1.-Calcular la diagonal, el área lateral, el área total y el

PROBLEMAS DE SUPERFICIES Y VOLÚMENES
1.-Calcular la diagonal, el área lateral, el área total y el volumen de un cubo de 5 cm de arista.
2.- Calcula la altura de un prisma que tiene como área de la base 12 dm2 y 48 l de capacidad.
3.- Calcular la diagonal de un ortoedro de 10 cm de largo, 4 cm de ancho y 5 cm de alto.
4.- Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm de
ancho y 2500 mm de alto.
5.- Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 10 cm de arista
básica y 12 cm de altura.
6.- Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide hexagonal de 16 cm de arista
básica y 28 cm de arista lateral.
8.- Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica de 10
cm de diámetro y 20 cm de altura.
9.- Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base. Y la altura mide
125.66 cm. Calcular el área total y volumen:
10.- Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya generatriz mide 13 cm y el radio
de la base es de 5 cm.
11.- Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya altura mide 4 cm y el radio de la
base es de 3 cm.
Ejercicio nº 1.- Se quiere construir con alambre el esqueleto de un octaedro, de modo que cada arista mida 20 cm.
¿Qué cantidad de alambre será necesaria?
Si luego quiero cubrirlo de cartulina ¿cuánto necesitaré?
¿Cuál será su volumen?
Solución:
20 cm
Un octaedro tiene 8 caras que son triángulos equiláteros y 12 aristas, que en este caso
serán todas de 20 cm.
Por tanto los centímetros que necesitaré de alambre para construir el esqueleto serán:
20 cm x 12 aristas= 240 cm de alambre.
ba
Cada triángulo tiene un área igual a:
, como b=20 cm y a (la altura
ATRIÁNGULO 
2
del triángulo la tengo que hallar por Pitágoras)
a
202  102 
400  100 
300  17, 32 cm
20  300
Tengo 8 triángulos, luego el Área
 10·10 3=173, 21 cm2
2
2
2
total será: ATTOTAL  8 173, 21 cm  1385,68 cm . Para cubrirlo necesitaré 1385,68 cm 2 de
ATRIÁNGULO 
cartulina.
El volumen será igual a:
Se calcula el volumen de un tetraedro de 20 cm de arista y luego multiplicamos por 2.
A
h
ABASE  a·a  20·20  400 cm2
V  BASE
3
La altura del tetraedro vuelvo a calcularla por Pitágoras, conociendo la hipotenusa y el cateto
menor.
h
17, 322  102 
300  100 
200  14, 14 cm
400  14,14
 1885,61 cm3
3
VOCTAEDRO  2·1885,61 cm3  3771,24 cm3
V 
Ejercicio nº 2.- Calcula el área lateral y el área total de un cilindro de 2 metros de radio y 2,5 metros de altura. Para
ello, dibuja esquemáticamente su desarrollo y señala sobre él los datos necesarios.
¿Cuál es su volumen?
Solución:
ABASE   · r2  314 · 4  1256 m2
ALAT  2 ·  · r · h  628 · 2 · 25  314 m2
ATOTAL  2ABASE  ALAT  2512  314  5652 m2
V  ABASE  h   ·r 2 ·h = 3, 14 · 4 ·2,5 = 31,4 m3
Ejercicio nº 3.- Calcula el área lateral y el área total de un cono cuya generatriz mide 10 cm y el radio de su base es
de 2,5 cm. Dibuja esquemáticamente su desarrollo y señala sobre él los datos necesarios. Calcular su volumen.
Solución:
ABASE   · r2  314 · 625  1962 cm2
ALAT   · r · g  314 · 25 · 10  785 cm2
ATOTAL  ABASE  ALAT  1962  785  9812 cm2
h
V 
10 2  2, 5 2  9, 7 cm
ABASE  h
3

3,14  2, 52  9,7
 63, 4 cm3
3
Ejercicio nº 4.- Describe el siguiente poliedro y clasifícalo atendiendo a sus características. Calcula el área si la arista
de la base es 10 cm y 24 cm de altura:
Solución:
 Base hexagonal
regular.
 6 caras laterales
triangulares
(triángulos
isósceles iguales).
 Pirámide regular
hexagonal.
La apotema del hexágono que forma la base es:
ap 
102  52 
100  25 
75  8, 66 cm
La apotema de la pirámide será:
Ap 
242  8, 662 
576  74, 99 
ABASE 
P  a 6·10·8, 66

 259, 8 cm2
2
2
650, 99  25, 51 cm
¿Cuál sería su volumen?
ABASE  h
3
259, 8  25 , 51
V 
 2209, 166 cm3
3
V 
Ejercicio nº 5.- ¿Qué cantidad de chapa se necesita para construir un depósito cilíndrico cerrado de 0,7 m de radio
de la base y 1 metro de altura? Dibuja esquemáticamente su desarrollo y señala sobre él los datos necesarios.
¿Cuál es su capacidad en m3?
Solución:
ABASE  · r2  314 · 049  154 m2
ALAT  2 ·  · r · h  628 · 07  44 m2
ATOTAL  2ABASE  ALAT  308  44  748 m2 de chapa
VC  AB  h  3,14  0, 72  1  1, 54 m3
Ejercicio nº 6. Las dimensiones de un ortoedro son a  7 cm, b  5 cm y c  10 cm. Dibuja esquemáticamente su
desarrollo y calcula su área. Calcula su volumen.
Solución: A  2 ab  ac  bc  2 7 · 5  7 · 10  5 · 10  2 35  70  50  2 · 155  310 cm2
V  ABASE  h  7·5·10  350 cm3
Ejercicio nº 7.- Un florero con forma cilíndrica tiene un diámetro interior de 12 cm y su altura es de 25 cm.
Queremos llenarlo hasta los 2/3 de su capacidad. ¿Cuántos litros de agua necesitamos?
VC  AB  h  3, 14  62  25  2 826 cm3
2 826 cm3  2, 826 dm3  2, 826 l
2
 2, 826  1, 884 l
3
Necesitamos 1884 litros de
1dm3  1 l
agua.
Ejercicio nº 8.- Calcula el volumen de un cono cuya generatriz mide 12 cm y el radio de su base es de 5 cm.
ABASE  h

3
3, 14  5 2  10 , 9


3
 285 , 36 cm3
V 
h
12 2  5 2  10, 9 cm
Ejercicio nº 9.- Para medir el volumen de una piedra pequeña utilizamos una vasija cilíndrica y echamos agua hasta
su mitad. El diámetro interior de la vasija es de 10 cm y la altura que alcanza el agua es de 15 cm. Al introducir la
piedra el nivel del agua sube 2 cm. ¿Cuál es el volumen de la piedra?
Solución:
Arquímedes dijo que el volumen de un cuerpo sumergido en el agua es igual al del agua que desaloja. Es decir que si
el nivel del agua sube 2 cm al introducir la piedra, su volumen será igual al de un cilindro que tiene 2 cm de altura y
10 de diámetro, o lo que es lo mismo 5 de radio.
VPIEDRA base·h=  · 52 · 2  157 cm3
Ejercicio nº 10.- Calcula el volumen de estos cuerpos:
Solución:
ABASE  h

3
2
12  20


3
 960 cm3
V 
ABASE  h

3
2
3,14  10  17


3
 1 779, 3 cm3
V 
Ejercicio nº 11. Calcula el volumen de estos cuerpos:
V  ABASE  h 
48  6, 9
 15 
2
 2 484 cm3

Solución:
V  r 2 h 
V  ABASE  h 
 3,14  25  12 
 8 2  16 
 942 cm3
 1 024 cm3
4 3
r 
3
4
  3,14  7 3 
3
 1 436 cm3
V 
Ejercicio nº 12.- Teniendo en cuenta las medidas señaladas, calcula el volumen de esta figura:
VSE 
Solución:
VC 
14 2  4
 r   3,14  25  52,3 cm3
23
 6
AB  h
 314 cm3
3
VFIGURA  52, 3  314  366, 3 cm3
Ejercicio nº 1.-
Expresa en cm3:
a 1 m3
b 5 400 mm3
c 0,003 dam3
Solución:
a 1 m3  1 · 1 000 000 cm3  1 000 000 cm3
b 5 400 mm3  5 400 : 1 000 cm3  54 cm3
c 0,003 dam3  0,003 · 1 000 000 000 cm3  3 000 000 cm3
Ejercicio nº 2.-
Calcula el volumen de estos cuerpos:
Solución:
V  r 2 h 
V  ABASE  h 
 3,14  25  12 
 8 2  16 
 942 cm3
 1 024 cm3
4 3
r 
3
4
  3,14  7 3 
3
 1 436 cm3
V 
Ejercicio nº 3.-
Halla el volumen de este prisma de base hexagonal regular:
Solución:
a
10 2  5 2  8, 66 cm
V  ABASE  h
P  a 60  8, 66
ABASE 

 259, 8 cm
2
2
V  259, 8  25  6 495 cm3
Ejercicio nº 4.-
Calcula el volumen de una pirámide regular cuya base es un cuadrado de 24 cm de lado y su arista
lateral es de 37 cm.
Solución:
a
24 2  24 2  33, 9 cm
a
 16, 95 cm
2
h
V
37 2  16, 95 2  32, 9 cm
ABASE  h 242  32,9

 6316,8 cm3
3
3
Ejercicio nº 5.-
Calcula el volumen de un cono cuya generatriz mide 25 cm y el radio de su base es de
12 cm.
Solución:
h
V
25 2  12 2  21, 9 cm
ABASE  h 3,14  122  21,9

 3300,8 cm3
3
3
Ejercicio nº 6.-
Calcula el volumen del tronco de pirámide y del tronco de cono:
Solución:
A BM
6  34  29,4
 2998,8 cm2
2
VPG 
ABASE  h 2 998, 8  20

 19 992 cm3
3
3
3
1
 1
VPP     VPG   19 992  2 499 cm3
8
2
VTRONCO  19 992  2 499  17 493 cm3
x  15 x

 3 x  45  6 x  x  15 cm
6
3
A
 h 3,14  6 2  30
VCG  BASE

 1 130, 4 cm3
3
3
3,14  3 2  15
VCP 
 141, 3 cm3
3
VTRONCO  1 130, 4  141, 3  989,1 cm3
Ejercicio nº 7.-
Teniendo en cuenta las medidas señaladas, calcula el volumen de esta figura:
Solución:
VC  AB  h  3,14  8 2  25  5 024 cm3
VSE 
1  4 2  4  3,14  8 2
 133, 97 cm3
 r  
23
6

VFIGURA  5 024  133, 97  5157, 97 cm3
Ejercicio nº 8.-
Un florero con forma cilíndrica tiene un diámetro interior de 12 cm y su altura es de
25 cm. Queremos llenarlo hasta los 2/3 de su capacidad. ¿Cuántos litros de agua necesitamos?
Solución:
VC  AB  h  3,14  6 2  25  2 826 cm3
2 826 cm3  2, 826 litros
2
 2, 826  1, 884
3
Necesitamos 1884 litros de agua.
Ejercicio nº 9.-
Expresa en m3:
a 15 500 dm3
b 23 dam3
c 0,003 hm3
Solución:
a 15 500 dm3  15 500 : 1 000 m3  155 m3
b 23 dam3  23 · 1 000 m3  23 000 m3
c 0,003 hm3  0,003 · 1 000 000 m3  3 000 m3
Ejercicio nº 10.-
Calcula el volumen de estos cuerpos:
Solución:
V  ABASE  h 
 9  7  20 
 1 260 cm3
ABASE  h

3
3,14  5 2  17


3
3
 444, 8 cm
V 
V  ABASE  h 
 3,14  6 2  15 
 1 695, 6 cm3
Ejercicio nº 11.-
Halla el volumen de este prisma cuyas bases son triángulos equiláteros:
Solución:
h1 
92  4, 52  7, 8 cm
V  ABASE  h
b  h 9  7, 8
ABASE 

 35,1 cm2
2
2
V  35,1  15  526, 5 cm3
Ejercicio nº 12.Calcula el volumen de una pirámide regular cuya base es un hexágono de 20 cm de lado y su arista
lateral es de 29 cm.
Solución:
h  292  202  21 cm
a  202  102  17,3 cm
ABASE  h
3
P  a 120  17,3
ABASE 

 1038 cm2
2
2
1038  21
V 
 7 266 cm3
3
V 
Ejercicio nº 13.-
Calcula el volumen de un cono cuya generatriz mide 20 cm y el radio de su base es de
10 cm.
Solución:
h
V
20 2  10 2  17, 3 cm
ABASE  h 3,14  102  17,3

 1810,7 cm3
3
3
Ejercicio nº 14.-
Calcula el volumen de estos cuerpos:
Solución:
VPG 
A BASE h
 720 cm3
3
3
3
1
 5 
 1
 15    3   27
 
 
1
VPP 
 VPG  26,7 cm3
27
VTRONCO  VPG  VPP  693,3 cm3
x  16 x

 6 x  96  8 x  x  48 cm
8
6
A
h
VCG  BASE
 4 287,1 cm3
3
A
h
VCP  BASE
 1 808, 6 cm3
3
VTRONCO  VCG  VCP  4 287,1  1 808, 6  2 478, 5 cm3
Ejercicio nº 15.-
Teniendo en cuenta las medidas señaladas, calcula el volumen de esta figura:
Solución:
VSE 
VC 
14 2  4
 r   3,14  25  52,3 cm3
23
 6
AB  h
 314 cm3
3
VFIGURA  52, 3  314  366, 3 cm3
Ejercicio nº 16.-
Una piscina tiene forma de prisma rectangular de dimensiones 25m x 15m x 3m. ¿Cuántos litros de
agua son necesarios para llenar los 4/5 de su volumen?
Solución:
VP  25  15  3  1 125 m 3 v olumentotal
1 125 m 3  1 125  1 000 dm 3  1 125 000 litros
4
 1 125 000  900 000 litros
5
Son necesarios 900 000 litros.
Ejercicio nº 17.-
Expresa en mm3:
a 23 cm3
b 7 dm3
c 0,045 m3
Solución:
a 23 cm3  23 · 1 000 mm3  23 000 mm3
b 7 dm3  7 · 1 000 000 mm3  7 000 000 mm3
c 0,045 m3  0,045 · 1 000 000 000 mm3  45 000 000 mm3
Ejercicio nº 18.-
Calcula el volumen de estos cuerpos:
Solución:
A BASE 
V  ABASE  h 
 3,14  4  11 
2
 552,64 cm3
60  8,66
 259,8 cm
2
ABASE  h

3
259,8  25


3
 2165 cm3
V 
V 
4 3
r 
3
4
 3,14  113 
3
 506,6 cm2

Ejercicio nº 19.-
Halla el volumen de este prisma de base cuadrada:
Solución:
h
37 2  12 2  35 cm
V  ABASE  h
V  122  35  5040 cm3
Ejercicio nº 20.-
Calcula el volumen de una pirámide regular cuya base es un hexágono de 18 cm de lado y su altura
es de 40 cm.
Solución:
a
18 2  9 2  15, 6 cm
ABASE  h
3
P a
ABASE 
 842, 4 cm2
2
842, 4  40
V 
 11 232 cm3
3
V 
Ejercicio nº 21.-
Calcula el volumen de un cono cuya generatriz mide 10 cm y el radio de su base es de
2,5 cm.
Solución:
h
V
10 2  2, 5 2  9, 7 cm
ABASE  h 3,14  2,52  9,7

 63, 4 cm3
3
3
Ejercicio nº 22.-
Calcula el volumen del tronco de pirámide y del tronco de cono:
Solución:
VPG 
3
A BASE h
 800 cm3
3
3
1
 12 
 1
 24    2   8
 
 
1
VPP   VPG  100 cm3
8
VTRONCO  VPG  VPP  700 cm3
10  x x

 20  2 x  4 x
4
2
A
h
VCG  BASE
 334, 9 cm3
3
A
h
VCP  BASE
 41, 9 cm3
3
VTRONCO  VCG  VCP  293 cm3

x  10 cm
Ejercicio nº 23.-
Teniendo en cuenta las medidas señaladas, calcula el volumen de esta figura:
Solución:

AB  h 92  9

 243 cm3 
3
3

3
3

1
3
 1
3
 VTRONCO  243  9  234 cm
 9    3   27
 
 


1
3
VPP 
 243  9 cm

27

VPG 
VCUBO  a3  93  729 cm3
VFIGURA  729  234  963 cm3
Ejercicio nº 24.-
El suelo de un depósito cilindrico tiene una superficie de 45 m 2. El agua que contiene alcanza 2,5
metros. Para vaciarlo se utiliza una bomba que extrae 8 hl por minuto. ¿Cuánto tiempo tardará en
vaciarse?
Solución:
VAGUA  AB · h  45 · 25  1125 m3  112 500 litros
112 500 : 800  140625 minutos  2h 20 min 37 s