LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES

Departamento de Ingeniería Eléctrica
Universidad de Santiago de Chile
LUGAR GEOMÉTRICO
DE LAS
RAICES
Actualizado al 11 de Agosto de
2003
PROFESOR
Oscar Páez Rivera
Lugar geométrico de las raíces
Oscar Páez Rivera
Pagina 2
Profesor Asociado Departamento Ingeniería Eléctrica Universidad de Santiago
Lugar geométrico de las raíces
Pagina 3
1. DEFINICIÓN DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES LGR
Considere el sistema de la Figura Nº1, sea
H( s ) 
N( s )
D(s)
c
r
Kc
+
la función de transferencia en
H(s)
-
lazo abierto (FTL A) del conjunto controlador –
Figura 1
sistema de actuación - planta - sensor  y sea Kc : la ganancia variable en el lazo de control. Sea F(s) la
función de transferencia en Lazo cerrado del conjunto (FT L C) dada por:
F( s ) 
C(s)
r(s)

k cN( s )
D ( s )  k cN( s )
El comportamiento dinámico del sistema ya realimentado depende de
los polos y ceros de (F(s)).
Los ceros de F(s) son los ceros de H(s). la realimentación no cambia los ceros.
Los polos de F(s) son las raíces de la ecuación
D ( s )  k cN( s )
con Kc variable o bien 1  k c H ( s )  0
Definición : El lugar geométrico de la raíces asociado a H(s) Lgr (H(s)) es el conjunto de todos los puntos
del plano de Laplace que cumplen con evaluar a H(s) como un real negativo.
*
*
Lgr (H(s))   s /arg H ( s )   ( 2 n  1 ) 
Es usual admitir a H(s) como un operador funcional, primariamente H(s) es una función compleja de
variable compleja. En su forma factorizada H(s) admite una evaluación geométrica.
Cada término (s+ci) corresponde a un vector que nace en el cero dado por -ci y finaliza en s (punto de
evaluación).
Cada término (s+pi) corresponde a un vector que nace en el polo dado por -pi y finaliza en s (punto de
evaluación).
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Cada término (s+ci) posee un módulo li (distancia entre s y -pi) y un  i según la figura Nº 2
Cada término (s+pi) posee un módulo Li (distancia entre s y -pi) y un  i según la figura Nº 2 .
s
*
Expresión polar de H(s)
m
H(s) 
Li
li
k 0  li
  i   i
1
n
 Li
1
i
-ci
Figura Nº 2

i
-pi
Condición de ángulo
 2 ( n  1 )     i    i
Condición de modulo
m
k 0 k c  li
1
n
1
 Li
1
La condición del Lgr equivale a un balance de ángulos:
La otra condición obvia es la de modulo. Las dos condiciones permiten construir el Lgr como un conjunto
de puntos parametrizados en Kc.
El Lgr es un conjunto de puntos organizados en curvas llamadas ramas del Lgr, se tratan de curvas
parametrizadas por Kc ; debe tenerse claro que para un punto s* el pertenecer a Lgr (H(s)) y ser polo
de F(s) son sentencias equivalentes.
-p2 2
2. REGLAS PARA TRAZAR EL LGR
-c1
*Existencia en el eje real:
-p4
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-p3
1Santiago
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-p1
Figura 3
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El Lgr tiene existencia en todos los intervalos del eje real con tal que el número de ceros reales Nc
y número de polos reales Np que se encuentren a su derecha cumplan con (Np+Nc) : impar. Los polos que
1 + 2=2  (ver figura 3).
estén fuera del eje real no cuentan ya que
*Puntos de Partida :
Las ramas se inician en los polos de H(s). Cuando Kc es pequeño, los polos de F(s) se encuentran
en las cercanías de los polos de H(s) : cada rama del lugar geométrico de las raíces nace de un polo de
H(s):
lim D ( s )  k c N ( s )  0  D ( s )  0
Kc  0
Puntos de Llegada:
S*
Figura 4
Ángulo de las asíntotas
f
i 
( 2 l  1 )
nm
Las ramas finalizan en los ceros de H(s). Cuando Kc  la ecuación que define los polos de F(s) se
transforma en N(s)=0  El Lgr finaliza en los ceros H(s). Si existen más polos que ceros, entonces los
polos de F(s) están en el infinito en una circunferencia con radio infinito. El vector q une este polo s* con el
origen forma un ángulo  ;se cumple entonces:  i 
El ángulo
i define las
( 2 l  1 )
nm
direcciones asintóticas, las ramas se
transforman en rectas con inclinación dada por el ángulo 
m   n    ( 2 l  1) 
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Intersección de las Asintotas con el eje real :
Las asintotas se cortan en un punto x del eje real dado por X:
x
 ci   pi
nm
Puntos de partida y llegada al eje real :
Real
Figura 5
f(x) = Kc1
Kcd :Ganancia
del
punto de
despegue
Kcd

x
Punto de
despegue
eje real
Polo de F(s)
para Kc = Kc1
x
Real
Imaginario
Real

Punto de
despegue
eje real
Cuando existe Lgr entre dos polos o entre dos ceros tiene que producirse un abandono del eje real (polos)
o una llegada al eje real. Sea x una variable real que pertenece al Lgr , entonces
la ganancia Kc que permite obtener dicho polo x es una función f(x) dada por
f(x)  
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D(x)
N( x )
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El mínimo valor de Kc en el intervalo es cero y x coincide con los polos en lazo abierto, a medida que Kc
aumenta ambos polos se desplazan hacia el centro del intervalo en dirección contraria hasta llegar al punto
de despegue x donde Kc alcanza su valor máximo
En x se cumple
para x = x
d 
D(x) 

  0
dx 
N( x ) 
En los puntos de llegada se cumple algo similar excepto que Kc alcanza su valor mínimo en el punto de
llegada y también se cumple la ecuación anterior
*Angulo de partida:
Es el   de nacimiento de una rama en las cercanías de un polo s^ de H(s) ; para evaluarlo, se
 
 i   
i
i
s*
il

calcula, luego :
S^
     ( 2 n  1) 
ó
    ( 2 n  1) 
ver figura 6
Figura 6
* Simetría
El LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES es simétrico respecto del eje real
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3. APLICACIONES
1) Trazar Lgr de
H(s) 
1
( s  1)( s  3 )
i) Existencia en el eje real : (-1, -3)
ii) Puntos de partida :
-1 ; -3
iii) Puntos de llegada.
Están al 
 asíntotas :
/2 , 3 /2
iv) Punto intersección
x
1 3
 2
2
d
v) Puntos de despegue :
dx
^
^
( x  1)( x  3 )  0
^
2x4  0
vi)  de partida :
^
x  2
en -1 ; =
en -3 ; =0
Kc
Kc0
-3
-1
Figura Nº 7
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2 .- Trazar Lgr de
H(s) 
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1
s ( s  4 )( s
2
 8 s  32 )

1
s ( s  4 )( s  4  j 4 )( s  4  j 4 )
El Lgr existe en el eje real (0, _ 4 )
C
Puntos de partida A, B, C, D
Puntos de llegada : 
2
 asíntotas : 45 ,135, 225, 315
1
A
B
Punto intersección eje real
x 
0  4  4  j4  4  j4
D
 3
3
4
*Puntos de despegue :

y(x)  x
3
 9x
2
Figura Nº 8
 32 x  32  0
Al evaluar este polinomio se tiene x = -1.58
Angulo de partida: el  interesante esta alrededor de del punto C ;



   (  1   1   1)   

 

2
4 
 2
= -3/4
* Frecuencia critica
El Lgr corta al eje imaginario en la llamada frecuencia critica que se alcanza con un Kc = Kcc y que
hace oscilar el sistema en forma sostenida en un período
Tc 
2
wc
. Para determinar wc se aplica la
condición de ángulo en este caso
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 tan
1
 wc  4 

  tan
 4 
1
 wc 

  tan
 4 
Pagina 10
1
 4  wc 

  90   180
 4 
s* -p1
L1
Resolviendo numéricamente está ecuación se llega a Wc=3.25 ; por
encima de la asintota ; el trazado del Lgr es el de la figura 10.
l1
i
3
-c1
-p3
L2
2
-p2
Figura Nº 9
d
dx
( x ( x  4 )( x
2
 8 x  32 )  0
Figura Nº 10
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