Espacios_Vectoriales_Lorenzo_COMPLETO.docx

FACULTAD REGIONAL RECONQUISTA
PRACTICO DE ESPACIOS VECTORIALES
Ingeniería Electromecánica
Materia: Algebra y Geometría analítica
Trabajo práctico: Practico de espacios vectoriales
Docente: Roberto Villamayor
Alumnos:
- Lorenzón Cian Federico
- Martin Nicolás
- Martínez Pablo
- Peña Leonardo
1) En el subespacio vectorial F generado por los siguientes vectores del espacio



Vectorial R4: u1  (2,3,1,0) u2  (1,0,1,0) u3  (0,3,1,0) se pide:
  
a)
Rango de H  u1 , u 2 , u3  . ¿Qué clase de sistema es H? ¿Existe alguna relación de
dependencia entre los vectores de H?
Primero planteo los vectores como columnas de una matriz. Luego reduzco la matriz a una
equivalente y cuando la cantidad de pivotes o ecuaciones linealmente independientes. El rango es
igual a 2 por lo tanto el sistema es compatible indeterminado, o sea que son linealmente
dependiente.
Relación de dependencia entre los vectores:
Para esto tomamos uno de los tres vectores y analizamos su relación de dependencia con
los otros dos restantes.
U2= (1/2) U1 + (-1/2) U3
b) Dimensión y una base de F.
La dimensión de F es 2, porque admite hasta dos vectores linealmente independiente
F=<U1;U3>.
La base de F es BF=<U1;U3>
c)
Coordenadas de los vectores
anterior.
  
u1 , u2 , u3 , respecto de la base obtenida en el apartado
Las coordenadas son números que van a formar un vector de un Espacio Vectorial que van a
depender de cuantos vectores tiene la base. Coordenadas respecto de la base BF
U1= 1 U1+ 0 U3= [1;0]BF
U2= 1/2 U1+ -1/2 U3= [1/2;-1/2]BF
U3= 0 U1+ 1 U3= [0;1]BF
d)
Unas ecuaciones paramétricas de F.
e)
unas ecuaciones cartesianas o implícitas de F.
La forma de despejar los parámetros es por Gauss
Ecuación Implícita: 3𝑍 − 3𝑥 + 𝑦 = 0
f)
A partir de las ecuaciones cartesianas otras ecuaciones paramétricas distintas del apartado
d).
De esta ecuación 3𝑍 − 3𝑥 + 𝑦 = 0 Se debe despejar una incógnita quedando:
𝑦 = 3𝑥 − 3𝑧 por lo tanto parametrizamos X y Z. entonces W e Y quedan en una expresion
mas sensilla.
Ahora hago las ecuaciones vectoriales así hallamos otra base
g) ¿el vector (1,0,0) pertenece o no a F.
No porque es de otro espacio vectorial de R3
h) Una base B* del espacio vectorial R4 que contenga a los vectores de una base de F.
Tomamos los vectores de la base de F y le agregamos dos vectores más que sean
linealmente independientes a los vectores anteriores, para crear una base de R4
i)
Las ecuaciones del cambio de la base B, a la base B*
De una base de dimensión dos no se pueden hacer cambio de base hacia una de dimensión
cuatro. Por lo tanto tomamos como B a la base canoníca Bc .
La ecuación cambio de base de B* a la Bc nos queda:

j) La expresión analítica del vector e2  (0,1,0,0) de la base canónica respecto de la base B*.
e2 = 0 U1 -1/3 U2+1/3 k+0 l
EJERCICIO 2:
1.
Probar que los sistemas de vectores G1 y G2 generan el mismo subespacio vectorial F de R4.
G1= {(1,2,-1,0), (4,8,-4,-3), (0,1,3,4), (2,5,1,4)}
G2= {(1,-2,-13,-1), (1,1,-4,-5), (2,3,-5,-2), (1,1,-4,-1)}
Vemos que al reducir G1 y G2 nos queda planteada la misma matriz por lo tanto
ambas generan el mismo subespacio vectorial R3
2.
Hallar una base “escalonada”, unas ecuaciones paramétricas y las ecuaciones cartesianas de
F.(Vamos a llamar bases “escalonadas” de F a aquellas cuyos vectores se pueden disponer
como las filas de una matriz escalonada)
Base escalonada: Para esto tomamos los vectores de la matriz escalonadas que obtuvimos al
reducir G1 o G2.
Ecuaciones paramétricas:
Ecuación cartesiana:
3.
Sea H = {(x, y, z, t)  R4 tales que x + y + z = 0, x + z -3 t = 0}. Se pide:
a) Hallar una base de H, de F + H y de FH respectivamente.
b) Unas ecuaciones cartesianas de F + H y de FH.
a- Base de H:
Base de F+H: planteamos una matriz con los vectores de la base de H y de F y la reducimos
para encontrar los vectores de la Base de F+H
Base de FH: para hallar esta base planteamos un sistema de ecuaciones, para como resultado
una base del subespacio que satisfacen las ecuaciones de F y de H.
Intersección:
1 0
0
BFH= 0 1
0
(
0 0
2
0
3
1
3
11
1 −
3
0
0
)
3-b) No pudimos encontrar ecuación cartesiana de F + H
Ecuaciones cartesianas de FH:
4.
¿Es H un subespacio suplementario de F? En caso contrario halla un subespacio suplementario
de F.
Comprobar que B= {(1,2,1), (1,1,0), (3,1,1)} y B’= {(1,3,1), (0,1,1), (2,1,0)} son bases de R3 y
calcular las ecuaciones matriciales de cambio
1. de la base B a la base canónica BC
2. de la base B’ a BC
3. de la base B a B’
de la base B’ a B.
5.
Escribimos los vectores de “B” como filas de una matriz.
1 2 1
B=(1 1 0)
3 1 1
Reducimos la matriz B, si obtenemos que todos los vectores son linealmente independiente es
porque B es base de R3.
1 0 0
B*= (0 1 0)
0 0 1
Hacemos lo mismo con “B´”
1 3 1
1 1)
2 1 0
B´(0
Matriz reducida de B´:
1 0 0
B´*= (0 1 0)
0 0 1
B y B´ son base de R3.
1- De la base B a la base Bc:
La ecuación del cambio de base de B a Bc es igual a la matriz B.
𝑋
𝑥
1 1 3
De B a Bc (𝑌)= (2 1 1) ∗ (𝑦)
𝑍
1 0
𝑋
1
De B´ a Bc (𝑌) = (3
𝑍
1
𝑧
1
0 2 𝑥´
1 1) (𝑦´)
1 0
𝑧´
Para obtener la ecuación cambio de base de B a B´ despejamos las coordenadas de B´ en
función de las coordenadas de B.
1 1 3
𝑥
1 0 1
𝑧
1 0 2
𝑥´
1 1 0
𝑧´
(2 1 1) ∗ (𝑦) = (3 1 1) (𝑦´)
𝑥´
Si despejamos para obtener (𝑦´) .
𝑧´
𝑥
𝑥´
𝑥´
1 0 2 −1 1 1 3
(𝑦´) = (3 1 1) (2 1 1) ∗ (𝑦) ⟹ (𝑦´) =
𝑧
1 1 0
1 0 1
𝑧´
𝑧´
1
3
2
La matriz cambio de base de B a B´ es
3
1
(3
1
3
1
3
2
3
1
(3
1
3
−1
1
−3
1
3
2
2)
𝑥
∗ (𝑦)
𝑧
−1
1
−3
1
3
2
2)
Para obtener la matriz cambio de base de B´ a B obtenemos la inversa de la matriz cambio
de base de B a B´.
−1
1 1
4
1
−1
1 −
3 3
3
3
2
1
2
4
=
−
2
−1
3
3
3
3
1 1
1
1
2)
(3 3
(− 3 0
3 )
4
3
2
3
La matriz cambio de base de B´ a B es
1
(
−3
1
1
−3
−1
4
3
1
3
0
)