TEMA No 1: Análisis Convexo

ANALISIS CONVEXO
El Análisis Convexo trata el análisis de funciones convexas, y se fundamenta
en las propiedades geométricas de los conjuntos convexos. La noción de
convexidad es crucial dentro de la teoría de optimización. Por una parte se
tiene la definición general de un conjunto convexo y partiendo de ella se
definen las funciones cóncavas, convexas, cuasiconcavas, cuasiconvexas,
etc.
1. (i) Mediante una grafica en
indique los siguientes conjuntos:
correspondiente a la función:
(ii) Calcule
Que
decirse acerca de la concavidad (cuasi concavidad) de la función f?
puede
Solución:
(i)
(ii) Observe H(x) la Matriz Hessiana.
2. Demuestre las partes (i) y (ii) del teorema:
(i) X  Y , es un conjunto convexo
(ii) X  x x  X  donde   R, es un conjunto convexo
Solución:
(i) Tome dos puntos x, y que estén en
como en Y y estos son convexos,
(ii)
X  Y . Como están tanto en X
y esta tanto en X
Si
Haga la combinación
3. Muestre que
(i)
son conjuntos convexos:
M 1   x, y   R 2 x 2  y 2  4
circunferencia
es un conjunto convexo mientras la
M 0   x, y   R 2 x 2  y 2  4
no lo es.
(ii)
M 3  x, y  R2 y  x
 es un conjunto convexo
Solución:
Tomando
Schawartz.
cualesquiera, utilice la desigualdad de
Tomando
cualesquiera, utilice la desigualdad
triangular.
4. Con las siguientes condiciones:
(i) Sea f x   kg x  . Si g es cóncava entonces, f es cóncava si
  0 y convexa si   0
h es
(ii) Sea hx   f x   g x  . Entonces si g y f son cóncavas,
cóncava.
(iii) Sea g  X   Y y h : Y  R con f  x   h o g  x  . Si g es cóncava
y h cóncava y monótona creciente, entonces f es cóncava. En
cambio si h es monótona creciente (y no necesariamente cóncava o
cuasiconcava) y g es cuasiconcava, entonces f  h o g es cuasiconcava.
Muestre que:
Solución:
(i) Utilice el siguiente teorema:
a. Cuasiconcava  Para cualquier x1 , x2  X con f ( x1 )  f ( x2 ) 
f (x1  1   x2 )  f ( x2 ) siendo   0,1
b. Cuasiconvexa  - f es cuasiconcava  Para cualquier x1 , x2  X con
f ( x1 )  f ( x2 )  f (x1  1   x2 )  f ( x2 ) siendo   0,1 .
(ii) Utilice el teorema anterior, para caracterizar la cuasi convidad y el
hecho de que h es monótona creciente (
).
(iii)
5. Sea f
(x 1, x 2) =
x
1
+ x 2. ¿Qué representa en este caso H f , el
hipógrafo? Indique en una gráfica el Contorno Superior CS f (1) . ¿Qué puede
afirmarse acerca de la cuasiconcavidad (-convexidad)?
Solución


es un hiperplano. CS f (1)  ( x1, x2 )  2 x2  1  x1
Hf
es convexo. Tanto CS f
de f
como CI f
son conjuntos convexos.
para cualquier y que sea imagen
`
1
2 3
2
f ( x1, x2 )  ( x12  x ) . Analice f
6. Sea
y este conjunto
con respecto a la convexidad y
cuasiconvexidad.
Solución
No es convexa, pues tómese por ejemplo x  (1,1), y  (8,2) y 
1
para la
2
3
cuasiconvexidad analice el contorno inferior que es el circulo de radio y 2
7. Clasifique las siguientes funciones con respecto a cuasi-concavidad,
convexidad
f ( x1, x2 )  log(x1 x2 )
(a)
f ( x1 , x2 )  x1  2 log x2
(b)
f ( x1 , x2 )  3x12  4x22  7 x1 , x2
(c)
Solución
(a) Suma de cóncavas es cóncava.
(b) Suma de dos cóncavas es cóncava.
(c) Tome, por ejemplo, por un lado ( x1 , x 2 )  (2,0), ( y1 , y 2 )  (0,1) y 
otro ( x1 , x 2 )  (2,0), ( y1 , y 2 )  (0,2) y 
1
y por el
2
1
.
2
Calcule
f ( ( x1 , x2 )  1   ( y1 , y 2 )) y
f ((x1 , x2 ))  1    f (( y1 , y 2 ))
Mostrando que para el primer caso la primera expresión es menor que la
segunda, mientras que en el segundo caso sucede lo contrario. Analice los
contornos

CS f ( y )  ( x1 , x2 )  2 3 x12  4 x22  7 x1 x2  y

Sea y=1, entonces se puede escribir el contorno superior como

CS f (1)  ( x1 ' , x 2 ' )   2 ax '12 bx ' 22  1

75 2
75 2
son los valores propios de la matriz
yb 
2
2
7 
 3

2  .Como a>0 y b<0 el contorno C (1) representa una
f
 7
4 
 2

Donde
a
hipérbola.
8.
Sea f:
Muestre que entonces f es cuasi cóncava.
Solución:
Estime:
Utilizando las propiedades de las funciones h y g. Utilice que h(x) = f (x) g
(x) y tome los puntos x,y ∊X con f (x) f (y).
9. Utilice la caracterización mediante las derivadas de segundo orden para
determinar si las siguientes funciones
cóncavas o convexas:
(a)
(c)
f ( x)  2in1 xi2
f ( x)  e x1  e x 2  x1  x2
(b)
f : R n  R son (estrictamente)
f ( x)  x1  3x1x 2  6x12  x22
2
2
(d) f ( x)   x1  x2  2 x1 x2
Solución:
(a) Estrictamente cóncava
(b) Estrictamente convexa
(c) Estrictamente convexa
(d) Cóncava
10. Halle los puntos críticos de las anteriores funciones y diga si estos son
máximos-mínimos, globales- locales.
Solución:
*
(a) x  0 max.global.
2 1
x *  (  , ) min .global .
5 5
(b)
*
(c) x  0 min.global.
*
(d) x1   x2 max.globales.
*
11. Bajo las condiciones del siguiente teorema
*
1
*
(i) Si f es C y x es un máximo (mínimo) local de f  f ( x )  0
*
1
*
(ii) Si f es C y x es un máximo (mínimo) local de f  H ( x ) es n.s.d
(negativa semidefinida) o p.s.d (positiva semidefinida)
Muestre que:
1. Si
es p.d., entonces
2. Si f es convexa entonces
es un mínimo local.
es un mínimo global de f.
Utilice el desarrollo de TAYLOR para f(x) alrededor del punto x* y las
condiciones
del problema:
conociendo
la
convexidad utilice la caracterización dada en el el siguiente teorema:
Sea:
f : X  R, X  R n convexo.
 (t )  f (tx  1  t y) .
cóncava (cuasiconcava).
12. Sea
Entonces,
Se
f cóncava
define
una
(cuasiconcava)
función
  es
donde A es constante,
(función de producción tipo Cobb-Douglas). Muestre que si
cóncava pero si
no es cóncava pero si cuasi cóncava.
es
(i) Supongamos que la función
sea
y linealmente homogénea
que toma valores positivos y que es cuasi cóncava. Muestre bajo el
supuesto adicional que la homogeneidad, f es cóncava.
(ii) Muestre que el resultado anterior se puede generalizar si suponemos
que f es homogénea de grado
y cuasi cóncava.
Ayuda: Escriba
.
Solución:
Calcule el Hessiano y los menores. Para la concavidad examine el contorno
superior.
(i) Defina
.
n
Utilice el teorema f : X  R, X  R convexo. Se define una función
 (t )  f (tx  1  t y) .
f cóncava (cuasiconcava)   es
Entonces,
cóncava (cuasiconcava).y el hecho de que si una función es homogénea de
grado 1, entonces sus derivadas son homogéneas de grado 0.
Finalmente utilice el Teorema de EULER que nos dice que
(ii) Para la generalización utilice el siguiente teorema de composición a
partir de escribir
. Teorema de composición:
Sea f x   kg x  . Si g es cóncava entonces,
convexa si   0
f es cóncava si   0 y
Sea hx   f x   g x  . Entonces si g y f son cóncavas, h es cóncava.
Sea g  X   Y y h : Y  R con f  x   h o g  x  . Si g es cóncava y
h cóncava y monótona creciente, entonces f es cóncava. En cambio si
h es monótona creciente (y no necesariamente cóncava o cuasiconcava) y
g es cuasiconcava, entonces f  h o g es cuasiconcava.
13. (i) Muestre que una función de producción tipo Cobb-Douglas
es
siempre cuasi cóncava y, es cóncava, si el grado de homogeneidad es
Ayuda: Considere log f (x).
(ii) Muestre que una función de producción tipo CES
es siempre cuasi cóncava y, es
cóncava si el grado de homogeneidad
. Ayuda:
Considere g(x) = log (x) y sea
Solución:
(i) Defina
. Analice la concavidad de p(x) y
utilice el nuevo teorema de composición.
(ii) Defina ahora:
Analice la concavidad de la función
y tome en cuenta si
Finalmente utilice el teorema de composición.
14. Analice los puntos críticos de
f ( x1 , x2 )   x12  x22  x1 , x2 para   1,2,3
Solución:
Para   1 tenemos un máx. global; para   2 un máx. local y para   3 un
punto silla.
15. i. Sea f ( x1 , x2 )  x13  2x1 x2  x22 .Encuentre los puntos críticos de f .
ii. Sea g ( x1 , x2 )  x1  x2 .Solucione ahora: max f ( x) s.ag( x)  0
Solución:
2
3
2
3
Los puntos críticos son (0,0) y  ,  .El primero es un punto silla
mientras que el segundo es un min. Local.
16. Analice la siguiente función con respecto a puntos críticos y justifique de
que se trata:
Solución:
x*=(2,1) es min. Local.
17. Derive las condiciones de KUHN-TUCKER para los siguientes problemas
y halle la solución:
(i)
Max
(ii) Max.
(iii) Max
Solución:
(i)
(ii)
(iii)
18. (i) Demuestre que la función
es cóncava si
y
convexa si
Solución:
Para solucionar calcule la matriz Hessiana
19. Considere el problema
(i) Verifique que se trata de un problema de programación cóncava.
(ii) Sea
un punto crítico. Verifique las condiciones de Kuhn-
Tucker en este punto
(iii) Es este máximo único? Por que?
Solución:
f Es estrictamente cóncava y las restricciones son cóncavas. Por ello el
punto es un max. global único.
20. Resuelva los siguientes problemas,
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
Solución:
*
(i) x   (1,1) ; todos max. Locales.
*
(ii) x  1 ; min. Local.
(iii)
; max. Global.
*
(iv) x  (1,3) ; max. Global.
3
1
*
4
,3 4 ) ; max. Global.
(v) x  16 (3
21. Suponga el siguiente problema
Solución:
lo que significa que la restricción
esta activa, mientras que la otra no lo esta.
22. Resuelva el siguiente problema
Solución:
x *  (1,3) ; Max. Global Único.1
23. La función f(x) =
es convexa para todo x real.
Para probar esto, se debe mostrar que para todo
Solución:
1
Extraído del libro de Economía Matemática de Diego Escobar Uribe (1-22).
Reemplazando el valor de la función, esto equivale a que
Desarrollando.
Simplificando los términos comunes
Así, para demostrar que la función es convexa se debe probar la
desigualdad anterior. Si se transponen todos los términos a la derecha, esta
desigualdad equivale mostrar que:
Al desarrollar, simplificar y factorizar el término derecho se obtiene
sucesivamente,
Esta última expresión es claramente mayor o igual a cero, ya que
por lo que
y todo cuadrado es no negativo. Por lo
tanto, la función
24. Para
+5,
Como la segunda derivada es positiva si
es convexa en el intervalo
y negativa si
y cóncava en
El punto x=2/3 es
punto de inflexión: allí la función cambia de convexa a cóncava.
25. Para:
, la función
El conjunto de posibles puntos de inflexión es PPI =
La segunda
derivada no cambia de signo en x=-1. En x=-2 cambia de positivo a
negativo; así; la función es convexa en
y cóncava en
26. Para la función
Los puntos críticos son
de negativo a positivo en
el signo de la primera derivada pasa
y de positivo a negativo en
tanto h decrece en
local en
y crece en
; por lo
tiene un mínimo
y un máximo local en
Los PPI son 0,
cambia de negativo a positivo en
de positivo a negativo en 0 y de negativo a positivo en
que h es convexa en (
, lo que indica
y es cóncava en (-
Además,
de lo anterior se encuentra la grafica de
h.
27.
La derivada de la función es:
Esta función no es derivable en x=1 y x=-2. Los puntos críticos de la
función son
La función es creciente en el intervalo (-1,1), en este intervalo ´k es
positiva, decreciente en (-2,-1), ahí k´ es negativa, y constante en
, en estos puntos de la derivada de k es cero. La segunda
derivada de la función es
La segunda derivada no existe en x=1 y x=-2. Los posibles puntos de
inflexión son
de los cuales únicos que se pueden
considerar puntos de inflexión son x=1 y x=-2, ya que la función es
convexa en el intervalo (-2,1) ya que en este intervalo k´´ es positiva. En
la función se pude considerar convexa o cóncava; si se
considera cóncava entonces x=1 y x=-2 son puntos de inflexión.
Para determinar los conjuntos arg max, arg min y los valores del máximo y
mínimo de esta función sobre el conjunto
, se deben analizar varios
casos:
a. Si
b. Si
c. Si
d. Si
e. Si
f. Si
g. Si
h. Si
i. Si
j. Si
k. Si
2
2
Extraído del libro de Matemáticas para Economistas de Arsenio Pecha (23-27)