Bloque I Vibraciones y ondas 1 Movimiento vibratorio 1.1 Movimientos periódicos

Bloque I Vibraciones y ondas
1 Movimiento vibratorio
1.1 Movimientos periódicos
1.2 Movimiento vibratorio
1.3 Movimiento armónico simple
1.4 Cinemática del M.A.S. elongación velocidad aceleración
1.5 Dinámica del M.A.S.
1.6 EnergÃ−a de un oscilador mecánico
• Movimientos periódicos
Se dice que un movimiento es periódico cuando se repite a intervalos iguales de tiempo. El ejemplo mas
sencillo es el M.C.U.
• Movimiento vibratorio
Los movimientos periódicos que tienen lugar hacia uno y otro lado de una posición de equilibrio (o)
reciben el nombre de oscilatorios o vibratorios
Todo cuerpo que tenga una posición de equilibrio estable puede realizar oscilaciones alrededor de dicha
posición.
Un cuerpo tiene equilibrio estable si cuando se le desplaza una pequeña distancia de dicha posición en
cualquier sentido experimenta una fuerza que le obliga a regresar a dicha posición de equilibrio.
En estos movimientos el objeto oscila entre dos posiciones extremas (A, B) sin pérdida de energÃ−a
mecánica, porque suponemos que no existe rozamiento.
En toda oscilación mecánica intervienen dos factores:
1º una fuerza que esta dirigida siempre hacia la posición de equilibrio y su inercia le obliga a sobrepasar
dicha posición.
2º la inercia del cuerpo sobre la que actúa la fuerza
La fuerza empuja el cuerpo hacia la posición de equilibrio y su inercia le obliga a sobrepasar dicha
posición.
• Se llama oscilación completa al movimiento realizado durante un periodo. Es decir una ida y una vuelta.
B--------o--------A Distancia (o-A) máximo desplazamiento € Amplitud (A)
1.3 Movimiento vibratorio armónico simple
1
De todos los movimientos vibratorios que tienen lugar en la naturaleza son los armónicos simples, se llaman
asÃ− porque se pueden expresar mediante funciones armónicas como sen y cos de una sola variable
1.4 Cinemática del M.A.S.
Para deducir la ecuación que rige el M.A.S. vamos a utilizar la relación que existe entre este y el M.C.U.
con el mismo periodo.
El M.A.S. se puede considerar como una proyección del M.C.U. sobre el diámetro de la misma
circunferencia.
X= sen Ï t
Sen Ï t =x/a
Y=A cos (Ï t +Ï )
Y=A cos (Ï t +Ï .Ï•/2
X=A sen (Ï t +Ï )
X elongación: es la posición de la partÃ−cula vibrante en cualquier instante referida a la posición de
equilibrio. Se considera positiva hacia arriba y la derecha y negativa hacia abajo y la izquierda
Amplitud (A) es el valor máximo que puede tomar X (elongación) esto ocurre cuando ha transcurrido ¼
de periodo a partir del instante en que la partÃ−cula pasa por la posición de equilibrio.
Ï t+Ï fase en cualquier instante, su valor determina el estado de vibración o fase del movimiento. Permite
calcular la elongación (X) en cualquier instante.
Ï fase inicial o constante de fase (Angulo inicial)
Indica el estado de vibración en el instante t=0 de la partÃ−cula que oscila, también representa la porción
angular para t=0 de la partÃ−cula que recorre la circunferencia que se proyecta.
Ï frecuencia angular o pulsación: representa la velocidad angular constante del hipotético M.C.U que
hemos proyectado. Se mide en Rad. /s es el Nº de periodos comprendidos en 2ϕ unidades de tiempo.
Otras magnitudes
T periodo: es el tiempo que tarda el MAS en realizar una vibración completa. Es por tanto el intervalo de
tiempo en el que la partÃ−cula pasa dos veces consecutivas `por la misma posición y en el mismo sentido.
Ï = 2Ï•/T T=2Ï•/Ï
f frecuencia (δ) es el Nº de vibraciones completas que la partÃ−cula realiza en un segundo. Representa la
rapidez con que tienen lugar las vibraciones S-1 â ¡ Hz
f=1/T Ï = 2Ï•f
A Ï Ï constantes del movimiento
2
Velocidad del MAS
MAS X= A sen (Ï t + Ï )
V=dx/dt = AÏ cos (Ï t + Ï )
V= ± Ï â
A2-X2
Conclusiones
1. La velocidad del mas es función periódica
2. Su valor depende de la posición de la partÃ−cula, tiene su valor máximo en el centro de
la trayectoria y mÃ−nima en los extremos.
Aceleración del MAS
a= dv/dt = -Ï 2 A sen (Ï t + Ï )
a = -Ï 2x
Conclusiones
la aceleración es periódica
también depende de x
V y A están desfasados en 90º o ϕ/2
1.5 Dinámica del MAS
La aceleración es directamente proporcional a la elongación pero de sentido contrario, esta relación es
propia del MAS, y sirve para si un movimiento periódico es armónico o no.
Todo sistema que se mueva de forma que su aceleración sea proporcional y de sentido contrario a la
posición recibe el nombre de oscilador armónico simple.
F=ma=mÏ 2x
mÏ 2 = K
F = -K x
K constante elástica o recuperadora
K = Ï 2 m Ï =â
T = 2Ï•/Ï = 2Ï• â
f = 1/2Ï• â
K/m
m/K
K/m
3
1.6 EnergÃ−a de un oscilador mecánico
En general cualquier sistema que este animado de MAS recibe el nombre de oscilador mecánico. Se llama
asÃ− porque posee energÃ−a mecánica: cinética y potencial
energÃ−a cinética constante de un oscilador
Ec 1/2 m v2
V= ± Ï â
A2-x2 Ec = ½ m Ï 2 (A2-x2) = ½ K (A2 - x2)
V= AÏ cos (Ï t + Ï )
Conclusiones
1 la energÃ−a cinética es periódica y depende de la elongación.
2 tiene un valor máximo cuando esta en el punto de equilibrio (x=0)
EnergÃ−a potencial
Es el trabajo que se debe realizar para trasladar el oscilador desde la posición de equilibrio hasta una
posición x, venciendo la fuerza recuperadora.
Ï = Ep = â «x F dx = â «x kx dx = ½ K x2
Conclusiones
la energÃ−a potencial depende de la elongación.
Tiene su valor máximo en los extremos Ep = ½ KA2
EnergÃ−a mecánica
Em = Ec + Ep = ½ K (A2-x2) + ½ Kx2
½ KA2 - ½ Kx2 + ½ Kx2 = ½ KA2
La energÃ−a mecánica no depende de la posición, solamente depende de las caracterÃ−sticas de la K y de
la amplitud.
En ausencia de rozamiento como ocurre en el MAS la energÃ−a mecánica permanece constante lo que
implica que la amplitud es constante.
La transmisión o propagación de energÃ−a de un oscilador armónico a través de un medio recibe el
nombre de onda armónica.
t periodo (s)
fFrecuencia s-1=t/2
A
4
A
A
o
o
o
B
B
B
F
F
-A
A
o
X<0 X>0
F>0 F<0
F=-Kx
0
P
+A
-A
o
x
-A
A
o
F
5
F fuerza restauradora o recuperadora
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