residuo tienen signos; uno positivo o cero
y el siguiente negativo o cero alternadamente, o viceversa, entonces a es una cota inferior de
las raíces de P(x).
Ejemplo:
Mostrar que A = – 1 y B = 2 son cotas inferior y superior respectivamente para las raíces del
polinomio P(x) = 6x4 – 11x3 + 10x2 – 11x + 4 y encontrar todas las raíces reales.
Solución:
Efectuando el cociente P(x) entre (x + 1), usando división sintética:
6 – 11 10 – 11
4
–1
– 6
17 – 27 38
6 – 17
27 – 38 42
Los coeficientes tienen signos alternados, entonces A = – 1 es una cota inferior para las raíces
del polinomio.
Efectuando el cociente P(x) entre (x – 2), usando división sintética:
6 – 11 10 – 11 4
Lic. R. Riveros
8
2
12
2
24 26
6
1
12
13 30
Puesto que los signos de los coeficientes son todos positivos, B = 2 es una cota superior para
las raíces del polinomio.
Por lo tanto, todas las raíces reales se encuentran en el intervalo [– 1, 2]
Como el polinomio tiene grado cuatro, posee como máximo cuatro raíces. Usando la regla de
los signos de Descartes, puesto que P(x) tiene cuatro cambios de signo, habrá cuatro, dos o
ninguna raíces reales positivas.
Calculando P (– x) = 6x4 + 11x3 + 10x2 + 11x + 4
No existe cambio de signo, o sea, no hay raíces negativas.
En estas condiciones, todas las raíces reales se encuentran en el intervalo (0, 2) y puede ser a
los más dos.
Buscando las raíces racionales del polinomio, se tiene que los divisores de 4 (término
independiente) y 6 (coeficiente principal) son: 1, 2, 4, y 1, 2, 3, 6 .
Los cocientes de los divisores de 4 y 6 son: 1, 
1
1
1
2
4
,  ,  , 2,  , 4, 
2
3
6
3
3
Pero como las raíces buscadas se encuentran en el intervalo [0, 2], solo se consideran
1
1
1
2
4
1,  ,  ,  ,  , 
2
3
6
3
3
1
4
Evaluando el polinomio se encuentra que
y son raíces del polinomio
2
3
1 
4

P(x) = 6x4 – 11x3 + 10x2 – 11x + 4 =  x    x   x 2  1
2 
3



Raíces irracionales de polinomios enteros
Teorema de Bolzano:
1) Si una función continua definida en un intervalo [a, b] cumple que f(a) y f(b) tienen signos
distintos, entonces hay por lo menos un numero c  [(a, b] para el cual f(c) = 0.
2) Sea a  b y sea f(a)  f(b)  0, [f(a) y f(b) tienen signos opuestos]. Entonces f tiene en [a, b]
un numero impar de raíces. Si f(a)  f(b)  0, entonces f tiene un numero par de raíces en
[a, b] y en particular puede tener 0.
Método de bisección
 Encontrar dos números a y b con a  b en los cuales el polinomio P toma valores cuyos
signos son distintos.
ab
 Considerando que x1 
es el punto medio del intervalo [a, b].
2
Si P(x1) = 0, x1 es la raíz buscada, si P(x1)  0 entonces:
 Se elige uno de los intervalos [a, x1] o [x1, b] de tal manera que los extremos del
intervalo del polinomio tome valores cuyos signos sean distintos.
 Se repite el procedimiento en el intervalo elegido.
Observaciones:
Lic. R. Riveros
9
 La longitud del intervalo es una estimación del error cometido al aproximar la raíz.
 La única restricción para elegir a y b es que los valores P(a) y P(b) tengan signos
distintos, en general, entre mas pequeña sea la longitud del intervalo, en menor numero
de pasos se encontrará la aproximación deseada.
 Este método se aplica en la busca de raíces tanto racionales como irracionales.
Ejemplo:
Aproximar con al menos una cifra exacta la raíz del polinomio P(x) = – 6x3 + x – 6, que se
encuentra en el intervalo [– 2, – 1]
Solución:
Sea el polinomio P(x) = – 6x3 + x – 6
Evaluando en P(– 2) = – 6(–2)3 + (–2) – 6 = 40  0
P(– 1) = – 6(–1)3 + (–1) – 6 = – 1 0
–2 –1
+
–
Así:
 2 1
3
  = – 1,5
2
2
Evaluando en P(–1,5) = – 6 (– 1,5)3 + (–1,5) – 6 = 20,25 – 1,5 – 6 = 12,75  0
El punto medio del intervalo [– 2, – 1] es x1 
– 2 – 1,5 – 1
+
+
–
La raíz se encuentra en el intervalo [– 1,5; – 1]. La longitud del intervalo es: – 1 + 1,5 = 0,5
 1,5  1
2,5

= – 1,25
2
2
Evaluando en P(–1,25) = – 6 (– 1,25)3 + (–1,25) – 6 = 11,719 – 1,25 – 6 = 4,469  0
El punto medio del nuevo intervalo es: x2 
– 1,5 – 1,25 – 1
+
+
–
La raíz se encuentra en [– 1,25; – 1]. La longitud del intervalo es: – 1 + 1,25 = 0,25
 1,25  1
2,25

= – 1,125
2
2
Evaluando en P(–1,125) = – 6 (– 1,125)3 + (–1,125) – 6 = 8,543 – 1,125 – 6 = 1,418  0
Se repite el procedimiento: x3 
– 1,25 – 1,125 – 1
+
+
–
La raíz se encuentra en el intervalo [– 1,125; – 1]. La longitud del intervalo es: 0,125
De manera análoga x4 
 1,125  1
2,125

= – 1,0625
2
2
Evaluando P(–1,0625) = – 6(– 1,0625)3 + (–1,0625) – 6 = 7,1968 – 1,0625 – 6 = 0,1343  0
– 1,025 – 1,0625 – 1
+
+
–
La raíz se encuentra en el intervalo [– 1,0625; – 1]. La longitud del intervalo es: 0,0625
Lic. R. Riveros
10
Repitiendo un paso mas el mismo procedimiento, se obtiene la siguiente tabla:
Intervalo
[– 2; – 1].
[– 1,5; – 1].
[– 1,25; – 1].
[– 1,125; – 1].
[– 1,0625; – 1].
[– 1,0625; – 1,0313].
Punto medio xn
– 1,5
– 1,25
– 1,125
– 1,0625
– 1,0313
– 1,0468
P(xn)
signo Error
12,75
+
1
4,46
+
0,5
1,418
+
0,25
0,134
+
0,125
– 0,45008
–
0,0625
– 0,16436
–
0,03125
Como – 1,0625 y – 1,0313 tienen un 0 en la primera cifra decimal, cualquier punto intermedio
lo tiene, es decir, la primera cifra decimal de la raíz buscada es cero, lo cual asegura que la
aproximación obtenida tiene una cifra decimal exacta.
Raíces compleja de polinomios enteros
Teorema fundamental del algebra:
Cualquier polinomio con coeficientes complejos y de grado mayor o igual que uno tiene al
menos una raíz ya sea real o compleja.
Teorema de los pares conjugados:
Si P(x) es un polinomio con coeficientes reales y si r = (a + bi) es una raíz de P, entonces el
numero complejo conjugado de r, es decir r = (a – bi) también es una raíz de P.
Ejemplo:
1) Si (2 + i) es una raíz del polinomio (z4 – z3 – 11z2 + 31z – 20) encontrar otra raíz
compleja del polinomio.
Solución:
Las raíces complejas de los polinomios con coeficientes reales aparecen por pares
conjugados, entonces como el conjugado de (2 + i) es (2 – i) éste debe ser raíz del
polinomio.
1
–1
– 11
31
– 20
2–i
2–i
1 – 3i – 23 + 4i
20
1
1–i
– 10 – 3i
8 + 4i
0
Entonces (2 – i) es raíz del polinomio.
2) Encontrar un polinomio con coeficiente enteros de grado 5, si tres de sus raíces son –
1  2i
3, i,
.
2
Solución:
1  2i
son raíces del polinomio, sus conjugados deben serlo también,
2
1  2i
1  2i
entonces: – 3, i, – i,
,
son todas las raíces del polinomio.
2
2
1  2i 
 1  2i  
Entonces: P(x) = (x + 3) (x – i) (x + i)  x 
 x 

2 
2  

5

P(x) = (x + 3) (x2 – 1)  x 2  x  
4

Si se multiplica el polinomio obtenido por cualquier constante, se obtiene otro polinomio
que tiene las mismas raíces.
3) Como i y
Lic. R. Riveros
11
Para obtener un polinomio con coeficiente enteros, se multiplica por 4 el polinomio
obtenido.
P(x) = 4x5 + 8x4 – 11x3 + 7x2 + 7x – 15
4) Encontrar las raíces reales del polinomio ( 8x5 – 12x4 + 89x3 – 23x2 + 228x – 290), se
 3  7i
sabe que dos de sus raíces son 1 y
4
Solución:
 3  7i
es raíz del polinomio, su
4
 3  7i 

calcula el producto: (x – 1)  x 

4 

 3  7i
también lo es. Entonces se
4
1 2 17
29
 3  7i 

x
 = x3 + x  x 
2
8
8
4 

1
17
29
Dividiendo: (8x5 – 12x4 + 89x3 – 23x2 + 228x – 290)  (x3 + x 2  x  )
2
8
8
Se obtiene: (8x2 – 16x + 80). De donde:
1
17
29
(8x5 – 12x4 + 89x3 – 23x2 + 228x – 290) = (x3 + x 2  x  ) (8x2 – 16x + 80)
2
8
8
2
Se resuelve: (8x – 16x + 80), sacando factor común (8) queda: 8(x2 – 2x + 10).
Hallando las raíces de (x2 – 2x + 10), se obtiene: (1  3i).
 3  7i
 3  7i
Las raíces del polinomio son: 1, 1 + 3i, 1 – 3i,
,
4
4
Como
conjugado
EJERCICIOS DE FIJACIÓN
A) Efectúa las siguientes divisiones utilizando la división sintética
5) (3x2 – 12)  (x – 2)
6) (5x2 + 8x + 3)  (x + 1)
7) (x4 – 81)  (x + 3)
8) (x9 – 512)  (x – 2)
9) (2x3 + 8x2 – 17x + 10)  (x + 6)
10) (3x5 – 62x3 – 70x2 + 25x +1)  (x – 5)
11) (4x5 – 9x3 – 11x2 – 8)  (x – 2)
12) (3z3 + 18z2 – 20z + 15)  (z + 7)
13) (x6 + x4 + x2 + 1)  (x + 1)
14) (x5 – 10x2 – 40x + 3)  (x – 3)
15) (z9 + z6 + z3 – 3)  (z – 1)
16) (– x4 + 2x3 + 7x2 – x + 20)  (x + 4)
17) (– 3x8 – 11x7 – 7x6 + 2x5 + 17x4 – 21x2 – 12x – 9)  (x + 3)
Lic. R. Riveros
12
18) (2z9 – 18z8 + 26z7 + 16z6 – 15z5 – 50z3 + 46z + 22)  (z – 7)
19) (– 3x8 + 8x7 + 15x6 – 14x4 – 8x3 – x2 + 6x – 1)  (x – 4)
B) Determina si (x – a) es factor de los siguientes polinomios.
En cada caso se da el valor de a.
20) P(x) = 5x3 – 3x + 12,
a=7
21) P(x) = 16x6 – 12x4 – 8x2 + x – 13,
a=–2
22) P(x) = – 3x4 – 17x3 + 12x2 – 16x + 20,
a=5
23) P(x) = –2x4 + 3x3 + 10x2 – 11x – 7,
a=3
24) P(x) = – x5 – 6 x4 – 7x3 + 5x2 + 6x + 8,
a=–4
25) P(x) = 81x11 – 73x7 + 65x4 + 22x3 – x2 + 31,
a=–1
26) P(x) = x3 + 6x2 – 1,
a=–8
27) P(x) = x4 – 10x3 – 8x2 – 27x + 18,
a=6
28) P(x) = – 2x5 + 4x4 – 3x3 + 5x2 + 7x – 10,
a=2
C) Factoriza los siguientes polinomios
29) x4 – 10x2 + 9
30) w3 – 3w2 – 28w + 60
31) y3 + 10y2 + 33y + 36
32) z3 – 6z2 – 13z + 42
33) a5 – a4 – 2a3 + 2a2 + a – 1
34) x4 – 8x3 + 6x2 + 40x + 25
35) w4 + 4w3 – 27w2 – 34w + 56
36) y5 + 7y4 + 10y3 – 18y2 – 27y + 27
37) z5 – 2z4 + 3z3 + 4z2 – 14z – 12
38) 2x4 + x3 – 4x2 – 9x – 6
PROBLEMAS:
39) Tres números impares consecutivos satisfacen las siguientes condiciones. Ocho veces el
menor menos cuatro veces el segundo mas el mayor es igual al cubo del menor.
Encuentra dichos números.
Lic. R. Riveros
13
40) En un triangulo rectángulo loas longitudes de uno de los catetos es de 6 metros. La
longitud del cateto faltante es una raíz del polinomio x 3 – 4x2 – 30x – 16. encuentra el
perímetro del triángulo.
41) Un polígono de la forma ay3 + by + c tiene como raíces a tres números enteros pares
consecutivos. Encuentra el polinomio.
42) Encuentra el producto de los residuos que se obtienen al dividir el polinomio
x4 + x3 – x2 + x + 1. ¿Cuál es la relación entre este producto y el polinomio x4 – 81?
43) Un polinomio tiene la forma x3 + bx2 + cx + 6. Si se divide el polinomio entre (x + 1),
el residuo es 10, si se divide entre (x – 1), el residuo es 16. Encuentra dicho polinomio.
44) ¿Qué base debe tener el sistema de numeración para que la representación del numero
754 en dicho sistema sea 3254?
45) La media armónica de dos números a y b se define como:
2
1 1

a b
. Encuentra dos
números enteros pares consecutivos tales que su media armónica sea igual a
24
5
46) Tres números enteros consecutivos satisfacen que el doble del producto de todos ellos
es igual a 12. encuentra dichos números.
47) ¿Qué base debe tener el sistema de numeración para que la representación del numero
9638 en dicho sistema sea 40134?
D) Utilizando división sintética, prueba, en cada caso, que el número a
indicado es raíz del polinomio.
48) 12x3 + 32x4 – 17x – 15,
5
6
3
a=
8
1
a=
4
a=
49) 64x4 + 440x3 – 70x2 – 95x + 21,
50) 24x3 – 10x2 – 7x + 2,
51) – 3x3 – 2x2 + 12x + 8,
a= 
52) 9x5 – x4 – 729x + 81,
a=
53) 30x3 + 71x2 + 43x + 6,
a= 
54) x11 – 177147,
a=3
55) 32x3 – 16x2 – 2x + 1,
a=
56) 144x5 + 396x4 – 160x3 – 151x2 + 17x + 6,
Lic. R. Riveros
2
3
1
9
3
2
1
4
a= 
1
6
14
57) 72x6 + 84x5 – 994x4 – 1985x3 – 84x2 + 455x + 100,
a= 
58) 7x6 – 82x5 + 356x4 – 726x3 + 757x2 – 392x + 80,
a=
5
2
5
7
E) Encuentra las raíces racionales del polinomio en cada caso.
59) 24x3 – 26x2 + 9x – 1
60) 24x3 – 22x2 – 5x + 6
61) x3 + 5x2 – 8x + 3
62) 3x5 – 4x4 – 2
63)
5x5 – 2x2 – 6x – 5
64) x5 – 6x3 – 5x + 5
65) 16x4 + 16x3 – 64x2 – 4x + 15
66) 27x4 + 63x3 – 57x2 – 7x + 6
67) 7x4 – 4x3 + 3x2 – 20x – 9
68) 40x4 + 202x3 + 3x2 – 34x + 5
69) 30x4 – 67x3 + 7x2 + 16x – 4
70) –5x5 + 4x3 – 11x2 + 17
71) 2x4 – 13x3 – 83x2 + 442x + 240
72) 36x5 – 12x4 – 95x3 – 50x2 – x + 2
73) 19x7 + 21x6 – 34x4 + 42x3 – 13x2 – 27x + 71
74) 64x5 – 56x4 – 242x3 + 223x2 – 56x + 4
75) 25x6 + 153x4 + 20x5 + 120x3 + 143x2 + 100x + 15
76) 18x6 + 111x5 + 17x4 – 114x3 – 666x2 – 102x + 36
77) 32x7 – 16x6 – 10x5 + 3x4 – 64x3 + 32x2 + 20x – 6
78) 25x6 + 14x5 – 12x4 + 34x3 – 8x2 + 63x – 21
79) x7 – 7x6 – 9x5 + 63x4 + x3 – 7x2 – 9x + 63
80) 24x8 – 10x7 – 3x6 + x5 + 24x3 – 10x2 – 3x + 1
81) 49x8 – 344x6 + 56x4 – 344x2 + 7
82) 16x8 + 12x7 + 12x6 + 73x5 + 44x4 + 45x3 + 36x2 – 16x – 12
83) 48x7 – 2x6 + 157x5 – 8x4 + 4x3 – 6x2 – 105x
Lic. R. Riveros
15
84) x7 + 4x6 – 14x5 – 56x4 + 49x3 + 196x2 – 36x – 144
85) 54x7 + 9x6 – 294x5 – 49x4 + 444x3 + 74x2 – 144x – 24
86) 35x9 + 16x8 + 15x7 – 8x6 – 18x5 + 23x4 – 42x3 – 39x2 + 28x – 5
87) 15x9 + 8x8 – 74x7 – 40x6 – 5x5 + 45x4 + 24x3 – 222x2 – 120x – 15
F) Evalúa cada polinomio en el punto indicado utilizando la calculadora
88) 6x6 + 2x5 – 12x4 + 5x3 – 4x2 + 10x – 3
en
x=–3
89) X8 – 3x7 + 14x6 – 21x5 – 8x4 – 9x3 + 15x2 + 2x + 6
en
x=2
90) 9x7 + 4x5 + 20x4 – 12x3 + 17x2 – 23x + 35
en
x=4
91) 12x4 – 24x3 + 8x2 – 3x + 26
en
x = 1,5
92) 7x9 + 2x4 – 8x – 19
en
x = – 1,25
93) Prueba que
94) Prueba que
6 es un número irracional.
3
 4 es un numero irracional
G) Determina el número de raíces positivas y negativas de cada uno de
los polinomios siguientes:
95) P(x) = 2x4 + 3x3 – 7x2 – 12x – 4
96)
P(x) = 9x6 – x4 + 9x2 – 1
97) P(x) = – x3 + 9x2 – 15x – 25
98) P(x) = – x5 + 4x3 – x2 + 4
99) P(x) = 6x7 – 23x6 – 5x5 + 4x4 + 6x3 – 23
100)
P(x) = 5x7 – 7x6 + 25x – 35
101)
P(x) = 3x5 – 2x4 – 15x3 + 10x2 + 12x – 8
102)
P(x) = 3x5 + 7x4 – 7x3 – 27x2 – 20x – 4
103)
P(x) = 2x6 – 5x5 – 11x4 + 28x3 + 16x2 – 32x – 16
104)
P(x) = 16x5 + 52x4 + 68x3 – 11x2 – 41x – 12
105)
P(x) = 10x6 – 71x5 + 237x4 – 473x3 + 525x2 – 248x + 20
106)
P(x) = 8x5 – 46x4 + 73x3 – 8x2 – 45x + 18
107)
P(x) = 16x5 – 277x3 – 5x2 + 336x + 80
108)
P(x) = 9x5 – 12x4 – 47x3 + 58x2 + 44x – 40
109)
P(x) = 36x5 + 60x4 – 35x3 – 80x2 – x + 20
Lic. R. Riveros
16
110)
P(x) = 64x6 + 88x5 – 306x4 – 253x3 + 356x2 – 84x
111)
P(x) = 75x7 + 70x6 + 21x5 + 2x4 + 75x3 + 70x2 + 21x + 2
112)
P(x) = 54x7 – 63x6 + 21x5 – 2x4 – 54x3 + 63x2 – 21x + 2
113)
P(x) = 125x7 – 150x6 + 55x5 – 6x4 + 250x3 – 300x2 + 110x – 12
114)
P(x) = – 49x7 – 378x6 – 251x5 – 42x4 – 49x3 – 378x2 – 251x – 42
H) Mostrar que A es una cota inferior y B es una cota superior para las
raíces del polinomio dado y encontrar todas las raíces reales.
115)
P(x) = 3x4 – 10x3 – 27x2 + 82x – 24;
A = – 4,
B=6
116)
P(x) = 33x4 – 72x3 + 47x2 – 12x + 1
A = – 1,
B=3
117)
P(x) = 3x5 – 22x4 + 22x3 + 16x2 – 25x + 6;
A = – 2,
B=8
118)
P(x) = 10x5 + 63x4 – 328x3 + 403x2 – 168x + 20;
A = – 11,
B=4
119)
P(x) = 4x3 – 56x2 + 259x – 396;
A = – 1,
B = 14
120)
P(x) = x4 + 18x3 + 111x2 + 278x + 240;
A = – 18,
B=1
121)
P(x) = x5 + 10x4 + 19x3 + 26x2 + 17x + 8;
A = – 10,
B=2
122)
P(x) = x5 + 7x4 – 3x3 – 21x2 – 4x – 28;
A = – 8,
B=4
I) Encontrar en cada caso, un número entero que sea cota inferior y uno
que sea cota superior de las raíces del polinomio dado.
123)
P(x) = x5 + 6x4 – 6x3 – 64x2 – 27x + 90
124)
P(x) = x4 – 2x3 – 13x2 + 38x – 24
125)
P(x) = x5 + 9x4 + 21x3 + 21x2 + 20x + 12
126)
P(x) = x7 + 6x6 + 5x5 + 30x4 + 4x3 + 24x2
127)
P(x) = 54x6 + 117x5 + 120x4 + 110x3 + 56x2 – 7x – 10
128)
P(x) = 44x4 – 532x3 + 543x2 – 166x + 11
129)
P(x) = 2x5 + 25x4 – 22x3 – 113x2 + 56x + 52
130)
P(x) = 2x5 + 5x4 – 33x3 – 23x2 + 79x – 30
J) Usando el método de bisección, halla las raíces de los siguientes
polinomios, en el intervalo indicado, de tal forma que el error cometido
sea menor a 0,01.
Lic. R. Riveros
17
131)
4x3 – 5x2 + 4x – 5
en [1, 2]
132)
50x3 + 89x2 – 278x + 378
en [3, 4]
133)
x4 – 30x3 + 81
en [5, 6]
134)
10x3 – 17x2 – 9x + 39
en [–2, –1]
135)
x4 – 2x2 – 3
en [–2, –1]
136)
x3 + 3x + 6
en [–2, –1]
137)
x3 – 4x + 5
en [–3, –2]
138)
x4 – 4x2 – 5
en [2, 3]
139)
x3 + 5x – 1
en [0, 1]
140)
4x4 – 39x3 – 10
en [–4, –3]
141)
x5 + x3 – 50x2 – 50
en [3, 4]
142)
x4 – 4x3 – 2x2 – 6x – 3
en [–1, 0]
K) Encuentra las raíces de los siguientes polinomios usando el método de
Newton, tomando como primera aproximación el punto indicado. El error
cometido debe ser menor que 0,01.
143)
– 6x6 + x5 – 4x2 – 2x + 8
si x1 = 1
144)
x8 – 10x6 + 35x4 – 50x2 + 24
si x1 = – 1,8
145)
x8 – x7 – 2x6 + 4x4 – 7x3 – 13x2 + 14x + 16
si x1 = 1
146)
4x6 + 4x5 – 15x4 – 4x2 – 4x + 15
si x1 = – 2
147)
8x6 – 8x5 + 72x4 – 71x3 – x2 + 9x – 9
si x1 = – 1
148)
2x5 – 25x4 + 80x3 – 110x2 + 70x – 17
si x1 = 9
149)
x5 + 7x4 – 6x3 – 29x2 + 5x – 30
si x1 = – 2
150)
x6 + 7x5 – 12x4 – 77x3 + 10x2 + 11
si x1 = – 3
151)
2x6 + 2x5 – 61x4 – 53x3 + 86x2 – 145x + 29
si x1 = 5
L) Encontrar en cada caso un polinomio con coeficientes enteros que satisfaga las condiciones
dadas.
152)
Grado 3; raíces r1 = 2, r2 = (3 + i)
153)
Grado 3; raíces r1 = 3, r2 = (6 – i)
154)
Grado 4; raíces r1 = i, r2 = (2 +
2 i)
Lic. R. Riveros
18
155)
Grado 4; raíces r1 = 1 11 i, r2 = ( 1 11 i )
156)
Grado 3; raíces r1 = – i, r2 = 7/3
157)
Grado 3; raíces r1 = 3/5, r2 =
158)
Grado 4; raíces r1 =
159)
Grado 6; raíces r1 = i,
160)
Grado 5; raíces r1 = (6 – 3i), r2 = (i + 7), r3 = 12
7 i
5 i, r2 =  5 i, r3 = i/6
r2 = (1 + i), r3 = (2 + i)
M) Encontrar las raíces del polinomio utilizando la raíz dada, en cada
caso.
161)
x4 – x2 – 2
si
r1 = i
162)
x4 + 2x2 + 1
si
r1 = – i
163)
x4 – 6x3 + 15x2 – 18x + 10
si
r1 = (1 + i)
164)
x4 – 4x3 – 15x2 + 80x – 100
si
r1 = (2 – i)
165)
x4 – 2x3 – 2x2 + 12x – 24
si
r1 = 1 3i
166)
8x4 – 49x3 + 87x2 – x – 105
si
r1 = – 7/8
167)
x4 + 2x2 – 1
si
r1 =  i 1  2 


168)
x4 – 2x3 + 24x2 – 50x – 25
si
r1 = 5i
N) Encuentra las raíces del polinomio
169)
x3 – 1
170)
x3 + 6x – 7
171)
x3 + 2x + 3
172)
4x4 + 4x3 + x2 – 18x – 9
173)
9x3 – 5x2 + 27x – 15
174)
5x3 + x2 + 40x + 8
175)
36x3 – 32x2 + 257x + 29
176)
3x3 + 7x2 + 80x + 26
177)
4x3 + 9x2 + 10x + 2
178)
3x3 + x2 + 3x + 1
179)
2x3 – 7x2 + 30x + 17
Lic. R. Riveros


19
180)
x5 – x3 – x2 + 1
181)
x3 – 2x2 + 1
182)
x4 + x2 – 2
183)
x5 – 2x4 + 8x3 – 16x2 – 9x + 18
184)
3x5 + x4 + 72x3 + 24x2 – 75x – 25
185)
186)
187)
188)
189)
x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1
en [ – 1, – 1 ]
PORTAPAPELES UTILES
P(x) = x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1;
A = – 1,
B=–1
P( x)  2x 4  3x 3  7 x 2 12x  4
Bibliografía:
Oteyza de Oteyza, Emma Lam Osnaya. Hernández Garciadiego, Carlos. Carrillo Hoyo, Ängel
Manuel. Temas Selectos de Matemáticas. Prentice Hall. México 1998.
Bernis, Francisco. Malet, Antonio. Molinas, Cesar. Curso de Orientación Universitaria
Matemáticas. Editorial Noguer. Madrid – España. 1983.
Lic. R. Riveros
20
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