preparació examen polinomis_fraccions algebraiques

Generalitat de Catalunya
Departament d’Ensenyament
Institut Eugeni d’Ors. Vilafranca del Penedès
Preparació examen polinomis i fraccions algebraiques
Nom i cognoms:
Grup:
1. Digues si les següents afirmacions són verdaderes (V) o falses (F):
1
Direm que dos monomis són semblants si tenen diferent grau
V
F
V
F
Si considerem dos monomis amb la mateixa variable, el monomi producte d'aquests dos és el que té per
coeficient el producte dels coeficients dels factors, la mateixa variable que aquests i el grau que en
resulta és la suma dels graus dels factors
2
3
Anomenem terme independent d'un polinomi el monomi de grau u
V
F
4
Anomenem grau d'un polinomi el més gran dels graus de cadascun dels seus monomis
V
F
5
El binomi de Newton és una fórmula matemàtica que permet calcular les potències de binomis. Un cas
particular del binomi de Newton és el Triangle de Tartaglia.
V
F
V
F
V
F
V
F
Per factoritzar un polinomi de segon grau, resolem l’equació de segon grau P(x) =0
Ex: Considerem el polinomi P(x) = x2 – 4x – 12. Resolguem l'equació següent:
6
x2 – 4x – 12 = 0
Les solucions són -2 i 6. Per tant, x2 – 4x – 12 = (x – 2) (x – 6)
7
Anomenem factorització d’un polinomi P(x) el procés d’expressar aquest polinomi P(x) com a producte de
polinomis irreductibles.
La regla de Ruffini s’utilitza per realitzar una divisió de polinomis en la què el divisor sigui un binomi de la
forma x – a o x + a.
Mètode: Volem fer l'operació següent: (5x4 + 3x2 - x + 4) : (x - 2). Podem utilitzar el mètode de Ruffini
perquè el divisor és de la forma x - a. Prenem els coeficients del dividend (ordenats per potències), que
són 5, 0, 3, -1, 4 i el valor de a, que és 2, i els disposem de la forma següent:
8
El coeficient de la màxima potència, 5, es baixa a la fila de resultats i calculem 2 · 5 = 10. Sumem la
segona columna,
0 + 10 = 10. A continuació, 2 · 10 = 20 i sumem la tercera columna, 3 + 20 = 23. Continuem fent 2 · 23
= 46 i sumem la quarta columna, -1 + 46 = 45. Finalment, calculem 2 · 45 = 90 i sumem 4 + 90 = 94.
El quocient que hem obtingut és Q(x) = 5x3 + 10x2 + 23x + 45 i el residu és R(x) = 94
Generalitat de Catalunya
Departament d’Ensenyament
Institut Eugeni d’Ors. Vilafranca del Penedès
9
La regla de Ruffini no serveix per factoritzar polinomis
V
F
V
F
Teorema del residu: Siguin P(x) un polinomi i a un nombre real. Aleshores, el residu de la divisió
de P(x) entre x – a és P(a), és a dir, el valor numèric de P(x) en a, o també, la imatge de a per P(x).
10
Exemple: Si Considerem P(x)=x-1 i el nombre a=1, el teorema del residu el que diu és que P(x)/(x-1) té
com residu P(1). En efecte P(x)/(x-1) =(x-1)/(x-1) té com residu 0, doncs es tracta d’una divisió exacta,
i si calculem P(1) = 1-1 =0, que és el residu de la divisió
1.- Donats els polinomis P(x) = x4-3x2+4x-7 i Q(x) = x5-3x4+4x2+6x-7
a) Quins són els graus de P(x) i Q(x)? I els termes independents?
b) Calcula P(x)+Q(x) i P(x)-Q(x)
2.- Donats els polinomis P(x) = 5x4-3x2-7 i Q(x) = x2-5
a) Calcula P(x)·Q(x)
b) Calcula P(x) : Q(x)
3.- Utilitzant la regla de Ruffini, dóna el quocient i el residu de la divisió (x4-3x2+4x-7): (x+4)
4.- a) Calcula (3x-5)2
b) Calcula (3x-5)4
5.- Donat el polinomi P(x)= 𝑥3−7𝑥2+7𝑥+15
a) Calcula P(1). És x=1 un zero del polinomi? Perquè?
b) Troba els zeros de 𝑥3−7𝑥2+7𝑥+15 i factoritza’l.
6.- Determina el valor del paràmetre “a” sabent que el polinomi ax2-3ax+2 és múltiple de x+3.
7.- Simplifica les fraccions algebraiques:
a)
b)
2(x+1)(x−3)
4(x+1)
2x3 −2x
4(x+1)