Problemas de ecuaciones y sistemas (y sus soluciones)

Problemas de ecuaciones y sistemas (y sus soluciones)
EL ARTE DE PLANTEAR ECUACIONES
El idioma del álgebra es la ecuación.
Isaac Newton en su manual de álgebra titulado Aritmética Universal escribió: «Para
resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades basta con
traducir dicho problema, del inglés u otra lengua al idioma algebraico»
También mostró con ejemplos como debía efectuarse dicha traducción. He aquí alguno de
ellos:
EL COMERCIANTE. Escribimos el enunciado directamente en la tabla:
.
EN LA LENGUA VERNÁCULA
EN EL IDIOMA DEL ÁLGEBRA
Un comerciante tenía una determinada suma de
dinero
x
El primer año se gastó 100 libras
x - 100
Aumentó el resto con un tercio de éste
(x-100) + (x-100)/3 = (4x-400)/3
Al año siguiente volvió a gastar 100 libras
(4x-400)/3 - 100 = (4x-700)/3
y aumentó la suma restante en un tercio de ella
(4x-700)/3 + (4x-700)/9 = (16x-2800)/9
El tercer año gastó de nuevo 100 libras
(16x-2800)/9 - 100 = (16x-3700)/9
Después de que hubo agregado su tercera parte
(16x-3700)/9 + (16x-3700)/27 = (64x-14800)/27
El capital llegó al doble del inicial
(64x-14800)/27 = 2x
Para determinar cuál es el capital inicial del comerciante no queda más que resolver la última
ecuación: 64x - 14800 = 54x, 10x = 14800, x=1480.
La solución de una ecuación es, con frecuencia, tarea fácil; en cambio, plantear la ecuación a
base de los datos de un problema suele ser más difícil.
Hemos visto que el arte de plantear ecuaciones consiste, efectivamente, en traducir «la lengua
vernácula a la algebraica». Pero el idioma del álgebra es lacónico en extremo, por eso no todos
los giros del idioma materno son de fácil traducción. Las traducciones pueden ser muy distintas
por el grado de su dificultad, como se verá.
Los problemas que aparecerán a continuación serán más o menos originales, por su
enunciado, por el procedimiento de resolución, por la solución, etc. etc.
No siempre se darán las soluciones de forma algebraica.
1. LA VIDA DE DIOFANTO. La historia ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto,
notable matemático de la antigüedad. Todo lo que se conoce acerca de él ha sido tomado de la
dedicatoria que figura en su sepulcro, inscripción compuesta en forma de ejercicio matemático.
Reproducimos esta inscripción:
EN LA LENGUA VERNÁCULA
EN EL IDIOMA DEL ÁLGEBRA
¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de
Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh
x
milagro!, cuán larga fue su vida,
cuya sexta parte constituyó su infancia.
x/6
Había transcurrido además una duodécima parte
de su vida, cuando de vello cubriose su barbilla.
x/12
Y la séptima parte de su existencia transcurrió en
un matrimonio estéril.
x/7
Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el
nacimiento de su precioso primogénito,
5
que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, que
duró tan sólo la mitad de la de su padre a la tierra.
x/2
Y con profunda pena descendió a la sepultura,
habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su
hijo.
x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4
2. EL CABALLO Y EL MULO. Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus
lomos pesados sacos. Lamentábase el jamelgo de su enojosa carga, a lo que el mulo le dijo: «¿De
qué te quejas? Si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble que la tuya. En cambio, si yo te
doy un saco, tu carga se igualaría a la mía». ¿Cuántos sacos llevaba el caballo, y cuántos el
mulo?
EN LA LENGUA VERNÁCULA
EN EL IDIOMA DEL ÁLGEBRA
Si yo te tomara un saco
x-1
mi carga
y+1
sería el doble que la tuya.
y + 1 = 2 (x - 1)
Y si te doy un saco,
y-1
tu carga
x+1
se igualaría a la mía
y-1=x+1
3. LOS CUATRO HERMANOS. Cuatro hermanos tienen 45 duros. Si el dinero del primero se
aumenta en 2 duros, el del segundo se reduce en 2 duros, el del tercero se duplica y el del cuarto
se reduce a la mitad, todos los hermanos tendrán la misma cantidad de duros. ¿Cuánto dinero
tenía cada uno?
EN LA LENGUA VERNÁCULA
EN EL IDIOMA DEL ÁLGEBRA
Los cuatro hermanos tienen 45 duros.
x + y + z + t = 45
Si al dinero del primero se le agregan 2 duros
x+2
al del segundo se restan 2 duros
y-2
el del tercero se duplica
2z
y el del cuarto se divide por, dos,
t/2
a todos les quedará la misma cantidad de duros.
x+2 = y-2 = 2z = t/2
4. EL REBAÑO MÁS PEQUEÑO. Un granjero que tiene un rebaño de ovejas muy numeroso
descubre una gran singularidad con respecto a su número. Si las cuenta de dos en dos, le sobra 1.
Lo mismo ocurre cuando las cuenta de 3 en 3, de 4 en 4, etc.... hasta de 10 en 10. ¿Cuál es el
rebaño más pequeño que se ajusta a estas condiciones?
5. COMERCIANTES DE VINOS. Dos comerciantes de vinos entraron en París llevando 64 y
20 barriles de vino respectivamente. Como no tenían dinero suficiente para pagar los derechos
de aduana, el primero de ellos dio 5 barriles y 40 francos, mientras que el segundo dio 2 barriles,
recibiendo 40 francos como cambio. ¿Cuál era el precio de cada barril y su impuesto aduanero?
6. EL PRECIO DE LOS HUEVOS. La señora Rogelia compró un cierto número de huevos,
por los que pagó 60 ptas. Al volver a casa se le cayó la cesta rompiéndosele 2 huevos, con lo que
el precio le resultó 12 ptas. más caro por docena, con respecto al que pagó inicialmente en el
supermercado. ¿Cuántos huevos compró la señora Rogelia?
7. LOS DIEZ ANIMALES. Cincuenta y seis galletas han de servir de comida a diez animales;
cada animal es un perro o un gato. Cada perro ha de obtener seis galletas y cada gato, cinco.
¿Cuántos perros y cuántos gatos hay?
8. LOROS Y PERIQUITOS. Cierta tienda de animales vende loros y periquitos; cada loro se
vende a dos veces el precio de un periquito. Entró una señora y compró cinco loros y tres
pequeños. Si en vez de eso hubiese comprado tres loros y cinco periquitos habría gastado 20
dólares menos. ¿Cuál es el precio de cada pájaro?
9. COCHES Y MOTOS. En un taller fueron reparados 40 vehículos, entre coches y motos. El
número total de ruedas de los vehículos reparados fue de 100. ¿Cuántos coches y cuántas motos
se repararon?
10. MONDANDO PATATAS. Dos personas mondaron 400 patatas; una de ellas mondaba tres
patatas por minuto, la otra dos. La segunda trabajó 25 minutos más que la primera. ¿Cuánto
tiempo trabajó cada una?
11. EL PRECIO DE LOS LIMONES. Tres docenas de limones cuestan tantos duros como
limones dan por 16 duros. ¿Cuánto vale la docena de limones?
12. LA MÁQUINA DE PETACOS. Unos amigos, antes de echar una moneda en una máquina
de petacos, han calculado que, para hacer partida, tienen que conseguir 392.750 puntos cada
uno. Uno de ellos ha tenido que marcharse antes de comenzar a jugar con lo que, para obtener la
deseada partida, los restantes amigos deben de conseguir 471.300 puntos cada uno. ¿Cuántos
eran, inicialmente, los amigos? ¿Cuántos puntos necesitan para hacer partida?
13. TINTEROS Y CUADERNOS. Antonio ha comprado 5 tinteros y 4 cuadernos por 70 ptas.
Luis ha pagado 46 ptas. por 3 tinteros y 4 cuadernos. ¿Cuánto vale un tintero y un cuaderno?
14. LA BALANZA Y LAS FRUTAS. Sabiendo que 3 manzanas y una pera pesan lo mismo que
10 melocotones, y 6 melocotones y una manzana pesan lo mismo que una pera. ¿Cuántos
melocotones serán necesarios para equilibrar una pera?
15. VENTA DE HUEVOS. Una campesina llegó al mercado a vender huevos. La primera
clienta le compró la mitad de todos los huevos más medio huevo. La segunda clienta adquirió la
mitad de los huevos que le quedaban más medio huevo. La tercera clienta sólo compró un huevo.
Con esto terminó la venta, porque la campesina no tenía más huevos. ¿Cuántos huevos llevó al
mercado la campesina?
16. LAS MANZANAS DEL HORTELANO. Un hortelano lleva un canasto con manzanas.
Encuentra a tres amigos y las da, al primero, la mitad de las manzanas más dos; al segundo, la
mitad de las que le quedan más dos y, al tercero, la mitad de las sobrantes más dos. Aún sobró
una manzana. ¿Cuántas llevaba al principio?
17. LAS TIERRAS DEL GRANJERO. Un granjero tenía algunas tierras. Un tercio lo
destinaba al cultivo del trigo, un cuarto al cultivo de guisantes, un quinto al cultivo de judías, y
en las veintiséis hectáreas restantes cultivaba maíz. ¿Cuántas hectáreas tenía en total?
18. PASTELES PARA LOS INVITADOS. Cierto día Ana estaba atendiendo a 30 invitados.
Tenía 100 pasteles para repartir entre ellos. En lugar de cortar ningún .pastel a trozos, decidió
dar 4 pasteles a cada uno de los invitados preferidos, y tres a cada uno de los demás invitados.
¿Cuántos eran sus invitados preferidos?
19. LOS PASTELES. Ana y Carlos están merendando pasteles. Ana tiene el triple que Carlos.
Carlos no estaba muy conforme. A regañadientes, Ana, dio uno de sus pasteles a Carlos. Ahora
todavía tenía el doble que Carlos. ¿Cuántos pasteles más tiene que darle Ana a Carlos para que
cada uno tenga los mismos? ¿Cuántos pasteles había en total?
20. MÁS PASTELES. Ana tiene triple de pasteles que Carlos. Diego tiene la mitad que Carlos.
Ana tiene 16 pasteles más que Carlos. ¿Cuántos pasteles tiene cada uno?
21. VENGA PASTELES. Carlos se comió 5/16 de los pasteles que había en la mesa. A
continuación Diego se comió 7/11 de los pasteles restantes. Quedaron 8 pasteles para Ana.
¿Cuántos pasteles comió cada uno de los otros dos?
22. PASTELES GRANDES Y PEQUEÑOS. Un pastel grande cuesta lo mismo que tres
pequeños. Siete grandes y cuatro pequeños cuestas 12 ptas. más que cuatro grandes y siete
pequeños. ¿Cuánto cuesta un pastel grande?
23. SOLDADOS DEL REGIMIENTO. En un regimiento hay 4.000 soldados. Se licencian un
cierto número de ellos. De los que quedan sabemos que el 63,636363...% tiene carnet de conducir
y que el 92,2297297297...% no usa gafas. ¿Cuántos soldados se licenciaron?
24. ENCUESTA SOBRE EL VINO. Se hace una encuesta para saber si es rentable
comercializar vino en polvo y vino en cubitos con los siguientes resultados: El 72,727272...% de
las personas encuestadas no compraría vino en polvo y, el 74,594594...% de las personas
encuestadas, no compraría vino en cubitos. ¿Cuál es el número mínimo de personas a las que se
pasó la encuesta?
25. LA REVENTA. Manuel ha comprado dos entradas para ir al fútbol con un 10% de
recargo. Si las vende ahora con un 15% de incremento sobre el precio de taquilla, se gana un 5%
sobre el recargo que pagó. ¿De acuerdo?
26. ENCARECER UN 10% Y ABARATAR UN 10%. Una mercancía encareció un 10% y
luego abarató en un 10%. ¿Cuándo era más barata, antes de encarecerla o después de
abaratarla?
27. ABARATAR UN 10% Y ENCARECER UN 10%. Una mercancía se abarató un 10% y
luego se encareció en un 10%. ¿Cuándo era más barata, antes de abaratarla o después de
encarecerla?
28. GANANCIA Y PERDIDA EN LA VENTA DE LOS CUADROS. Un tratante de arte
americano vendió un día dos cuadros por novecientos noventa dólares cada uno. Con uno sacó
un beneficio del 10% y con el otro sufrió una pérdida del 10%. "Eso significa que hoy me he
quedado igual que estaba", se dijo. ¿Estaba en lo cierto?
29. HÁMSTERES Y PERIQUITOS. El dueño de una pajarería compró cierto número de
hámsteres y la mitad de ese número de parejas de periquitos. Pagó los hámsteres a 200 pesetas
cada uno, y 100 por cada periquito. Para su venta al público, recargó el precio de compra en un
10 por ciento. Cuando tan sólo le quedaban siete animalitos por vender, descubrió que había
recibido por los ya vendidos exactamente lo mismo que había pagado por todos ellos
inicialmente. Su posible beneficio viene, pues, dado por el valor colectivo de los siete animales
restante. ¿Cuál es el posible beneficio?
30. PASTELES SOBRE LA MESA. Sobre la mesa había una cierta cantidad de pasteles. Ana
se comió la mitad y uno más. Blas se comió la mitad de los que quedaban y uno más. Carlos se
comió la mitad de los que quedaban y uno más. Diego se comió la mitad de los que quedaban y
uno más. Con esto se acabaron los pasteles. ¿Cuántos había sobre la mesa?
31. PASTELES COMO PAGO. Una empresa contrató a un empleado para trabajar durante
26 días. Estipularon que por cada día que trabajara, recibiría 3 pasteles, pero por cada día que
holgazaneara no sólo no recibiría ninguno, sino que tendría que darle uno a la empresa. El
empleado terminó ganando 62 pasteles. ¿Cuántos días trabajó?
32. OPOSICIONES AL AYUNTAMIENTO. A unas oposiciones al Ayuntamiento de
Salamanca, se presentaron 37 candidatos. Todos los residentes en Salamanca capital
consiguieron plaza y su número representaba el 95% del total de aprobados.
¿Cuántos aprobaron y cuántos eran de Salamanca capital?
33. EL MANOJO DE ESPÁRRAGOS. Una verdulera de legumbres tenía la costumbre de atar
sus espárragos con un bramante de 30 cm. de longitud y formaba así manojos que vendía a 80
ptas. cada uno. Cómo esos manojos le parecían demasiado pequeños, dio en utilizar bramantes
de doble longitud y, en consecuencia, vendía sus manojos de espárragos a 160 ptas. cada uno.
¿Calculaba bien la verdulera? ¿Qué precio debería pedir por cada manojo de espárragos?
34. MIDIENDO UN CABLE. Al tratar de medir un cable que tenía en casa, observé lo
siguiente: Si medía de 2 en 2 metros me sobraba 1 metro. Si medía de 3 en 3 metros me sobraban
2 metros. Si de 4 en 4 me sobraban 3 metros. Si de 5 en 5 me sobraban 4 metros. Si de 6 en 6 me
sobraban 5 metros. Estaba seguro de que el cable medía menos de 100 metros. ¿Cuántos metros
medía?
35. VESTIDOS A GOGÓ. Sonia tiene un número de vestidos igual a los que posee Alicia
divididos por los que tiene Ana. Alicia posee 42, pero tendría 8 veces los que tiene Gema si
tuviera 14 más. ¿Cuántos vestidos tiene Sonia?
36. LOS DOS BEBEDORES. Un inglés y un alemán beben de un barril de cerveza por espacio
de dos horas, al cabo de las cuales el inglés se queda dormido y el alemán se bebe lo que resta en
2 horas y 48 minutos; pero si el alemán se hubiera dormido en vez del inglés y éste hubiese
continuado bebiendo, habría tardado en vaciar el barril 4 horas y 40 minutos. ¿En cuánto
tiempo se lo hubiera bebido cada uno?
37. JUEGO EN FAMILIA. Mis amigos Juan y Pablo, con nuestros hijos Julio, José y Luis,
disparamos con dardos sobre una diana con número en cada casilla. Cada uno marcó en cada
tiro tantos puntos como tiros hizo (es decir: si alguien tiró 10 tiros anotó diez puntos en cada
tiro). Cada padre se anotó 45 puntos más que su hijo. Yo disparé 7 tiros más que Luis y Julio 15
más que Pablo. ¿Cómo se llama mi hijo? ¿Quién es el hijo de Juan? ¿Cuántos puntos se
marcaron? ¿Cuántos tiros se tiraron?
38. EL VASO DE VINO. Paco llena un vaso de vino y bebe una cuarta parte; vuelve a llenarlo
con agua y bebe una tercera parte de la mezcla. Lo llena por segunda vez de agua y entonces
bebe la mitad del vaso. ¿Cuánto vino puro le queda por beber, considerando la capacidad del
vaso?
39. LAS CHOVAS Y LAS ESTACAS. Llegaron las chovas y se posaron en estacas. Si en cada
estaca se posa una chova, hay una chova que se queda sin estaca. Pero si en cada estaca se posan
dos chovas en una de las estacas no habrá chova. ¿Cuántas eran las chovas y cuántas las estacas?
40. LIBROS DESHOJADOS. Un escritor ha compuesto dos libros que suman, entre los dos,
356 páginas. El formato del primero es de 20x15 cm., y el del segundo de 17x12. Si extendiesen
las hojas de los dos libros, cubrirían 4'2264 m². ¿Cuántas páginas tiene cada libro?
41. LA CUADRILLA DE SEGADORES. Una cuadrilla de segadores debía segar dos prados,
uno tenía doble superficie que el otro. Durante medio día trabajó todo el personal de la cuadrilla
en el prado grande; después de la comida, una mitad de la gente quedó en el prado grande; y la
otra mitad trabajó en el pequeño. Durante esa tarde fueron terminadas las dos siegas, a
excepción de un reducido sector del prado pequeño, cuya siega ocupó el día siguiente completo a
un solo segador. ¿Cuántos segadores componían la cuadrilla?
42. EL TRUEQUE EN EL AMAZONAS. En una tribu del Amazonas, donde todavía subsiste
el trueque, se tienen las siguientes equivalencias de cambio:
a) Un collar y un escudo se cambian por una lanza.
b) Una lanza se cambia por tres cuchillos.
c) Dos escudos se cambian por tres cuchillos.
¿A cuántos collares equivale una lanza?
43. NEGOCIANDO POLLOS. Un granjero y su buena esposa están en el mercado para
negociar sus aves de corral por ganado, sobre la base de que 85 pollos equivalen a un caballo y
una vaca. Se supone que 5 caballos tienen el mismo valor que 12 vacas.
Esposa: Llevemos otros tantos caballos como los que ya hemos elegido. Entonces tendremos
tan sólo 17 caballos y vacas que alimentar durante el invierno.
Granjero: Creo que deberíamos tener más vacas que esas. Más aún, creo que si
duplicáramos el número de vacas que hemos elegido, tendríamos en total 19 vacas y caballos, y
tendríamos la cantidad exacta de pollos para hacer el canje.
¿Cuántos pollos llevaron al mercado el granjero y su esposa?
44. PAGO EXACTO Y PUNTUAL. Un hombre tomó una posada por 30 días, por precio de un
denario cada día. Este huésped no tenía otro dinero, sino 5 piezas de plata que todas ellas valían
30 denarios. Y con estas piezas cada día pagaba la posada, y no le quedaba debiendo nada a la
patrona, ni ella a él. ¿Cuántos denarios valía cada pieza? ¿Cómo se pagaba con ella?
45. EL REPARTO DE LA HERENCIA. Un padre, al morir, dejó establecido que el hijo mayor
recibiría 100.000 ptas. más la quinta parte del resto. El siguiente 200.000 ptas. más la quinta
parte del nuevo resto. Y en la misma forma cada hijo iría recibiendo 100.000 más que el anterior
y la quinta parte del resto. Al final todos recibieron igual cantidad. ¿Cuántos herederos había y
qué cantidad recibió cada uno?
46. SE QUEDÓ SIN DISCOS. Antonio repartió entre sus amigos los discos que tenía. A uno le
regaló un disco y 1/7 de los restantes, a otro dos discos y 1/7 de todos los restantes, a un tercero,
tres discos y 1/7 de los restantes y así sucesivamente, hasta que repartió todos sus discos.
Curiosamente todos los amigos recibieron la misma cantidad de discos. ¿Cuántos discos tenía y
entre cuántos amigos los repartió?
47. TRANSPORTE DE UN TESORO. Cuatro muchachos se encontraron un enorme tesoro de
monedas de oro. De primera intención los cuatro cargaron con pesos iguales, pero los tres
mayores vieron que podían con más, y aumentaron su carga con la mitad de lo que habían
tomado. Todavía los dos mayores se vieron capaces de aumentar su carga con un tercio de la que
ya llevaban y así lo hicieron. Pero al cargarlo de nuevo, el mayor se atrevió aún a añadir una
quinta parte más de lo que llevaba. En total se llevaron entre los cuatro 138 kg. de oro. ¿Cuánto
cargó cada uno?
48. NEGOCIANTE METÓDICO. Un negociante separa al principio de cada año 100 dólares
para los gastos del año y aumenta todos los años su capital en 1/3. Al cabo de 3 años se encuentra
duplicado su capital. ¿Cuál era el capital al empezar el primero de estos años?
49. EL REPARTO DE LAS CASTAÑAS. Tras recoger 770 castañas, tres niñas las repartieron
de modo que las cantidades recibidas guardaran la misma proporción que sus edades. Cada vez
que María se quedaba con 4 castañas, Lola tomaba 3, y por cada 6 que recibía María, Susana
tomaba 7. ¿Cuántas castañas recibió cada niña?
50. LAS MANZANAS DEL HORTELANO. Un hortelano lleva un canasto con manzanas.
Encuentra a tres amigos y las da, al primero, la mitad de las manzanas más dos; al segundo, la
mitad de las que le quedan más dos y, al tercero, la mitad de las sobrantes más dos. Aún sobró
una manzana. ¿Cuántas llevaba al principio?
51. LOS LADRONES Y LOS CUADROS. El jefe de unos bandidos decía a sus hombres:
"Hemos robado unas piezas de tela. Si cada uno de nosotros toma seis, quedarán cinco piezas.
Pero si cada uno de nosotros quiere siete, nos faltarían ocho"
¿Cuántos eran los ladrones? (Resolverlo sin utilizar el álgebra)
52. LOS LADRONES Y LAS CÁMARAS DE FOTOS. En una banda de ladrones cada uno
tenía un grado diferente. Una noche después de haber robado una partida de cámaras
fotográficas, el jefe les dijo: "El de menor grado se quedará con una cámara, el del grado
inmediatamente superior se quedará con dos, el de tercer grado con tres y así sucesivamnente".
Los ladrones se rebelaron contra esta injusticia y el más audaz de ellos dijo: "Tomaremos
cinco cámaras cada uno". Y así se hizo. ¿Cuántas cámaras fotográficas habían robado?
53. LOS LADRONES Y LAS TELAS. Unos ladrones robaron varios rollos de tela. Si repartían
6 para cada uno les sobraban 5. Si repartían 7 para cada uno les faltaban 8. ¿Cuántos ladrones y
cuántos rollos de tela había?
54. MAESTROS Y ESCOLARES. En una comunidad existen 1.000 alumnos que son atendidos
por 19 personas entre maestros y maestras.
Cada maestro atiende 30 alumnos más que cada maestra. Últimamente se decidió
aumentar en 8 alumnos más la clase de cada maestra, reduciéndose así las de los maestros. ¿A
cuántos niños atiende ahora cada maestro?
55. EL GRANJERO Y LOS POLLOS. Un granjero le dice a su mujer: «No sé qué hacer. Si
vendo 75 pollos, las reservas de pienso que tenemos nos durarán 20 días más de lo previsto, lo
que nos permitirá terminar la campaña sin más abastecimientos, que ahora están difíciles. Pero
como los pollos se pagan bien, tal vez convenga comprar 100 pollos, con lo que nuestras reservas
de pienso nos durarán 15 días menos».
Dejando al granjero que resuelva el dilema con su mujer, ¿cuántos pollos tiene el
granjero?
56. ORIGINAL TESTAMENTO. Un mercader estando enfermo hizo testamento, dejando
ciertos hijos, y cierta cantidad de hacienda, ordenando que al hijo primero le diesen la sexta
parte de la hacienda, y 300 ducados más, y al segundo la sexta parte del restante, y 600 ducados
más, y al tercero la sexta parte del restante y 900 ducados más, y con este orden en los demás,
dando siempre a cada uno la sexta parte del restante, y 300 ducados más al uno que al otro.
Muerto el padre, partieron la hacienda, y hallaron que tanto vino al uno como al otro. Pídese
cuántos hijos dejó el padre, cuánta hacienda, y cuanto vino por cada uno.
57. LAS PERLAS DEL RAJÁ. Un rajá dejó en herencia a sus hijas cierto número de perlas.
Tenían que repartírselas de una forma muy especial. Cada hija recibiría: La mayor, una perla
más 1/7 de las restantes, la 2ª dos perlas más 1/7 de las restantes, la 3ª tres perlas más 1/7 de las
restantes, y así sucesivamente todas las demás hijas. Las hijas menores se sintieron perjudicadas
por este reparto. El juez, tras contar las perlas, les dijo que todas ellas se llevarían el mismo
número de perlas. ¿Cuántas hijas y perlas había?
58. EL MERCADER DE DIAMANTES. Un mercader tiene 56 diamantes, de los cuales unos
son gruesos y otros menudos. Este mercader repartió los diamantes entre dos vendedores,
dándole 40 diamantes a uno y 16 al otro, repartiéndolos de tal forma que, al mismo precio, el que
llevó 16 diamantes los vendió por 40 doblones, y el que llevó 40 diamantes los vendió por 16
doblones. ¿Cómo se ordenó esta venta?
59. VENTA DE GANSOS. Un campesino fue al mercado a vender gansos. Vendió al primer
cliente la mitad de los gansos más medio ganso. Al segundo cliente la tercera parte del resto más
un tercio de ganso. Al tercer cliente un cuarto de los que le quedaban más tres cuartos de ganso.
Al cuarto cliente un quinto de los que le quedaban más un quinto de ganso. Volvió a casa con 19
gansos que le sobraron. ¿Cuántos gansos llevó al mercado el campesino? Hay que tener en
cuenta que ningún ganso fue dividido.
60. LOS GUARDIANES DE LAS NARANJAS. Un vagabundo furtivo entró en un huerto
ajeno para apropiarse algunas naranjas. Al salir tropezó con un guardián que, compadecido por
su necesidad, le dejó pasar haciéndole entregar la mitad de las naranjas que llevaba y otra media
naranja. Con el segundo guardián consiguió por lástima de sus ruegos, que también le dejase
pasar, pero dándole también la mitad de las naranjas que tenía más media naranja. Y lo mismo
exactamente le sucedió con un tercer guardián. Después de esto el ladronzuelo se vio en campo
libre y en posesión de dos naranjas. ¿Cuántas naranjas había cogido al principio?
61. LOS 3 PANES Y LAS 3 MONEDAS. Un pastor tiene 2 panes y otro 1 pan. Se encuentran
con un cazador que no lleva comida. Juntan los 3 panes y los tres comen partes iguales. Al
despedirse, el cazador les deja 3 monedas. ¿Cómo deben repartirse las monedas los pastores?
62. LOS 8 PANES Y LAS 8 MONEDAS. Un pastor tiene 5 panes y otro 3 panes. Se encuentran
con un cazador que no lleva comida. Juntan los 8 panes y los tres comen partes iguales. Al
despedirse, el cazador les deja 8 monedas. ¿Cómo deben repartirse las monedas los pastores?
63. LOS 5 PANES Y LAS 5 MONEDAS. Un pastor tiene 3 panes y otro 2 panes. Se encuentran
con un cazador que no lleva comida. Juntan los 5 panes y los tres comen partes iguales. Al
despedirse, el cazador les deja 5 monedas. ¿Cómo deben repartirse las monedas los pastores?
64. NEGOCIO PARA LOS TRES. Antonio tiene 18 millones de pesetas, Benito 12 millones y
Carlos 6 millones. Reúnen su dinero para invertirlo en un negocio. Con el negocio al final del
año, ganan 12 millones de pesetas. ¿Cómo se los repartirán?
65. CURIOSO TESTAMENTO. Un hombre, cuya mujer está a punto de dar a luz, muere,
disponiendo en su testamento lo siguiente: "Si la criatura que va a nacer es niño, éste se llevará
2/3 de la herencia y 1/3 la madre. Si es niña, ésta se llevará 1/3 y 2/3 la madre." Las posesiones
del padre eran únicamente 14 hermosas vacas. Para complicar las cosas, sucedió que nacieron
mellizos, niño y niña. ¿Cómo deben repartirse las 14 vacas entre los tres?
66. ARAÑAS Y ESCARABAJOS. Un chiquillo cazó varias arañas y escarabajos, en total ocho,
y los guardó en una caja. Si se cuenta el número total de patas que corresponde a los 8 animales
resultan 54 patas. ¿Cuántas arañas y cuántos escarabajos hay en la caja?
67. VACAS, CERDOS Y OVEJAS (1). Un granjero se gastó 100 dólares en comprar 100
animales de tres clases. Cada vaca le costó 10 dólares, cada cerdo, 3, y cada oveja, medio dólar.
Suponiendo que haya comprado al menos una vaca, un cerdo, y una oveja, ¿cuántos animales de
cada clase compró el granjero?
68. VACAS, CERDOS Y OVEJAS (2). Un granjero se gastó 100 dólares en comprar 100
animales de tres clases. Cada vaca le costó 5 dólares, cada cerdo, 2, y cada oveja, medio dólar.
Suponiendo que haya comprado al menos una vaca, un cerdo, y una oveja, ¿cuántos animales de
cada clase compró el granjero?
69. VACAS, CERDOS Y OVEJAS (3). Un granjero se gastó 100 dólares en comprar 100
animales de tres clases. Cada vaca le costó 4 dólares, cada cerdo, 2, y cada oveja, un tercio de
dólar. Suponiendo que haya comprado al menos una vaca, un cerdo, y una oveja, ¿cuántos
animales de cada clase compró el granjero?
70. NEGOCIO PARA TRES. Tres feriantes tienen cada uno un cierto número de reales. El
primero compra vino a los otros dos, pagándoles tantos reales como ellos tienen. Después, el
segundo compra garbanzos a los otros dos, pagando a cada uno tantos reales como ellos tienen.
Por último, el tercero compra aceite a los otros dos, pagándole a cada uno tantos reales como
ellos tienen. Terminados estos negocios se vuelven a su casa con 48 reales cada uno. ¿Con
cuántos reales habían llegado a la feria?
71. LOS ASPIRANTES AL PUESTO DE TRABAJO. Una gran empresa comercial proyectaba
en una ocasión abrir una sucursal en cierta ciudad y puso anuncios solicitando tres empleados.
El gerente de personal eligió entre todos los que se presentaron a tres jóvenes que parecían
prometer, y les dijo: "Sus sueldos han de ser, al empezar, de 1.000 dólares anuales, pagaderos
por semestres. Si su trabajo es satisfactorio y decidimos que sigan, se les aumentará el sueldo;
pero, díganme que prefieren, ¿un aumento de 150 dólares anuales o uno de 50 dólares cada
semestre?" Los dos primeros aceptaron sin ninguna duda la primera alternativa, pero el tercero,
después de pensarlo un momento, eligió la segunda. Inmediatamente lo pusieron al frente de los
otros dos. ¿Por qué? ¿Fue acaso que al gerente de personal le gustó su modestia y su aparente
deseo de ahorrarle dinero a la compañía?
72. CURIOSA PARTIDA (1). Tres jugadores convienen en que el que pierda una partida
doblará el dinero que en ese momento tengan los otros dos. Después de haber perdido todos ellos
una partida, cada jugador se retira con 200 ptas. ¿Cuánto dinero tenían al principio del juego?
73. CURIOSA PARTIDA (2). Siete jugadores convienen en que el que pierda una partida
doblará el dinero que en ese momento tengan los otros seis. Jugaron siete partidas y cada vez
perdió un jugador distinto; es decir, perdieron todos ellos. Al acabar todos tenían el mismo
dinero: 12 pesetas. y 80 céntimos. ¿Con cuánto dinero empezó cada uno el juego?
74. EN EL HIPÓDROMO. Una tarde en el hipódromo de la Zarzuela me ocurrió algo curioso.
En la 1ª carrera apuesto por un caballo y la cantidad que tenía se ve doblada. Animado por ello,
apuesto en la 2ª carrera 600 ptas. por un caballo y las pierdo. En la 3ª carrera vuelvo a doblar mi
haber. El la 4ª vuelvo a perder 600 ptas. La 5ª me permite doblar la cantidad que me quedaba.
En la 6ª pierdo las 600 ptas. que me quedaban. ¿Sabe Vd. con cuánto dinero comencé?
75. VACACIONES CON LLUVIA. Durante mis vacaciones llovió 9 días, y hubo 10 mañanas y
9 tardes soleadas. Cuando llovió por la mañana, la tarde fue soleada. ¿Cuántos días duraron mis
vacaciones?
76. COMO ANILLO AL DEDO. Mi primo Margarito tiene una cantidad fija de anillos y
muchas ganas de usarlos todos. Poniéndose tres anillos por dedo, quedarían cuatro dedos
desnudos. Pero poniéndose un anillo por dedo le sobrarían ocho anillos. ¿Cuántos anillos y
cuántos dedos tiene mi primo Margarito?
77. LOS HUEVOS DE GALLINA Y DE PATO. Un vendedor de huevos tiene delante suya seis
cestas con 29, 23, 14, 12, 6 y 5 huevos respectivamente. «Si vendo esta cesta me quedará el doble
de huevos de gallina que de pato». ¿A qué cesta se refiere el vendedor?
78. 7 LLENAS, 7 MEDIO LLENAS Y 7 VACÍAS. Tres hermanos recibieron 21 botellas iguales
de una partida de vino, de las cuales 7 estaban llenas, otras 7 medio llenas y las restantes 7
vacías. ¿Cómo repartirse las 21 botellas de modo que cada uno reciba el mismo número de
botellas y la misma cantidad de vino sin destapar las botellas?
79. REPARTO EN LA BODEGA. En una bodega hay dos tipos de botellas, grandes y
pequeñas. Las grandes contienen doble cantidad vino que las pequeñas. Disponemos de 12
botellas grandes, 7 llenas y 5 vacías, así como de 12 botellas pequeñas, 7 llenas y 5 vacías. Se
desean repartir las 24 botellas entre 3 personas, de modo que cada una reciba el mismo número
de botellas de cada tipo y la misma cantidad de vino. ¿Cómo se podrá hacer el reparto?
80. LOS BUEYES DEL GRANJERO. Una pradera de 10 Ha. puede alimentar a 12 bueyes
durante 16 semanas, o a 18 bueyes durante 8 semanas. ¿Cuántos bueyes se podrán alimentar en
una pradera de 40 Ha. durante 6 semanas, considerando que el pasto crece en forma regular
todo el tiempo?
81. LA ESCALERA MECÁNICA (1). Al entrar en el metro, Antonio descendió por la escalera
mecánica, andando al tiempo que la escalera se desplazaba, y alcanzó al andén tras 50 pasos. Se
le ocurrió entonces, subir por la misma escalera; es decir, caminando en sentido contrario al
desplazamiento de los peldaños, y alcanzó así la parte superior en 125 pasos. Suponiendo que
Antonio hizo este segundo recorrido con una andadura cinco veces más rápido que la de
descenso, esto es, que el número de pasos por unidad de tiempo en un caso y otro fue de cinco a
uno, ¿cuántos escalones serán visibles si la escalera mecánica parase de funcionar?
82. LA ESCALERA MECÁNICA (2). Tengo la costumbre de subir andando por la escalera
mecánica del Metro mientras funciona: subo 20 escalones con mi paso y tardo así 60 segundos
exactamente; mientras que mi mujer sube solamente 16 escalones y tarda 72 segundos. Si
mañana esa escalera no funciona, ¿cuántos escalones tendría que subir?
83. EL TERREMOTO LEJANO. Hacia el año 1915, una familia japonesa residente en Madrid,
alarmada por los rumores sobre un terremoto ocurrido en Tokio, pone un radiograma a esta
ciudad a las 8h 30m hora de Madrid, el cual llega a Tokio a las 19h 34m hora de Tokio; pero los
parientes de este punto, previendo la intranquilidad, pusieron otro radiograma tranquilizador a
las 17h 19m de Tokio, que llegó a Madrid 3/4 de hora después de haber puesto el primero. Se
desea saber la diferencia de hora entre Madrid y Tokio y la duración de transmisión del
radiograma. (Los datos numéricos son irreales).
84. LAS PERPLEJIDADES DE LA SEÑORA PACA. La señora Paca solía coger el autobús en
una parada de la calle Mayor para ir al mercado. No se preocupaba por los horarios, porque le
servía un autobús de la línea P que uno de la línea Q. Sabía que de cada uno pasaban seis
autobuses por hora y nunca había tenido que esperar mucho.
Sin embargo, le sorprendía que muy pocas veces cogía un Q. Decidió, pues, llevar la cuenta
del tipo de autobús en que montaba y descubrió que viajaba en un autobús Q aproximadamente
sólo una vez de cada diez.
La señora Paca estaba completamente perpleja. ¿Podría Vd. ayudarla a entender lo que
pasaba?
85. EL PERRO Y EL GATO. Juntos perro y gato pesan 15 kilos. Si el peso del can es un número
impar, y si el macho pesa el doble que la hembra, ¿cuánto pesa cada uno?
86. LOS MARINEROS, EL MONO Y LOS COCOS. Tres marineros y un mono arriban, tras
un naufragio, a una isla desierta. Durante todo el día se dedican a recolectar cocos, con los que
forman un montón común. Al llegar la noche, cansados por el trabajo realizado, se van a dormir
dejando para el día siguiente el reparto de los cocos.
Durante la noche, uno de los marineros, desconfiando de los otros, decide hacerse con su
parte, procediendo a formar tres montones iguales y guardándose uno de ellos. Como al hacerlo
le sobra un coco, se lo da al mono.
El segundo marinero, teniendo la misma idea, procede en igual forma con los cocos que ha
dejado el primero. Al hacer los tres montones le sobra un coco, que se lo da al mono.
Lo mismo ocurre con el tercer marinero, y al sobrarle un coco se lo da al mono.
A la mañana siguiente, aunque el montón de cocos se encuentra reducido, los tres
marineros se sienten igualmente culpables y no dicen nada, procediendo al reparto de los cocos.
Al hacerlo les sobra uno, que se lo dan al mono. ¿Cuántas cocos había? a) Suponiendo que había
menos de 100. b) Suponiendo que había entre 200 y 300.
87. ACEITE Y VINAGRE. En un almacén hay 6
barriles que contienen respectivamente 8, 13, 15, 17,
19 y 31 litros de aceite o de vinagre. El litro de aceite
cuesta el doble que el de vinagre. Un cliente compra
1.400 ptas. de aceite y 1.400 ptas. de vinagre, dejando
un solo barril. ¿Qué barril quedó?
88. LOS HERMANOS Y LOS MELONES. Los hermanos Pablo y Agustín van al mercado con
30 melones cada uno. Pablo vende 3 melones por un dólar (10 lotes) y obtiene 10 dólares. Agustín
vende 2 melones por un dólar (15 lotes) y obtiene 15 dólares. Entre los dos llevan a casa 25
dólares (10+15=25).
Al día siguiente volvieron al mercado cada uno con otros 30 melones. Como no querían
tener dos precios diferentes optaron por vender 5 melones por 2 dólares. Hecha la venta, 12 lotes
(60/5=12), obtuvieron 24 dólares (12x2=24). ¿Dónde está el dólar que falta de 24 a 25?
89. BARRILES DE VINO Y CERVEZA. Un
hombre adquirió cinco barriles de vino y un barril
de cerveza. El contenido de los barriles era 15, 16, 18,
19, 20 y 31 litros. Vendió luego una cantidad de vino
a un cliente y el doble de esta cantidad a otro, y ya
sin que le quedara más vino, se guardó para sí el
barril de cerveza. ¿Cuál es el barril de cerveza? Por
supuesto, el hombre vendió los barriles tal como los
había comprado, sin trasegar ni cambiar para nada
sus contenidos.
90. LA DIVISIÓN EN LA TASCA. El dueño de una tasca quiere dividir en dos partes iguales el
líquido que lleva un recipiente de 16 litros. Para hacerlo no tiene a su disposición más que el
recipiente original y dos recipientes vacíos con capacidades de 11 y 6 litros. ¿Cuántas
operaciones de trasvase son necesarias para efectuar la partición sin perder ni una gota de
líquido?
91. FACUNDO EL LECHERO. Facundo vende la leche que tiene en un recipiente grande. Para
vender tiene 2 medidas, una de 7 litros y otra de 4 litros, dice que con estas le basta para vender
cualquier cantidad de litros de leche a sus clientes. Puede usar ambas medidas y, ocasionalmente
volver a volcar leche en el recipiente original. ¿Como hace para vender 1l, 2l, 3l, 5l, y 6l?
92. LOS VAGABUNDOS Y LAS GALLETAS. Cuatro vagabundos encontraron una gran
cantidad de galletas, que acordaron dividir equitativamente entre ellos en el desayuno de la
mañana siguiente. Durante la noche, mientras los otros dormían, uno de los hombres fue hasta la
caja, devoró exactamente 1/4 del total de las galletas, excepto una suelta que sobró, y que arrojó
al perro a modo de soborno. Más tarde, un segundo hombre se despertó y se le ocurrió la misma
idea, tomando 1/4 de lo que quedaba, y dando la sobrante al perro. El tercero y el cuarto, a su
vez, exactamente lo mismo, tomando 1/4 de lo que encontraron, y arrojando la sobrante al perro.
En el desayuno dividieron equitativamente lo que quedaba, y otra vez dieron la galleta sobrante
al perro. Cada hombre notó la reducción en el contenido de la caja, pero creyéndose el único
responsable, ninguno dijo nada. ¿Cuál es el menor número posible de galletas que podía haber
habido en la caja en un principio?
93. LECHERO INGENIOSO. Un lechero dispone únicamente de dos jarras de 3 y 5 litros de
capacidad para medir la leche que vende a sus clientes. ¿Cómo podrá medir un litro sin
desperdiciar leche?
94. EL VENDEDOR DE VINO. Un vendedor de vino sólo tiene garrafas de 8 litros. Dos amigos
quieren comprar una de estas garrafas a medias y repartírsela. El vendedor busca por la tienda
y encuentra dos garrafas vacías: una de 3 litros y la otra de 5 litros. ¿Cómo se las podría arreglar
para repartir la garrafa de 8 litros entre los dos amigos?
95. LA ALABARDA. Durante la guerra 1914-1918 fue descubierta la tumba de un soldado
francés muerto el último día de un mes durante otra guerra, en Italia. La alabarda del soldado se
encontraba a su lado.
El producto del día del mes inscrito en la lápida por la longitud en pies de la alabarda, por la
mitad de los años transcurridos entre la muerte del soldado y el descubrimiento de su tumba, y
finalmente por la mitad de la edad del comandante francés de la expedición en que murió el
soldado, es igual a 451.066.
¿Quién era el comandante francés?
96. MANZANAS ENTERAS. Un hombre entró a un comercio y compró 2 manzanas más la
mitad de las que quedaban. Otro hombre entró luego y compró 3 manzanas más un tercio de las
que quedaban, etc. ¿Por cuántos compradores como máximo puede seguir este sistema de
compras, si ninguna manzana es cortada?
97. EXIGENCIA CUMPLIDA. Un propietario agricultor repartió a tres criados suyos 120
limones, dándole a uno 60, a otro 40 y a otro 20. Luego, los envió a tres mercados distintos,
dándoles orden de que los vendiesen en los tres a un mismo precio. Pero asimismo les exigió que
trajesen los tres el mismo dinero por la venta. Como esto les pareció imposible a los criados, le
dio a cada uno un ejemplar de un mismo cartel anunciador de los precios, para que se cumpliese
la primera condición, y este cartel era tal que también se cumplía la segunda. ¿Qué cree Vd. que
ponía en el cartel?
98. UN PRECIO ABSURDO. Un propietario tiene 60 melones, da 50 de ellos a un mozo y 10 a
otro. Ordenó que vendiese primero el que llevaba 50 melones, y luego al mismo,precio y modo
vendiese el que llevaba 10 melones, y trajese doble dinero el segundo que el primero. ¿Cómo lo
consiguieron?
99. EL PROBLEMA DE BENEDIKTOV. SOLUCIÓN INGENIOSA DE UN PROBLEMA
COMPLICADO. Una madre repartió entre sus tres hijas 90 huevos, dándole a la mayor 10, a la
mediana 30 y a la menor 50. Luego, las envió a tres mercados distintos, dándoles orden de que
los vendiesen en los tres a un mismo precio. Pero asimismo les exigió que trajesen las tres el
mismo dinero por la venta. Como esto les pareció imposible a las hijas, le dio a cada una un
ejemplar de un mismo cartel anunciador de los precios, para que se cumpliese la primera
condición, y este cartel era tal que también se cumplía la segunda. ¿Qué cree Vd. que ponía en el
cartel?
100. MODESTA GANANCIA EN COMPRAVENTA. Un hombre compró un día 20 perdices
por 8 dólares, a razón de dos dólares cada cinco perdices. Al día siguiente quiso vender estas
mismas 20 perdices, al mismo precio que las compró y ganar algo por su trabajo. ¿Cómo cree
Vd. que puede cumplir sus deseos?
101. EL IMPOSIBLE CUADRADO DE CUBOS. Al joven Balthazar le han regalado un juego
de cubos. El chico prueba de yuxtaponer los cubos para formar un cuadrado pero le faltan siete.
Intenta luego hacer un cuadrado más pequeño y entonces le sobran diez. ¿Cuántos cubos tiene
Balthazar?
102 PREDECIR LA CUENTA. El último día del año un matemático se vio sorprendido por la
extraña manera en que su hija pequeña contaba con los dedos de la mano izquierda. Empezó por
llamar 1 al pulgar, 2 al índice, 3 al anular, 4 al corazón y 5 al meñique; en ese momento invirtió
la dirección, llamando 6 al corazón, 7 al anular, 8 al índice, 9 al pulgar, 10 de nuevo al índice, 11
al anular, y así sucesivamente. Continuó contando hacia adelante y hacia atrás hasta llegar a
contar el 20 de su dedo corazón.
Padre: ¿Qué demonios estás haciendo?
Hija: Estoy contando hasta 1.962 para ver en qué dedo termino.
Padre: (Cerrando los ojos) Terminarás en el ...
Cuando la niña terminó de contar vio que su padre estaba en lo cierto.
¿Cómo llegó el padre a su predicción y qué dedo predijo?
103. SÓLO UN COCHE POR HERENCIA. En una herencia los únicos herederos Antonio y
Benito reciben un coche. Ambos están interesados en quedarse con él. ¿Cómo podrían resolver el
problema del reparto de la forma más correcta posible? (Muy interesante por la multitud de
respuestas que suelen darse)
104. MATUSALÉN R.I.P.. Según la Biblia Matusalén tenía 187 años cuando tuvo a Lamech,
vivió 969 años y murió. Lamech tenía 182 años cuando tuvo un hijo al que llamó Noé. Noé tenía
600 años cuando las aguas inundaron la Tierra. ¿Qué se deduce de todos estos datos?
105. LOS 24 SOBRES. Tengo 8 sobres que contienen 1 dólar cada uno, otros 8 sobres que
contienen 3 dólares cada uno y 8 sobres de 5 dólares cada uno. ¿Cómo puedo distribuir estos 24
sobres entre 3 personas para que todas tengan igual cantidad de sobres e igual cantidad de
dinero (sin abrir ningún sobre)?
Los (5) siguientes son originales de Pierre Berloquin.
106. ESPEJOS EN ÁNGULO RECTO (1). Si Vd. se coloca entre dos espejos que están en
ángulo recto, ¿cuántas imágenes suyas puede ver?
107. LA LÍNEA DE BALDOSAS (2). Un piso rectangular embaldosado en la casa de Timoteo
tiene 93 baldosas cuadradas en su lado corto y 231 en su lado largo. Timoteo pinta una línea
diagonal desde una esquina hasta la esquina opuesta. ¿Cuántas baldosas atraviesa esa línea?
108. FRANCOS Y DÓLARES (3). El franco está subdividido en monedas de 50, 20, 10, 2 y 1
céntimo. Por lo tanto es posible tener en el bolsillo más de un franco sin llegar a formar un
franco justo. Por ejemplo: una moneda de 50 céntimos y tres de 20.
El dólar está subdividido en monedas de 50, 25, 10, 5 y 1 céntimo. También es posible
tener en el bolsillo más de un dólar sin llegar a formar un dólar justo. Por ejemplo: tres monedas
de 25 céntimos y tres monedas de 10. ¿En cuál de los dos sistemas de monedas es posible tener la
suma más grande de céntimos sin llegar a formar una unidad justa?
109. LA ESCUADRILLA DE AVIONES (4). Una escuadrilla aérea tiene alrededor de 50
aviones. Su formación de vuelo es un triángulo equilátero, cuyas primeras líneas están formadas
por 1, 2, 3 y 4 aviones. Algunos aviones caen en combate. Cuando la escuadrilla regresa, los
aviones restantes forman cuatro triángulos equiláteros. Los aviones perdidos hubieran podido
formar otro triángulo equilátero. Si estos cinco triángulos son de lado diferente, ¿cuántos
aviones tenía inicialmente la escuadrilla?
110. LOS CINCO NEGOCIOS DE TIMOTEO (5). Timoteo ha gastado todo lo que tenía
encima en cinco negocios. En cada uno gastó un franco más que la mitad de lo que tenía al
entrar. ¿Cuánto dinero tenía Timoteo al principio?
111. LOS TRES JUGADORES. En una partida entre Alberto, Bernardo y Carlos el perdedor
dobla el dinero de cada uno de los otros dos. Después de tres juegos cada jugador ha perdido una
vez y todos terminan con 24 ptas. Alberto perdió el primer juego, Bernardo el segundo y Carlos
el tercero. ¿Con cuánto dinero empezó cada uno?
112. AVARICIOSO CASTIGADO. Un campesino se dirigía a la ciudad, pensando tristemente
que el dinero que llevaba no iba a ser suficiente para comprar el lechoncillo que deseaba. A la
entrada del puente se encontró a un raro tipo (era el diablo, ni más no menos) que le dijo:
«Conozco tu preocupación y voy a proponerte un trato. Si lo aceptas, cuando hayas cruzado el
puente tendrás en tu bolsa doble dinero que al empezar. No cuentes el dinero, que sería
desconfianza y por tu parte, sólo debes contar 32 monedas que echarás al río; yo sabré
encontrarlas y éstas serán mi paga».
Aceptó el aldeano, y apenas cruzado el puente comprobó, lleno de alegría y sin necesidad
de contar, que su bolsa pesaba bastante más que antes. Con gran contento echó las 32 monedas
al agua. Le vino entonces la tentación de repetir la acción y no supo resistirla, así que de nuevo
pasó el puente, duplicó el dinero de su bolsa y pagó con 32 monedas. Todavía una tercera vez
hizo esto mismo y, entonces, desolado, comprobó que se había quedado absolutamente sin
dinero. Desesperado, se tiró desde el puente al río, y el diablo cobró así su trabajo. ¿Cuánto
dinero llevaba el campesino cuando le propusieron el malvado trato?
113. LA BATALLA. En una batalla han participado 4000 hombres. El 56,565656...% de los
supervivientes no fuman; el 56,756756756...% no beben. ¿Cuántos han muerto?
114. EL BOXEADOR. Un boxeador decide retirarse cuando tenga el 90% de triunfos en su
palmarés. Si ha boxeado 100 veces, obteniendo 85 triunfos, ¿cuál es el mínimo número de peleas
adicionales necesarias para que el boxeador se pueda retirar?
115. EN LA FRUTERÍA. Una mandarina, una manzana y dos peras cuestan 51 ptas.. Dos peras
y dos mandarinas cuestan 42 ptas. y una manzana. Una pera y dos mandarinas cuestan 44 ptas..
¿Cuánto cuestan dos manzanas y dos mandarinas?
116. LAS VACAS DE NEWTON. Un ganadero comprueba que tres de sus vacas podrían
alimentarse durante dos semanas con la hierba contenida en dos hectáreas, más la que creciese
en dicha superficie durante las dos semanas. También comprueba que dos vacas podrían
alimentarse durante cuatro semanas con la hierba de dos hectáreas, más la que creciese en ella
durante dicho tiempo.
¿Cuántas vacas podrá alimentar el ganadero durante seis semanas con la hierba contenida
en seis hectáreas más la que creciese en ellas durante las seis semanas?
117. EL CABRERO. Observando un prado, un cabrero dedujo que podría apacentar en él tres
cabras durante tres días, o dos cabras durante seis, antes de que se comieran toda la hierba.
Todas sus cabras pastan a la misma velocidad. ¿Cuánto tiempo podría alimentar a una cabra
con el pasto de aquel prado?
118. EL COLECCIONISTA DE MONEDAS. Un coleccionista quiere limpiar las 1.000 monedas
de plata que tiene, para lo cual debe comprar en la droguería un líquido limpiador. El líquido
necesario para limpiar 1.000 monedas le cuesta 250 monedas. Compra el líquido necesario para
limpiar las restantes monedas sin que le sobre líquido limpiador. ¿Cuántas monedas pagó por el
líquido limpiador?
119. LOS ANIMALES DE LA GRANJA. ¿Cuántos animales hay en la granja? Todos son toros
menos 4, todos son vacas menos 4, hay tantos caballos como ganado vacuno, el resto son gallinas.
120. JUSTICIA DISTRIBUTIVA. En una comuna de 10 personas se decidió que el más rico
debería duplicar el capital de los demás; esto es, dar a cada uno una cantidad igual a la que
tuviese. Cuando echaron sus cuentas, tras el reparto, vieron que todo seguía exactamente igual
que antes, salvo que el nombre de los ricos y los pobres había cambiado, naturalmente, pero la
distribución de las fortunas era la misma. El total de la fortuna era de 1.023.000 ptas. ¿Cuál era
el reparto entre las diez personas?
SOLUCIONES
1. LA VIDA DE DIOFANTO. Al resolver la ecuación y hallar el valor de la incógnita, 84,
conocemos los siguientes datos biográficos de Diofanto: se casó a los 21 años, fue padre a los 38
años, perdió a su hijo a los 80 años y murió a los 84.
2. EL CABALLO Y EL MULO. Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: x=5, y=7. El
caballo llevaba 5 sacos y el mulo 7 sacos.
3. LOS CUATRO HERMANOS. Sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas: x=8,
y=12, z=5, t=20.
4.
EL REBAÑO MÁS PEQUEÑO. mcm (2,3,4,5,6,7,8,9,10) + 1 = 2.521.
5.
COMERCIANTES DE VINOS. x=Precio de cada barril. y=Impuesto aduanero.
5x+40=64y; 2x-40=20y. Resolviendo el sistema: x=120 francos, y=10 francos.
6. EL PRECIO DE LOS HUEVOS. Sea x el número de huevos y P y P' los precios inicial y
resultante tras la rotura.
Px=60 P=60/x
P'(x-2)=60 P'=60/(x-2)
Pero P'=P+12/12
60/(x-2) = 60/x + 1 = (60+x)/x
60x=60x-120+x2-2x
x2-2x-120=0
x=12.
7. LOS DIEZ ANIMALES. Primero damos cinco galletas a cada uno de los diez animales;
ahora quedan seis galletas. Bien, los gatos ya han recibido su parte. Por tanto, las seis galletas
restantes son para los perros, y puesto que cada perro ha de recibir una galleta más, debe haber
seis perros y cuatro gatos. (6 x 6 + 5 x 4 = 36 +20 = 56).
8. LOROS Y PERIQUITOS. Puesto que un loro vale lo que dos periquitos, cinco loros valen lo
que diez periquitos. Por tanto, cinco loros más tres periquitos valen lo que trece periquitos. Por
otro lado, tres loros, más cinco periquitos valen lo que once periquitos. Así que la diferencia
entre comprar cinco loros y tres periquitos o comprar tres loros y cinco periquitos es igual que la
diferencia entre comprar trece periquitos y comprar once periquitos, que es dos periquitos.
Sabemos que la diferencia es de 20 dólares. Así que dos periquitos valen 20 dólares, lo que
significa que un periquito vale 10 dólares y un loro 20 dólares. (5 loros + 3 periquitos = 130
dólares; 3 loros + 5 periquitos = 110 dólares).
9. COCHES Y MOTOS. Si todos los vehículos hubieran sido motos, el número total de ruedas
sería 80, es decir, 20 menos que en realidad. La sustitución de una moto por un coche hace que el
número total de ruedas aumente en dos, es decir, la diferencia disminuye en dos. Es evidente que
hay que hacer 10 sustituciones de este tipo para que la diferencia se reduzca a cero. Por lo tanto
se repararon 10 coches y 30 motos. 10.4+30.2=40+60=100.
10. MONDANDO PATATAS. En los 25 minutos de más, la segunda persona mondó 2.25 = 50
patatas. Restando estas 50 patatas de las 400, hallamos que, trabajando el mismo tiempo las dos
mondaron 350 patatas. Como cada minuto ambas mondan en común 2+3=5 patatas, dividiendo
350 entre 5, hallamos que cada una trabajó 70 minutos. Este es el tiempo real que trabajó la
primera persona; la segunda trabajó 70+25=95 minutos. 3.70+2.95=400.
11. EL PRECIO DE LOS LIMONES. Llamemos "x" al precio de un limón expresado en
duros.
36 limones cuestan 36.x duros.
Por 16 duros dan 16/x limones.
36.x = 16/x, 36.x² = 16, x² = 16/36, x = 2/3 duros.
Luego, 12 limones valen 8 duros.
12. LA MÁQUINA DE PETACOS. La diferencia 471.300 - 392.750 = 78.550 son los puntos que
cada amigo tiene que hacer de más por faltar uno de los amigos. 392.750/78.550 = 5 veces los
puntos en cuestión. Luego los amigos eran inicialmente eran 6. Para conseguir partida necesitan
392.750 por 6 = 471.300 por 5 = 2.356.500 puntos.
13. TINTEROS Y CUADERNOS. Dos tinteros cuestan 70-46=24 ptas. Luego un tintero cuesta
12 ptas. Antonio pagó 60 ptas. por los tinteros, luego 70-60=10 ptas. por los cuatro cuadernos, o
sea que un cuaderno cuesta 10/4=2.50 ptas.
14. LA BALANZA Y LAS FRUTAS. Como 4 manzanas y 6 melocotones se equilibran con 10
melocotones, entonces una manzana pesa lo mismo que un melocotón. Por tanto una pera se
equilibra con 7 melocotones.
15. VENTA DE HUEVOS. Después de que la segunda clienta adquirió la mitad de los huevos
que quedaban más medio huevo, a la campesina sólo le quedó un huevo. Es decir, un huevo y
medio constituyen la segunda mitad de lo que le quedó después de la primera venta. Está claro
que el resto completo eran tres huevos. Añadiendo 1/2 huevo, obtenemos la mitad de los que
tenía la campesina al principio. Así, pues, el número de huevos que trajo al mercado era siete.
16.
LAS MANZANAS DEL HORTELANO. 36.
17. LAS TIERRAS DEL GRANJERO. Reducimos todo a sesentavos, 1/3 +1/4 +1/5 = 20/60
+15/60 + 12/60 = 47/60. Esto deja 13/60 para el cultivo de maíz. Por consiguiente, 13/60 de la
tierra es 26, y como 13 es la mitad de 26, 60 debe ser la mitad del número total de Ha. Así que la
tierra tiene 120 Ha.
Prueba: un tercio de 120 es 40, que es para el trigo; un cuarto de 120 es 30, que es para los
guisantes; y un quinto de 120 es 24, que es para las judías. 40+30+24=94, y quedan 26 hectáreas
para el maíz.
18. PASTELES PARA LOS INVITADOS. Había 10 invitados preferidos. 10·4 + 20·3 = 40 + 60
= 100.
19. LOS PASTELES. Ana tiene que darle a Carlos 2 pasteles. En total había 12 pasteles. Al
principio Ana tenía 9 y Carlos 3.
20.
MÁS PASTELES. Ana 24, Carlos 8 y Diego 4.
21.
VENGA PASTELES. Había 32 pasteles. Carlos comió 10 y Diego 14.
22.
PASTELES GRANDES Y PEQUEÑOS. Sabemos que 1G = 3P.
7G + 4P = 21P + 4P = 25P
4G + 7P = 12P + 7P = 16P
25P - 19P = 6P = 12 ptas. 1P = 2 ptas. 1G = 6 ptas.
23. SOLDADOS DEL REGIMIENTO. Como 63,63636363...=700/11, el 700/11 % de los que
quedan tiene carnet de conducir. Si N es el número de los que quedan, tienen carnet de conducir
700/11 1/100 N = 7N/11. Por tanto N debe ser múltiplo de 11. Igualmente como,
92,2297297...=6.825/74 entonces: 6.825/74 1/100 N = 273 N/296 no llevan gafas. Por tanto N
también debe ser múltiplo de 296. Así N es múltiplo de 296 11=3.256. Pero en el regimiento sólo
había 4.000 soldados, por lo que N=3.256 soldados. Por lo tanto, se han licenciado 4.0003.256=744.
24.
ENCUESTA SOBRE EL VINO.
25.
LA REVENTA. El porcentaje sobre el recargo que se gana Manuel es del 50%.
26. ENCARECER UN 10% Y ABARATAR UN 10%. Si se utiliza un artículo que valga 100
ptas., el proceso es:
100 ptas - encarece 10% - 110 ptas. - abarata 10% - 99.
Luego es más barata después de abaratarla.
En general: x - encarece 10% - 110x/100 ptas. - abarata 10% - 99x/100.
Siempre es más barata después de abaratarla.
27. ABARATAR UN 10% Y ENCARECER UN 10%. Si se utiliza un artículo que valga 100
ptas., el proceso es:
100 ptas - abarata 10% - 90 ptas. - encarece 10% - 99.
Luego es más barata después de encarecerla.
En general: x - abarata 10% - 90x/100 ptas. - encarece 10% - 99x/100.
Siempre es más barata después de encarecerla.
28. GANANCIA Y PERDIDA EN LA VENTA DE LOS CUADROS. El tratante no calculó
bien: No se quedó igual que estaba; perdió 20 dólares ese día. Veamos por qué:
Consideremos primero el cuadro que vendió con un beneficio del 10%. Por el cuadro le
dieron 990 dólares; ¿cuánto pagó por él? El beneficio no es el 10% de 990, sino el 10% de lo que
pagó. De modo que 990 dólares es el 110% de lo que pagó. Esto significa que pagó 900 dólares,
hizo el 10% de 900 dólares, que es 90 dólares, y recibió 990 dólares. Por consiguiente sacó 90
dólares con el primer cuadro. Consideremos ahora el segundo cuadro: Perdió el 10% de lo que
pagó por él, de modo que lo, vendió por el 90% de lo que pagó. Por tanto pagó 1100 dólares, y el
10% de 1100 es 110, así que lo vendió por 1100 menos 110, que es 990 dólares.
Por consiguiente perdió 110 dólares con el segundo cuadro, y ganó sólo 90 con el primero.
Su pérdida neta fue de 20 dólares.
29. HÁMSTERS Y PERIQUITOS. Se compraron inicialmente tantos hámsters como
periquitos. Sea x dicho número. Llamaremos y al número de hámsters que quedan entre los
animalitos aún no vendidos. El número de periquitos será entonces 7-y. El número de hámsters
vendidos a 200 pesetas cada uno, tras aumentar en un 10% el precio de compra, es igual a x-y, y
el número de periquitos vendidos (a 110 pesetas cada uno) es evidentemente x-7+y. El costo de
compra de los hámsters es por tanto 200x pesetas, y el de los periquitos, 100x pesetas, lo que hace
un total de 300x pesetas. Los hámsters vendidos han reportado 220(x-y) pesetas y los periquitos
110(x-7+y) pesetas, lo que hace un total de 330x - 110y - 770 pesetas. Se nos dice que estos dos
totales son iguales, así que los igualamos y simplificamos, tras de lo cual se obtiene la siguiente
ecuación diofántica con dos incógnitas enteras: 3x = 11y + 77. Como x e y han de ser enteros
positivos, y además y no puede ser mayor que 7, es cosa sencilla tantear con los ocho valores
posibles (incluido el 0) de y a fin de determinar las soluciones enteras de x. Solamente hay dos: 5
y 2. Ambas podrían ser soluciones del problema si olvidamos el hecho de que los periquitos se
compraron por pares. Este dato permite desechar la solución y=2, que da para x el valor impar
de 33. Por lo tanto concluimos que y es 5. Podemos ahora dar la solución completa. El pajarero
compró 44 hámsters y 22 parejas de periquitos, pagando en total 13.200 pesetas por todos ellos.
Vendió 39 hámsters y 21 parejas de periquitos, recaudando un total de 13.200 pesetas. Le
quedaron 5 hámsters cuyo valor al venderlos será de 1.100 pesetas, y una pareja de periquitos,
por los que recibirá 220, lo que le da un beneficio de 1.320 pesetas, que es la solución del
problema.
30. PASTELES SOBRE LA MESA. 30 pasteles. Diego encontró 2 = 1+1. Carlos encontró 6 =
(2+1)2. Blas encontró 14 = (6+1)2. Ana encontró 30 = (14+1)2.
31. PASTELES COMO PAGO. El máximo es 3x26=78. Ganó sólo 62. Por holgazanear perdió
16. Cada día que holgazanea pierde 4 (3 que no recibe y 1 que da), luego 16/4=4. Holgazaneó 4
días y trabajó 22 días.
32. OPOSICIONES AL AYUNTAMIENTO. El 95% del número de aprobados ha de ser un
número natural (no existen, en vivo, fracciones de personas).
En este caso, el procedimiento más fácil para hallar la cantidad correspondiente al 95% es
buscar un número, entre 1 y 36, cuyo 5% (100-95) sea un número natural. Si el 5% es una
cantidad exacta, también lo será el 95%.
Un número cuyo 5% sea un número natural ha de ser 20 o múltiplo de 20. En este caso, solo
es posible el 20. Número total de aprobados: 20. Número de aprobados de Salamanca capital (el
95%): 19.
33. EL MANOJO DE ESPÁRRAGOS. La cantidad de espárragos del manojo es
aproximadamente proporcional a la superficie del círculo formado por el bramante.
Cuando se dobla la longitud del bramante se dobla el radio del círculo, y la superficie de ese
círculo está multiplicada por 4 (S= R²).
De suerte que los nuevos manojos contienen cuatro veces más espárragos y su precio
debería ser 80 x 4 = 320 ptas.
34.
MIDIENDO UN CABLE. 59 metros.
35.
VESTIDOS A GOGÓ. 6.
36. LOS DOS BEBEDORES. Se puede considerar a los personajes como desagües de un barril,
con velocidad uniforme de salida cada uno. Sean x las horas que tarda el inglés en beber todo el
barril, e las horas que tarda el alemán.
Los dos juntos en dos horas habrán bebido 2 (1/x + 1/y) parte del barríl
En 2 horas y 48 minutos el alemán bebe: (2+4/5) 1/y
En 4 horas y 40 minutos el inglés bebe: (4+2/3) 1/y
2 (1/x + 1/y) + (2+4/5) 1/y = 1
2 (1/x + 1/y) + (4+2/3) 1/x = 1
Sistema que se resuelve fácilmente tomando como incógnitas 1/x=x' y 1/y=y', de donde
x=10, y=6.
Es decir, el alemán se bebería el barril en 6 horas y el inglés en 10 horas.
37. JUEGO EN FAMILIA. Supongamos que un padre dispara x tiros y que su hijo dispara y
tiros.
x²-y²=45, (x-y)(x+y)=45.
Combinaciones de factores posibles: (x+y): 45, 15, 9 con (x-y):1, 3, 5.
De donde, fácilmente:
Yo: 9 tiros, mi hijo, José: 6 tiros.
Juan: 23 tiros, su hijo, Julio: 22 tiros.
Pablo: 7 tiros, su hijo, Luis: 2 tiros.
Se tiraron 39 tiros y se marcaron 1183 puntos.
38.
EL VASO DE VINO. Una cuarta parte.
39.
LAS CHOVAS Y LAS ESTACAS. Cuatro chovas y tres estacas.
40.
LIBROS DESHOJADOS. 232 páginas el primero y 124 páginas el segundo.
41.
LA CUADRILLA DE SEGADORES. Tomemos como unidad de medida el prado grande.
Si el prado grande fue segado por todo el personal de la cuadrilla en medio día, y por la
mitad de la gente en el resto de la jornada, se deduce que media cuadrilla en medio día segó 1/3
del prado. Por consiguiente, en el prado chico quedaba sin segar 1/2-1/3=1/6. Si un segador siega
en un día 1/6 del prado y si fueron segados 6/6+2/6=8/6, esto quiere decir que había 8 segadores.
(Conviene hacer un dibujo)
42. EL TRUEQUE EN EL AMAZONAS. De b) y c) se obtiene que una lanza se cambia por 2
escudos. Si esto se completa con a) resulta que un collar se cambia por un escudo. Por tanto, una
lanza equivale a dos collares.
43. NEGOCIANDO POLLOS. Una vaca vale 25 pollos. Un caballo vale sesenta pollos. Ya
deben haber elegido 5 caballos y 7 vacas, que valen 475 pollos, y como tienen lo suficiente como
para conseguir 7 vacas más, le quedan 175 pollos, lo que haría un total de 650.
44.
PAGO EXACTO Y PUNTUAL. Las piezas son de 1, 2, 4, 8 y 15 denarios de valor.
Indicando con 1 la moneda que tiene la patrona, y con 0 la moneda que tiene el hombre, la
situación diaria se puede expresar como sigue:
Valor de la moneda
15
8
4
2
1
Día 1º
0
0
0
0
1
Día 2º
0
0
0
1
0
Día 3º
0
0
0
1
1
...
...
...
...
...
...
Día 16º
1
0
0
0
1
Día 17º
1
0
0
1
0
...
...
...
...
...
...
Día 29º
1
1
1
1
0
Día 30º
1
1
1
1
1
Este cuadro hace evidente que el estado contable en cualquier día puede deducirse de la
expresión binaria (en base 2) del número correspondiente.
45.
EL REPARTO DE LA HERENCIA. Siendo C el importe total de la herencia.
El 1º recibió: 100.000 + (C-100.000)/5
El 2º recibió: 200.000 + 1/5[(C-100.000) - (C-100.000)/5 - 200.000]
Igualando lo recibido por cada uno se obtiene:
(C-100.000)/5 = 100.000 + C/5 - 60.000 - (C - 100.000)/25 ===> C = 1.600.000 ptas.
Luego: 4 herederos a 400.000 ptas. cada uno.
46. SE QUEDÓ SIN DISCOS. Consideremos el lote del último amigo. Si éste, al tomar n discos
más 1/7 del resto agotó el número de discos, significa que ese resto era cero, pues de otro modo
hubieran sobrado discos.
El amigo anterior había tomado n-1 discos más 1/7 del resto anterior. Tras esto, los 6/7 de
este resto son los cobrados por el último amigo. Como ambos recibieron el mismo número de
discos, este 1/7 del resto era un disco. El resto total eran 7 discos y el último amigo recibió 6, de lo
que se deduce que: el número de amigos es 6 y cada uno obtiene seis discos, siendo el total de
discos 36.
47.
TRANSPORTE DE UN TESORO.
1er intento: 20 - 20 - 20 - 20
2º intento: 20 - 30 - 30 - 30
3er intento: 20 - 30 - 40 - 40
Finalmente: 20 - 30 - 40 - 48
48.
NEGOCIANTE METÓDICO. Sea x el capital buscado.
Fin del 1er año: 4/3 x - 4/3 100
Fin del 2º año: 16/9 x - 28/9 100
Fin del 3er año: 64/27 x - 148/27 100 = 2x de donde x=1.480 dólares.
49. EL REPARTO DE LAS CASTAÑAS. Las edades de las niñas están en la proporción
9:12:14. Las niñas recibieron: 198, 264 y 308 castañas.
50.
LAS MANZANAS DEL HORTELANO. 36.
51. LOS LADRONES Y LOS CUADROS. El hecho de que los ladrones disminuyan cada uno
en una pieza de tela su parte (6 en lugar de 7) hace que queden trece piezas disponibles (5+8).
Los ladrones eran, pues, 13.
52. LOS LADRONES Y LAS CÁMARAS DE FOTOS. Sea n el número de ladrones y N el
número de aparatos robados.
En el primer reparto: N=1+2+3+...+n=n(n+1)/2
En el segundo reparto: N=5n
n(n+1)/2=5n por lo tanto n(n-9)=0, n=9, N=9x5=45 cámaras robadas.
53.
LOS LADRONES Y LAS TELAS. 6x + 5 = y; 7x=y + 8; x=13 ladrones, y=83 rollos de tela.
54. MAESTROS Y ESCOLARES. Si x es el número de maestros y n el de alumnos que le eran
asignados antes de la modificación, podemos escribir:
x n+(19-x)(n-30) = 1.000 ====> 19n+30x = 1.570 n = 10(157-3x)/19
Como n es un número entero (157-3x) ha de ser múltiplo de 19, siendo al mismo tiempo,
x<19. La única posibilidad es x=8, n=70. Es decir, que había 8 maestros y 11 maestras. Cada
maestro atendía a 70 niños; 560 en total. Cada maestra atendía 40 niños; 440 en total. Con la
variación cada maestra atiende 48 niños, lo que hace un total de 528 alumnos para las maestras.
El resto, 472, se reparten entre los 8 maestros, tocando pues a 59 alumnos.
55. EL GRANJERO Y LOS POLLOS. Sean A = Cantidad total de pienso (en unidades pollosdía). D = Número de días que le duraría con los pollos que tiene. P = Pollos que tiene
actualmente.
A/P=D, A/(P-75)=D+20, A/(P+100)=D-15.
Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Resolviendo: P=300.
Es decir: 300 pollos con pienso para 60 días.
56. ORIGINAL TESTAMENTO. La hacienda de 9000 ducados, repartida entre 5 hijos, da
1800 ducados para cada uno.
57.
LAS PERLAS DEL RAJÁ. x=perlas.
La mayor coge: 1+(x-1)/7, quedan: x-[1+(x-1)/7]=(6x-6)/7
La 2ª coge: 2+[(6x-6)/7-2] 1/7=2+(6x-20)/49
1+(x-1)/7 = 2+(6x-20)/49 ===> x=36 perlas ===> 6 hijas.
58. EL MERCADER DE DIAMANTES. Se venden los diamantes gruesos a 13 doblones cada
uno, y los menudos a 13 diamantes por un doblón. El primer vendedor llevó un diamante grueso
y 39 menudos y en los 16 del otro había 3 gruesos y 13 menudos.
59.
VENTA DE GANSOS. Llevó al mercado 101 gansos. (51 + 17 + 9 + 5 + 19)
60. LOS GUARDIANES DE LAS NARANJAS. El método para resolver problemas de este tipo
es el de hacer el camino inverso. Pues que salió con 2, al tercer guardián llegó con 5. Por esto, al
segundo llegó con 11. Y si del primero salió con 11, quiere decir que llegó a él con 23.
61.
LOS 3 PANES Y LAS 3 MONEDAS.
Pastor A
Pastor B
Cazador
Panes que aporta
2
1
0
Parte que come
3/3
3/3
3/3
Parte que regala
3/3
0
0
Parte del dinero
3
0
Pastor A = 3 monedas. Pastor B = 0 monedas.
62.
LOS 8 PANES Y LAS 8 MONEDAS.
Pastor A
Pastor B
Cazador
Panes que aporta
5
3
0
Parte que come
8/3
8/3
8/3
Parte que regala
7/3
1/3
0
Parte del dinero
7
1
Pastor A = 7 monedas. Pastor B = 1 monedas.
63.
LOS 5 PANES Y LAS 5 MONEDAS.
Pastor A
Pastor B
Cazador
Panes que aporta
3
2
0
Parte que come
5/3
5/3
5/3
Parte que regala
4/3
1/3
0
Parte del dinero
4
1
Pastor A = 4 monedas. Pastor B = 1 monedas.
64.
NEGOCIO PARA TRES.
Antonio
Benito
Carlos
Total
Millones que aporta
18
12
6
36
Fracción del total
1/2
1/3
1/6
1
Reparto de ganancias
6
4
2
12
Antonio = 6 millones, Benito = 4 millones, Carlos = 2 millones.
65. CURIOSO TESTAMENTO. Si nacía niño, éste heredaba doble que la madre. Si nacía niña,
ésta heredaba la mitad que la madre. Al nacer niño y niña mantengamos esta proporción entre
los tres.
niña=x, madre=2x, niño=4x.
4x+2x+x=1, 7x=1, x=1/7.
El reparto fue así: Niña=2 vacas. Madre=4 vacas. Niño=8 vacas.
66. ARAÑAS Y ESCARABAJOS. Hay que saber que las arañas tienen 8 patas y que los
escarabajos tienen 6 patas. Así, en la caja hay 3 arañas y 5 escarabajos.
67. VACAS, CERDOS Y OVEJAS (1). 10x+3y+½(100-x-y)=100, 20x+6y+100-x-y=200,
19x+5y=100. 5 vacas, 1 cerdo, 94 ovejas.
68. VACAS, CERDOS Y OVEJAS (2). 5x+2y+½(100-x-y)=100, 10x+4y+100-x-y=200,
9x+3y=100. No hay solución.
69. VACAS, CERDOS Y OVEJAS (3). 4x+2y+(1/3) (100-x-y)=100, 12x+6y+100-x-y=300,
11x+5y=200. (5 vacas, 29 cerdos, 66 ovejas) - (10 vacas, 18 cerdos, 72 ovejas) - (15 vacas, 7
cerdos, 78 ovejas)
70.
NEGOCIO PARA LOS TRES. 78, 42 y 24 reales.
71. LOS ASPIRANTES AL PUESTO DE TRABAJO. Ni mucho menos. En realidad, y como le
correspondía por su cargo, cobraba un salario más elevado que sus compañeros. Estos llegaron
precipitadamente a la conclusión de que un aumento de 50 dólares cada semestre equivalía a
otro de 100 dólares anuales, pero aquél, había tomado en consideración todas las condiciones del
problema, y estudió las dos posibilidades de esta manera:
150 de aumento anual
50 de aumento semestral
1er año
500 + 500 = 1.000
500 + 550 = 1.050
2º año
575 + 575 = 1.150
600 + 650 = 1.250
3er año
650 + 650 = 1.300
700 + 750 = 1.450
4º año
725 + 725 = 1.450
800 + 850 = 1.650
De esta forma se dio cuenta inmediatamente de que su sueldo excedería al de los otros en los
años subsiguientes, en 50, 100, 150, 200, ... dólares, ya que el aumento anual que a él le
correspondía siempre sería 50 dólares mayor que el de ellos. Lo que impresionó a su nuevo
patrón no fue, pues, su modestia, sino su despierta inteligencia.
72.
CURIOSA PARTIDA (1). 325, 175 y 100 ptas.
73.
CURIOSA PARTIDA (2). (En página 215-216 de Mat. Recreativas de Y. Perelman)
74.
EN EL HIPÓDROMO.
Tras la 6ª carrera = 0 ptas.
Tras la 5ª carrera = 600 ptas.
Tras la 4ª carrera = 300 ptas.
Tras la 3ª carrera = 900 ptas.
Tras la 2ª carrera = 450 ptas.
Tras la 1ª carrera = 1.050 ptas.
Al llegar al hipódromo = 525 ptas.
75. VACACIONES CON LLUVIA. Puesto que cuando llovió por la mañana, la tarde fue
soleada, quiere decirse que ningún día llovió mañana y tarde. Llamando x al número de días que
llovió por la mañana, e y al de los que llovió por la tarde, podemos escribir que el número de
mañanas es igual al de tardes.
10+x=9+y como x+y=9 obtenemos, 10+x=9+(9-x), x=4. Las vacaciones duraron, por tanto,
10+4=14 días.
76.
COMO ANILLO AL DEDO. 18 anillos, 10 dedos.
77.
LOS HUEVOS DE GALLINA Y DE PATO. A la cesta con 29 huevos.
Entonces: 23+12+5 = 40 huevos de gallina. 14+6 = 20 huevos de pato.
78.
7 LLENAS, 7 MEDIO LLENAS Y 7 VACÍAS.
Solución 1.
1º) 3 llenas, 1 medio llena y 3 vacías.
2º) 2 llenas, 3 medio llenas y 2 vacías.
3º) 2 llenas, 3 medio llenas y 2 vacías.
Solución 2.
1º) 1 llena, 5 medio llenas y 1 vacía.
2º) 3 llenas, 1 medio llena y 3 vacías.
3º) 3 llenas, 1 medio llena y 3 vacías.
79.
REPARTO EN LA BODEGA. Hay 24 botellas (12 G, 12 p) y 21 partes de vino (7 G, 7 p).
1ª persona: 3 G. llenas, 1 p. llena, 1 G. vacía, 3 p. vacías.
2ª persona: 2 G. llenas, 3 p. llenas, 2 G. vacías, 1 p. vacía.
3ª persona: 2 G. llenas, 3 p. llenas, 2 G. vacías, 1 p. vacía.
80. LOS BUEYES DEL GRANJERO. Podemos dividir a los bueyes en dos grupos en cada caso;
un grupo que coma el crecimiento, y el otro el pasto acumulado. El primero variará
directamente con el tamaño del campo, y no dependerá del tiempo; el segundo grupo también
variará directamente con el tamaño del campo, y además inversamente con el tiempo. Por los
datos, 6 bueyes se comen el crecimiento del pasto de 10 Ha., y 6 bueyes comen el pasto de 10 Ha.
en 16 semanas. Por tanto, si 6 bueyes comen el crecimiento de 10 Ha., 24 comerán el crecimiento
de 40 Ha.
Nuevamente, encontramos que si 6 bueyes comen el pasto acumulado de 10 Ha. en 16
semanas, entonces:
12 bueyes comen el pasto de 10 Ha. en 8 semanas
48 bueyes comen el pasto de 40 Ha. en 8 semanas
192 bueyes comen el pasto de 40 Ha. en 2 semanas
64 bueyes comen el pasto de 40 Ha. en 6 semanas
Sumando entre sí los dos resultados (24+64), encontramos que 88 bueyes pueden ser
alimentados con una pradera de 40 Ha. durante 6 semanas.
81. LA ESCALERA MECÁNICA (1). Este problema no presentaría dificultad si en vez de
tratarse de una escalera mecánica y hablar de peldaños, lo hubiéramos planteado en términos de
una cinta transportadora horizontal (como la de los aeropuertos) y hubiéramos hablado de
metros de cinta desplazable. En tal caso, llamando D a la distancia en metros entre la entrada a
la cinta y la salida de ella; x a la velocidad en el sentido del desplazamiento de la cinta y v a la
velocidad de ésta, se tendría: (x+v)t=D, (5x-v)t/2=D. Estas mismas ecuaciones son las de nuestro
problema, siendo D la distancia en peldaños, y x y v las velocidades en peldaños por unidad de
tiempo. (El hecho de escribir t/2 en la 2ª ecuación se comprende si tenemos en cuenta que yendo
5 veces más rápido dio 125 pasos que son la mitad de los que corresponderían a 50x5=250, que
hubiese dado en un tiempo t).
Finalmente: xt + vt = 50 + vt = D
5xt/2 - vt/2 = D, 50 + vt = 125 - vt/2, vt = 50 y D = 100 peldaños.
82. LA ESCALERA MECÁNICA (2). Sea x el número de peldaños. Cuando utilizo la escalera,
ésta recorre x-20 escalones en 60 segundos. Cuando sube mi mujer, recorre x-16 escalones en 72
segundos. La escalera tiene pues una velocidad de cuatro escalones en 12 segundos. Recorre pues
el equivalente de 20 escalones en 60 segundos; su altura total es la suma de estos 20 escalones y
los otros 20 que he subido andando, es decir, 40 escalones.
83. EL TERREMOTO LEJANO. Sea x=diferencia de hora; y=tiempo de transmisión.
19h 34m - 8h 30m = x + y
17h 19m - 9h 15m = x - y
de donde, x=9h 34m; y=1h 30m.
84. LAS PERPLEJIDADES DE LA SEÑORA PACA. La aparente paradoja quedó
completamente aclarada cuando la señora Paca vio un horario en el que figuraban las horas a las
que pasaban los autobuses P y Q por su parada:
Línea P: 10,09 - 10,19 - 10,29 - 10,39 - 10,49 - 10,59.
Línea Q: 10,10 - 10,20 - 10,30 - 10,40 - 10,50 - 11,00.
Desde que pasa un autobús P transcurre sólo un minuto hasta que aparece un Q, y nueve
hasta que pasa el siguiente P. Así pues, por cada 10 minutos pueden pasar nueve esperando un P
y sólo uno esperando un Q. Tendríamos, pues, que una persona que utilice frecuentemente esta
parada vería llegar primero el autobús P nueve veces de cada diez.
85. EL PERRO Y EL GATO. La perra pesa 5 kilos, y el gato 10.
86. LOS MARINEROS, EL MONO Y LOS COCOS. Sea x el número de cocos.
Tras separar su parte el primer marinero, quedan: (x-1) 2/3.
Tras separar su parte el segundo marinero, quedan: [(x-1) 2/3-1] 2/3=(x-1) 4/9-2/3.
Tras separar su parte el tercer marinero, quedan: [(x-1) 4/9-2/3-1] 2/3=(x-1) 8/27-10/9.
Finalmente, el último reparto nos dice que: (x-1) 8/27-10/9-1=múltiplo de 3. Simplificando
se obtiene: 8x=27 3n+65=81n+65. Ecuación diofántica, que tiene como soluciones:
a) Menor que 100: x=79. b) Entre 200 y 300: x=241.
87. ACEITE Y VINAGRE. El cliente compró los barriles de aceite de 13 y 15 litros a 50 ptas. el
litro, y los barriles de 8, 17 y 31 litros a 25 ptas. el litro.
(13+15) x 50 = 1.400 ptas. (8+17+31) x 25 = 1.400 ptas.
Esto deja el barril de 19 litros, que puede contener tanto aceite como vinagre.
88. LOS HERMANOS Y LOS MELONES. Representamos por 0 los melones de Pablo y por X
los de Agustín.
000XX-2
000XX-2
000XX-2
000XX-2
000XX-2
000XX-2
000XX-2
000XX-2
000XX-2
000XX-2
XXXXX-2
XXXXX-2
El dólar que falta se pierde al hacer los dos últimos lotes.
89. BARRILES DE VINO Y CERVEZA. Como el hombre vendió una cantidad de vino y luego el
doble, el total de vino vendido debe ser un número múltiplo de 3. Observamos ahora que los
contenidos de los barriles (15, 16, 18, 19, 20 y 31) al ser divididos cada uno por 3, dejan
respectivamente restos: 0, 1, 0, 1, 2, 1. De estos seis debemos elegir cinco que sumados den un
múltiplo de 3, y esto sólo ocurre si tomamos los restos 0, 1, 0, 1, 1. Queda fuera el resto 2, que
corresponde al barril de 20 litros, y la venta fue de 33 litros (15+18) al primer cliente y de 66
(16+19+31) al segundo.
90. LA DIVISIÓN EN LA TASCA. Hacen falta 14 trasvases: Recipientes (16,11,6):
1 - (16,0,0)
2 - (10,0,6)
3 - (10,6,0)
4 - (4,6,6)
5 - (4,11,1)
6 - (15,0,1)
7 - (15,1,0)
8 - (9,1,6)
9 - (9,7,0)
10 - (3,7,6)
11 - (3,11,2) 12 - (14,0,2)
13 - (8,2,6) 14 - (8,8,0)
91. FACUNDO EL LECHERO.
92. LOS VAGABUNDOS Y LAS GALLETAS. El menor número de galletas debe haber sido
1.021.
La solución general es que para n hombres, el número debe ser m(nn+1)-(n-1), donde m es
cualquier entero. Cada hombre recibirá m(n-1)n-1 galletas en la división final, aunque en el caso
de dos hombres, donde m=1, la distribución final sólo beneficia al perro. Por supuesto, en todos
los casos cada uno roba una enésima parte del total de las galletas, luego de dar al perro la
sobrante.
93. LECHERO INGENIOSO. Llena la jarra de 3 litros, y la vacía en la de 5. Vuelve a llenarla y
vacía todo lo que quede en la de 5, ya parcialmente llena. Lo que sobra en la jarra de 3 litros es
exactamente 1 litro.
3 L.
5 L.
0
0
3
0
0
3
3
3
Podría medir así, de uno en uno, cualquier cantidad de litros. Sin embargo, hay maneras
más rápidas de medir cantidades exactas de leche sin marearla tanto. Por ejemplo, 3 y 5 litros se
pueden medir directamente y 6=3+3, 8=3+5, 10=5+5, etc. pero, ¿Cómo se medirían 4 y 7 litros?
94. EL VENDEDOR DE VINO. Los pasos a modo indicativo pueden ser:
8 L.
5 L.
3 L.
8
0
0
5
0
3
2
3
3
2
5
1
7
0
1
7
1
0
4
1
3
95. LA ALABARDA. 451.066= 2x7x11x29x101. El último día del mes ha de ser forzosamente 29,
siendo, por tanto, el mes febrero de un año bisiesto. La longitud de la alabarda ha de ser
forzosamente 7 pies. Quedan tres factores: 2, 11 y 101.
Son posibles dos soluciones: 101 ó 202 es la mitad del número de años transcurridos entre
la muerte del soldado y el descubrimiento de la tumba. Pero entre 1712 y 1716, por una parte la
alabarda ya no se utilizaba, y por otra no hubo intervenciones francesas fuera de Francia. Así,
202 es la mitad del número de años transcurridos, siendo entonces la edad del comandante 22
años.
En 1512 tuvo lugar la batalla de Rávena entre españoles y franceses, siendo mandadas las
tropas francesas en esa ocasión por Gastón de Foix, nacido en 1498.
96. MANZANAS ENTERAS. Sólo puede prolongarse hasta 4 compradores (por ejemplo, si
hubiera habido 80, 140, 200 ... manzanas al principio). Pero ninguna de estas cantidades
permiten llevar 6 manzanas más un sexto de las que quedan sin cortar manzanas.
97. EXIGENCIA CUMPLIDA. «Se venden lotes de siete limones al precio de un dólar el lote.
Concluidos los lotes, se venderán los limones restantes a tres dólares cada limón».
En estas condiciones cada vendedor recaudó 20 dólares.
El mismo efecto se consigue con 60 limones dando a uno 30, al otro 20 y al otro 10. También
con 90 limones dando a uno 50, al otro 30 y al otro 10. (Más adelante está)
98. UN PRECIO ABSURDO. «Véndase primero lotes de 7 melones por un dólar, y acabados éstos,
cada melón por 13 dólares». De este modo el primer vendedor consigue 20 dólares, y el segundo
vendedor obtiene 40 dólares.
99. EL PROBLEMA DE BENEDIKTOV. SOLUCIÓN INGENIOSA DE UN PROBLEMA
COMPLICADO. «Se venden lotes de siete huevos al precio de un dólar el lote. Concluidos los lotes,
se venderán los huevos restantes a tres dólares cada huevo».
En estas condiciones cada hija recaudó 10 dólares.
Mayor: 1 + 9 = 10. Mediana: 4 + 6 = 10. Menor: 7 + 3 = 10.
100. MODESTA GANANCIA EN COMPRAVENTA. Dividió las 20 perdices en dos partes
iguales, en una parte puso las diez mejores, y en la otra las diez peores. Hecho esto, vendió cada
pareja de las diez mejores por un dólar, y cada tres de las peores por otro dólar. De esta manera
se venden cinco perdices por dos dólares, como al principio las compró. De las buenas sacó cinco
dólares, y de las peores tres dólares sobrándole una perdiz. Es decir, saco 8 dólares y le quedó
una perdiz (de las peores) como ganancia.
101. EL IMPOSIBLE CUADRADO DE CUBOS. 7 + 10 = 17 es la diferencia de dos cuadrados.
17 = n²-p² = (n-p)(n+p) = 1x17
n-p=1, n+p=17 es decir: n=9, p=8
Balthazar tiene 9²-7 = 74 cubos = 8²+10.
102 PREDECIR LA CUENTA. Los dedos se cuentan en repeticiones de un ciclo de un total de
ocho, como se muestra a continuación:
PULGAR
ÍNDICE
ANULAR
CORAZÓN
MEÑIQUE
1
2
3
4
5
9
8
7
6
10
11
12
16
15
14
18
19
19
17
13
20
...
...
...
...
...
Se trata simplemente de aplicar el concepto de congruencia numérica, módulo 8, a fin de
calcular dónde caerá la cuenta para cualquier número dado. Sólo tenemos que dividir el número
entre 8, anotar el resto y comprobar qué dedo le corresponde. El número 1.962 dividido entre 8
tiene un resto de 2, de esta forma la cuenta termina en el dedo índice.
Dividiendo mentalmente 1.962 entre 8 los matemáticos recuerdan la regla de que
cualquier número es divisible entre 8 si sus tres últimas cifras son divisibles entre 8, por lo que
sólo tenía que dividir 962 entre 8 para determinar el resto.
103. SÓLO UN COCHE POR HERENCIA. Cada uno de ellos valora el coche. (En sobre
cerrado)
Antonio lo valora en A dólares. Benito en B dólares. Sea, por ejemplo A<B.
* El que más valor ha atribuido al coche, Benito, se lo queda.
* Benito paga a Antonio la cantidad de A/2 + (B-A)/4.
Así, Antonio recibe la mitad de lo que creía precio válido, más algo más.
Benito habrá gastado en quedarse con el coche (A+B)/4 < B/2.
Ambos han salido ganando.
Veamos todo en un ejemplo concreto:
Antonio lo valora en 4000 dólares. Para él la mitad del coche vale 2000 dólares.
Benito lo valora en 6000 dólares. Para él la mitad del coche vale 3000 dólares.
4000/2 + 2000/4 = 2500.
Antonio recibe 2500 dólares, 500 dólares más que su valoración.
Benito paga 2500 dólares, 500 dólares menos que su valoración.
Los dos contentos.
104. MATUSALÉN R.I.P.. Se puede observar que: 187 + 182 + 600 = 969.
Es decir, el año en que murió Matusalén era el mismo año del Diluvio.
Por ello, es lógico preguntarse:
a) ¿Matusalén murió de muerte natural?
b) ¿Se olvidó Noé de dar pasaje para el Arca a su abuelo?
105. LOS 24 SOBRES. 1ª solución: 1ª persona: 4 de 1, 4 de 5. 2ª persona: 4 de 1, 4 de 5. 3ª
persona: 8 de 3.
2ª solución: 1ª persona: 2 de 1, 5 de 5. 2ª persona: 2 de 1, 5 de 5. 3ª persona: 4 de 1, 4 de 5.
3ª solución: 1ª persona: 3 de 1, 2 de 3, 3 de 5. 2ª persona: 3 de 1, 2 de 3, 3 de 5. 3ª persona: 2
de 1, 4 de 3, 2 de 5.
Los (5) siguientes son originales de Pierre Berloquin.
106. ESPEJOS EN ÁNGULO RECTO (1). Tres. Llamamos A y B a los dos espejos. Usted ve una
imagen a en A y una imagen b en B. Pero cada imagen se refleja también en el otro espejo. Y
usted ve así una imagen a' de a en B y una imagen b' de b en A. Sin embargo, al estar los dos
espejos en ángulo recto, las imágenes a' y b' se superponen. Hay igualmente imágenes de a' en A,
de b' en B, etc., pero éstas también se superponen a las primeras.
107. LA LÍNEA DE BALDOSAS (2). 321. La diagonal entra en una nueva baldosa al comienzo y
cada vez que atraviesa una línea horizontal o vertical. Pero cuando la diagonal atraviesa el
vértice de una baldosa, cruza dos líneas y entra en una sola baldosa. Estos vértices son vértices
de rectángulos proporcionales a todo el piso. La cantidad de tales rectángulos es igual al máximo
común divisor de 231 y 93, que es 3. (Incluimos a todo el piso como uno de estos rectángulos,
pues la diagonal, al llegar al final, no ingresa en una nueva baldosa.) La cantidad de baldosas
atravesadas es: 231+93-3=321.
108. FRANCOS Y DÓLARES (3). El franco gana por mucho. Es posible llegar a tener 143
céntimos sin llegar a completar un franco justo:
- Una moneda de 50; cuatro monedas de 20; una moneda de 5 y cuatro monedas de 2. El
dólar no llega sino a 119 céntimos.
- Tres monedas de 25; cuatro monedas de 10 y cuatro monedas de 1.
Estos valores fueron obtenidos por tanteos sucesivos. Se ve que en cada caso, una moneda
cualquiera más permite hacer una unidad.
109. LA ESCUADRILLA DE AVIONES (4). El triángulo equilátero más pequeño posible
contiene tres aviones en hileras de uno y dos. El segundo está formado por 1+2+3=6 aviones.
Siguiendo el mismo principio, el tercero contiene 10 aviones, el cuarto quince y el quinto 21.
Supongamos que estos cinco triángulos sean los pedidos en el problema. Suman en total 55
aviones. Y 55 es, a su vez, un número triangular (se forma con diez hileras, que van de un avión a
diez aviones). Esta es la respuesta, entonces, ya que la siguiente respuesta posible está por encima
de 55.
110. LOS CINCO NEGOCIOS DE TIMOTEO (5). 62 francos. Resolvemos de atrás para
adelante. Al entrar en el último negocio Timoteo debía tener 2 francos (pues gastó la mitad, 1,
más 1, y se quedó seco). Al entrar en el negocio anterior Timoteo debía tener 6 francos (pues
gastó la mitad, 3, más 1, y se quedó con 2). Al entrar en el anterior debía tener 14 francos. Al
entrar en el anterior debía tener 30 francos. Y antes de entrar al primero Timoteo debía tener 62
francos.
111. LOS TRES JUGADORES. Sean A, B y C las ptas. con que empezaron Alberto, Bernardo y
Carlos.
Tras el primer juego, las cantidades de cada uno se han convertido en: A-B-C, 2B y 2C.
Tras el segundo juego: 2(A-B-C), 2B-A+B+C-2C=3B-A-C y 4C.
Al final de la tercera partida: 4(A-B-C), 2(3B-A-C) y 4C-2A+2B+2C-3B+A+C=-A-B+7C
4(A-B-C)=24, 2(3B-A-C)=24, -A-B+7C=24
A=39, B=21, C=12. Alberto empezó con 39 ptas., Bernardo con 21 y Carlos con 12.
112. AVARICIOSO CASTIGADO. Para resolver este problema, lo más sencillo es hacer el
camino inverso del aldeano:
Al final=0 32 16 48 24 56 28=Al comienzo
Los datos de este problema no pueden darse alegremente. Por ejemplo, fijado el pago de
32 monedas, el número de veces que se pasa el puente sólo puede ser 1, 2, 3, 4 ó 5. De acuerdo
con ellas, el número inicial de monedas es 16, 24, 28, 30 y 31.
Si se quisiera alterar la tarifa puesta por el diablo, puede, en vez de 32, exigir cada vez el
pago de 2, 4, 8, 16, 32, ... monedas, porque con otras cantidades no saldría limpio el juego.
113. LA BATALLA. Expresando los porcentajes en forma de fracción:
No fuman 56,565656... = 5600/99
No beben 56,756756756... = 2100/37
El número de supervivientes debe ser un número entero. Luego, el número de
supervivientes debe ser múltiplo de 37 y 99 y, por consiguiente, de 3663. Como el número de
soldados antes del combate era 4000, es obvio que el número de muertos fue 337.
114. EL BOXEADOR. Sea x el número de peleas adicionales. Ha de ganarlas todas.
(85+x)/(100+x) = 90/100 ===> x=50.
115. EN LA FRUTERÍA. 46 ptas. Una mandarina cuesta 7, una pera 14 y una manzana 16.
116. LAS VACAS DE NEWTON. Tomamos como unidad de medida la hierba que crece en una
hectárea durante una semana.
a) 3 vacas necesitan en 2 semanas la hierba de 2 hectáreas más 4 unidades.
b) 2 vacas necesitan para su alimentación en 4 semanas la hierba de 2 hectáreas más 8
unidades.
Por a) se deduce que:
c) 3 vacas necesitan en 4 semanas la hierba de 4 hectáreas más 8 unidades.
Restando a) de c) y dividiendo por 4 se determina que una vaca, en una semana, necesita
la hierba de 1'5 hectáreas.
A partir de b) se deduce que 4 unidades equivalen a la hierba de una hectárea.
De c) se deduce que una vaca en 6 semanas requiere la hierba de 3 hectáreas, por lo que
durante 6 semanas, corresponde a la hierba de 15 hectáreas de hierba, por lo que teniendo
presente c), es suficiente para alimentar a 5 vacas durante 6 semanas.
117. EL CABRERO. Una única cabra podría alimentarse indefinidamente en el prado. Si
llamamos P a la cantidad de pasto que come una cabra en un día, entonces hay disponibles 9P en
3 días o 12P en 6 días. La diferencia 3P es la cantidad que crece la hierba en tres días. Por tanto,
la velocidad de crecimiento es g por día y hay 6P al inicio. Una única cabra sólo come P, por
tanto nunca acabaría con la hierba del prado.
118. EL COLECCIONISTA DE MONEDAS. Pagó 200 monedas para limpiar las 800 monedas
que le quedaron.
119. LOS ANIMALES DE LA GRANJA. Un toro, una vaca, dos caballos y una gallina.
120. JUSTICIA DISTRIBUTIVA. Si llamamos A1, A2, ..., A10 a las fortunas, ordenadas de
menor a mayor, tendremos, tras el reparto:
2A1 + 2A2 + ... + 2A9 + (A10 - A1 - A2 - ... - A9) = A1 + A2 + ... + A10 Pero, forzosamente, 2A9
es ahora el más rico, ya que si siguiese siéndolo A10, todo no quedaría igual, al haber cambiado
(al menos) la fortuna del más rico. Con ello, teniendo en cuenta que las fortunas han aumentado
todas con excepción de A10, se verificará: 2A9 = A10, 2A8 = A9, ..., (A10 - A1 - A2 - ... - A9) = A1 Es
decir, las fortunas son: A1, 2A1, 2²A1, ..., 29A1
y como la suma vale: A1(210-1) = 1.023 x A1 = 1.023.000 ===> A1 = 1.000 ptas. Así: A2=2.000
ptas., A3=4.000 ptas., ..., A9=256.000 ptas., A10=512.000 ptas.