TEMA #1

SOLUCIÓN
TEMA#1
El rectángulo ABCH tiene 96 m de perímetro.
El perímetro del cuadrado DEFG es 3/4 del perímetro de ABCH.
AB = 2 AH y HG = 3 DC. ¿Cuál es la longitud de HG?
Per. Rect.= AB + BC + CH + HA = 96
Per. Cuad. = ¾ (Per. Rect.)
Per. Cuad. = ¾ (96)
Per. Cuad. = 72
Siendo: DE = EF = FG = GD = L
Entonces: 4L = 72, con esto L = 18
2AB + 2AH = 96
2(2AH) + 2AH = 96
6AH = 96
AH = 16
AB = 32
HC = HG + GD + DC
32 = HG + 18 + HG/3
32 – 18 = 4/3HG
14 = 4/3HG
HG=21/2
TEMA#2
Con los dígitos 0–1–2–8, se arman números de cuatro cifras, repetidas o no,
que son divisibles por 4.
¿Cuántos de estos números se pueden armar?
Para que un número sea divisible para 4, sus 2 últimas cifras deben ser “00”
o un múltiplo de 4.
La primera cifra no puede ser “0”, así que la primera cifra puede ser 1, 2 o 8
(3 situaciones), la segunda cifra puede ser 0, 1, 2 o 8 (4 situaciones).
Por otro lado las 2 últimas cifras con el fin que cumplan el criterio de
divisibilidad para 4 pueden ser:
00, 08, 12, 20, 28, 80 y 88 (7 situaciones)
Por lo tanto la cantidad total de números que son múltiplos de 4,es:
3x4x7=84
TEMA#3
Un local que hace fotocopias cobra, por cada una:
$ 0,10 si se piden menos de 100 fotocopias;
$ 0,07 si se piden entre 100 y 199 fotocopias y
$ 0,05 si se piden 200 fotocopias o más.
Esta mañana, entraron 4 clientes que pagaron, en total $ 45.
El primero pidió 65 fotocopias, el segundo pidió el doble que el primero y el
tercero pidió el doble que el segundo.
¿Cuántas fotocopias hizo el cuarto cliente?
Primero se calcula lo que pidieron las 3 primeras personas:
65 x 0.10 = 6.5
130 x 0.70 = 9.1
260 x0.5 = 13
Subtotal = 28.6
El saldo es: 45 – 28.6 = 16.4
Para saber el número de copias que pidió el cuarto cliente, el saldo se lo
divide para cada valor y el resultado debe cumplir la condición de cada
situación, es decir:
16.4/0.10 = 164 (no cumple debido a que este valor se usa si se pide menos
de 100 fotocopias)
16.4/0.07= 234.28 (no cumple debido a que este valor se usa si se pide
entre 100 y 199 fotocopias)
16.4/0.05= 328 (si cumple debido a que este valor es superior a 200
fotocopias)
Por lo tanto el número de fotocopias que pidió el cuarto cliente es 328
TEMA#4
Consideremos 48 canicas repartidas en tres montones A, B y C de manera
que si del montón A pasamos al B tantas canicas como hay en el B, luego del
B pasamos al C tantas canicas como hay en el C y del C pasamos al A tantas
como existen ahora en el A, tendremos el mismo número de canicas en cada
montón. ¿Cuántas canicas había al principio en el montón A?
Este problema se recomienda resolverlo en sentido inverso. Es decir:
Cada montón, al final, tenía 16 canicas (en total había 48 y cada uno tenía el
mismo número de canicas). El montón A tenía 16 canicas y, como del C
pasamos al A tantas canicas como éste tenía, el A tenía 8 y le pasamos 8
canicas del C, luego el C tenía 16+8=24 canicas. Del B pasamos al C tantas
canicas como había en el C, entonces pasamos 24/2=12 canicas del B al C, y
el B tenía 16+12=28 canicas. Por último, del A pasamos al B tantas canicas
como éste tenía, entonces pasamos 28/2=14 canicas del A al B, luego el A
tenía 14+8=22 canicas. Por lo tanto, había al principio 22 canicas en el
montón A.
TEMA#5
Un zoológico tiene forma hexagonal con celdas que son triángulos
equiláteros de lado 10, como en la figura. En este zoológico se quieren poner
1000 animales salvajes; por seguridad no puede haber dos animales en una
misma celda y si una celda está ocupada ninguna de las que comparte un lado
con ella puede estarlo. ¿Cuánto mide el lado del hexágono más pequeño que
tiene esta propiedad?
Si agrupamos las celdas por parejas según vértices vecinos como se muestra
en la figura (a), sabemos que en cada pareja una celda está ocupada y la otra
no. Así, cuando más, puede usarse la mitad de las celdas del zoológico para
acomodar a todos los animales y, por lo tanto, necesitaremos al menos 2000
celdas para acomodarlos. La figura (b) muestra cómo es posible acomodar
animales en un zoológico hexagonal utilizando la mitad de las celdas. Es fácil
observar que en un triángulo equilátero de lado n hay n2 triángulos de lado 1.
Un hexágono regular está compuesto por 6 triángulos equiláteros, como se
muestra en la figura (c). Como un hexágono de lado n tiene 6n2 celdas
tenemos que 6n2 2000, por lo cual necesitamos n 19, así que 19 es
suficiente.
TEMA#6
Se escriben en sucesión todos los números del 1 al 2005, en orden, uno a
continuación del otro, para formar un número muy grande que llamaremos G
(es decir, G=1234567891011...20042005) ¿Cuál es la cifra central de G?
El número total de cifras de G es
9+2(99-9)+3(999-99)+4(2005-999)=9+180+2700+4024=6913.
Entonces la cifra central está en el lugar ((6913+1)/2)=3457. Para llegar a
esa cifra necesitamos todos los números del 1 al 999 (pues
9+180+2700=2889) y otras 568 cifras más. Como a partir del 1000 todos
los números que se escriben tienen 4 cifras y además 568 es múltiplo de 4,
entonces la cifra buscada es el último dígito del número: (568/4)+999 =
1141
Por lo tanto la cifra es “1”
TEMA#7
Violeta completa una tabla con números. La tabla tiene 7 columnas y muchas
filas. Va poniendo los números en orden, como se ve en la figura.
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17
21
22 23 24
27 28
29 30 31 33 34 35
... ... ... ... ... ... ...
Alejandro tiene un papel como muestra la figura.
Con el papel, tapa una parte del cuadro cubriendo exactamente 6 números.
Por ejemplo, en el caso de la figura, los 6 números tapados son 18, 19, 20,
25, 26 y 32. Los cuales suman 140.
Después de tapar otros 6 números con el papel, la suma de los mismos es
608. De estos 6 números que tapó, ¿cuál es el más grande?
Sea X el primer número que se tapa, en esa misma fila también se van a
tapar otros dos números consecutivos X+1 y X+2. Dado que las filas son de
siete números, los otros números que se tapan son X+7 y X+8, y del mismo
modo en la siguiente fila el último número que se tapa es X+14.
La suma de estos números es:
X + (X+1) + (X+2) + (X+7) + (X+8) + (X+14) = 608
6X + 32 = 608
6X = 608 – 32
6X = 576
X = 96
Gráficamente, se tiene:
… … … … … … …
85 86 87 88 89 90 91
92 93 94 95 96 97 98
99 100 101 102 103 104 105
106 107 108 109 110 111 112
... ...
...
...
...
...
...
Esto quiere decir que los 6 números tapados fueron: 96, 97, 98, 103, 104 y
110. Por lo tanto el más grande es: 110.
TEMA#8
Reemplazando X e Y por dígitos, hallar todos los números de cinco cifras
65X 1Y que son múltiplos de 12.
Para que el número 65X1Y sea múltiplo de 12, debe ser múltiplo de 3 y
también debe ser múltiplo de 4.
Para que 65X1Y sea múltiplo de 4 sus dos últimas cifras de la derecha
deben ser ceros o deben formar un múltiplo de 4; de ahí que Y puede tomar
los valores de 2 y 6.
Por otro lado, para que 65X1Y sea múltiplo de 3 la suma de sus dígitos:
6 + 5 + X + 1 + Y = 12 + X + Y debe ser 3 o un múltiplo de 3.
Ahora se analizan los 2 valores de Y para de esta manera determinar los
correspondientes valores de X:

Para Y = 2
12 + X + Y = 12 + X + 2
= 14 + X
Para que 14 + X sea múltiplo de 3, X debe tomar los valores de 1, 4 y 7.
 Para Y = 6
12 + X + y = 12 + X + 6
= 18 + X
Para que 18 + X sea múltiplo de 3, X debe tomar los valores de 0, 3, 6 y 9.
Por lo tanto los números son:
65112
65412
65712
65016
65316
65616
65916