TEORIA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS Ecuación polinómica:
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TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS TEORIA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS Ecuación polinómica: n Es el resultado de igualar a cero un polinomio. Es decir, sea P x ai xi un i 0 polinomio cualquiera decimos que P x 0 es una ecuación polinómica. Solución de una ecuación: Es un conjunto de valores que satisfacen a la ecuación. Los valores que satisfacen a la ecuación son los ceros del polinomio equivalente, los cuales se denominan raíces de la ecuación. Lema fundamental del álgebra Toda ecuación polinómica de grado " n " posee al menos una raíz real ó compleja. Teorema fundamental del álgebra Toda ecuación polinómica de grado " n " posee " n " y sólo " n " raíces. Axioma: Si una ecuación polinómica real entera posee una raíz compleja, su conjugada también es raíz de la ecuación. Si una ecuación polinómica racional entera posee una raíz irracional, su conjugada también es raíz de la ecuación. TOMAS NAVARRO 36 TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS Ecuación degradada Es la ecuación correspondiente al cociente que resulta de dividir la ecuación original entre una de sus raíces. Raíces múltiple Es aquella que es raíz de la ecuación original y de por lo menos una de sus ecuaciones degradadas. Grado de multiplicidad de una raíz Es el número de veces que un valor es raíz de una ecuación. Problemas fundamentales de la teoría general de ecuaciones En el estudio de la teoría general de ecuaciones existen varios problemas fundamentales, entre los cuales tenemos: 1. Dadas las raíces de una ecuación y su coeficiente principal, hallar la ecuación. 2. Dada la ecuación y algunas condiciones iniciales de las raíces, hallar las demás raíces de la ecuación. 3. Dada las raíces de la ecuación, hallar dicha ecuación mediante la relación entre las raíces y los coeficientes de la ecuación. 4. Transformar una ecuación en otra cuyas raíces mantienen una relación con las raíces de la ecuación original. 5. Hallar la naturaleza de las raíces de una ecuación. 6. Hallar los límites o intervalo de acotación de las raíces reales de una ecuación. 7. Hallar las raíces racionales de una ecuación polinómica cualquiera. TOMAS NAVARRO 37 TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS 8. Hallar raíces irracionales de una ecuación polinómica cualquiera. PROBLEMA FUNDAMENTAL No. 1 Para resolver en la teoría general de ecuaciones problemas donde se conocen las raíces y el coeficiente principal, se utiliza el teorema del factor representando a la ecuación mediante su descomposición factorial. Es decir: Sean raíces de la ecuación an y 1 , 2 , 3 ,..., n el coeficiente principal y las P x 0 ; decimos que la ecuación viene dada por: P x an x 1 x 2 x 3 ... x n 0 Ej.: Hallar la ecuación cuyo coeficiente principal es 2 y sus raíces sean 2, 1 y -1. Ej.: Hallar la ecuación cuyas raíces son 3, 1/2 y 2. Ej.: Hallar la ecuación polinómica racional entero cuyas raíces son: 1, 2 3i Ej.: Hallar la ecuación polinomica racional entera cuyas raíces son 2, 3i y 2 PROBLEMA FUNDAMENTAL No. 2 Este problema de la teoría general de ecuaciones se resuelve verificando las condiciones iniciales dadas y si se cumplen, degradar la ecuación hasta una ecuación de segundo grado o inferior. Ejercicios: 1.- Hallar las raíces de la ecuación P x x 2 3 2.- Hallar las raíces de la ecuación P x x 4 3.- Hallar las raíces de la ecuación 2 x 2 x 3 0 . 2 x 3 2 3x 2 2 x 5 0 . 2 3 P x x4 8x3 24x2 32x 16 0 , si -2 es una raíz múltiple. 4.- Hallar las raíces de la ecuación TOMAS NAVARRO P x x3 3x2 4x 12 0 , si x 2i es una 38 TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS de sus raíces. 5.- Hallar las raíces de la ecuación P x x6 8x5 7x4 32x3 31x2 40x 25 0 , si x 1 y x 5 son raíces. PROBLEMA FUNDAMENTAL No. 3 Este problema se resuelve utilizando las relaciones entre las raíces y los coeficientes de una ecuación dada. Estas relaciones pueden de deducida como sigue: Sea P x a5 x5 a4 x4 a3 x3 a2 x2 a1x a0 0 una ecuación cuyas raíces son x1 1 , x2 2 , x3 3 , x4 4 , x5 5 . Según el problema fundamental No. 1 tenemos que: P x a5 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0 a5 x 2 1 x 2 x 1 2 x 2 3 x 4 x 3 4 x 5 0 a5 ( x 4 1 x3 2 x3 1 2 x 2 3 x3 1 3 x 2 2 3 x 2 1 2 3 x 4 x3 1 4 x 2 2 4 x 2 1 2 4 x 3 4 x 2 1 3 4 x 2 3 4 x 1 2 3 4 ) x 5 0 Multiplicando de nuevo y agrupando los términos comunes, tenemos que: P x a5 x5 a5 1 2 3 4 5 x 4 a5 (1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 + 3 5 4 5 ) x3 a5 (1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 3 4 1 3 5 1 4 5 2 3 4 2 3 5 + 2 4 5 3 4 5 ) x 2 a5 (1 2 3 4 1 2 3 5 1 2 4 5 1 3 4 5 2 3 4 5 ) x a5 1 2 3 4 5 0 Luego por igualdad de polinomio tenemos que: a5 a5 a4 a5 1 2 3 4 5 a3 a5 (12 13 14 15 23 24 25 34 35 45 ) a2 a5 (123 124 125 134 135 145 234 235 245 345 ) TOMAS NAVARRO 39 TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS a1 a5 (1234 1235 1245 1345 23 45 ) a0 a5 12345 Por lo tanto tenemos que: a4 1 2 3 4 5 a5 a3 (1 2 13 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5 ) a5 a2 (1 23 1 2 4 1 2 5 1 3 4 1 3 5 1 4 5 2 3 4 2 3 5 2 4 5 3 4 5 ) a5 a1 (1 23 4 1 235 1 2 45 1 3 4 5 2 3 4 5 ) a5 a0 1 2 3 4 5 a5 Generalizando tenemos que: an1 1 2 3 4 ... n an an2 (1 2 13 1 4 ... 1 n 2 3 ... 2 n ... n1 n ) an an3 (1 23 1 2 4 1 2 5 1 3 4 ... 1 n1 n 2 3 4 ... 2 n1 n .... n2 n1 n ) an an4 (1 23 4 1 235 ... 1 2 n1 n ... n 3 n 2 n 1 n ) an . . a0 n 1 1 23 45 ... n1 n an TOMAS NAVARRO 40 TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS Ejemplos: 1.- Usando la relación entre las raíces y los coeficientes, hallar la ecuación cuyas raíces son 1, 2 y -3. 2.- Hallar la ecuación real entera de menor grado cuyas raíces son 2 y 3 2i . 3.- Usando las relaciones entre las raíces y los coeficientes, hallar la ecuación polinómica racional entera de menor grado cuyas raíces son 5 3i , ½, y 4.- Si 2. P x 4x4 7x3 3x2 16x 21 0 , usando las relaciones entre las raíces y los coeficientes hallar: a. x1 x2 x3 x4 b. x1x2 x1x3 x1x4 x2 x3 x2 x4 x3 x4 c. x1x2 x3 x1x2 x4 x1x3 x4 x2 x3 x4 d. x1 x2 x3 x4 5.- Si P x x7 5x5 3x4 6x 7 0 , hallar la suma de las raíces y el producto de las raíces. 6.- Resuelva la ecuación usando la relación entre las raíces y los coeficientes, si P x x3 x2 9x 18 0 y sabiendo que x1 x2 0 . 7.- Resuelva P x x3 4x2 22x 68 0 , sabiendo que el producto de dos de sus raíces es igual a 34. PROBLEMA FUNDAMENTAL No. 4 Este problema consiste en la obtención de una ecuación a partir de otra ecuación dada, cuyas raíces mantienen una relación. Entre las relaciones tenemos: TOMAS NAVARRO 41 TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS Donde las raíces de una ecuación son un múltiplo de las raíces de la otra ecuación. Es decir, y kx . Donde las raíces de una ecuación son las opuestas de las raíces de la otra ecuación. Es decir, y x . Donde las raíces de una ecuación son las raíces de la otra ecuación aumentadas o disminuidas en una constante cualquiera. Es decir, y x k . Donde las raíces de una ecuación son las reciprocas de las raíces de la ecuación dada. Es decir, y 1 x Donde las raíces múltiples en otras cuyas raíces sean las mismas de la ecuación original, pero todas raíces simples. TRANSFORMACION DE LA FORMA y kx Sea P x an xn an1xn1 an2 xn2 ... a2 x2 a1x a0 0 transformarla en otra cuyas raíces son de la forma y kx . Si despejamos x tenemos que: x y y la sustituimos en el polinomio P x resulta que: k yn y n1 y n2 y2 y y P an n an1 n1 an2 n2 ... a2 2 a1 a0 0 k k k k k k a a a a y a P nn y n nn11 y n1 nn22 y n2 ... 22 y 2 1 y a0 0 k k k k k k multiplicando por tenemos que: y P an k 0 y n an1k 1 y n1 an2 k 2 y n2 ... a2 k n2 y 2 a1k n1 y a0k n 0 k TOMAS NAVARRO 42 kn TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS Conclusión: Para transformar una ecuación en otra cuyas raíces sean un múltiplo k de las raíces originales; se multiplica cada término de la ecuación original por una potencia del múltiplo k cuyo exponente será igual a la diferencia entre el grado de la ecuación y el grado del término correspondiente. Ejemplo: Transformar la ecuación P x x6 8x5 7x4 32x3 31x2 40x 25 0 en otra cuyas raíces sean el doble de las originales. Ejemplo: Transformar la ecuación P x x4 2x2 3x 6 0 en otra cuyas raíces sean el triple de las raíces originales. TRANSFORMACION DE LA FORMA y x Para transformar una ecuación en otra cuyas raíces son las opuestas de las raíces originales, se considera esta transformación como un caso particular de la transformación anterior en la cual el escalar k es igual a 1 . P x an 1 x n an 1 1 x n 1 an 2 1 x n 2 ... a2 1 0 1 2 P x an x n an 1 x n 1 an 2 x n 2 ... 1 n2 a2 x 2 1 n 1 n 1 x 2 a1 1 n 1 x a0 1 0 n a1 x 1 a0 0 n Conclusión: Para transformar una ecuación en otra cuyas raíces sean las opuestas de las originales, se le cambia el signo a los coeficientes de los términos con paridad opuesta al grado de la ecuación, es decir, si la ecuación es de grado par, se le cambian los signos de los coeficientes de los términos de grado impar; y si es impar, a los coeficientes de los términos de grado par. Ejemplo: Transformar la siguiente ecuación P x x6 8x5 7x4 32x3 31x2 40x 25 0 en otra cuyas raíces TOMAS NAVARRO 43 TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS sean las opuestas de las originales. P x x5 3x3 x2 4 0 en otra cuyas Ejemplo: Transformar la siguiente ecuación raíces sean las opuestas de las originales. P x x4 3x3 x2 4 0 en otra cuyas Ejemplo: Transformar la siguiente ecuación raíces sean las opuestas de las originales. TRANSFORMACION DE LA FORMA y x k Para esta transformación se utiliza la expresión correspondiente a la fórmula de Taylor mediante el uso del esquema de Horner, es decir, que: Sea P x an xn an1xn1 an2 xn2 ... a2 x2 a1x a0 0 , su transformación en otra cuyas raíces se relacionan por la expresión y x k , es igual a: P x k R0 R1 x k R2 x k ... Rn x k 0 sustituyendo y por x k 2 n tenemos que: P y R0 R1 y R2 y2 ... Rn1 y n1 Rn y n 0 o sea: P y Rn yn Rn1 yn1 ... R2 y2 R1 y R0 0 Ejemplo: Transformar la ecuación P x x6 8x5 7x4 32x3 31x2 40x 25 0 en otra cuyas raíces sean las raíces originales disminuidas en dos unidades. Ejemplo: Transformar la ecuación P x x5 7x4 3x3 x2 4x 5 0 en otra cuyas raíces sean las raíces originales aumentadas en tres unidades. TRANSFORMACION DE UNA ECUACION QUE POSEA RAÍCES MULTIPLES EN OTRA TOMAS NAVARRO 44 TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS CUYAS RAÍCES SEAN LAS MISMAS DE LA ECUACION ORIGINAL, PERO TODAS RAÍCES SIMPLES. Sea P x x5 a4 x4 a3 x3 a2 x2 a1x a0 0 una ecuación que tiene una raíz múltiple, P x x 1 x 2 x 3 0 donde 3 cuyo grado de multiplicidad es 3. Es decir, "1 ", "2 ", "3 " son las raíces únicas distintas que tiene la ecuación, siendo "1 " múltiple y " 2 ", "3 " simples. P x x 1 x 2 x 3 0 3 Es decir que si P ' x x 1 b2 x 2 b1 x b0 0 2 Entonces Donde (1) (2) b2 x2 b1x b0 es un polinomio general de segundo grado no divisible por x 2 ni x 3 , pues si lo fueran, "2 " y "3 " serian raíces múltiples y ello estaría en contradicción con la hipótesis inicial. De esto se deduce que el grado de multiplicidad de una raíz disminuye en una unidad en cada una de las derivadas sucesivas de la ecuación. Siendo el MCD x 1 2 x 1 es el MCD entre 2 P x y P ' x , si encontramos el cociente entre P x y , se obtiene: P x x 1 x 2 x 3 G x x 1 x 2 x 3 2 MCD x 1 3 G x x 1 x 2 x 3 0 Luego G x 0 es una ecuación con las mismas raíces de la ecuación original, pero todas TOMAS NAVARRO 45 TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS simples. Conclusión Para reducir una ecuación a otra cuyas raíces sean sólo simples, basta con dividir la ecuación entre el MCD de P x y P ' x . Ejemplo: Reducir la ecuación P x 3x4 8x3 6x2 24x 8 0 a otra cuyas raíces sean simples. Ejemplo: Reducir la ecuación P x x4 4x3 10x2 28x 15 0 a otra cuyas raíces sean simples. Ejemplo: Reducir la ecuación P x x5 6x4 6x3 16x2 15x 18 0 a otra cuyas raíces sean simples. PROBLEMA FUNDAMENTAL No. 5 Consiste en determinar la naturaleza de las raíces de una ecuación, es decir, determinar si las raíces son reales o complejas; y si las reales son positivas, negativas o nulas. Regla de los signos de Descartes Toda ecuación polinómica racional entera tendrá tantas raíces positivas como cambio de signos posee la ecuación ordenada, o éste disminuido de dos en dos. Ejemplo: Determine el número de posibles raíces positivas de la ecuación P x x6 8x5 7x4 32x3 31x2 40x 25 0 . El número de raíces negativas será siempre igual al número de cambio de signo que posee la transformación de la ecuación cuyas raíces son las opuestas de las raíces de la ecuación original; o este disminuido de dos en dos, es decir, el número de raíces positivas de la ecuación transformada cuyas raíces son las opuestas de la ecuación original. TOMAS NAVARRO 46 TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS Ejemplo: Determine el número de posibles raíces positivas de la ecuación P x x6 8x5 7x4 32x3 31x2 40x 25 0 . El número de raíces nulas será siempre igual al exponente del término de menor grado que contenga la ecuación. El número de posibles raíces complejas, será siempre igual a aquel que hace que se cumpla el teorema fundamental del álgebra. Ejemplo: Hallar la naturaleza de las raíces de P x x6 8x5 7x4 32x3 31x2 40x 25 0 . Positivas 2 2 2 0 0 0 Negativas 4 2 0 4 2 0 Nulas 0 0 0 0 0 0 Complejas 0 2 4 2 4 6 Ejemplo: Hallar la naturaleza de las raíces de P x x7 6x6 3x5 8x4 3x3 4x2 0 Positivas 4 2 0 Negativas 1 1 1 Nulas 2 2 2 Complejas 0 2 4 PROBLEMA FUNDAMENTAL No. 6 Este problema consiste en determinar el intervalo de acotación de las raíces reales de una ecuación polinómica, el cual está definido por dos números reales que definen los límites de dichas raíces en la ecuación. Para esto usamos el teorema de Laguerre el cual estable que: Li x Ls TOMAS NAVARRO 47 TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS Límite Superior Ls : es el menor entero positivo que al dividir el polinomio representativo de la ecuación, hace que todos los coeficientes del cociente y el resto sean no negativos. Límite Inferior Li : es el menor entero positivo que hace los coeficientes del cociente y resto que resulta de dividir la ecuación transformada, cuyas raíces son las opuestas de la original, sean no negativos. Ejemplo a desarrollar en clase: 1.- Hallar el intervalo de acotación de: 1. P x x6 8x5 7x4 32x3 31x2 40x 25 0 . 2. P x x4 3x2 4 0 3. P x x4 4x3 6x2 4x 1 0 4. P x x5 3x4 25x3 75x2 0 PROBLEMA FUNDAMENTAL No. 7 Este problema consiste en determinar las raíces racionales de una ecuación, si existen. La aplicación que se utiliza para la resolución de este problema, se fundamenta en el teorema que dice: Si una ecuación posee una raíz racional formada por el cociente entre dos enteros primos entre sí, entonces el numerador de la raíz es un factor del término independiente de la ecuación, y el denominador es un factor del coeficiente principal de la ecuación. Es decir: sea P x an xn an1xn1 an2 xn2 ... a2 x2 a1x a0 0 y x TOMAS NAVARRO 48 p donde “p” q TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS y “q” son primos entre sí, entonces “p” es un factor de “a0” y “q” es un factor de “an”. p1 . p2 . p3 . p4 ..... pn 1 n a0 an q2 q2 q3 q4 qn a0 p1 p2 p3 ... pn an q1q2 q3 ...qn por tanto pi es un factor de a0 para 1 i n qi es un factor de an para 1 i n Para determinar las raíces racionales de una ecuación, se procede de la siguiente manera: 1ro. Se determina la naturaleza de las raíces de la ecuación. 2do. Se determina el intervalo de acotación de las raíces reales de la ecuación. 3ro. Se obtienen los factores del término independiente 4to. Se obtienen los cocientes entre los factores de 5to. Se determinan las posibles raíces racionales, que serán los cocientes a0 y el coeficiente principal an . a0 y los factores de an . anteriores que estén contenidos en el intervalo de acotación. 6to. Se verifica cada una de las posibles raíces mediante el uso de Ruffini para probar si son raíces o no. Este proceso de verificación se realiza hasta degradar la ecuación a una de 2do grado o inferior, si es posible. 7mo. Si la ecuación es degradada a una de 2do grado, se resuelve y se obtiene las raíces restantes. Ejemplos: Hallar las raíces racionales de la ecuación revuélvala si es posible . 1ro. Hallamos la naturaleza de las raíces: TOMAS NAVARRO 49 P x 2x4 x3 20x2 13x 30 0 y TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS P x 2x4 x3 20x2 13x 30 0 dos posibles raíces positivas o ningunas P x 2x4 x3 20x2 13x 30 0 dos posibles raíces negativas o ningunas. Positivas Negativas Complejas 2 2 0 0 2 0 2 0 0 2 2 4 2do. Hallamos en intervalo de acotación: 2 1 -20 -13 30 8 36 64 204 2 9 16 51 234 2 -1 -20 +13 30 8 28 32 180 7 8 45 210 4 4 2 luego el limite superior es igual a 4 Ls 4 luego el limite inferior es igual a -4 Li 4 Por tanto el intervalo de acotación es igual a: 4 x 4 TOMAS NAVARRO 50 TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS 3ro. Hallamos los factores de a0 y los factores de an : Factores de an 30 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30, Factores de a0 2 1, 2, 4to. Hallamos los cocientes entre los factores de a0 y an : factores de a0 1 3 5 15 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30, , , , factores de an 2 2 2 2 5to. Hallamos las posibles raíces: 1 3 5 1 3 5 4 1, 2,3, , , , 1, 2, 3, , , 4 2 2 2 2 2 2 6to. Probaremos las posibles raíces usando a Ruffini: 2 1 2 3 2 -2 2 -5/2 1 -20 -13 30 2 3 -17 -30 3 -17 -30 0 6 27 30 9 10 0 -4 -10 5 0 -5 2 0 Por tanto las raíces de la ecuación son: 1, 3, -2 y -5/2. TOMAS NAVARRO 51 TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS Ejercicios para hacer en clase: Hallar las raíces racionales de las ecuaciones y resolverla si es posible. a) P x x6 8x5 7x4 32x3 31x2 40x 25 0 b) P x 2x5 3x4 5x3 10x2 12x 8 0 c) P x x4 x3 6x2 14x 12 0 d) P x x5 x4 5x3 x2 6x 0 PROBLEMA FUNDAMENTAL No. 8 Este problema se fundamenta en la localización de las raíces irracionales de una ecuación mediante el uso del teorema de Bolzano y la obtención de las raíces con tanto decimales como sea deseado mediante el método de Ruffini-Horner. Teorema de Bolzano Si un polinomio P x an xn an1xn1 an2 xn2 ... a2 x2 a1x a0 , toma par x a y x b , a b , valores P a y P b de signos opuestos, la ecuación P x 0 tiene por lo menos una raíz en el intervalo a, b . Demostración: Supongamos que P a 0 y P b 0 . Si dividimos a, b en dos partes iguales y el polinomio se anula en el valor de la división el teorema está probado. En caso contrario, existe uno y sólo uno de los intervalos parciales, llamémosle a1, b1 , en el cual P x este intervalo mitad, cambia de signo; es decir repetimos a2 , b2 , a3 , b3 , a4 , b4 ,... TOMAS NAVARRO el P a1 0 razonamiento para los cuales 52 y y P b1 0 . A partir de tendremos subintervalos P a2 0 , P a3 0 , P a4 0 , … y TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS P b2 0 , P b3 0 , P b4 0 , … Si en alguna de las sucesivas subdivisiones, se llega a un punto en el que P x se anula, el teorema queda demostrado. Este teorema nos permite la separación de las raíces reales de una ecuación algebraica. Ejemplos: Separar las raíces reales de las ecuaciones dadas mediante el uso del teorema de Bolzano: a) P x 2x3 9x2 2x 24 0 b) P x 8x3 4x2 18x 9 0 c) P x 4x4 4x3 25x2 x 6 0 Desarrollo de a): Sea P x 2x3 9x2 2x 24 0 y su transformada cuyas raíces son las opuestas de las raíces originales la ecuación P x 2x3 9x2 2x 24 0 , los límites vienen dados por: 2 -9 -2 24 10 5 15 2 1 3 39 2 9 -2 -24 13 44 84 22 42 60 5 2 2 Luego el intervalo luego el limite superior es igual a 5 Ls 5 luego el limite inferior es igual a -2 Li 2 I 2,5 , es decir para TOMAS NAVARRO 53 x5 Para x 0 TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS P x 0 para x 2 P x 0 . P 0 24 0 luego en el intervalo 2,0 existe por lo menos una raíz. Si subdividimos el intervalo 0,5 se tiene que para x3 P 3 2 3 9 3 2 3 24 54 81 6 24 9 0 luego en el intervalo 3 2 tenemos por lo menos otra raíz y en intervalo 0,3 3,5 tenemos la tercera raíz. Es decir, como la ecuación es de tercer grado, podemos concluir diciendo que las tres raíces se encuentran dentro de los intervalos siguientes: Desarrollo de b): Sea 2,0 , 0,3 , y 3,5 . P x 8x3 4x2 18x 9 0 y su transformada cuyas raíces son las opuestas de las raíces originales la ecuación P x 8x3 4x2 18x 9 0 , los límites vienen dados por: 8 -4 -18 9 16 24 12 8 12 6 21 8 4 -18 -9 16 40 24 20 12 15 2 2 8 Luego el intervalo luego el limite superior es igual a 2 Ls 2 luego el limite inferior es igual a -2 Li 2 I 2, 2 , es decir para x2 TOMAS NAVARRO P x 0 54 para x 2 P x 0 . TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS Para x 0 P 0 9 0 luego en el intervalo 2,0 existe por lo menos una raíz. Si subdividimos el intervalo 0, 2 se tiene que para x 1 P 1 8 1 4 1 18 1 9 8 4 18 9 5 0 3 2 tenemos por lo menos otra raíz y en intervalo Si subdividimos el intervalo luego el intervalo 0,1 1, 2 tenemos la tercera raíz. 2,0 se tiene que para x 1 P 1 8 1 4 1 18 1 9 8 4 18 9 15 0 3 en 2 luego en el intervalo 2, 1 tenemos por lo menos otra raíz. Es decir, como la ecuación es de tercer grado, podemos concluir diciendo que las tres raíces se encuentran dentro de los intervalos siguientes: Desarrollo de c): Sea 2, 1 , 0,1 , y 1, 2 . P x 4x4 4x3 25x2 x 6 0 y su transformada cuyas raíces son las opuestas de las raíces originales la ecuación P x 4x4 4x3 25x2 x 6 0 , los límites vienen dados por: 4 -4 -25 1 6 16 48 92 372 4 12 23 93 378 4 4 -25 -1 6 12 48 69 204 16 23 68 210 4 3 4 TOMAS NAVARRO luego el limite superior es igual a 4 Ls 4 luego el limite inferior es igual a -3 Li 3 55 TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS Luego el intervalo I 3, 4 , es decir para P x 0 x4 Para x 0 para x 3 P x 0 . P 0 6 0 luego tenemos los intervalos 0, 4 y 3,0 : Si subdividimos el intervalo 0, 4 se tiene que para x2 P 2 4 2 4 2 25 2 2 6 60 0 luego en el intervalo 0, 2 tenemos por 4 3 2 lo menos otra raíz y en intervalo Si subdividimos el intervalo 2, 4 tenemos la segunda raíz. 3,0 se tiene que para x 1 P 1 4 1 4 1 25 1 1 6 12 0 luego en el intervalo 4 3 tenemos la tercera raíz y el intervalo 2 3, 1 1,0 tenemos la cuarta raíz. Es decir, como la ecuación es de cuarto grado, podemos concluir diciendo que las cuatro raíces se encuentran dentro de los intervalos siguientes: 3, 1 , 1,0 , 0, 2 , y 2, 4 . Ejercicios para desarrollar en clase: Hacer la separación de las raíces reales en cada ecuación dada, usando el teorema de Bolzano. a) P x 2x5 x4 10x3 5x2 8x 4 0 b) P x x3 3x2 2 0 c) P x x4 10x2 9 0 d) P x x5 5x4 10x3 50x2 9x 45 0 e) P x x3 x2 3x 5 0 TOMAS NAVARRO 56 TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS Calculo de las raíces irracionales de una ecuación. Método de RuffiniHorner Dada una ecuación polinómica racional entera, lo primero que tenemos que hacer es obtener las raíces racionales y nulas si existen, y luego cualquier raíz irracional existente en la ecuación degradada. Si la ecuación degradada es de segundo grado, las raíces se obtienen fácilmente por medio de la fórmula correspondiente. En el análisis que haremos partiremos del supuesto de que la ecuación es de tercer grado o mayor. En este caso las raíces irracionales vendrán dadas en forma decimal, y su grado de precisión, dependerá esencialmente del grado de aproximación que se desee obtener atendiendo al mayor ahorro posible de operaciones. METODO DE RUFFINI-HORNER Este método que sólo es aplicable a ecuaciones algebraicas, permite calcular las raíces irracionales de una ecuación mediante un procedimiento de cálculo sencillo. La facilidad de cálculo es debida a que cada cifra de la raíz se determina individualmente. El razonamiento es el siguiente: Sea P x an xn an1xn1 an2 xn2 ... a2 x2 a1x a0 0 que tiene una raíz real, r, en el intervalo , . Por simplicidad, vamos a suponer que sucesivos; así tendremos que la parte entera de r es r y y ; es decir, r 10 10 y son dos números enteros y podemos escribirla como sigue: donde y es un número comprendido entre 0 y 10. Si desarrollamos la ecuación binomio P x 0 , mediante la formula de Taylor según potencia del r , se obtiene: TOMAS NAVARRO 57 TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS P r Rn r Rn 1 r n n 1 Rn 2 r n2 ... R2 r R1 r R0 0 2 ,y sabiendo que r y , tenemos: 10 P y Rn y n 10 Rn 1 y n 1 10 Rn 2 y n 2 ... 10 2 R2 y 2 10 n2 n 1 R1 y 10 R0 0 n Acotando las raíces en esta ecuación con los valores enteros de y de 0 a 10, habrá dos sucesivos, digamos que son entera de “y” es y 1 1 y 1 , para los cuales P y cambia de signo, y la parte 1 . Luego tenemos que: z z o también y 1 donde z es un número comprendido entre 0 y 10 10 10. Si aplicamos la formula de Taylor de nuevo tenemos que: P z R 'n z n 10 R 'n 1 z n 1 10 R 'n 2 z n 2 ... 10 2 n2 R '2 z 2 10 n 1 R '1 x 10 R '0 0 n Acotando las raíces en esta ecuación con los valores enteros de y de 0 a 10, habrá dos sucesivos, digamos que son entera de “z” es z 2 2 y 2 , para los cuales P z cambia de signo, y la parte 2 . Luego tenemos que: u u o también z 2 donde “u” es un número comprendido entre 0 y 10 10 10. Siguiendo el proceso podemos obtener la parte entera de “u” y así sucesivamente tenemos que: r TOMAS NAVARRO 1 2 10 10 2 3 103 ... 58 TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS Este proceso de repite tanta veces como el número de cifras precisas se desee. Y los coeficientes se obtienen mediante el uso del esquema de Horner. Ejemplo: Dada la ecuación P x x3 5x 1 0 , calcular con seis cifras exactas la raíz simple que se encuentra en el intervalo 2,3 . Verificaremos que se produce un cambio de signo de P x en 2,3 . P 2 2 5 2 1 8 10 1 3 0 3 y P 3 3 5 3 1 27 15 1 27 15 1 11 0 3 Primer paso: La parte entera de la raíz es r 2 2 , luego: y y , o sea r 2 . 10 10 x 2 , aplicando el esquema de Horner: Desarrollaremos la ecuación según potencia de 1 2 1 2 1 0 -5 -1 2 4 -2 Resulta así la ecuación transformada 2 -1 -3 r 2 2 8 tomando la relación dada. 4 7 por 2 2 1 6 3 6 r 2 7 r 2 3 0 , r 2 2 y tenemos también que: 10 P y y3 60 y2 700 y 3000 0. Esta ecuación cambia de signo en el intervalo 2 1 TOMAS NAVARRO 59 3, 4 , es decir: TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS P 3 3 60 3 700 3 3000 333 0 3 2 P 4 4 60 4 700 4 3000 824 0 3 2 luego la parte entera de “y” es 1 3; es decir y 3 z z , con , de donde y 3 10 10 0 z 10 . Segundo paso: Aplicamos nuevamente el esquema de Horner, para desarrollar según potencias de 1 3 1 3 1 3 y 3 : 60 700 -3000 3 189 2667 63 889 -333 3 198 66 1087 y 3 3 69 y 3 1, 087 y 3 333 0 , 2 tomando la relación dada por y 3 z tenemos también que: 10 P z z3 690z 2 108700z 333000 0. Esta 3 1 Resulta así la ecuación transformada 69 ecuación cambia de signo en el intervalo 3, 4 , es decir: 3 1 P 3 3 690 3 108700 3 333000 663 0 3 2 P 4 4 690 4 108700 4 333000 112904 0 3 luego la parte entera de “z” es 2 3; 2 es decir z 3 0 u 10 . TOMAS NAVARRO 60 u u , con , de donde z 3 10 10 TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS Tercer paso: Aplicamos nuevamente el esquema de Horner, para desarrollar según potencias de z 3 : 1 690 108700 -333000 3 2079 332337 693 11 0779 -663 3 2088 696 1 12867 3 1 3 1 Resulta así la ecuación transformada z 3 1 699 z 3 112,867 z 3 663 0 , 2 tomando la ecuación dada por z 3 3 3 3 696 u 10 tenemos también que: Esta ecuación cambia P z u3 6990u2 11286700u 663000 0. 3 1 Esta ecuación cambia de signo en el intervalo decir: P 0 663000 0 P 1 1 6990 1 11286700 1 663000 10630691 0 3 entera de “u” es 3 0; 2 es decir u 0 0,1 , es luego la parte v v , con 0 v 10 . , de donde u 10 10 Como en este caso la cifra calculada es cero, se agregan nuevamente los ceros a la ecuación y se procede a hallar siguiente. Cuarto paso: P v v3 699 102 v2 112867 104 v 663106 0 4 , 4 0,1 ; luego v 0 w w es decir v 10 10 Otra vez la cifra calculada es cero, luego: TOMAS NAVARRO 61 TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS Quinto paso: P w w3 699 103 w2 112867 106 w 663109 0 5 , 5 5,6 ; w 5 s s de donde w 5 10 10 y así siguiendo podemos resumir diciendo que: r 2 y , 10 y 3 z u v w s , z 3 , u 0 , v 0 , w 5 de donde 10 10 10 10 10 por sustitución tenemos que: r 2.33005 s 2.33005... la cual es la raíz buscada, con seis cifras exactas. 106 El método se utiliza para hallar una raíz irracional positiva. Si se quiere alguna raíz negativa, basta con buscar la correspondiente raíz positiva de la ecuación transformada en aquella cuyas raíces son las opuestas de las raíces de la ecuación original y procedemos de la misma forma. Ejercicios para hacer en clase: Hallar con seis decimales la raíz de P x x3 2x2 23x 70 0 , comprendida entre 5 y 6 (entre estos límites existe al menos una raíz, ya que P 5 10 y P 6 80 ) Ejercicios propuestos: Para las ecuaciones dadas, calcular con tres cifras decimales la raíz que se encuentra en el intervalo (1,2). 1. P x x4 4x3 x2 12x 6 0 TOMAS NAVARRO 62 TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS 2. P x x 3 0 3. P x x3 10x2 34x 60 0 4. P x x3 3x2 x 6 0 5. P x x3 5x2 2x 6 0 3 TOMAS NAVARRO 63
