inmersión de una variedad diferenciable de dimensión “m”

UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO ACADEMICO DE CIENCIAS
INFORME FINAL DE TRABAJO DE INVESTIGACION
“INMERSION DE UNA VARIEDAD DIFERENCIABLE DE
DIMENSION m EN UN ESPACIO EUCLIDEANO DE DIMENSION
2m+1”
RESPONASABLE:
LIC. JOSE ANTONIO GOMEZ NAVARRO
PIURA-PERU
2010
RESUMEN
Una variedad Diferenciable es un objeto geométrico con las mismas
propiedades fundamentales de una superficie, solo que no necesita estar
contenida en un espacio euclidiano para extraer sus principales propiedades.
Sin embargo, mediante la construcción de una topología adecuada en el
espacio de funciones entre variedades, es posible obtener Inmersiones
Homeomórficas para, de este modo, considerarla inmersa en un espacio
euclidiano.
Primero
se
exponen
sucintamente
los
conceptos
fundamentales
correspondientes a la teoría de las Variedades Diferenciables así como los
principales resultados de la Topología de Whitney en el espacio de funciones
entre Variedades. Posteriormente se exponen los Teoremas de Inmersión de
Whitney mediante los cuales el conjunto de las Inmersiones Inyectivas entre
Variedades resulta ser un conjunto denso en la Topología de Whitney de clase
C 1 . Finalmente se exponen los conjuntos de Baire en el espacio de funciones
entre Variedades que son los conjuntos adecuados para mostrar que una
Variedad Diferenciable de dimensión m puede ser inmersa homeomorficamente
en un espacio euclidiano de dimensión 2m+1; es decir que el conjunto de tales
inmersiones resulta denso en la Topología de Whitney de clase C 1 .
ABSTRACT
A manifold is a geometric object with the same fundamental properties of a
surface, just do not need to be contained in a Euclidean space to extract their
main properties. However, by constructing an appropriate topology in the space
of functions between varieties, it is possible to obtain Dives homeomorphic to,
thus, considered immersed in a Euclidean space.
First outlines the fundamental concepts for the theory of manifolds and the main
results of the Whitney topology in the space of functions between varieties.
Subsequently exposed Whitney Immersion Theorem by which all the dives
Inject Variety proves to be a dense set in the Whitney topology class. Finally,
we report Baire sets in the space of functions between sets varieties that are
adequate to show that a manifold of dimension m homeomorphism can be
immersed in a Euclidean space of dimension 2m +1, ie the set of such
immersions is dense in the Whitney topology class.
El Autor
HIPOTESIS
Es posible construir un conjunto de Inmersiones Homeomórficas entre una
Variedad Diferenciable de dimensión m y un espacio euclidiano de dimensión
2m+1. Tal conjunto debe pertenecer a una topología adecuada que permita
determinar que dicho conjunto es denso; es decir que todas las aplicaciones
próximas a ella conserven las mismas propiedades fundamentales.
OBJETIVO GENERAL
Mostrar que una Variedad Diferenciable de dimensión m puede ser inmersa
homeomorficamente como subconjunto cerrado en R 2 m 1 .
OBJETIVOS ESPECIFICOS
1.- Aproximar arbitrariamente cualquier aplicación f : M m  R 2m por una
inmersión y cualquier aplicación f : M m  R 2m1 por una inmersión biunívoca.
2.- Mostrar que todo atlas máximo de clase C 1 en una Variedad contiene un
atlas C  .
3.- Mostrar que para s  2m las inmersiones inyectivas forman un subconjunto
denso en la Topologia de Whitney de clase C 1 .
INTRODUCCION
La noción de superficie de dimensión m contenida en un espacio euclidiano de
dimensión n (n  m) que se estudia en la Geometría Diferencial Clásica aunque
adecuada para muchos propósitos, posee con todo dos inconvenientes. El
primero es de carácter estético: no se puede pensar en la superficie en sí
misma, sin hacer referencia al espacio euclidiano que la contiene. El segundo
inconveniente es de orden práctico: existen en la naturaleza objetos
importantes, semejantes a una superficie, que no se presentan contenidos en
espacio
euclidiano
alguno.
Estos
objetos
son
llamados
Variedades
Diferenciables. Tales son, por ejemplo, los espacios proyectivos reales.
De manera general, una Variedad Diferenciable es como una superficie, solo
que no necesita estar contenida en un espacio euclidiano.
El propósito del presente trabajo es mostrar como una Variedad Diferenciable
de dimensión m puede ser inmersa homeomorficamente en un espacio
euclidiano de dimensión 2m+1. Esto se logra a través de la construcción de
una topología adecuada en el espacio de funciones entre variedades para
mostrar que dada una aplicación especial (inmersión Homeomórfica) los
elementos próximos e ella (pertenecientes a una vecindad de esta) poseen
también las mismas propiedades. Esto se conoce como Estabilidad de la
Aplicación. La Topología a la cual hacemos referencia se denomina Topología
de Whitney.
Por tal motivo, en el primer capítulo, exponemos de modo sucinto los hechos
supuestamente conocidos para el presente trabajo. Este capítulo servirá de
referencia para los capítulos subsiguientes.
El segundo capítulo permitirá estudiar los teoremas de Inmersión de Whitney
mediante los cuales es posible construir Inmersiones Inyectivas entre una
Variedad Diferenciables y un espacio euclidiano. Estos conceptos funcionan
de manera adecuada en la Topología de Whitney de clase C 1 .
En el tercer y último capítulo se detalla cómo se refinan los resultados de
capitulo segundo, agregando condiciones para que las inmersiones se
transformen en Inmersiones Homeomórficas. De este modo se consigue el
objetivo general del presente trabajo.
ÍNDICE GENERAL
1.
2.
3.
Preliminares
1
1.1
Aplicaciones diferenciales entre variedades
1
1.2
Partición de la Unidad y métricas riemanianas
5
1.3
Topologías de Whitney
8
Los Teoremas de Inmersión
11
2.1
Conjuntos de medida nula en un variedad
11
2.2
Inmersiones
16
Inmersiones Homeomorficas de Whitney
22
3.1
Inmersiones Inyectivas e Inmersiones Homeomorficas
22
3.2
Espacios de Baire
28
Conclusiones
Recomendaciones
Bibliografía
CAPITULO I
PRELIMINARES
CAPITULO I
PRELIMINARES
1.1.- APLICACIONES DIFERENCIABLES ENTRE VARIEDADES
En esta sección desarrollaremos las ideas fundamentales de Variedades
Diferenciables, las cuales desempeñan un papel muy importante en el presente
trabajo.
Definición 1.1.1: Una Variedad Diferenciable de dimensión m y clase C k es un
par ordenado ( M , )
donde M es un espacio topológico de Hausdorff, con
base enumerable y  es un atlas máximo de dimensión m y clase C k sobre M;
es decir,   {x : U  M  R m ;U  Mabierto, x homeomorfismoUsobrex(U )  R m }
1) Los dominios U de los homeomorfismos x   cubren M.
2) Dados x : U  R m y y : V  R m pertenecientes a  con
U V   entonces  xy  yx 1  x(U V )  y(U V ) es un
homeomorfismo de clase C k
3) Dado un homeomorfismo z : W  R m
de un abierto W  M sobre un
abierto z(W )  R m tal que  zx y  xz son de clase C k para cada x   ,
entonces z   .
Ejemplo.- Toda superficie M  R n de dimensión m y clase C k con el atlas
 formado por los sistemas de coordenadas x : U  R m inversos de las
parametrizaciones  : U 0  R m  U  M de clase C k .
Nota.- A menos que se diga lo contrario, en lo sucesivo admitiremos que M, N
y S son variedades diferenciables de clase C k de dimensiones m, n y s
respectivamente.
Definición 1.1.2.- Una aplicación f : M  N es de clase C k cuando existen
un atlas  sobre M y un atlas  sobre N tal que:
y    x  con f x,y  y f x1 : x U   y V  es de clase C k .
.Un
k
difeomorfismo de clase C ,
f :    , es una biyección de clase C k ,
k
cuya inversa es también de clase C .
Definición 1.1.3.- Sea p un punto en  . Indicaremos con Cp el conjunto de
caminos en  que pasan por el punto p de la siguiente forma:
Cp   :   ,    ;   0  p y  diferenciable en 0
Diremos que dos caminos ,   Cp son equivalentes y escribiremos, 

cuando para toda carta x :U  R m en  , con p U se tiene:
 x    0   x    0
El vector velocidad  de un camino   C p es por definición, la clase de
equivalencia de  . Es decir,     C p ; 
El conjunto cociente Cp /
 .
será indicado por T  p y será llamado el espacio
tangente a la variedad  en el punto p.
Sea f :    una aplicación diferenciable en el punto p   . La derivada
de f en el punto p es la transformación lineal:
f   p  : T  p  T  f  p
  
Que asocia a cada v    T  p el elemento f   p   v   f    T  f  p  , vector


velocidad del camino f   C f p .
 
Definición 1.1.4.- Sea f :   
una aplicación diferenciable. Un punto
p   se dice un punto regular de f
si la derivada f   p  : T  p  T  f  p es
inyectiva. Caso contrario, se dice que p es un punto singular o crítico de la
aplicación f .
Una aplicación diferenciable f :    es una inmersión si todo punto
p   es punto regular para f ; es decir, la derivada f   p  : T  p  T  f  p es
inyectiva para cada p   .
Una aplicación f :    es una inmersión homeomórfica si:

f es una inmersión.

f es un homeomorfismo de  sobre el subespacio f      .
Una subvariedad 
de una variedad 
de clase C r  r  k  es un
subconjunto    , con la topología inducida por la de  , y dotado de una
estructura de variedad C k tal que la aplicación de inclusión i :    es una
inmersión homeomórfica de clase C k .
Una aplicación f :    se denomina aplicación propia cuando es continua
y, pn   en  implica f  pn    en  . Esto equivale por la propiedad de
Boltzano-Weierstrass,
a
decir
que
para
cada
conjunto
compacto
   f 1      , f 1      es compacto. Toda aplicación propia es
cerrada.
En particular, una inmersión inyectiva propia es una inmersión homeomórfica
y, además, f    es un subconjunto cerrado de  .
Definición 1.1.5.- Sea f :    una aplicación de clase C k , k  1 . Un
punto c   es un valor regular de f si para cada p  f 1  c , la derivada es
sobreyectiva.
Si todo c   fuera un valor regular de f se dice que f :    es una
submersión. Esto es equivalente a decir que para cada p   la derivada
f   p  : T  p  T  f  p es sobreyectiva.
Observaciones.1.
Si
f
es
una
inmersión
(submersión)
entonces
dim  dim
 dim  dim 
2.
Cuando dim  dim
los conceptos de submersión, inmersión y
difeomorfismo local coinciden.
3.
Las inmersiones y las submersiones son llamadas aplicaciones de rango
máximo.
Definición 1.1.6.- Sea f :    una aplicación de clase C k y S   una
subvariedad. Se dice que f
es transversal a S en el punto p  f 1  S 
cuando:
f   p  .T  p  TS f  p   T  f  p 
Es decir, cuando la imagen de f   p  con el espacio tangente a S en f  p 
generan T  f  p . Se dice que f es transversal a S si para todo p  f 1  S  , f
es transversal a S en p .
EJEMPLOS.1.
Sea S  c . Luego f es transversal a c  c es valor regular de f .
2.
Si f     S   , entonces f es automáticamente transversal a S .
Lema 1.1.1.- Dada una subvariedad S  
difeomorfismo de clase C k , y : V  R s  R n s
, existe para cada q  S , un
 q  V  abierto , tal que:
y  V  S   Rs  0
Demostración.- (Ver [7], Pag.188).
Sea U  
tal que
f U   V y consideremos la segunda proyección
 : Rs  Rn s  Rn s . La condición de transversalidad puede ser reducida a la de
valor regular.
Lema 1.1.2.- La aplicación f :    es transversal a S en los puntos de
U  f 1  S  si y sólo si 0  R n s es valor regular de:
 y
 f |U  :U  Rns
Demostración.- (ver [8], Pag.17).
1.2.- PARTICIÓN DE LA UNIDAD Y MÉTRICAS RIEMANIANAS
Definición 1.2.1.- Sea x : U  Rm un sistema de coordenadas en la variedad
 tal que x U   B 3 .2 Usaremos las letras U,V,W para representar los
conjuntos:
U  x1  B 3 , V  x1  B  2 , W  x1  B 1
Una función x con las propiedades antes mencionadas será llamada una
función auxiliar del sistema de coordenadas x .
Definición 1.2.2.- Una familia    C  de subconjuntos de un espacio
topológico  es localmente finita cuando x   todo punto
vecindad que intersecta apenas un número finito de los C .
posee una
Más precisamente,  es localmente finita si y sólo si para cada x   existe
una vecindad x   y un subconjunto finito 1,...,r    tal que:
V  C     1,...,r .
Definición 1.2.3.- Sea  una variedad de clase C r . Una partición de la
unidad de clase C k ,  k  r  en  es una familia de funciones   , de
clase C K , tales que:
1. Para todos los p   y    ,   p   0;
2. La familia    sop   
es localmente finita en  ;

3. Para todo p   se tiene
  1 .

Diremos que una partición de la unidad
  1
es estrictamente

subordinada a un cubrimiento 
cuando   C 
tiene índices en el
mismo conjunto que las funciones  , además sop    C para todo    .
Proposición 1.2.1.- Sea  un cubrimiento abierto de una variedad  .
Entonces  posee un refinamiento U = U1,U2 ,... localmente finito, formado
por dominios de sistemas de coordenadas xi : Ui  Rm tales que los conjuntos
xi Ui   B  3
para
todo
i.
Además,
si
escribimos
Vi = xi1  B  2
Wi  xi1  B 1 , los Wi aún constituyen un cubrimiento (localmente finito) de  .
Demostración.- (ver [4], Pag.16).
y
Proposición 1.2.2.- Dado un cubrimiento abierto   C  de una variedad
 existe una partición de la unidad
  1 ,
de clase C k , estrictamente

subordinada al cubrimiento  .
Demostración.- (Ver [6], Pag.43).
Ahora describiremos dos resultados importantes que hacen uso de la Partición
de la Unidad en sus demostraciones y serán citadas más adelante en nuestro
trabajo.
Proposición 1.2.3.- Dada una aplicación  f :   Rn , de clase C r con r  k
definida en un subconjunto    , existe una aplicación g :V  Rn , definida
en una vencidad abierta V   de  , tal que g | x = f .
Demostración.- (Ver [9], Pag.7).
Proposición 1.2.4.- (TEOREMA DE TIETZE DIFERENCIABLE). Sea  un
subconjunto cerrado de una variedad  . Toda aplicación
clase C r ,
 r  k, 
f :   Rn , de
, puede ser extendida a una aplicación h :   R n de clase
C r , definida en toda la variedad.
Demostración.- (Ver [7], Pag.247).
Definición 1.2.4.- Una métrica riemaniana en una variedad  es una
correspondencia que asocia a cada punto p   un producto interno en el
espacio tangente  p .
Si g es una métrica riemaniana en  indicaremos con g  p; u, v  ó g p  u, v  el
producto interno de los vectores u, v  p .
La longitud o norma del vector tangente u  p es definida de manera obvia
por:
u  u p  g p  u, u 
Una variedad riemaniana es un par
 ,g 
donde g es una métrica
riemaniana en la variedad  .
Definición 1.2.5.- A cada sistema de coordenadas en  , x : U  Rm
asociamos la función g x : x U   Rm  Rm  R definida por:
g x  x  p  ; a,b   x  p   a,x  p   b
1
1
p
Diremos que la métrica riemaniana g en  es de clase C r , si para cada
sistema de coordenadas x en  , la función g x : x U   Rm  Rm  R
es de
clase C r .
Proposición 1.2.5.- Es posible definir una métrica riemaniana de clase C k-1 en
cualquier variedad   C k-1 .
Demostración.- (Ver [2], Pag.42).
1.3.- TOPOLOGÍAS DE WHITNEY
Presentamos algunos resultados relacionados con la construcción de la
Topología de Whitney en el espacio de funciones entre Variedades.
Definición 1.3.1.- Sean X un espacio topológico y Y un espacio métrico. Se
llama Espacio Topologico de Whitney de clase C 0 al conjunto
W 0 ( f ;  )  {g W 0 ( X ;Y ); d ( f ( x), g ( x))   ( x) paratodox X }
Donde  : X  R  es una función continua y f : X  Y también lo es.
En adelante W r (M ; N ) es el conjunto de las aplicaciones f : M  N de clase
C r unido de la Topologia de Whitney de clase C r .
Proposición 1.3.1.- Las inmersiones de clase C1 forman un subconjunto
abierto m1 M ; N   W 1 M ; N .
Demostración.- (Ver [7], Pag.301).
Proposición 1.3.2.- Las Inmersiones Homeomórficas f : M  N de clase C 1
forman un subconjunto abierto m om1  W 1 M ; N  .
Demostración.- (Ver [7], Pag.303).
Proposición 1.3.3 .- Las aplicaciones de clase C k forman un subconjunto
denso en W 1 M ; N  .
Demostración.- (Ver [7], Pag.306).
Proposición 1.3.4.- Supongamos que

f W 1 M ; R s

es una inmersión
homeomórfica. Entonces en toda vecindad de f existen inmersiones
homeomórficas g : M  R s .
1.
En parte alguna M, g es menos diferenciable que f.
2.
g(M) es una superficie de clase C  enR s .
Demostración.- (Ver [7], Pag.319).
CAPITULO II
LOS TEOREMAS DE INMERSION
CAPÍTULO II
LOS TEOREMAS DE INMERSIÓN
En este capítulo estudiamos los Teoremas de Inmersión de Whitney, según los
cuales se puede aproximar arbitrariamente cualquier aplicación f : M m  R
por una inmersión y cualquier f : M m  R
Además, cualquier variedad
2m
2 m 1
por una inmersión biunívoca.
M m puede ser inmersa homeomórficamente
2 m 1
como un subconjunto cerrado en
todo atlas máximo de clase
C1
R
. Como consecuencia, resultará que
C.
en una variedad contiene un atlas
Exponemos las nociones básicas sobre conjuntos de medida nula en una
variedad.
2.1
CONJUNTOS DE MEDIDA NULA EN UNA VARIEDAD.
Un cubo C  R m es un producto cartesiano C  a1 , a1  r x...xa m , a m  r  de m
intervalos cerrados de misma longitud r. El numero r es llamado arista del cubo
C . El volumen de C es definido por volC   r m . Cuando la métrica de R m es
dada por el producto interno x, y   x i y i , el diámetro de C es r m .
Diremos que un conjunto X  R m tiene medida nula en R m cuando, para todo

  0 , es posible hallar un cubrimiento enumerable de X por cubos X   Ci ,
i 1
tal que
 vol(c ) <  .
i
i
Notación: m ed( X )  0 en R m .
Si X  Y  R m entonces m ed(Y )  0 en R m implica m ed( X )  0 en R m .
X 1 , X 2 ,..., X i ,... son conjuntos de medida nula en R m ,
Proposición 2.1.1.- Si

entonces X   X i
tiene medida nula en R m .
i 1
Demostración.- Sea dado   0 . Podemos hallar para cada i, un
cubrimiento enumerable X i   Cij por cubos tales que
 vol(C
ij
)   / 2i .
j
j
Resulta de esto que X  Cij es un cubrimiento enumerable de X por cubos
i, j
Cij tal que
 vol(C
ij
ij
)    / 2 i   . Luego m ed( X )  0 en R m .
i
Corolario 2.1.1.- Todo subconjunto enumerable de R m tiene medida nula.
Demostración.- Es una consecuencia inmediata de la proposición
anterior.
Corolario 2.1.2.- Un subconjunto X  R m tiene medida nula si, y solamente si,
cada punto p  X posee una vecindad V p tal que med( X  V p )  0 en R m .
Demostración.- La parte de “solamente x” es evidente. Por otro lado, del
cubrimiento
X
V
p
con med(V p  X )  0 obtenemos por el Teorema de
pX

Lindelof, un subcubrimiento enumerable X  V pi . Por la Proposición 2.1.1
i 1
X   (Vpi  X ) tiene medida nula en R m .
i
Ejemplo1.- Sea C  I 1 x...xI m un cubo. Para cualquier s  0, Cx0 tiene
medida nula en R m xRs  R m  s como puede fácilmente ser verificado.
Los conjuntos de medida nula son útiles en el estudio de las Variedades
Diferenciables por dos motivos: primero porque tiene interior vacío, y segundo
porque sus imágenes mediante aplicaciones de clase C 1 poseen también
medida cero. Estos hechos serán probados luego.
Sean X e Y espacios métricos. Una aplicación f : X  Y se dice lipschitziana
cuando existe una constante k>0 tal que d ( f ( x), f ( y))  kd ( x, y) para todos
x, y  X . Decimos que f es localmente lipschitziana si todo punto p  X
posee una vecindad V p tal que fV p es lipschitziana.
Una aplicación lipschitziana es uniformemente continua, luego una aplicación
localmente lipschitziana es continua. Si X  R m , toda aplicación f : X  R n ,
de clase C 1 , es localmente lipschitziana, por la desigualdad del Valor Medio.
Proposición 2.1.2.- Si X  R m tiene medida nula y f : X  R m es localmente
lipschitziana, entonces f (X ) tiene medida nula en R m .
Demostración.- Todo punto p  X posee una vecindad V p en la cual f es
lipschitziana,
con
constante
k p . El cubrimiento
X  V p
posee un
p
n
subcubrimiento enumerable X  V pi . Por tanto por la
Proposición 2.1.1
i 1
podemos suponer que f es lipschitziana:
f ( x)  f ( y)  k x  y para todos
x, y  X . Dado   0 , existe un cubrimiento enumerable X  Ci por cubos Ci ,
con
 vol(C )   (2k
i
m )  m . Sea ri la arista de Ci . Como para toda i, el
i
diámetro de Ci es ri m , el diámetro de f ( X  Ci ) es menor o igual que
kri m . Sigue f ( X  Ci )  K i , donde K i es un cubo de arista 2kri m. . Ahora
vol( K i )  (2kri m ) m  (2k m ) m vol(Ci )luego vol( K i 0)  (2k m ) m  vol(Ci )   .
Como f ( X )   f ( X  Ci )   K i , f ( X ) tiene medida nula en R m .
i
i
Se dice que un subconjunto X de una variable diferenciable M tiene medida
nula en M si, para todo p  X , existe un sistema de coordenadas locales
x : U  R M con p U tal que x(U  X ) tiene medida nula en R m .
Si m ed( X )  0 en
y :V  R m
en
M,
M
se
entonces, para cualquier sistema de coordenadas
tiene
med( y(V  x))  0
en
Rm.
Esto
resulta
inmediatamente de la proposición anterior. Otra consecuencia de la misma
proposición es que la imagen de un conjunto X  M m de mediada nula por
una aplicación de clase C 1 , f : M M  N M , es también un conjunto de medida
nula (note que dim M = dim N)
Los siguientes corolarios son consecuencia de la proposición anterior.
Corolario 2.1.3.- Sea M m  N n una subvariedad de de clase
C 1 (por
lo
menos). Si m n , entonces M tiene medida nula en N.
Demostración: Alrededor de cada punto p  M existe un sistema de
coordenadas locales x : U  R m xRnmenN, conX(U )  VxW ,W  R nm abierto y
X (U  M )  Vx 0 podemos suponer que V  Rm es el interior de un cubo. Por el
Ejemplo 1,
X (U  M ) tiene medida nula en
R m . Esto demuestra la
proposición.
Corolario 2.1.4.- Sea f : M  N una aplicación de clase C 1 si dim M  dim N ,
entonces f (M ) tiene medida nula en N.
Demostración:
Tomemos
s  dim M  dim N .
Consideremos
la
aplicación g : MxRs  N , de clase C 1 definida por g ( p, y)  f ( p) . Luego
dim(MxRs )  dim N y por la proposición anterior, Mx0 tiene medida nula en
MxRS . Resulta de esto que g (Mx0)  f (M ) tiene medida nula en N.
Proposición 2.1.3.- En una variedad diferenciable, todo conjunto de medida
nula tiene interior vacio.
Basta probar para R m y, en este caso, es suficiente
Demostración:
mostrar que un cubo no tiene medida nula. Para esto usaremos el hecho,
conocido del Cálculo de que el volumen de un cubo C es la integral de sus

funciones características X c . Si C   Ci
entonces por compacidad de
i 1
K
conjuntos,
C   Ci .
i 1
K
Se
sigue
qué
X C   X Ci
i 1
y
luego
K
K
K

i 1
i 1
i 1
i 1
vol(C )   X c    X ci    X ci   vol(Ci )   vol(Ci ) . Así, para 0    vol(C )

no es posible hallar un cubrimiento enumerable C   Ci con
i 1

 vol(C )   .
i 1
i
Ejemplo 2: Las esferas son simplemente conexas.
Sean X, Y espacios topológicos, diremos que dos aplicaciones
f , g : X Y
son homotópicas,
y escribimos
continuas
f ~g, cuando existe una
aplicación continua H : Xx0,1  Y tal que H ( x,0)  f ( x) y H ( x,1)  g ( x) para
todo x  X .
La relación “f y g son homotópicas” es una relación de
equivalencia.
Dos aplicaciones continuas f , g : X  Rn son siempre homotópicas. Para ver
esto hasta considerar H : Xx0,1  R n dada por H ( x, t )  (1  t ) f ( x)  tg ( x) .
Si f , g : X  S n son aplicaciones continuas tales que f ( x)   g ( x) para todo
x  X , entonces f y g son homotópicas. Basta tomar H : Xx0,1  S n definida
por H ( x, t ) 
(1  t ) f ( x)  tg ( x)
. Si una aplicación continua f : X  S n no es
(1  t ) f ( x)  tg ( x)
sobreyectiva entonces f es homotópica a una constante. En efecto, existe un
punto p  S n tal que f ( X )  S n  { p} . Como la proyección estereográfica es un
homeomorfismo  : S n  p  Rn podemos pensar en f como una aplicación de
X en R n y como tal ella es homotópica a una constante.
Se dice que un espacio topológico
es simplemente conexo cuando toda
aplicación continua f : S  X es homotópica a una constante. Afirmamos que,
para n  1 , la esfera S n es simplemente
conexa. Realmente, dada una
aplicación continua f : S 1  S n , existe una aplicación de clase C1 , g : S 1  S n ,
tal que g ( x)  f ( x )  2 para todo x  S 1 , por consiguiente, f ( x)   g ( x) para
todo x  S , luego fg, como sabemos. Por el corolario 2.1.4 de la proposición
2.1.2, g (S1 ) tiene medida nula en S n . En particular g no es sobreyectiva, luego
g es homotópica a una constante. Por transitividad, f también lo es.
2.2. INMERSIONES
Dado un conjunto Y y un vector v en el espacio euclidiano R s , indicaremos
con Y  v a la imagen de Y
por la translación
x  x  v es decir
Y  v  { y  v  Rs ; y Y . Mostraremos más adelante como separar
dos
conjuntos en R s , mediante traslación de uno de ellos.

X   Ni una reunión
Lema 2.2.1.- Dada f : M m  R s de clase C1 , sea
i 1
enumerable de superficies de codimensión mayores que m en R s salvo un
conjunto de medida nula, para todo vector v  R s se tiene  f (M )  v  X   .
Demostración: Decir que  f (M )  v  X  
existen p  M
y, para algún i, q  Ni tales que
v  q  f ( p) . Esto equivale a
imágenes
significa afirmar
f ( p)  v  q , es decir
decir que v pertenece a la reunión
las aplicaciones  : MxN
i
i
 R s , donde

que
de las
( p, q)  q  f ( p). Ahora
i
como dim M  dim Ni  s para cada i, se sigue que una imagen de cada

i
tiene medida nula en R S . La unión también tiene medida nula y el lema queda
demostrado.
Los Lemas siguientes se refieren a la siguiente situación: B(3) es una bola
abierta de radio 3 y centro 0 en R m , f : B(3)  Rs es una aplicación de clase
C r (r  1) y s  2m.
Lema 2.2.2.- Dado   0 , existe una inmersión g : B(3)  Rs de clase C  con
g  f 1   en B(3) .
Demostración: Por la proposición 1.3.4. Supongamos que f C  .
Debemos obtener g : B(3)  Rs de forma g ( x)  f ( x)  A.x donde A es una
matriz sxm . Entonces tenemos g ' ( x)  f ' ( x)  A ;
el problema es obtener A
bien pequeña y de tal modo que f ' ( x)  A no tenga rango inferior a m para
algún punto x  B(3). Ahora las matrices sxm de rango i  m constituyen una
superficie Ni  R sm cuya codimensión es (m  i)(s  i ) . Como s  2m, e i  m  1 ,
tenemos (m  i)(s  i)  1.2m  m  1  m  1. Luego, cada superficie N i tiene
sm
codimensión mayor que m en R . La aplicación


f ': B(3)   R m , R s  R sm
es de clase C  . Por el Lema 2.2.1, para cualquier matriz A
fuera de un
conjunto de medida nula en R sm , f ' ( x)  A tiene rango m, cualquiera que sea
x  B(3) . Esto quiere decir que g ( x)  f ( x)  A.x es una inmersión. Como un
conjunto de medida nula no puede contener una vecindad de 0  R sm podemos
tomar A
tan pequeña como deseamos, lo que hará g  f 1 arbitrariamente
pequeño en B(3) .
Lema 2.2.3.- Dado   0 , existe h : B(3)  Rs , de clase C r , tal que h  f 1  
en B(3) , h  f en B(3)  B(2) y  h B(1) es una inmersión C  .
Demostración: Sea  : B(3)  0,1 una función auxiliar, con  C  ,
 
 B(1)  1
y
 ( B(3)  B(2)  0 . Sea
a0
una constante
tal que
1   ( x)   ' ( x)  a para todo x  B(3). Usando el Lema 2.2.2, obtenemos una
de clase C  , tal que
inmersión g : B(3)  Rs ,
g  f 1   / a en
B(3) .
Definimos, luego h : B(3)  Rs por h( x)  f ( x)   ( x).(g ( x)  f ( x)) .
Para
x  B(3)  B(2),
tenemos  ( x)  0 , donde
tenemos  ( x)  1 y por tanto
h' f ' 
 ' .g  f 

h( x)  f ( x) . Para
h( x)  g ( x) . Además
x B(1)
h  f  g  f 
y
. g' f   en B(3) .
El Lema siguiente es una versión más refinada de que lo que acabamos de
demostrar.
Lema 2.2.4.-
Sea F  B(3) un subconjunto cerrado tal que f।F
inmersión. Dado   0, existe h : B(3)  Rs de clase C r tal que h  f
B(3) , h B (1)  F es una inmersión y h  f en F  B(3)  B(2).
es una
1
  en
Demostración: Observamos que K  F  B(2) compacto y que basta
obtener h tal que h  f   en B(3), h B(1)  K
es una inmersion y h  f en
K  B(3)  B(2).
Sea V una vecindad abierta de K tal que V es compacto y contenido en B(3) .
Podemos suponer que  es tan pequeño que h  f 1   implica hV ser una
inmersión.
Sea  : B(3)  0,1
de clase C  tal   0 en K  B(3)  B(2) y   1 en
B(1)  V . Tomemos h  f   .(g  f ) donde g, obtenida por el Lema 2.2.2, es
una inmersión C  de B(3) en R s tal que g  f 1   / a en B(3) , la constante
a satisfaciendo a >  (x)+ ’ (x) +1 para todo x en B(3) . Se tiene h-f1<. En
particular
hV es
una inmersión. Como h  g en B(1)  V se sigue que
h B(1)  V es una inmersión. Del mismo modo hK es una inmersión pues h  f
en
K.
Por
consiguiente,
h
es
una
inmersión
en
B(1) K,
pues
B(1)  K  ( B(1)  V )  K. Las demás afirmamos el Lema son inmediatas.
Proposición 2.2.1.- Sea
M m una variedad de clase C k y dimensión m. Si
s  2m , las inmersiones
g : M m  R S , de clase C1 , constituyen un conjunto
1
m
S
abierto y denso en W : (M  R ) .
Demostración: Basta probar la densidad. (Ver proposición 1.3.1).
Dados  : M  R continua positiva y
f : M  RS de clase C1 , debemos
obtener una inmersión g : M  RS , de clase C1 tal que g  f 1   en M. Para

esto consideraremos un cubrimiento enumerable, localmente finito M  U i ,
i 1
por dominios de sistemas de coordenadas xi : U i  R m tal que xi (Ui )  B(3) y
tomando Vi  xi1 ( B(2)) , Wi  xi1(B(1)), tenemos también M  Wi . Definiremos
intuitivamente una sucesión de aplicación fo , f1,..., fi ,... de M en R s todas de
clases C1 , tales que:
(i) fo  f
(ii )
y f i  f i 1 en M  Vi ,
f i  f i 1 1 

2i
en M
(iii ) f i es una inmersión en W1  ... Wi.
Comenzamos tomando fo  f y suponiendo ya definidas f1,..., fi 1 con las
propiedades
antes
mencionadas,
pasamos
a
definir
fi .
Sea
  fi 1xi1 : B(3)  RS luego existe a  0 tal que si  : B(3)  Rs , de clase C1 ,
satisface
 1 a
en

F  xi (W 1  ...  W i 1 )  U i
C1 , tal que   
1

B(2),
.
entonces
xi   x1 1 

en Vi . Sea
2i
 : B(3)  R s , de clase
Por el Lema 2.2.4, existe
 a en B(3) ,    en [ B(3)  B(2) ]  F y  es
una
inmersión en B(1)  F .
fi  fi 1 en M  Vi
Definimos fi : M  Rs tomando
que
y f i  xi en Ui Note
f i cumple las condiciones (i), (ii)y (iii) anteriores. Para finalizar, definimos
f : M  Rs como el límite f ( p )  lim f i ( p ).
i 
OBSERVACIONES:
1) Si k  1 , las inmersiones f : M m  Rs (s  2m) de clase
subconjunto
denso de
Ck
forman un
W 1 (M ; Rs ), por la proposición 1.3.4. Tal
evidentemente, no es abierto en
conjunto
W 1(M ; Rs ) . Luego la misma demostración
anterior se aplica para topología W r . Podemos entonces concluir que, si
M  C k (k  r ) y 2m  s entonces las inmersiones
f : M m  Rs de clase C r ,
forman un subconjunto abierto denso de W r (M ; Rs ) .
2) Si existe un subconjunto cerrado X  M m tal que
donde
f : M m  Rs es de clase
fX es una inmersión
C r , entonces, dada cualquier
continua y positiva, existe una inmersión g : M  R s de clase
 :M  R
C r , tal que
g f
r
  en
M y g  f en X. Para esto basta en la demostración anterior,


tomar F  xi ( X W1  ...Wi 1) Ui .
3) Dadas dos variedades arbitrarias
M m , N s , de clase C r , con s  2m, el
conjunto de las inmersiones f : M m  N s , de clase C r , es abierto y denso en
W r ( M ; N ) . La demostración se hace de modo enteramente análogo al caso
N  R s tomándose apenas el cuidado de exigir que, para cada i, se tenga
f (Ui )  Zi , donde Zi  N es
dominio de un sistema de coordenadas
yi : Zi  Rs .
4) Es posible demostrar que toda variedad de dimensión m admite una
inmersión en R 2 m 1 . Entretanto las inmersiones en general no constituyen un
subconjunto
denso de
W 1 (M m ; R2m1 ) . Por ejemplo, para
m  1 , tenemos
2m  1  1 . Luego las inmersiones no son densas en W 1( R; R) pues la función
x  x 2 no puede ser aproximada por inmersiones. En efecto, cualquier función
C 1 próxima de
y  x2 debe tener puntos donde la derivada es positiva y
puntos de derivada negativa. Luego, debe tener puntos donde la derivada es
nula, consecuentemente, no es una inmersión.
CAPITULO III
INMERSIONES HOMEOMORFICAS DE WHITNEY
CAPITULO III
INMERSIONES HOMEOMORFICAS DE WHITNEY
Mostraremos aquí que toda variedad de dimensión m puede ser inmersa
homeomorficamente en un espacio euclidiano R 2 m 1 esto será consecuencia de
resultados más precisos que estableceremos. Inicialmente, veamos un hecho
de Topología General.
3.1.-INMERSIONES INYECTIVAS E INMERSIONES HOMEOMORFICAS
Presentamos algunos resultados Lemas necesarios para lograr el objetivo del
presente trabajo.
Lema 3.1.1.- Sean
del espacio
C  (C )A y   ( D )A cubrimientos localmente finitos
topológico X , tales que D  C para todo   A . Existe una
cubrimiento abierto  de X tal que si U , V   y U  V   entonces U  V
está contenido en algún C .
Demostración: Para cada x  X escojamos un índice  ( x)  A tal que
x  D ( x ) . Como la familia ( D ) A
para cada
es también localmente finita, podemos,
x  X tomar una vecindad abierta U x , contenida en
D (x) y
disjunta de los D  que no contienen x. Es decir, U X  D    x  D .
Disminuyendo U x si es
necesario, podemos también hacer con que
x  D  U x  C . Obtenemos así un cubrimiento abierto   (U x ) xX tal que
U X  D (x) y U x  D    U x  C , cualquiera que sean x  X y   A en
estas condiciones U x  U y    U x  D ( y )    U x  C ( y )  U x  U y  C ( y ) , la
ultima implicación es válida porque U y  C (Y ) . El Lema está demostrado.
Proposición 3.1.1.- Sea M m una variedad de dimensión m
y clase C k . Si
s  2m  1 , las inmersiones inyectivas g : M  R s , de clase C k , constituyen un
subconjunto denso de W 1(M ; Rs ) .
Demostración: Dadas f W 1 (M ; R s ) y  : M  R continua positiva,
debemos obtener una inmersión de clase C k e inyectiva, g : M  R s ,tal que
g  f 1   en M.
Por la
proposición 1.3.4 podemos suponer f  C k . En
virtudes de la Proposición 2.2.1, podemos suponer que f es una inmersión y
que g  f 1    g inmersión. Como
toda inmersión es localmente una
inmersión homeomorfica, y el Lema 3.1.1 anterior garantiza la existencia de

M   U i por dominios de sistemas
una cubrimiento locamente finito
de
i 1
coordenadas xi : Ui  Rm tales que
f (U i  U j ) es inyectiva. Como
xi (Ui )  B(3) y si
es costumbre,
U i V j   , entonces
ponemos Vi  xi1 ( B(2))
y
suponemos que los Wi  xi1 ( B(1)) cubren M. Definiremos inductivamente una
sucesion de inmersiones
f1, f2 ,..., fi ,... de M en R s con las siguientes
propiedades:
(i)
(ii)
(iii)
f1  f y fi  fi 1 en M  Vi
f i  f i 1 1 

2i
en M (y por tanto f i es una inmersión)
Si W r  W s   entonces fi (W r  Ws ) es inyectiva (y por tanto una
inmersión homeomorfica);
(iv)
f i es inyectiva en W 1 ...  W i .
Tomemos
f0  f
y suponiendo
f0 ,..., fi 1 definidas y gozando de esas
propiedades, pasamos a la definición de f i . Sea  i : M  0,1 una función de
clases C k tal que i (W i )  1, i (M  Vi )  0 y además i (W j )  0 para todo j<i
con W j  W i  . Ponemos fi ( p)  fi 1 ( p)  i ( p).v donde v  R s es un vector
que obtendremos al hacer cumplir las propiedades (i) a (iv). La Propiedad (i)
es satisfecha para todo v y (ii) valdrá para cualquier v cuya norma │v│ sea
suficientemente pequeña. Para cumplir (iii), basta consideramos W r y W s que
intersectan V i . Existe un número finito de estos. También (iii) vale para
cualquiera v  R s
suficientemente pequeño. Además,
f i será
inmersión
homeomorfica en W 1  ... W i 1 para todo v suficientemente pequeño. Para
satisfacer (iv), escojamos v, conforme al Lema 2.1.1 de la sección anterior,
de tal modo
 f i 1 (U I )  v   f i1 (U j )  
p W i y q W j (con j < i
fi (q)  fi 1 (q) . Por tanto
para todo
j < i es W i  W j   . Si
y W i  W j   ) entonces fi ( p)  fi 1 ( p)  .v y
fi ( p)  fi (q) . Se sigue que
f i es
inyectiva en
W 1 ...  W i , lo que concluye la construcción de la sucesión ( fi ) . Para finalizar,
ponemos g  lim f i .
Corolario 3.1.1: Sea M m una variedad compacta de dimensión m
C k . Si s  2m  1 , las inmersiones homeomorficas
constituyen
un
subconjunto
denso
de
y clase
f : M  Rs , de clase C k ,
W 1 (M ; Rs )
y
las
inmersiones
homeomorficas de clase C1 forman un conjunto abierto denso en W 1(M ; Rs ) .
Demostración: En efecto, siendo
M compacta, una Inmersión
homeamofica en M es simplemente una inmersión inyectiva.
OBSERVACIONES:
1) Se sigue
de las demostraciones
anteriores
que
las inmersiones
homeomoficas
de clase C r , de la variedad compacta M m , de clase C r , en
un espacio euclidiano R s ( s  2m  1) forma un abierto denso en W r (M ; R s ) .
2) Dadas dos variedades arbitrarias M m , N s de clase C r , con s  2m  1 , las
inmersiones inyectivas f : M m  N s , de clase C r , forman un conjunto denso
de
W r (M m ; N s ) . Si M fuera compacta, las inmersiones homeomorficas de
clase C r de M en N forman un subconjunto abierto y denso de W r (M m ; N s ) .
3) Las inmersiones inyectivas f : M m  R2m1 no forman un subconjunto abierto
de W 1 (M ; R2m1 ) .
4) Las inmersiones homeomorfica de una variedad no compacta M m en R 2 m 1
no forman un subconjunto denso de W 1 (M ; R2m1 ) . Esto se debe a una razón
meramente topológica. Sea X, Y espacios métricos y f , g : X  Y aplicaciones
continuas. Recordemos que el conjunto limite L(f) es formado por los puntos
y  lim f ( xn ) donde xn   en X. Es fácil verificar que si existe una c>0 tal
que d ( f ( x), g ( x)) <c entonces L(f)= L(g). Supongamos ahora que L(f) contiene
una bola B( f (a), ), a  X . En este caso f : X  Y asi sea inyectiva, no será
un homeomorfismo sobre f (X ) , pues una aplicación continua inyectiva f es un
homeomorfismo sobre su imagen si, y solamente si, L( f )  f ( X )   . Mas
también si d ( f ( x), g ( x)) <  para todo x  X entonces g : X  Y tampoco podrá
ser
un
homeomorfismo
sobre
f (X ) .
En
efecto,
tenemos
g (a)  B( f (a), )  L( f )  L( g ) y por lo tanto L( g )  g ( X )   . Constituiremos
ahora una inmersión inyectiva f : R  R3 , de clase C  , tal que L(f) contiene
un cubo al cual pertenecen varios puntos de f (R ) . Resultará que ninguna
g : R  R3
suficientemente
homeomorfica.
Para
aproxima
definir
de
f,
f
podrá
tomamos
ser
una
un
cubo
inmersión
unitario
C  0,1x0,1x0,1  R3 . Por cada punto (r , s,0) de coordenadas racionales r, s
en base C hacemos pasar un segmento vertical J  (r, s) x´0,1 . Enumeramos
estos segmentos en forma J n , n  Z . Expresamos la recta como reunión de
intervalos unitarios juxtapuestos por esto An , Bn , n  Z donde An  2n,2n  1 y
Bn  (2n  1,2n  2) . Hacemos que f aplique
An sobre J n isométricamente y
usamos el intervalo Bn para unir suavemente An con An1 . Es inmediato que
L( f )  C .
Mostraremos ahora que existen de hecho inmersiones homeomorficas de M m
en R 2 m 1 .
Proposición 3.1.2: Sea M m de clase C k y dimensión m. Si s  2m  1 , las
inmersiones homeomorfícas propias g : M m  Rs , de clase C 1 , constituyen un
abierto no vació en W 1(M ; Rs ) .
Demostración: Sea
 1 una partición de la unidad de clase
i
C k en
M. A la función real  : M  R , definida por  ( p)   i. i ( p) es propia.
Tomándose un vector v  0 en R s y tomando f ( p)   ( p).v
se obtiene una
aplicación propia f : M  R , de clase C k . Por la proposición anterior, existe
una inmersión inyectiva g : M  Rs , de clase C k , tal que f ( p)  g ( p)  1 para
todo p  M . Esto implica L( g )  L( f )   donde g es propia y por tanto una
inmersión homeomorfica. Así no es vació el conjunto
de las inmersiones
homeomorficas propios de M en R s . Este conjunto es la intersección de dos
abiertos (las aplicaciones propias y
su inmersión homeomorfica) luego es
abierto.
Corolario 3.1.2.- Sea M m una variedad de clase C k , k  1 . Existe una
m
2 m 1
inmersión homeomorfica f : M  R
de clase C k tal que la imagen f (M )
es una superficie de clase C  .
Demostración:
En efecto basta usar la proposición 1.3.4.
Proposición 3.1.3: Todo atlas máximo de clase C k ( k  1) en una variedad
M m contiene una atlas (máximo) de clase C  .
Demostración: Ver proposicion1.3.4
Proposición 3.1.4: Toda variedad M m de clase C k posee
una métrica
riemaniana completa de clase C k 1 .
Demostración: Debemos obtener en M una métrica riemaniana cuya
distancia intrínseca correspondiente transforme M en un espacio métrico
s
completo. Consideremos una inmersión homeomorfica propia f : M  R , de
clase C k y tomemos en una M la métrica riemaniana inducida por f de la
métrica usual en R s . Ella hace de f
una isometría, de modo que, por
simplicidad, podemos identificar M con f (M ) , tomando así M como una
superficie
en R s . Como f es propia, la superficie M será un subconjunto
cerrado de R s . Sea ( pn ) una sucesión de Cauchy en M, relativamente a la
distancia intrínseca d. Como p  q  d ( p, q)
se sigue que ( pn ) es de Cauchy
relativamente a la norma de R s . Siendo este espacio completo, existe p  R S
tal que lim p  pn  0 . Como M es cerrada en R s , tenemos p  M . Como la
distancia intrínseca y la norma definen en M la misma topología tenemos
lim d ( pn , p)  0 . Así M es completa relativamente a la distancia intrínseca.
OBSERVACIONES:
1) Las inmersiones
homeomorficas propias de clase C k
forman un
subconjunto no vacío de W 1(M ; Rs ) , el cual solo es abierto sí k  1 . Si por
ejemplo, tomáramos la Topología de Whitney de clase C k , las inmersiones
homeomorficas de clase Ck forman un abierto en W k (M m ; R s ) , s  2m  1 .
2) Vimos que si
f : M  Rs
inmersa homeomorficamente M sobre un
subconjunto cerrado de R s entonces una metrica euclidiana de R s induce en
M, a través de f, una métrica riemaniana completa. Se debe observar que la
reciproca es falsa: dada una inmersión homeomorfica isométrica
f : M  Rs ,
donde M es una variedad riemaniana completa, f (M ) puede dejar de ser un
subconjunto cerrado de M. Por ejemplo tome la inmersión homeomorfica
f : R  R2 , definido por f(t) = (1+et)eit. (Geométricamente,
f (R ) espirala
alrededor del circulo S 1 cuando t  . ) Reparametrizando f por la longitud de
2
arco, obtenemos una inmersión homeomorfica isométrica g : R  R . Mientras,
g ( R)  f ( R)
no es un subconjunto cerrado de R 2 . En otras palabras:
considerando una superficie M  R S con una métrica riemaniana inducida por
R s , la distancia intrínseca puede hacer de M un espacio métrico completo, sin
que M sea un subconjunto cerrado de R s .
3) Dadas arbitrariamente dos variedades M m , N S de clase C k , con s  2m  1
las inmersiones homeomorficas de clase C k de M m en N s constituyen un
subconjunto abierto no vacío de W k (M m ; R s ) . Para ver esto, basta considerar
en N un sistema de coordenadas
y : V  RS tal que y(V )  R S . Obtenida una
inmersión homeomorfica g : M  RS , la
compuesta
y 1g : M  N
será
también una inmersión homeomorfica.
3.2.- ESPACIOS DE BAIRE
En esta
sección
mejoraremos la Proposición 3.1.1. Mostrando que, para
s  2m las inmersiones inyectivas de M m en R s forman un conjunto de Baire en
W 1(M ; Rs ) . Esto equivale a decir que ellas forman un subconjunto denso. En
efecto, la intersección de dos subconjuntos densos de un espacio X puede ser
vacío (por ejemplo: {racionales}  irracionales   ) mas la intersección de una
familia enumerable de conjuntos de Baire, en un espacio Baire X, es también
un conjunto de Baire, y por tanto denso en X. Los conjuntos de Baire son los
análogos topológicos de los complementos de conjuntos de medida nula en
R n . Esta analogía, sin embargo no funciona en cualquier espacio topológico,
solamente en los espacios de Baire. Pasemos a las definiciones formales.
El análogo topológico de un conjunto de medida nula es un conjunto flaco. Un

subconjunto S de un espacio topológico se dice flaco en X cuando S   S i
i 1
es la unión enumerable de conjuntos Si  X tales que
i n tS(i )   Así un

conjunto S es flaco en X si, y solamente si, S   Fi donde cada Fi es un
i 1
subconjunto cerrado de X con int Fi   .
El complemento de un subconjunto flaco es llamado un conjunto de Baire.
Por tanto, un subconjunto B de un espacio topológico X es un conjunto de

Baire en X
si, y solamente si B   Ai y la intersección enumerable de
i 1
subconjuntos Ai  X tales que int Ai es denso en X. Para que B  X sea un
subconjunto de Baire en X es necesario y suficiente que A contenga una
intersección enumerable de subconjuntos abiertos y denso en X.
Una reunión
enumerable de subconjuntos flacos de X es flaca en X. Por
dualidad, una intersección enumerable de subconjunto Baire de X es también
un subconjunto de Baire de X.
Un espacio topológico X se dice
un espacio de Baire cuando todo
subconjunto de Baire B  X es denso en X.
Equivalentemente, X es un espacio de Baire si todo subconjunto magro de X
tiene interior vacío.
El conocido “Teorema de la Categoría de Baire” afirma que todos los espacios
métricos completos,
así como todos los espacios topológicos localmente
compactos de Hausdorff son espacios de Baire.
Imitaremos ahora una demostración de este resultado clásico, obteniendo una
Proposición 3.2.1: Cualquiera que sea la variedad diferenciable M, W 1(M ; Rs )
es un espacio de Baire.
B   Ai
Demostración: Sea
una intersección de una sucesión
enumerable A1, A2, ..., Ai ,... de subconjuntos abiertos denso de W 1(M ; Rs ) .
Queremos mostrar que B es denso en W 1(M ; Rs ) . Sea
U
cualquier
subconjunto abierto y no vacío en este espacio. Probaremos la existencia de
un elemento f U  B . Dada una función continua y
positiva  : M  R

“bola cerrada” con
indicaremos con W 1 g;    h W 1 (M ; R S ); h  g 1  


la

centro g W 1 M ; R S .Como A1 es abierto y denso, existen f1 W 1 (M ; R S ) y
 1 : M  (0, ) tal que W 1 f1; 1   A1  U . Como
podemos
encontrar f 2 W 1 (M ; R S )
W 1 f2 ;  2   A2  W 1 f1; 1   A1  A2  U .
sucesión de aplicaciones
funciones
y
Por
A2
es abierto y denso,
 2 : M  (0, )
inducción
tal
que
encontramos
una
f1, f2, ..., fi ,... en W 1(M ; Rs ) y una sucesión
continuas
 1 ,  2 ,...: M  (0, )
tal
de
que
W 1  f i ;  i   Ai   f i 1 ;  i 1   A1  ...  Ai  U. suponemos  1   2  ...   i  ... y
que  i ( p)  1 i para todo p  M .
Notemos que para todo p  M y para todo par naturales i, r se tiene.
(*)
fi ( p)  fi r ( p)  i ( p) y
f 'i ( p )  fi ' r ( p )   i ( p )
pues f i r W 1  f i ;  i  . Por consiguiente fi ( p ) y f ' i ( p) son sucesiones de
Cauchy en R S y (TM P ; RS ) respectivamente. Luego existen, para cada p  M

'
los limites f ( p )  lim fi ( p )  R s y f ( p)  lim f ( p)  (TM p ; R s ) .
i 
i  i
Haciendo r   en las desigualdades (*) obtenemos.
fi ( p)  f ( p)  i ( p)  1/ i y
(**)
fi´ ( p)  fˆ ( p)   i ( p)  1 / i
Para todo entero i y para todo p  M .
Queremos mostrar que f  C 1 y que f ' ( p)  fˆ ( P) para todo p  M . Basta
mostrar esto localmente. Alrededor de cada punto de M, consideremos un
sistema de coordenadas x : U  R m y, por simplicidad, tomamos   x 1 .
Podemos siempre suponer que  ' es acotada en x(U ) . Entonces
las
desigualdades (**) implican que la sucesión de aplicaciones f1 : x(U )  R S y
f1. ': x(U )  ( Rm ; RS )
convergen uniformemente en
x(U )
para
f
y
fˆ. ' , respectivamente. Por un teorema conocido de Análisis se sigue qué
y ( f )'  fˆ. ' . Esto significa que f  C 1 en U
f  C 1
tenemos
y, ( f )'  f '. '
f ' fˆ en U. Como los abiertos U cubre M, concluimos que
f W 1 (M ; RS ) y fˆ ( p)  f ' ( p) para todo p  M , las desigualdades (**) significan

que f  W 1 f ;  i   ( A1  A2  ...  Ai  ...)  U como queríamos demostrar.
i 1
OBSERVACIONES:
1) No se puede concluir, en la demostración anterior que f1  f en sentido
del espacio W 1 (M ; RS ) .
2) Para todo r  0,W r (M ; RS ) es un espacio de Baire. La demostración se
hace de la misma forma de las líneas anteriores.
3) Para M m y N S cualesquiera, W r (M m ; N S ) es un espacio de Baire.
El resultado siguiente refina la proposición 3.1.1.
Proposición 3.2.2: Sea
M m una variedad de dimensión m y clase C k . si
s  2m  1 , las inmersiones inyectivas g : M  R s de clase C 1 forman un
conjunto de Baire en W 1 (M ; RS ) .
Demostración: Sea X el conjunto las inmersiones inyectivas de clase
C 1 de M en R s . Tomando M  Ki como reunión enumerable de conjuntos
compactos, con Ki  Ki 1 , vemos que X   X i donde para cada i  1,2,...,xi es
el conjunto las aplicaciones f : M  Rs , de clase C 1 , tal que f Ki es una
inmersión homeomorfica. Basta entonces demostrar que cada X i es abierto y
denso en W 1 (M ; RS ) . Que X i es abierto se sigue de la proposición 1.3.2. Que
es denso, se prueba del mismo modo que en la proposición 3.1.1.
CONCLUSIONES DEL PRESENTE TRABAJO
1.- La Topología de Whitney de clase C 1 , que se construye en el espacio de
funciones entre variedades es la más adecuada para estudiar la estabilidad de
una inmersión homeomorfica.
2.- Es posible construir una inmersión homeomorfica entre una variedad de
dimensión m y un espacio euclideano de dimensión 2m+1.
3.- Es posible considerar y generalizar a una variedad diferenciable de
dimensión m como contenida en un espacio euclideano de dimensión 2m+1.
RECOMIENDACIONES
1.- Extender el estudio de las Variedades Diferenciables en los cursos de
Geometria Diferencial ya que con esto se logra la generalización del estudio de
las superficies.
2.- Invitación a destacados investigadores nacionales e internacionales en el
área de Análisis y Geometría Diferencial para que de este modo nuestros
egresados se encuentren en el nivel internacional de estos estudios.
3.- Desarrollo permanente de Seminarios de Investigación.
4.- Convenios con universidades acreditadas en el área de Ciencias para
intercambio estudiantil y docente.
BIBLIOGRAFÍA
ABRAHAM, RALPH
ROBBIN, JOEL
“Transversal Mapping and Flows”
W. A. Benjamin, Inc. New York
Amsterdam, 1970”
BROKER, THEODOR
JANICH, KLAUSS
“ Topología Diferencial”
Springer-Verlag
Resensburg, 1975
C.G. GIBSON
E.J.N. LOOIJENGA
A.A. DU PLEISSIS
K. WIRTHMULLER
Topological Stability of Smooth
Mapping”Springer-Verlag
New York, 1977
GOLUBITSKY, MARTIN
GUILLEMIN, VICTOR
“Stable Mapping an Their
Singularities”
Springer-Verlag
New York, 1975
GUILLEMIN, VICTOR
POLLACK, ALAN
“Diferential Topology”
Prentice-Hall, Englewood C.
New Yersey, 1975
HIRSCH, MORRIS
“Diferential Topology”
Springer-Verlag
New York, 1978
LAGES LIMA, ELON.
“Variedades Diferenciaveis”
Monografías de Matemática, 15 IMPA
Río de Janeiro, 1978
MILNOR, JOHN
“Topology From the Differentiable
Viewpoint”