1er curso Licenciatura de FARMACIA. Año académico: 2006-2007

1er curso Licenciatura de FARMACIA. Año académico: 2006-2007
Asignatura: FÃ SICA APLICADA Y FÃ SICO-QUÃ MICA
GUÃ AS DE ESTUDIO
TEMA I. LAS MAGNITUDES FÃ SICAS
à NDICE
• MAGNITUDES FÃ SICAS Y UNIDADES DE MEDIDA
• Magnitudes fÃ−sicas
• Ecuaciones y leyes fÃ−sicas
• Dimensiones.
• Sistemas de unidades.
Análisis dimensional
• INCERTIDUMBRE DE LAS MEDIDAS
• Clasificación de las causas de error
• Medidas directas e indirectas
• Formas de expresión de resultados. Cifras significativas
• Error de medidas directas
• Error de medidas indirectas
• Exactitud y precisión
• Conceptos básicos de EstadÃ−stica
• Interpolación
• TRATAMIENTO Y PRESENTACIÃ N DE DATOS EXPERIMENTALES
• Obtención de datos experimentales
• Elaboración de resultados: representaciones gráficas; regresión lineal
• Memorias de laboratorio
• CUESTIONES Y PROBLEMAS
Objetivos
• Explicar la necesidad y utilidad del empleo de unidades en FÃ−sica. Sistema Internacional.
• Destacar la homogeneidad dimensional de las ecuaciones y leyes fÃ−sicas.
• Introducir aspectos generales sobre la exactitud y precisión de las medidas como preparación a las clases
en el laboratorio.
• Representar los resultados experimentales en forma gráfica.
BibliografÃ−a
Apuntes División FÃ−sica Aplicada
FÃ−sica (Cap.1) - P. Tipler - Reverté - 1999
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1. MAGNITUDES FÃ SICAS Y UNIDADES DE MEDIDA.
• Magnitudes fÃ−sicas
La FÃ−sica estudia el comportamiento de los cuerpos en situaciones naturales o artificiales ensayadas en el
laboratorio. El estudio, basado en la observación, conduce a observables y para cada conjunto de observables
de caracterÃ−sticas similares se define una magnitud.
Por ejemplo, de un libro, son observables el ancho de sus hojas, su masa,.... Por otra parte, a los observables:
ancho de las hojas de un libro, altura de un edificio, radio de la Tierra,..., se les asigna la magnitud escalar
longitud (L).
Las magnitudes pueden ser de dos tipos: escalares y vectoriales.
Si se observa la posición de un cuerpo respecto a otro, para expresarla se necesita además de la distancia su
orientación relativa respecto a una dirección y sentido elegidos como referencia, tratándose entonces de la
magnitud vectorial longitud .
• Ecuaciones y leyes fÃ−sicas
La mayorÃ−a de los fenómenos fÃ−sicos (oscilación de un péndulo, transmisión de la luz por una
lente,...) son muy complicados. En su estudio se suponen fenómenos más simples (ideales) proponiendo
modelos que representan una cierta aproximación de la realidad y, con ayuda del lenguaje matemático, se
establecen las leyes de comportamiento. En FÃ−sica se formulan, como sistematización de los resultados
experimentales, un número reducido de leyes básicas (de Newton, de Coulomb...) y numerosas leyes
empÃ−ricas (de Hooke, de Ohm...).
La simplicidad que le aporta a la FÃ−sica el lenguaje matemático tiene el riesgo de su lectura incorrecta. El
trasfondo de las leyes fÃ−sicas es la identificación de los sÃ−mbolos que en ellas aparecen y la
clarificación de sus condiciones de validez.
• Dimensiones
El área se halla multiplicando una longitud por otra. Decimos que tiene dimensiones L2. Fourier amplió
esta idea a otras magnitudes no geométricas, calculando sus dimensiones a partir del principio de
homogeneidad dimensional de las ecuaciones y de las leyes fÃ−sicas.
Para algunas magnitudes (longitud, masa tiempo,...) su dimensión se introduce de forma independiente y por
esta razón se denominan fundamentales. Las dimensiones de las magnitudes derivadas se expresan,
empleando su definición o una ley en la que aparezca como un producto de potencias de las dimensiones de
las magnitudes fundamentales.
Por ejemplo, la velocidad tiene dimensiones L T-1; las de la fuerza , de la segunda ley de Newton F = m a ,
son M L T-2
• Sistema de unidades
Las magnitudes fÃ−sicas se valoran por comparación con un patrón o unidad de medida. La proliferación
de patrones diferentes para una misma magnitud provocó una complicación en el trabajo cientÃ−fico y
técnico hasta que tras un largo proceso se consiguió alcanzar (1960) un acuerdo internacional para
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establecer un sistema único. Este sistema se conoce como Sistema Internacional (SI) de unidades y en
España se adoptó legalmente en 1967.
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
Magnitudes fundamentales
Magnitud Dimensión Unidad SÃ−mbolo
Longitud L metro m
Masa M kilogramo kg
Tiempo T segundo s
Intensidad de corriente eléctrica I amperio A
Temperatura θ kelvin K
Intensidad luminosa candela cd
Cantidad de sustancia mol mol
Magnitudes suplementarias
Angulo plano radián rad
Angulo sólido estereoradián sr
Magnitudes derivadas con nombre especial
Frecuencia T-1 hercio Hz
Fuerza L M T-2 newton N
Presión L-1 M T-2 pascal Pa
Trabajo (energÃ−a) L2 M T-2 julio J
Potencia L2 M T-3 vatio W
Carga eléctrica T I culombio C
Potencial eléctrico L2 M T-3 I-1 voltio V
Resistencia L2 M T-3 I-2 ohmio Ω
Capacidad L-2 M-1 T4 I2 faradio F
Campo magnético M T-2 I-1 tesla T
Flujo magnético L2 M T-2 I-1 weber Wb
3
Inductancia L2 M T-2 I-2 henrio H
Para expresar cantidades muy grandes o muy pequeñas, comparadas con la unidad correspondiente, se
emplean múltiplos o submúltiplos a los que también se asigna un sÃ−mbolo que se utiliza como prefijo
de la unidad:
Múltiplos
Factor 1012 109 106 103
Nombre tera giga mega kilo
SÃ−mbolo T G M k
Submúltiplos
Factor 10-12 10-9 10-6 10-3
Nombre pico nano micro mili
SÃ−mbolo p n μ m
Hay que destacar que para expresar una medida es necesario indicar la unidad de medida. La excepción son
las magnitudes adimensionales (magnitudes relativas) cuya especificación se limita a un número. Por otra
parte, sólo las magnitudes escalares quedan definidas por un único número y su unidad; para las
vectoriales se necesitan tres números (componentes).
2. INCERTIDUMBRE DE LAS MEDIDAS. CIFRAS SIGNIFICATIVAS
La FÃ−sica, como toda ciencia experimental, está basada en leyes matemáticas que relacionan entre sÃ−
magnitudes que pueden ser medidas en el laboratorio. Para construir o verificar tales leyes, es necesario
recurrir a la experimentación. Sin embargo, el proceso de medida está siempre sometido a un conjunto de
circunstancias, denominadas causas de error, que provocan una desviación de los valores medidos con
respecto al “verdadero valor”.
Un experimentador debe tener presente que el “verdadero valor” de una magnitud fÃ−sica es una cantidad
que nunca podrá conocer con una exactitud y seguridad absolutas. Por ello, el error de una medida
(diferencia entre el valor verdadero y el valor medido) es también una cantidad desconocida. Para extraer
conclusiones fiables de un experimento, es imprescindible determinar el grado en que las medidas pueden
estar afectadas por las diversas causas de error. En otras palabras, debemos dar alguna indicación que nos
diga la probabilidad de que el resultado experimental obtenido se encuentre cerca del verdadero valor. Es
posible estimar una cota superior del valor absoluto del error, que se denomina incertidumbre de la medida.
Para calcular la incertidumbre en una medida experimental es conveniente clasificar tanto el tipo de medidas
efectuadas como el tipo de causas de error que pueden afectar el resultado de estas medidas.
2.1 Clasificación de las causas de error: causas sistemáticas y accidentales
1. Errores sistemáticos y accidentales
Errores sistemáticos
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Son aquellos que afectan a la medida siempre en la misma cuantÃ−a. Suelen ser debidas a una mala
construcción o calibración de los aparatos de medida, a su utilización en condiciones distintas de las
debidas (por ejemplo, utilizarlos a una temperatura diferente de la de su calibrado), o por empleo erróneo del
procedimiento de medida por parte del observador. En general, los errores introducidos por todas estas causas
pueden ser evitados cambiando el aparato (corrigiendo el error de cero) o el método de medida.
Errores accidentales
Son aquellas que afectan de manera aleatoria e imprevisible a la medida, tomando ésta valores ligeramente
distintos aunque se repita en condiciones aparentemente idénticas. Tales causas suelen ser debidas a
múltiples factores que actúan simultáneamente: defectos en la apreciación del valor por parte del
observador, pequeñas fluctuaciones en las condiciones de medida, etc. En muchos casos es difÃ−cil
determinar el origen de estas causas de error, por lo que su eliminación es prácticamente imposible.
Afortunadamente, el carácter aleatorio de los errores accidentales permite que éstos puedan ser evaluados
mediante procedimientos estadÃ−sticos (realizaremos muchas veces la misma medida y tomaremos como
valor de la magnitud la media). Evidentemente, tales métodos no son aplicables a los errores sistemáticos,
que son potencialmente los más peligrosos.
2. Error instrumental
Existe, además, una causa de error que siempre está presente en todo experimento. Se trata de la
limitación instrumental, o causa instrumental, debida al hecho de que no existen instrumentos con una
precisión infinita. AsÃ−, una regla graduada en milÃ−metros será incapaz de detectar diferencias de
longitud inferior al milÃ−metro; un cronómetro digital que marca hasta las centésimas de segundo
será incapaz de distinguir dos intervalos de tiempo inferiores a 0.01 segundo, etc.
3. Error absoluto y error relativo
Error absoluto
El error absoluto ε(x) de una medida se define como el intervalo de valores, alrededor del valor medido,
dentro del cual debe encontrarse el valor verdadero. Se calcula como la diferencia entre el valor medido y el
valor representativo.
ε(x) = a - x (1)
Error relativo
Para saber si el error cometido es importante en comparación con el valor de la medida, puede indicarse el
error relativo, definido como el cociente entre el error absoluto y el valor representativo (medio):
(2)
Multiplicado εr por 100, el error relativo representa el tanto por ciento de incertidumbre en el resultado.
2.2 Clasificación del tipo de medidas: Medidas directas e indirectas
Las medidas que se realizan en el laboratorio pueden ser clasificadas de dos tipos: directas o indirectas.
Medidas directas
Son aquellas que han sido obtenidas directamente con ayuda de un instrumento de medida. AsÃ−, al usar una
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regla (o una cinta métrica) para medir el valor de una longitud, estamos efectuando una medida directa de
la longitud. Del mismo modo, usando una balanza efectuamos medidas directas de la masa de un objeto.
Medidas indirectas
Son aquellas en las que han sido obtenidas a partir de una expresión matemática que la relaciona con otras
magnitudes. Por ejemplo, si usamos la fórmula V = (/6)D3 para determinar el volumen de una esfera a
partir de la medida directa de su diámetro, estaremos efectuando una medida indirecta de V.
2.3. Forma de expresar el resultado de una medida
De acuerdo con lo anterior, el resultado x de una medida no proporciona el valor exacto de la cantidad que
deseamos determinar. Por ello, es necesario indicar de algún modo la confianza que tenemos en que el valor
medido se encuentre próximo al verdadero valor. Expresaremos el resultado de la medida de la forma:
x ± ε(x) , (3)
con sus unidades correspondientes. Aunque a ε(x) lo nombraremos como error de la medida, debe tenerse
bien en cuenta, sin embargo, que se refiere a incertidumbre.
Al expresar un resultado mediante la ecuación (3) suele ocurrir que tanto el valor medido x como su error
absoluto ε(x) presentan un gran número de cifras decimales. Debido a la dificultad de evaluar el error con
precisión, es evidente que no tiene sentido emplear un gran número de cifras para expresarlo. Del mismo
modo, tampoco tiene sentido expresar el resultado de la medida con cifras que impliquen una precisión
mayor que la del error. Por ello, para expresar el resultado y el error de una medida, debemos emplear los
siguientes criterios:
• El error sólo puede tener una cifra significativa distinta de cero, a no ser que ésta sea 1, en cuyo caso,
opcionalmente, pueden emplearse dos cifras para expresar el error.
• A la hora de eliminar cifras, aplicaremos el siguiente criterio de redondeo:
• Si la primera cifra que se suprime es mayor o igual que 5, la última cifra conservada debe aumentarse en
1.
• Si la primera cifra que se suprime es menor que 5, la última cifra conservada no varÃ−a.
AsÃ−, por ejemplo, ε(x)=0.291 debe escribirse como ε(x)=0.3 (sólo el 3 es distinto de cero), ε(x)=237
debe escribirse como ε(x)=200 (sólo el 2 es distinto de cero) y ε(x)=117 debe escribirse como ε(x)=120
(por tratarse de un uno).
• La última cifra significativa del resultado debe ser del mismo orden de magnitud que su error absoluto.
AsÃ−, por ejemplo, si el error es 0.3 (décimas), el resultado 5.21, debe escribirse 5.2 (su última cifra es
del orden de las décimas).
2.4. Error de una magnitud medida directamente
2.4.1 Error cometido al realizar una sola medida
Como antes hemos comentado, cuando usamos un aparato para medir el valor de una magnitud fÃ−sica, x, la
precisión del resultado siempre está limitada por la división mÃ−nima en la escala del aparato de medida,
o error instrumental. Recordemos: una regla graduada en milÃ−metros será incapaz de detectar diferencias
de longitud inferior al milÃ−metro; un cronómetro digital que marca hasta las centésimas de segundo
será incapaz de distinguir dos intervalos de tiempo inferiores a 0.01 segundo, etc.
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Cuando la medida se realiza con un instrumento de poca sensibilidad, al repetir la medida varias veces,
encontraremos siempre el mismo resultado. En este caso, nos bastará con realizar una única medida, siendo
su error el error instrumental.
ε(x) = división mÃ−nima del aparato de medida
2.4.2 Error cometido al realizar N medidas directas de una misma magnitud
Si la sensibilidad del aparato de medida es grande, podemos encontrarnos que al repetir la medida,
obtengamos valores ligeramente diferentes. En este caso se deberán realizar varias medidas.
Supongamos que hemos efectuado un conjunto de medidas de una misma cantidad. Por ejemplo, supongamos
que hemos dejado caer una esfera desde un metro de altura y hemos medido el tiempo empleado por ésta en
llegar al suelo. Repitiendo la experiencia varias veces, obtendremos un conjunto de medidas directas del
tiempo de caÃ−da: t1, t2, t3,...tN que no serán idénticas, viéndose afectadas por errores accidentales
que introducen una incertidumbre en el valor obtenido.
Realizaremos varias medidas, y tomaremos como valor más representativo de la magnitud que estamos
midiendo, el valor medio:
(4)
Siendo N el número de medidas efectuadas
El criterio que tomaremos para saber el número de medidas que debemos realizar es el siguiente:
• Se realizan inicialmente 3 medidas: x1, x2, x3 y se calcula el valor medio de las mismas .
• Se calcula el porcentaje de dispersión definido como:
(5)
• Si D<2 % nos bastan las tres medidas realizadas.
2%⠤D<8% Tendremos que realizar tres medidas más (total 6).
8%â ¤Dâ ¤15% Realizaremos hasta un total de 15 medidas.
D>15% Tendremos que realizar un total de 50 medidas.
Cuando el proceso experimental sea largo o difÃ−cil, es preferible intentar descubrir la causa de que la
dispersión sea grande e intentar reducirla o cambiar de procedimiento de medida, en lugar de realizar muchas
medidas.
El error que asignaremos al valor medio será el mayor de los tres errores siguientes:
• Error instrumental: división mÃ−nima del aparato de medida.
• Error de dispersión: (6)
• Desviación tÃ−pica N-1: (7)
Estos métodos de tipo estadÃ−stico para reducir los errores no son aplicables a los errores sistemáticos,
sino sólo a los errores accidentales.
7
2.5. Error de una magnitud medida indirectamente
Con frecuencia se está interesado en conocer magnitudes que no se pueden medir directamente en el
laboratorio, sino que se deben evaluar a partir de sus relaciones matemáticas con otras magnitudes que sÃ−
se pueden medir directamente.
Por ejemplo, si disponemos de un nonius y una balanza y deseamos conocer el volumen V y la densidad Ï” de
un sólido esférico, mediremos el diámetro D y la masa M de dicho sólido, y utilizaremos las
expresiones siguientes
(8)
para hallar, respectivamente, el volumen y la densidad del cuerpo. Es evidente que el volumen y la densidad
son magnitudes indirectas, mientras que el diámetro y la masa del cuerpo son magnitudes directas.
Consideremos el caso más sencillo, de una magnitud indirecta que sea función sólo de una variable, z =
f(x). Tal y como se puede observar en la figura, si suponemos que el intervalo (x2,x1) que corresponde a dos
veces el error absoluto de la magnitud directa x, 2ε(x) = x2 - x1, es suficientemente pequeño para poder
representar en ese intervalo la función f(x) por una recta, z = mx + b, y si tenemos en cuenta que el error
absoluto correspondiente a la magnitud indirecta, según la figura 1, cumple la relación 2ε(z) = z2 - z1 =
f(x2) - f(x1), por simple análisis matemático, se obtiene:
(9)
es decir, 2ε(z) = m 2ε(x) â
ε(z) = m ε(x)
siendo m la pendiente de la recta, dada por m = dz/dx.
El error absoluto ε(z) de la magnitud indirecta z en función de la magnitud directa x, vendrá dado por:
Figura 1 (10)
Si la magnitud indirecta es una función de varias variables, z = f(x,y,t ...), y podemos suponer que el error de
cada variable es suficientemente pequeño, análogamente al caso anterior, obtendremos el error absoluto de
la magnitud indirecta en función de los errores absolutos de las magnitudes directas, de la forma:
(11)
Aún cuando al diferenciar salgan signos menos, los cambiaremos por signos más, ya que los errores
siempre se acumulan, no se compensan.
Las constantes, asÃ− como los números irracionales que puedan existir en la función, deben tomarse con el
número de cifras necesario para que el término del error correspondiente a las mismas, sea despreciable
frente al error total. Respecto a los números irracionales, el uso de calculadoras hace que el número de
cifras proporcionadas sea el suficiente como para que el error añadido sea despreciable.
Para el caso en que la función sea un monomio, podemos calcular el error absoluto de una forma más
sencilla:
• Se toman logaritmos neperianos en la función.
• Se diferencia.
8
• Se asimila la diferencial de una función a su error absoluto dxâ ε(x)
• Se despeja el error de la función, teniendo en cuenta que los errores se acumulan (si es que existe algún
término negativo).
Seguidamente presentamos algunos ejemplos del cálculo de errores de magnitudes indirectas. Es
conveniente que se intente deducirlos.
(16) (19)
(17) (20)
(18) (21)
2.6. Conceptos de exactitud y precisión
Es importante distinguir entre estos dos términos. La exactitud de un experimento es una estimación de lo
cercanos que están los resultados del experimento respecto al valor verdadero. La precisión indica lo
reproducible que es el experimento realizado, sin referencia a su acuerdo con ese valor verdadero. Como
ejemplo, imaginemos que los resultados de las medidas que han realizado dos experimentadores son los dos
conjuntos de pares de medidas (x1, y1), (x2, y2), ..., (x5, y5), que se distribuyen como se muestra en la figura.
El cÃ−rculo negro señala el “valor verdadero” (puede considerarse obtenido con un método experimental
mucho más preciso y exacto).
2.7. Conceptos básicos de EstadÃ−stica
El carácter aleatorio de los errores accidentales permite que puedan ser resueltos mediante los métodos
proporcionados por la EstadÃ−stica.
Descripción gráfica de una muestra de datos: histogramas
Un conjunto de N medidas de la misma magnitud t puede ser representado gráficamente mediante un
gráfico denominado histograma. Un histograma consiste en representar, sobre el eje de abscisas, la magnitud
t dividida en intervalos regulares, y sobre el eje de ordenadas las frecuencias relativas f1 correspondientes a
cada intervalo. Es decir, si hemos obtenido n1 veces el valor t1, la frecuencia relativa o altura del histograma
será f1 = n1/N y asÃ− sucesivamente. Es fácil comprender el sentido fÃ−sico de fi al multiplicar esa cifra
por 100. AsÃ−, fi = 0.24 indica que el número de veces que se repite xi es el 24% del tamaño de la
muestra.
Figura 2
Indices estadÃ−sticos
Supongamos que disponemos de un conjunto de N medidas directas {x1, x2, x3, ... , xN} de una misma
magnitud fÃ−sica x. Para caracterizar este conjunto de medidas, suele recurrirse a una serie de indicadores
estadÃ−sticos. Los más importantes son :
a) Media (): Se define como:
(22)
y representa el valor central del conjunto de medidas realizadas.
9
b) Desviación tÃ−pica o estándar de la muestra (s): Se define como:
(23)
y representa el grado de dispersión de las medidas alrededor del valor medio (para número de medidas
pequeño).
• Varianza,s2, definida como el cuadrado de la desviación tÃ−pica.
• Coeficiente de correlación. Ver apartado de Método de mÃ−nimos cuadrados.
Función de distribución
Supongamos que las mediciones del ejemplo anterior se continúan hasta conseguir que la muestra tenga un
número muy grande de medidas. En esta situación, podemos considerar intervalos (o barras) mucho más
estrechas que las anteriores, ya que siempre tendremos un número apreciable de datos experimentales en
cada uno de ellos. En el lÃ−mite de una muestra enormemente grande (), la anchura de cada intervalo serÃ−a
infinitesimal y el histograma se convertirÃ−a en una curva continua. Esta curva recibe el nombre de función
de distribución. Al igual que ocurrÃ−a con las barras de un histograma, el producto f(x)dx representa la
probabilidad de que, al realizar una medida de la magnitud fÃ−sica bajo estudio, obtengamos un resultado
comprendido entre x y x+dx.
Generalmente, los errores asociados a la medida de una magnitud fÃ−sica tienen su origen en la
superposición de muchas perturbaciones pequeñas e imprevisibles. Esta caracterÃ−stica permite fijar la
forma funcional de la función de distribución f(x). En efecto, es posible demostrar (teorema del lÃ−mite
central) que, cuando la aleatoriedad de una variable es debida a la suma de un gran número de causas
independientes, f(x) viene descrita por la llamada distribución normal o de Gauss:
(24)
donde es la media, y Ï• es la desviación tÃ−pica de la variable x. La figura 3 muestra la curva asociada a tal
distribución.
2.8. Interpolación
Es frecuente que se necesite obtener valores de algunas magnitudes fÃ−sicas a partir de tablas numéricas.
Podemos clasificar éstas en dos tipos: de simple entrada, cuando la variable dependiente z es sólo
función de una variable independiente x, z=f(x), y de doble entrada, cuando depende de dos variables
independientes z=f(x,y).
2.8.1 Interpolación en tablas de simple entrada.
Nuestro objetivo es determinar el valor de z para un valor de x no incluido en la tabla. Buscaremos los valores
de x tabulados entre los que se encuentra el valor a determinar.
x1
z1
x2
z2
Si consideramos que para el intervalo de x1 a x2 la expresión z=f(x) puede asimilarse a una recta,
(25)
10
Podremos obtener el valor de z en función de x o viceversa. El error de z vendrá dado por:
(26)
suponiendo que los valores de las tablas tengan errores despreciables.
2.8.2 Interpolación en tablas de doble entrada.
En este caso z depende de las variables x e y, z=f(x,y),
y1
y2
x1
z11
z12
x2
z21
z22
Donde los valores los valores disponibles de x y de y, están intercalados entre los extremos (x1,x2) y
(y1,y2). Considerando una relación lineal entre dichos intervalos, se calcula z mediante:
(27)
Siendo su error:
(28)
3. TRATAMIENTO Y PRESENTACIÃ N DE LOS DATOS EXPERIMENTALES. MEMORIAS DE
LABORATORIO
Los valores numéricos obtenidos en el laboratorio carecen de valor práctico si no llevan a una
comprensión, lo más amplia posible, de la ley fÃ−sica que se pretende comprobar. Para eso es necesaria la
adecuada manipulación e interpretación de dichos datos.
La realización completa de una práctica consta, por tanto, de dos fases bien diferenciadas:
3.1 Obtención de los datos.
Esta fase se desarrolla en el laboratorio y para su buena realización conviene tener en cuenta los siguientes
detalles:
• El material disponible para la realización de la práctica debe de ser tratado con cuidado, teniendo en
cuenta que está completo y en buen estado al inicio de la práctica y que debe continuar asÃ− al finalizar
la misma. El puesto de trabajo se deja limpio y ordenado. Los aparatos de medida eléctricos o
electrónicos son complicados y debe conocerse su modo de empleo antes de utilizarlos. En caso de dudas
siempre se ha de preguntar al profesor antes de empezar las medidas.
• En el guión correspondiente están relacionados los aspectos fundamentales de la práctica. Es preciso
leer con detalle el guión antes de proceder al desarrollo experimental de la práctica.
• Los valores obtenidos han de ser posteriormente manipulados, por lo que es necesario anotarlos
sistemáticamente. Utilizaremos un cuaderno como diario de laboratorio (no hojas sueltas) trasladando
inmediatamente a él lo que se va realizando.
En el cuaderno debe constar:
— TÃ−tulo de la práctica y fecha de realización.
— Objetivos: indicación de forma clara y concisa de lo que se desea hallar o verificar en la práctica.
11
— Procedimiento experimental: descripción esquemática del montaje y los aparatos de medida.
— Resultados: Medidas agrupadas en tablas, representaciones gráficas, cálculos y resultados correctamente
expresados.
y opcionalmente
— Discusión de los resultados, crÃ−tica y/ó sugerencias a la práctica.
• Agrupación de las medidas en tablas
Las medidas se agrupan en tablas para comparar fácilmente los resultados. En el encabezamiento de cada
columna se escribe la magnitud y las unidades.
Por ejemplo, en el estudio experimental de la dependencia de la corriente que circula por una resistencia y por
un diodo con la diferencia de potencial aplicada entre sus terminales, las medidas se agrupan como se indica
en las tablas siguientes. En este estudio se han empleado polÃ−metros digitales con un error relativo del orden
del 2%.
Resistencia
V (V)
0,100
0,200
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
Diodo
V (V)
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
I (A)
6,6
13,2
20,1
26,5
33
40
46
53
I (A)
0
0,210
0,68
1,76
4,9
13,4
39
97
3.2 Elaboración de resultados.
• Representación gráfica de las medidas
Muchos de los fenómenos fÃ−sicos que se pueden estudiar experimentalmente en el laboratorio producen
una distribución de valores que se puede representar gráficamente. La representación gráfica de las
medidas tiene la ventaja de que muestra la tendencia de las mismas de un vistazo, aunque a veces se pierda
algo de información. La representación gráfica de dichos fenómenos supone asÃ− una gran ayuda visual
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para la interpretación fÃ−sica de los mismos, ya sea a través del reconocimiento de la forma matemática
de la curva resultante o a través de la determinación de valores como la pendiente o la ordenada en el
origen.
Para que una representación gráfica sirva para los fines expresados es preciso que su realización se haga
siguiendo una serie de criterios generales que se enumeran a continuación:
• Soporte de realización. Es aconsejable emplear un programa informático de tratamiento de datos que
además de su representación gráfica permita su impresión posterior. No obstante, si se realiza a mano
sobre papel, en la mayorÃ−a de los casos será necesario utilizar papel milimetrado.
Si el error es el habitual (1-5%) el tamaño adecuado de la gráfica puede oscilar entre la cuarta parte y la
mitad de un papel A4.
Trazado de los ejes. El eje de abscisas debe representar la variable independiente y el eje de ordenadas debe
corresponder a la función representada. En ambos ejes debe aparecer la magnitud que se representa y su
correspondiente unidad entre paréntesis. Los ejes se marcan de manera que las escalas sean claras
escribiendo sólo un pequeño número de valores correspondientes a las divisiones enteras de la escala, sin
señalar necesariamente las correspondientes a las medidas realizadas. Para facilitar la lectura la escala debe
ser simple: se divide el eje en partes que correspondan a 1, 2 ó 5 unidades de la magnitud o a un múltiplo o
submúltiplo decimal de estas cantidades. Las escalas deben abarcar aproximadamente el intervalo de
medidas realizadas aunque para ello el origen de coordenadas no coincida con el cero de la escala. En el caso
de usar papel milimetrado, los ejes se dibujan dentro del plano milimetrado, no se deben emplear los
márgenes como ejes.
• Trazado de las gráficas. Los valores experimentales deben ser representados por una marca clara sobre el
plano de la gráfica (aspa, cruz, punto, rectángulo, etc.). En cada punto experimental pueden indicarse los
márgenes de error mediante segmentos de la debida longitud. Las funciones se representan mediante
lÃ−neas continuas. Siguiendo estas normas comparamos el comportamiento eléctrico de la resistencia y
del diodo cuyas caracterÃ−sticas I-V recogÃ−an las tablas anteriores
• Ajustes
En algunos casos se trata de ajustar las medidas a una fórmula y obtener los parámetros que aparecen en
ella. Para resolver estos problemas se utiliza el método de ajuste de mÃ−nimos cuadrados, que consiste en
hacer mÃ−nima la suma de los cuadrados de las diferencias entre las medidas y las cantidades calculadas
utilizando la fórmula de prueba. Los cálculos se suelen realizar con la ayuda de un ordenador.
El caso más común es cuando una función es una lÃ−nea recta (ver figura) y = b x + a. Los parámetros
que se obtienen tras el ajuste son la pendiente (b) y la ordenada en el origen (a).
Si la función es exponencial y = y0 e b x, o potencial y = a x b, también se pueden ajustar las medidas por
una recta utilizando una escala logarÃ−tmica.
El fundamento detallado del método se expone a continuación.
Método de ajuste por mÃ−nimos cuadrados
Supongamos que tenemos N pares de medidas (x1, y1), (x2, y2), ..., (xN, yN), que se distribuyen de forma
lineal (rectilÃ−nea) como aparecen reflejados en la figura, y queremos determinar la recta que mejor
representa a esos datos experimentales:
y = bx + a (29)
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Tendremos que determinar la pendiente b y la ordenada en el origen a de la recta de regresión (29), de forma
que los puntos experimentales queden distribuidos a ambos lados de la recta, y lo más cercanos a ella. Para
un par de valores (xi, yi), la desviación entre la recta de ajuste y dicho punto será (véase figura ), yi - bxi
- a. La mejor recta de ajuste a los datos experimentales será aquella en la que la suma de cuadrados de las
distancias de los puntos experimentales a ella, según el eje de ordenadas, sea mÃ−nimo. Por tanto, los
mejores valores de b y a serán aquellos que verifiquen que
(30)
sea mÃ−nimo. De aquÃ− proviene el nombre de ajuste de una recta por el método de los mÃ−nimos
cuadrados.
La condición anterior implica que
(31)
Es decir, tenemos dos ecuaciones que conducen de forma inmediata a calcular los valores de las dos
incógnitas, b y a. El resultado es
(32)
Donde N es el número de pares de medidas empleados para el ajuste.
Si la recta pasa por el origen de coordenadas, se cumple que a=0 y la pendiente puede calcularse de la
siguiente forma:
(33)
Los resultados experimentales pueden o no ajustarse a una recta, existe una forma matemática de determinar
la idoneidad del ajuste por regresión lineal. Basándonos en un Ã−ndice estadÃ−stico llamado Coeficiente
de Correlación, cuyo valor está comprendido entre ±1. Cuanto más se aproxime a uno en valor
absoluto, mejor será el ajuste. En coeficiente de correlación se define de la siguiente forma:
(34)
Mediciones muy correlacionadas. Mediciones muy poco correlacionadas.
Cálculo del error en a y b
Para estimar el error en los parámetros a y b, puede suponerse que los errores en la variable x son
despreciables frente a los de la variable y. Aplicando entonces la propagación de errores (11) a las
expresiones (31), se encuentra que el error viene dado por:
(35)
donde
(36)
Existe un método sencillo para calcular los errores de la pendiente y de la ordenada en el origen, mediante
una relación estadÃ−stica con el coeficiente de correlación.
14
(37)
donde N es el número de puntos.
3.3. Realización de las memorias de laboratorio.
Una memoria de laboratorio completa consta de los siguientes apartados:
• Fundamento teórico. Brevemente se debe hacer constar la base teórica en la que se apoya la práctica
realizada. También debe incluir una breve descripción del método utilizado.
• Presentación de datos. En esta parte se incluyen las tablas con los valores obtenidos en el laboratorio. Se
debe indicar el número de medidas realizadas y el error experimental de las mismas. Las magnitudes
medidas deben estar expresadas correctamente en sus unidades.
• Resultados. Los resultados son el objetivo final de la práctica y se obtienen después del correcto
tratamiento de datos. Estos resultados deben expresarse como se ha establecido en las secciones anteriores.
En su expresión siempre se debe incluir el error correspondiente y las unidades. En esta sección deben
incluirse aquellas representaciones gráficas que sean precisas para la interpretación de resultados.
• Comentario crÃ−tico. En esta sección se deben discutir las cuestiones propuestas en el guión y además
el estudiante debe incluir su valoración de la práctica, comentando las dificultades que se hayan podido
encontrar. En caso de que los resultados no sean del todo satisfactorios, se deben discutir las causas de la
discordancia con los resultados esperados y se deben ofrecer alternativas que subsanen dichos fallos.
• Apéndice con el cálculo de errores. El cálculo de errores completo debe incluirse en un apéndice en
la parte final de la práctica.
• BibliografÃ−a. Donde se haga constar los libros consultados en la realización de la memoria.
Vocabulario inglés-español
Uncertainty - incertidumbre
Accuracy - exactitud
Precision - precisión
Ejemplos del criterio de redondeo de una medida
1.45854 a 4 cifras 1.4585
a 3 cifras 1.459
a 2 cifras 1.46
Ejemplos de expresión de los resultados de una medida
Si en la medida de una fuerza se ha obtenido debe expresarse como
F = 45 060 N con incertidumbre 346.6 N F= (45.1 ± 0.3) x 103 N
F = 0.34573 N con incertidumbre 0.00237 N F= 0.346 ± 0.002 N
(34.6 ± 0.2) x 10-2 N
• CUESTIONES Y PROBLEMAS
15
1. En las ecuaciones siguientes, x es una distancia, t es un tiempo y v una velocidad
a) x = C1 + C2 t b) x = C1 t2/2 c) v2 = 2 C1 x
d) x = C1 sen(C2 t) e) v = C1 cos(C2 t) f) v = C1 e â
C2 t
Halla las dimensiones, en el SI, de las constantes C1 y C2 en cada ecuación.
2. Entre las diferentes formas de expresar un trabajo en FÃ−sica se encuentran las siguientes:
EnergÃ−a cinética = m v2/2 ; EnergÃ−a potencial = mgh ; Trabajo termodinámico = pV
Demuestra que todas ellas tienen las mismas dimensiones.
3. Halla las dimensiones y las unidades SI de la constante G de la ley de gravitación universal. Sol: Mâ
L3 Tâ 2
1
4. El perÃ−odo (T) de un péndulo simple depende de la longitud del péndulo (l) y la aceleración (g) de
la gravedad. Encuentra la combinación de l y g que tiene las mismas dimensiones que T. Sol:
5. Utilizando análisis dimensional obtén la relación que nos da la fuerza F que hay que aplicar a un
cuerpo de masa m para que describa un movimiento circular uniforme de velocidad v y radio R. Sol: m v2/R
6. Calcula la sección transversal de un hilo si su diámetro mide 0,69 mm ¿Cuánto vale el error relativo?
Sol: 0,37 mm2; 3%
7. La obtención de constantes o parámetros caracterÃ−sticos puede simplificarse al transformar una
gráfica no lineal en otra lineal mediante un cambio de variable. Discute los cambios apropiados en los casos
siguientes:
a) p = k/V b) F = k/r2 c) U = kx2/2 d) e) pVγ = k
8. La resistividad (ϔ) de un material conductor se pude determinar a partir de la expresión R = ϔ L/S donde
R es la resistencia eléctrica que presenta un cable de este conductor de longitud L y de sección transversal
uniforme S. Para obtener su valor se hace pasar una corriente eléctrica por un cable de longitud 2,00 m y
diámetro 0,69 mm y se mide la corriente (I) para distintos voltajes (V) en los extremos del cable
V (V)
0,50
0.70
1,00
1,10
1,4
1,9
2,1
2,3
I (A)
0,18
0,24
0,36
0,40
0,50
0,68
0,76
0,82
• Representa las medidas utilizando escalas lineales, b) obtén la resistencia de la gráfica ajustando las
medidas por una lÃ−nea recta (ley de Ohm) y c) calcula el valor de la resistividad. Sol: b) 2,8 Ω, c)
51·10â 8 Ω·m
9. La tabla adjunta contiene las medidas del perÃ−odo T del movimiento de un cuerpo de masa m en función
de la masa del cuerpo
m (kg) 0,100
0.200
0,40
0,50
0,75
1,00
1,50
T (s)
0,56
0,83
1,05
1,28
1,55
1,75
2,22
Las medidas están de acuerdo con una ecuación de la forma donde k es la constante elástica del muelle. a)
Representa T y T2 en función de m y b) ajusta la segunda representación por una lÃ−nea recta y calcula el
valor de k a partir de su pendiente. Sol: b) k = 12 N/m
16
10. En los siguientes ejemplos Z es una función de las variables medidas directamente A,B,.... Calcular el
valor de Z, junto con su error Î Z, para los valores dados de las otras:
a) Z= A2 ; A=25±1
• Z=A-2B; A=100±3 ; B=45±2.
• Z= (A/B)(C2+D3/2) ; A=0,100±0,003; B=1,00±0,005; C=50,0±0,5; D=100±8.
• Z=AlnB; A=10,00±0,06; B=100±2
• Z=1-(1/A); A=50±2
Sol: 630±50; 10±7; 350±50; 46,1±0,5; 0,9800±0,0008
11. Una barra metálica rectangular de masa M tiene las dimensiones a, b, c. El momento de inercia I
alrededor de un eje en el centro de la cara ab y perpendicular a ésta es: I=(M/12)(a2+b2). Los valores de
dichos parámetros son:
M= 135,0±0,1 g; a= 80±1 mm; b= 10±1 mm; c=20,00±0,01 mm.
¿Cuál es el error relativo de (1) la densidad del material, y (2) del momento de inercia calculados a partir
de los datos anteriores? Sol: (1) 10%; (2) 3%.
12. La ley de Lambert-Beer indica que la intensidad de la radiación transmitida, I, al incidir un haz de luz
sobre cierto material de espesor x viene dada por la expresión:
donde I0 es la intensidad de la radiación incidente y μ es el coeficiente de absorción lineal del material. Se
obtuvieron experimentalmente los siguientes valores: I= (0,926±0,010)â 1010 Wm-2; I0=
(2,026±0,012)â 1010 Wm-2; x = (10,00±0,02) mm. Calcular el valor de μ y su errores absoluto y
relativo. Sol: (78±2) m-1; 3%.
• Determinar la suma de 1,040 + 0,21342 Sol.: 1,253
• Determinar los resultados de las siguientes operaciones:
• 1,58 x 0,03 b) 1,4 + 2,53 c) 2,34 x 102 + 4,93
Sol.: 0,05; 3.9; 239 ó 2,39 â
102
• ¿Con cuántas cifras decimales debemos tomar el nº ï”° para expresarlo con un error menor del 1%?
¿y del 0,001%? Sol.: 2 cifras decimales; 5 cifras decimales.
• Con una regla dividida en milÃ−metros se mide el diámetro de una circunferencia que es de unos 7 cm.
¿Qué error se cometerá al calcular el área? Sol.: 3%
• Con un metro dividido en milÃ−metros se determinan las dimensiones de un tablero que son 2,410 x 1,210
metros. Determinar el error relativo de su superficie. Sol.: 0,12%
• Ordena de mayor a menor precisión las medidas realizadas, para 20 cm, 20 s y 20 g, con los siguientes
instrumentos:
• una regla dividida en milÃ−metros Sol.: 0,5%
• un cronómetros que aprecia segundos. Sol.: 5%
• Una balanza que aprecia miligramos. Sol.: 0,005%
• El volumen de una esfera es V = 4/3 ï”°r3. Si su diámetro es D= (5,0±0,1) cm, calcular el error que se
comete al hallar su volumen. Sol.: 6%
• De acuerdo con la figura:
• ¿Cuál es la relación matemática entre A y t que se deduce de la gráfica?
• ¿Es la relación lineal?
• ¿Se ha realizado un cambio de variable?
17
• ¿Cuál es el significado de R2?
• Si A = 20, ¿cuánto vale t?
Departamento de FÃ−sica y ATC
DIVISIÃ N DE FÃ SICA APLICADA
Versión 20/07/2011
División de FÃ−sica Aplicada
FAFQ. Tema II. Mecánica de Fluidos
2
Versión 20/07/2011
FAFQ tema I : magnitudes fÃ−sicas 10
División de FÃ−sica Aplicada
FAFQ tema I : magnitudes fÃ−sicas 2
Ejemplo 1:
Supongamos que deseamos medir el tiempo empleado por una esfera en caer desde una cierta altura, y
utilizamos para ello un cronómetro que atrasa. El tiempo que midamos con ese cronómetro tenderá a ser
menor que el verdadero valor. En consecuencia, nuestros resultados estarán sometidos a una causa de error
sistemáticamente dirigida hacia la obtención de valores menores que el real.
Ejemplo 2.
Supongamos de nuevo que deseamos medir el tiempo empleado por una esfera en caer desde una cierta
distancia. Aunque usemos un cronómetro que funciona correctamente, el observador nunca podrá poner en
marcha el cronómetro exactamente en el momento en que se inicia el movimiento de caÃ−da de la bola.
Unas veces se retrasará ligeramente al hacerlo y otras veces se adelantará. Lo mismo ocurrirá al detener el
cronómetro. Además, cualquier fenómeno externo (pequeñas corrientes de aire, fluctuaciones de
temperatura...) puede afectar de forma impredecible el resultado de la medida. Como consecuencia, el valor
medido se desviará del verdadero valor de forma aleatoria. Si repetimos varias veces la medida de esa
magnitud, encontraremos que el resultado no es siempre el mismo.
Ejemplo 3.
Números incorrectos
7.3±0.006
22.33±0.2
0.0002833±0.0000215
485873±3229
(3.99±0.28)x10-6
(4.1234±0.129 )x103
3.418±0.123
Números correctos
7.300±0.006
22.3±0.2
0.00028±0.00002
486000±3000
(4.0±0.3)x10-6
(4.12±0.13 )x103
3.42±0.12
18
15.21±1.963
Figura 3
15.2±2.0
t
f
Ejemplo 6.
Al medir repetidamente el tiempo empleado por una esfera en caer desde un metro de altura, hemos obtenido
los valores t1, t2, t3,...tN reflejados en la tabla siguiente :
0.46
0.44
0.43
0.45
0.46
0.46
0.45
0.44
0.45
0.47
0.44
Disponemos, por tanto, de una muestra con N=12 medidas cuyas frecuencias están distribuidas del siguiente
modo :
t(s)
0.45
n = número de medidas
f=n/N
con ese valor
0.43
1
1/12
0.44
3
3/12
0.45
4
4/12
0.46
3
3/12
0.47
1
1/12
El histograma de frecuencias correspondiente serÃ−a el mostrado en la figura 2.
t(s)
Figura 3
Nota práctica
Para hallar el valor experimental de una magnitud fÃ−sica es frecuente realizar un conjunto de medidas
experimentales repetitivas obteniendo para cada una de ellas un determinado valor. El procedimiento para
encontrar el valor buscado junto con su error absoluto, a través de un procedimiento estadÃ−stico, se indica
a continuación.
Sean los valores medidos:
Sea el valor medio:
Sean las diferencias entre cada medida y la media (residuos):
Sea la desviación tÃ−pica N-1, del conjunto de medidas:
Puede tomarse como valor de la magnitud investigada la media de los N datos experimentales determinados y
como su error absoluto el Ã−ndice estadÃ−stico denominado desviación tÃ−pica de la media de la
población,ϕm.
Una estimación de ϕm puede obtenerse a partir de la ecuación:
AsÃ− tenemos que:
19
En resumen, cuando se realicen N medidas experimentales de una magnitud fÃ−sica, el valor resultante de la
misma viene dado por
Nota práctica
Formas de reducir errores aritméticos en las operaciones de ejercicios y laboratorio.
• Evitar cálculos innecesarios. Por ejemplo no cambiar de unidades todos los datos iniciales. Hacerlo para
dar el resultado final en el S.I.
• Operar con letras. Dejar los cálculos numéricos para el final .
• Ser ordenado y sistemático en el desarrollo. Trabajar con tablas por columnas de datos.
• Comprobar y repasar los cálculos. Evaluar lo razonable del resultado y órdenes de magnitud.
• Verificar dimensiones y unidades.
Ejemplo 7.
Si queremos saber el valor de la densidad del agua a 27ºC con su error a partir de la tabla, sabiendo que la
sensibilidad del termómetro es de ±0.1ºC.
T (ºC)
24
Ï”(g/cm3) 0.997323
26
0.996810
28
0.996259
30
0.995971
ϔ(27ºC)=0.99653±0.00003 (g/cm3)
Ejemplo5.
Si calculamos de nuevo el error correspondiente al volumen de un cuerpo cilÃ−ndrico de diámetro D con
este método:
•
Ejemplo 4.
Suponer que deseamos calcular el volumen V de un cuerpo cilÃ−ndrico, a partir de las medidas de su
diámetro d y de su altura h. La relación entre estas magnitudes directas e indirectas, es:
(12)
si de las medidas obtenidas en el laboratorio, resulta que el diámetro viene expresado por d±ε(d) cm, y la
altura del cilindro es h ± ε(h) cm, el valor del volumen del cilindro se obtiene sustituyendo directamente los
valores de las magnitudes directas d y h en la expresión (12). Para calcular el error correspondiente al
volumen, εV, seguiremos el esquema adjunto.
Calculamos las derivadas de f=(/4)d2h con respecto a sus dos variables d y h :
(13)
y sustituimos en la expresión (11), resultando:
(14)
que corresponde al error absoluto del volumen. Por tanto, debemos expresar nuestro resultado final del
volumen del cilindro de la siguiente forma:
20
V ± εV cm3 (15)
z
Nota práctica.
Si z=f(xl, x2, x3...) es una función que contiene únicamente operaciones aritméticas sencillas se deducen
las reglas de uso práctico siguientes:
— En sumas o restas el error absoluto es la suma de los errores absolutos de las medidas directas.
Si z = x1 + x2 ó z = x1 - x2 , se tiene Πz = Πx1 + Πx2
— En productos o cocientes el error relativo es la suma de los errores relativos de las medidas directas.
Si z = x1 · x2 ó z = x1 / x2 , se tiene Πz/z = (Πx1/x1) + (Πx2/x2)
Estas reglas aproximadamente se traducen para operaciones aritméticas directas en
• sumas o restas: el dÃ−gito menos significativo del resultado corresponde al dÃ−gito menos significativo que
sea común a los datos
• productos o cocientes: el número de cifras significativas del resultado es el del factor con menor número
de cifras significativas.
Por ejemplo, al sumar dos resistencias, una de 1,00 kΩ y otra de 56 Ω, escribiremos 1,06 kΩ. Si en el
cálculo de una resistencia (R=V/I), las medidas directas de la intensidad y el voltaje son I = 1,22 A, V = 9,0
V (errores del orden del 1%) la calculadora nos presentará en pantalla 7,3770492 y nosotros escribiremos R
= 7,4 Ω.
Observa que al hacer los cálculos, se aumenta en una unidad la última cifra significativa si la siguiente es 5
o mayor de 5.
Nota práctica
El error debido a las limitaciones del instrumento de medida bien lo facilita el fabricante bien tendremos que
estimarlo nosotros mismos a la vista del instrumento.
Por ejemplo, considerando que los instrumentos se fabrican de manera que el dispositivo indicador tenga una
resolución acorde con su error, en los instrumentos dotados de una escala graduada el error absoluto es del
orden de la división mas pequeña de la escala; en los aparatos con pantalla numérica será del orden
correspondiente a la cifra menos significativa que aparezca.
La mayorÃ−a de los instrumentos suelen tener un error relativo comprendido entre el 1 y el 5%. Esto se
traduce, aproximadamente, en que el número de cifras significativas es 3 si la primera cifra es un 1 o un 2, o,
únicamente, 2 en los demás casos. Algunos instrumentos, llamados de precisión, proporcionan una ó dos
cifras significativas más. En estos casos, suele tratarse de aparatos más caros y delicados, en los que es
necesario seguir un cierto método de trabajo para obtener dicho rendimiento y adoptar una serie de
precauciones para evitar su deterioro.
Al expresar el valor de una medida, no se suele indicar el error de forma explÃ−cita, entendiendo que todas
sus cifras son significativas, esto es, que el error absoluto es del orden de una unidad correspondiente al
21
dÃ−gito menos significativo aunque sea cero.
Por esta razón como medidas fÃ−sicas no tienen el mismo significado 12 cm, 12,0 cm 12,00 cm,...
x
1
2
y=mx+b
z=f(x)
b
x
z
0,0
1
2
z
z
x
x
y
i
y=bx+a
a
x
y
0,0
x
i
22
yi -bxi-a
bxi+a
ε(x)
23