ResultadosImportantes

Instituto Universitario Aeronáutico
Facultad de Educación a Distancia
INGENIERÍA DE SISTEMAS
MATEMATICA III
UNIDAD 1: SUCESIONES Y SERIES
Resultados importantes. Síntesis
Por la licenciada Adriana Olmos
DEFINICIÓN DE CONVERGENCIA.
La serie  a n es convergente (o también la sucesión a n es sumable ) si el límite de las sumas parciales
un número real. Vale lim S n  S  a1  a2  a3  an     an = la suma de la sucesión dada a n  . Si
el límite citado no existe o es infinito, la serie diverge.
S n es
CONDICIÓN NECESARIA PARA LA CONVERGENCIA
Si la serie  a n es convergente, entonces, el lim a n es nulo.
CRITERIOS DE CONVERGENCIA
 Si la sucesión S n  converge, tiene límite
(se usa cuando es fácil calcular la expresión de S N como el caso de la serie telecópica: donde los
términos se anulan por pares y solo quedan el valor primero y el última).
 Si la sucesión S n  es monótona y acotada, entonces la serie converge.

Si las series
 a , b
n
 ca ,  a
n
son ambas convergentes, entonces, también serán convergentes las series
 bn  , y valen las siguientes igualdades:
 ca
 c
 a , a
 bn  
 a  b
.
(Observación: cuando el término general es racional cuyo denominador está formado por factores
suele ser conveniente transformar este racional en sumando de racionales usando la
descomposición en feacciones simples).
n

n
n
n

Si la serie

N
n
n
n

a n es convergente, entonces, también es convergente
a
n
. Esto dice que, lo que
1
importa para analizar la convergencia de series es lo que sucede con sus colas: si la serie converge a
partir de un N en adelante, también lo hace desde 1 en adelante.

Prueba de la integral: si existe una función continua, decreciente y positiva para los reales mayores o
iguales a 1, que además en cada número natural coincide con el correspondiente término de la
sucesión a n  , entonces: si la integral impropia es un número real también lo es S; si la integral
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Matemática III: síntesis de resultados del tema serie
impropia o no existe o es infinita lo mismo ocurre con S. (Vale la recíproca en ambas afirmaciones).
En símbolos:
Dada a n  , f : [1, )   continua, positiva , decreciente, con f (n)  a n , entonces,

a)

f ( x)dx converge (es un número real) 

n
converge.
1
1

b)

a
f ( x)dx diverge (no existe o vale infinito) 

a
n
diverge.
1
1
Estimación del residuo para la prueba de la integral: si la serie
a
n
converge según la
prueba de la integral y R N  S  S N , entonces, una estimación del error que se comete al

reemplazar la suma infinita S por la suma finita S N es

Prueba de comparación: si las series
 a b
n


f ( x)dx  R N 
N 1
n
 f ( x)dx .
N
son ambas de términos positivos con a n  bn n ,
entonces: si la serie  bn converge, entonces también lo hace la otra, o bien, si la serie  a n diverge,
entonces también lo hace la otra.
En palabras: si la serie que siempre va por arriba converge también lo hace la que va por abajo, o
bien, si la serie que va por abajo diverge también lo hará la que va por arriba.
Observación: En esta prueba se compara la serie con otra conocida convergente o
divergente. Para comparar debemos buscar series conocidas. Las series que se usan por
excelencia son: la serie p
n
1
p
que converge si p>1 y diverge para p  1 y la serie
geométrica  a  r que converge para r  1 y diverge para r  1 . Muchas veces se requiere
de manipulación algebraica para llevar una serie a la forma de serie p o serie geométrica.
n

polinomio
 o una función
Este criterio funciona cuando a n es una función racional  f 
polinomio

algebraica (se forman mediante operaciones algebraicas –suma, resta, división, potencia,
raíz - a partir de polinomios) .

Cuando lo que logramos es que la serie que va por arriba sea divergente, o bien que la serie que va
por abajo sea convergente, entonces, no se puede aplicar la prueba de comparación. En este caso
podemos usar la versión de esa prueba pero en términos de límites:
Prueba de comparación de límites: si las series  a n  bn son ambas de términos positivos con
a n  bn
n ,
entonces:
a) Si lim
an
 c  0,
bn
b) Si lim
an
0
bn
c) Si lim
an

bn
ambas series convergen simultáneamente o ambas divergen.
y la serie
b
y la serie
b
n
converge, también converge  a n .
n
diverge, también diverge  a n .
(Observación: en ambas pruebas si la serie de comparación que se usó converge según la
prueba de la integral, entonces se tiene una estimación del error para ambas series
convergentes).

Prueba de la serie alternante (o Prueba de Leibniz para series alternantes): si a n  es una sucesión
positiva, decreciente con límite nulo, entonces la serie alternante
1 a
n
n
converge.
Matemática III: síntesis de resultados del tema serie
(Observación: la condición de decreciente de la sucesión se puede comprobar comparando
un término genérico de la sucesión con el siguiente; o bien, analizando los intervalos
donde la derivada primera de la función relacionada continua sea negativa: conceptos de
matemática I).
Estimación del residuo para la prueba de la serie alternante: si la serie  a n converge
según la prueba de la serie alternante y R N  S  S N , entonces, una estimación del error
que se comete al reemplazar la suma infinita S por la suma finita S N es R N  a N 1 .
a

Prueba de la convergencia absoluta: cualquier serie
converge.

Prueba del cociente (o de la razón o de D’Alembert): sea lim

a) Es absolutamente convergente (y por lo tanto converge) si el límite citado es un número real
menor que 1.
b) Diverge si, el límite es infinito o bien es un número real mayor que 1.
(Observar: se usa cuando la serie incluye factoriales, productos o constantes a la n-ésima potencia)
Prueba de la raíz (o de Cauchy): sea n a n , entonces la serie  a n
a) Es absolutamente convergente (y por lo tanto converge) si la raíz citada es un número real
menor que 1.
b) Diverge si, la raíz citada es infinita o bien es un número real mayor que 1.
(Observar: se usa cuando el término general es una potencia de n).
CRITERIOS DE DIVERGENCIA
 Si el lim a n no existe o es distinto de cero, entonces, la serie
n
si converge absolutamente, entonces,
a n 1
an
a
, entonces la serie
n
a
n
es divergente.
 Véase prueba de la integral.
 Véase prueba de comparación.
 Véase prueba de comparación de límites.
 Véase prueba del cociente.
 Véase prueba de la raíz.
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