Documento 3341835

¿CÓMO AYUDAR AL SEÑOR AVIVATO A INVERTIR EN EL BANCO
DEL PUEBLO Y NO MORIR EN EL INTENTO?
PROFESOR JEAN-PIERRE MARCAILLOU
PROFESOR INVITADO DEL IESA
CASIO ACADÉMICO VENEZUELA
RESUMEN
El objetivo principal de este artículo es mostrar cómo a través de los menús CAS y GRPH-TBL se resuelve un
problema de finanzas por medio del proceso de comparación de los métodos discretos y continuos.
PROBLEMA
Se estima que al final de cada año y durante diez años, el señor Avivato depositará en el Banco del Pueblo la
cantidad de  5.000  1.000t 1,08 
t 1
dólares, donde t  1 corresponde al depósito efectuado al final del primer
año, t  2 al depósito efectuado al final del segundo año, y así sucesivamente hasta el final del año diez. El
Banco del Pueblo le paga una tasa de interés del 10% anual con capitalización continua. Si la tasa de interés
permanece fija al 10% anual con capitalización continua, calcula el Valor Actual Descontado (VAD) de la
inversión realizada por el señor Avivato en el Banco del Pueblo.
RESOLUCIÓN
Dos métodos suelen presentarse para resolver este problema, a saber: el método discreto y el método continuo.
Método discreto o exacto:
Se sabe que el cómputo en el momento cero, del Valor Actual Descontado VAD de un Valor Futuro único FV de
un capital pagadero dentro de n años, a una tasa de interés anual compuesto continuo i, está dado por la fórmula
VAD  FVein .
t 10
En nuestro caso se tiene que VAD 

(5.000  1.000t)1,08t 1e0,10t .
t 1
f(t)
Se reconoce la sumatoria de una progresión aritmético-geométrica, es decir que cada sumando se compone de
dos factores donde el primero se comporta como el de una progresión aritmética (PA) y el segundo como el de
una progresión geométrica (PG), cuya expresión general es:
t n
S

t 1
u1  (t  1)a q t 1  u1  (u1  a)q  (u1  2a)q2  ...  u1  (n  3)a  qn3  u1  (n  2)a  qn2  u1  (n  1)a qn1
PA
PG
y cuyo desarrollo algebraico conduce a la siguiente expresión S  u1
qn  1
1  nqn1  (n  1)qn
 aq
donde para
q 1
(q  1)2
nuestro caso de estudio u1  6.000e0,10 ;a  1.000e0,10 ;n  10 ;q  1,08 e0,10 .
En consecuencia se tiene que:
10
VAD  6.000e
10 1
10
1,08e0,10   1
1  10 1,08e0,10 
 (10  1) 1,08e 0,10 





 1.000e 0,101,08e 0,10
0,10
2
1,08e
1
1,08e0,10  1


0,10 
que representa la cantidad de 84.286,54 dólares y se ilustra gráficamente en el diagrama de flujo siguiente:
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Pág.
1
0
1
$6.000
2
$7.560
3
4
10%acc
5
6
7
8
9
10 años
$ 9.331,20 $11.337,41 $13.604,89 $16.612,61 $19.042,49 $22.279,72 $25.913,02 $29.985,07
VAD = ¿?
Procedimiento calculadora CASIO ALGEBRA FX 2.0 PLUS
A través del menú CAS y de la opción 4: ∑ del submenú CALC calcula dicha sumatoria como se ilustra a
continuación:
Introduce en el área de ingreso del menú CAS la función sumatoria:

((5000  1000T)  1.08  (T  1)  e( 0.1T),T,1,10) .Presiona la tecla [EXE] y
aparece en el área de salida el resultado numérico desarrollado.
Presiona seguidamente las teclas [F1] (TRNS) / [ALPHA] / [log] (B) / [SHIFT] /
[(–)] (Ans) / [EXE] y aparece en el área de salida el resultado decimal exacto del
Valor Actual Descontado calculado a través del método discreto.
Por lo tanto el Valor Actual Descontado de la inversión del señor Avivato durante estos diez años en el Banco
del Pueblo, a una tasa de interés del 10% anual con capitalización continua, alcanza el valor de 84.286,54
dólares.
Método continuo o aproximado
Representa gráficamente la función f(t) . Observa las diez barras verticales gruesas en la Figura 1. Cada una
de ellas representa el valor presente del depósito realizado en el año correspondiente. La suma de todas estas
barras verticales es igual a 84.286,54 $ como se determinó en el método exacto. Como el ancho de cada barra
es de 1 año, y la altura de cada barra representa el valor presente de cada depósito, la superficie de cada
rectángulo de ancho 1 y de largo la altura de cada barra es igual a la altura de cada barra. En consecuencia se
aproxima la suma de las superficies de los diez rectángulos por el área delimitado por la curva f(t), las rectas
verticales t  0 , t  10 y el eje del tiempo.
10
Luego VAD 

10
103
(5.000  1.000t)1,08t 1e0,10t dt 
1,08
0

(t  5)et(ln1,080,10)dt
0
Se aplica el método de integración por partes cuyo resultado final es:
10

103  et(ln1,08 0,10)
(t  5)(ln1,08  0,1)  1  81.114,07 $.

1,08   ln1,08  0,10 2


0
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Pág.
2
El valor encontrado 81.114,07 es menor que el valor exacto 84.286,54 en vista de que la superficie encerrada
por la curva f(t), las rectas t  0 , t  10 y el eje del tiempo es menor que la superficie de todos los diez
rectángulos como lo ilustra la Figura 1.
$
t
Figura 1
Procedimiento calculadora CASIO ALGEBRA FX 2.0 PLUS
A través del menú CAS y de la opción
como se ilustra a continuación:
2 :  del submenú CALC se puede calcular dicha integral definida
Introduce en el área de ingreso del menú CAS la integral definida:

(1000(T  5)e(T(ln1.08  0.1)) /1.08,T,0,10) .Presiona la tecla [EXE] y aparece en
el área de salida el resultado numérico.
Presiona seguidamente las teclas [F1] (TRNS) / [ALPHA] / [log] (B) / [SHIFT] /
[(–)] (Ans) / [EXE] y aparece en el área de salida el valor decimal aproximado del
Valor Actual Descontado calculado a través del método continuo.
A través de la combinación del menú CAS y del menú GRPH-TBL se puede calcular dicha integral definida e
ilustrar gráficamente el resultado obtenido como se muestra a continuación:
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3
Introduce en el área de ingreso del menú CAS el integrando original:
(5000  1000x)  1.08  (x  1)  e( 0.1x) .Presiona seguidamente las teclas [→] /
[VARS] / [F1] / [1] / [EXE] con la finalidad de almacenar dicha función en el menú
GRPH-TBL para su futuro uso.
A través de las teclas [MENU] y [REPLAY] ingresa al menú GRPH-TBL y presiona
la tecla [F1] (SEL) para activar dicha función almacenada en Y1.
Presiona seguidamente las teclas [SHIFT] / [V-Window] con la finalidad de definir la
pantalla de visualización como se muestra a continuación.
Presiona seguidamente las teclas [ESC] / [F5] (DRAW) y aparece en la pantalla la
gráfica de dicha función.
Presiona seguidamente las teclas [F4] (G.SLV) / [8] (  dx ) y aparece en la mitad de
la pantalla el cursor
.
Presiona la tecla  X, ,T para visualizar la ventana desplegable e ingresa el límite
inferior de integración [0].
Presiona seguidamente la tecla [EXE] para registrar dicho límite inferior de
integración.
Presiona la tecla  X, ,T para visualizar la ventana desplegable e ingresa el límite
superior de integración [1] / [0].
Presiona seguidamente la tecla [EXE] y aparece en la pantalla la región sombreada
solución, y en la parte inferior a mano izquierda el valor decimal de la integral
definida.
Distribuye ahora el ancho de 1 año de cada rectángulo a la derecha de cada barra vertical gruesa tal cual lo
ilustra la Figura 2. En consecuencia se aproxima la suma de las superficies de los diez rectángulos por el área
delimitado por la curva f(t), las rectas verticales t  1 , t  11 y el eje del tiempo.
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4
11
Luego VAD 

11
103
(5.000  1.000t)1,08t 1e0,10t dt 
1,08
1

(t  5)et(ln1,080,10)dt .
1
Se aplica el método de integración por partes cuyo resultado final es:
11

103  et(ln1,080,10)
(t  5)(ln1,08  0,1)  1  87.348,34 $.

1,08   ln1,08  0,10 2


1
El valor encontrado 87.348,34 es mayor que el valor exacto 84.286,54 en vista de que la superficie encerrada
por la curva f(t), las rectas t  1 , t  11 y el eje del tiempo es mayor que la superficie de todos los diez
rectángulos tal cual lo ilustra la Figura 2.
$
t
Figura 2
Ahora bien, surge la siguiente pregunta:
¿Es posible a través el método continuo acercarse más al valor exacto dado por el método discreto?
Centra cada una de las barras verticales gruesas en cada uno de los valores discretos correspondientes 1, 2,
3, y así sucesivamente hasta 10 tal cual lo ilustra la Figura 3, es decir se reparte la mitad del ancho de 1 año a
mano izquierda y la otra mitad a mano derecha de cada barra vertical. En consecuencia se aproxima la suma
de las superficies de los diez rectángulos por el área delimitado por la curva f(t), las rectas verticales t  0,5 ,
t  10,5 y el eje de las abscisas t.
10,5
Luego VAD 

10,5
(5.000  1.000t)1,08
t 1 0,10t
e
0,5
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103
dt 
1,08

(t  5)e t(ln1,08 0,10)dt .
0,5
Pág.
5
Se aplica el método de integración por partes cuyo resultado final es:
10,5

103  et(ln1,08 0,10)
(t  5)(ln1,08  0,1)  1
 82.272,71 $.

1,08   ln1,08  0,10 2


0,5
El valor encontrado 82.272,71es más cercano al valor exacto 84.286,54 en vista de que la superficie encerrada
por la curva f(t), el eje del tiempo, las rectas t  0,5 y t  10,5 , es aproximadamente igual a la superficie de
todos los diez rectángulos tal cual lo ilustra la Figura 3.
$
t
Figura 3
Referencia bibliográfica
García J. (2000). Matemáticas Financieras con diferencias finitas. Editorial Pearson. Bogotá.
Jean-Pierre Marcaillou – CASIO ACADÉMICO VENEZUELA
Pág.
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