Notas sobre Trabajo III

MECÁNICA
vB 
J.W.L. S. 47
2 KB
2 (39.2J)
m

 6.26
m
2.0 kg
s
En el punto C, la energía potencial gravitacional UgC , es
m
1
) (2.0 m)  39.2 J y la energía cinética K C  m v C2 , será
2
2
s
KC = EC – UgC = 117.6 J – 39.2 J = 78.4 J
U gC  mg h C  2.0 kg (9.8
La rapidez en el punto C, será :
vB 
2 KB
2 (78.4J)
m

 8.85
m
2.0 kg
s
En el punto D, la energía es únicamente cinética, entonces
ED = KD = 117.6 J , y finalmente
vB 
2 KB
2 (117.6J)
m

 10.84
m
2.0 kg
s
Analicemos ahora un movimiento sobre un plano inclinado con un resorte en la parte
inferior como se muestra en la figura 80. El resorte
C
tiene una constante elástica k = 2000.0 N/m y se
encuentra comprimido 0.10 m. La masa del carrito
B
es de 2.0 kg y no tiene fricción con el plano
300
inclinado. El resorte no se encuentra unido al
N.R.
A
carrito.
Figura 80
El punto A es la posición en que el resorte se
encuentra comprimido, el punto B es la posición
cuando el resorte ya no está comprimido y el punto C es la posición más alejada del
punto A, a la que llega el carrito. Como no hay fricción, ni otras fuerzas externas, mas
que la fuerza gravitacional, se conserva la energía mecánica, por lo que las energías en
el punto A, B y C son las mismas.
Tomando la posición del punto A como nivel de referencia, la energía en el punto A es
solo potencial elástica.
EA 
1
1
N
k x 2  (2000.0 )(0.10 m) 2  10.0 J
2
2
m
En el punto B, el resorte ya no está comprimido, por lo que la energía en este punto es
de tipo gravitacional y cinética.
Esto es:
47
MECÁNICA
EB 
J.W.L. S. 48
1
m v 2  mg h B
2
la altura hB = 0.10 m sen (300 ) = 0.05 m
La energía potencial gravitacional en el punto B, es
UgB = mg hB = 2.0 kg (9.8m/s2) (0.05m) = 0.98 J
1
m v 2  mg h B , la energía cinética en
2
el punto B, será KB = EB - UgB = 10.0 J –0.98 J = 9.02 J
De la ecuación de la energía en el punto B, E B 
La rapidez del carrito en el punto B, es decir cuando el resorte ya no está comprimido,
1
lo calculamos a partir de K B  m v 2B
2
2 KB
2 (9.02 J)
m
vB 

 3.0
m
2.0 kg
s
En el punto C, solo existe energía potencial gravitacional, por lo que la energía
E
10.0 J
 0.51 m , ésta es la altura que
E C  mg h C , despejando h C  C 
m
mg
2.0 kg (9.8 2 )
s
alcanza el carrito, medida desde el nivel de referencia.
Existen casos en donde la energía mecánica no se conserva, a nivel macroscópico, casi
nunca se conserva la energía mecánica. Por ejemplo, si a los carritos de las figuras 73,
79 y 80 les quitamos las llantitas, la fricción se incrementa considerablemente.
Analicemos el caso de la figura 79, suponiendo que el coeficiente de fricción cinemático
 k  0.30 .
En este caso la energía en el punto A, sigue siendo la misma, si tomamos como nivel de
referencia el punto D.
m
)(6.0 m)  117.6 J
s2
La energía en el punto B, que sigue siendo cinética y
potencial gravitacional, es ahora menor debido al trabajo
negativo realizado por la fricción.
1
E B  mg h B  mv 2B  WA B ( fricción )
2
Calculemos primero el trabajo realizado por la fricción.
La fuerza de fricción es f r   , en donde
E A  mg h A  2.0 kg (9.8
  mg cos(30 0 ) , entonces f r   mg cos(30 0 ) .
La distancia que se desplaza desde A hasta B es
d
2.0 m
 4.0 m
sen 30 0 
48
MECÁNICA
J.W.L. S. 49
y el trabajo realizado por la fricción es WAB ( fricción )    m g d cos(30 0 ) ,
sustituyendo valores
m
WAB ( fricción )    m g d cos(30 0 )  0.3(2.0kg)(9.8 2 )4.0m(0.866)  20.37 J
s
La energía en el punto B será igual que la energía en A, mas el trabajo realizado por la
fricción, esto es:
E B  E A  WAB ( fricción ) = 117.6 J –20.37 J = 97.23 J
Observe que la energía potencial gravitacional del punto B, UgB , debe ser la misma que
en el caso de la figura 79, por lo que la energía cinética en el punto B, será diferencia de
la energía en B menos la energía potencial gravitacional, esto es:
K B  E B - U gB
K B  97.23 J - 2.0 kg (9.8
m
)(4.0 m)  97.23 J - 78.4 J  18.83 J
s2
Note que el trabajo que realiza la fricción al moverse el carrito sin llantas desde A hasta
B, es el mismo que al moverse de B hasta C, y de C hasta D.
La energía en el punto C se puede calcular entonces de
E C  E B  WBC ( fricción ) = 97.23 J – 20.37 J = 78.86 J
y la energía en el punto D
E D  E C  WCD ( fricción ) = 78.86 J –20.37 J = 56.49 J
La energía cinética en el punto C será:
KC = EC -UgC = 78.86 J – 2.0 kg (9.8 m/s2) 2.0 m = 37.66 J
La energía en el punto D es solo energía cinética, por lo que KD = ED = 56.49 J
Note que cuando no existía fricción la energía cinética en el punto D era igual a 117.6 J,
mientras que ahora es 56.49 J.
La diferencia de éstas energías es 117.6 J – 56.49 J = 61.11 J, esta diferencia se
considera como la energía mecánica “perdida por fricción”, en realidad esta energía no
se pierde, sino que se transforma en otro tipo de energía que no es mecánica.
En la siguiente tabla se muestran los resultados del análisis del movimiento del carrito
sobre el plano inclinado en los casos cuando no hay fricción y con fricción.
CASO
PUNTO
A
B
C
D
SIN FRICCIÓN
Energía
Energía cinética
potencial
gravitacional
117.60 J
0.00 J
78.40 J
39.20 J
39.20 J
78.40 J
0.00 J
117.60 J
49
CON FRICCIÓN
Energía
Energía cinética
potencial
gravitacional
117.60 J
0.00 J
78.40 J
18.83 J
39.20 J
37.66 J
0.00 J
56.49 J
MECÁNICA
J.W.L. S. 50
Una forma rápida de evaluar la energía cinética en el punto D, es calcular directamente
ED a partir de EA
E D  E A  W A D  fricción
E D  mg h A  mg d cos (30 0 )
m
m
E D  2.0 kg (9.8 2 )(6.0m)  0.3(2.0 kg)(9.8 2 )(12.0 m)(0.866)
s
s
E D  117.60 J  61.11 J  56.49 J
Potencia y eficiencia.
Potencia media
La potencia media es un concepto que permite evaluar la cantidad de trabajo realizado
en un cierto intervalo de tiempo.
P
WAB
t
Por ejemplo, en la figura 69 de la página 40, se observa un carrito al que se aplica una
fuerza horizontal de 300.0 N y el carrito se desplaza una distancia de 6.0 m. El trabajo
realizado es de 1800.0 J. Si un sistema mecánico es el responsable de aplicar esta
W
fuerza, la potencia media de ese sistema se puede calcular con P  AB . En este
t
ejercicio ya conocemos el trabajo, que es de 1800.0 J, nos faltaría calcular el tiempo que
el carrito tarda en recorrer la distancia de 6.0 m, como este debe ser un movimiento
a t2
uniformemente acelerado x  xo  vox t  x , si el carrito parte desde el reposo
2
vox = 0, entonces despejando de la ecuación anterior
t
2(x - x o )
ax
donde a x 
F
x
m

300.0 N
m
 2.0 2
150.0 kg
s
t = 2.45 s
P
WAB 1800.0 J
J

 734.7 .
t
2.45 s
s
Potencia instantánea
La potencia media, indica la potencia dentro de un intervalo de tiempo, mientras que la
potencia instantánea indica la potencia en un instante determinado.
 
Como el trabajo es W A B    F  ds
50
MECÁNICA
J.W.L. S. 51
 
 
d (W A B )  F  ds

 F v
La potencia instantánea será P 
dt
dt
Si evaluamos la potencia instantánea para t = 2.45 s, del ejemplo de la figura 69,
tenemos que
v x  vox  a x t  0.0
m
m
m
 2.0 2 (2.45 s)  4.9
s
s
s
m
)  1470 W
s
Note que tanto la fuerza como la velocidad, tienen la misma dirección.
P  300.0 N (4.9
Eficiencia
En cualquier sistema mecánico, el concepto de eficiencia es muy importante, pues este
establece en cierta forma la cantidad de energía que no va a ser utilizada en un proceso.
El concepto de eficiencia se mide mediante la relación
e
Energía utilizada en un proceso
Energía disponible
El caso más común es el del automóvil, pues la energía disponible de la gasolina, no es
utilizada en su totalidad, lo mismo sucede en aparatos electrodomésticos como una
licuadora en donde la energía eléctrica disponible no se aplica totalmente en moler los
alimentos. Uno de los factores que más intervienen en la reducción de la energía
disponible que es utilizada en un proceso, es el trabajo realizado por la fricción.
IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Introducción.
La generación de energía eléctrica a través del funcionamiento de las turbinas Pelton
y de otras se basa primordialmente en los principios de impulso y la cantidad de
movimiento. La forma en que están construidas sus álabes o palas permiten un máximo
aprovechamiento de la energía cinética del fluido.
El movimiento de un cohete se basa en el principio de la conservación de la cantidad
de movimiento, éste al expulsar los gases tiene un cambio continuo en su velocidad que
es proporcional a la masa de los gases expulsados y a la velocidad de los gases. Un
cohete puede cambiar su velocidad en el vacío interplanetario expulsando gases. El
movimiento de fluidos y las fuerzas que se originan en los cambios de velocidad es
estudiado por los conceptos de impulso y cantidad de movimiento. Los cambios en la
dirección de un fluido producen grandes fuerzas en las tuberías forzadas de una turbina.
Para evaluar la magnitud de éstas fuerzas se utiliza el principio del impulso y la
cantidad de movimiento.
El movimiento de cualquier objeto inicialmente en reposo, requiere siempre de la
aplicación de fuerzas durante un intervalo de tiempo delimitado. Son éstas fuerzas
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MECÁNICA
J.W.L. S. 52
impulsivas las responsables del movimiento de una máquina o de las piezas móviles de
un mecanismo.
En las colisiones se generan fuerzas repulsivas de magnitudes enormes. Cuando se
alargan los tiempos de contacto éstas fuerzas disminuyen.
En las colisiones el principio de la conservación de la cantidad de movimiento es
primordial para el análisis.
Existen colisiones en las cuales se conserva la energía cinética, en estos casos
llamados colisiones elásticas, la energía cinética se conserva al igual que la cantidad de
movimiento.
En las colisiones llamadas inelásticas las deformaciones en los objetos son
permanentes, la energía cinética de los objetos en colisión se reduce.
El concepto de impulso


dv
De la segunda ley de Newton  F  m
, se puede derivar una expresión diferencial
dt

 Fdt  m dv , al integrar esta expresión , al término de la izquierda
t2

  Fdt

se le denomina impulso, y utilizaremos el símbolo J , para designarlo.
t1
Si las fuerzas que se aplican durante un cierto intervalo de tiempo son constantes, el

impulso se calcula como  Ft .
Siempre que se aplica una fuerza a un objeto, ésta fuerza puede producir un impulso.
Todas las fuerzas son impulsivas, es decir todas pueden producir impulsos. Pero en
ocasiones la fuerza gravitacional no se considera como una fuerza impulsiva, sobre todo
cuando en una colisión las fuerzas que actúan son considerablemente mayores que la
fuerza gravitacional.
El concepto de cantidad de movimiento


A la integral del término derecho de la ecuación diferencial  Fdt  m dv , se le conoce
como el cambio en la cantidad de movimiento.
La cantidad de movimiento ( p ) de una partícula es el producto de la masa por su


velocidad, p  mv .
Una fuerza horizontal como la de la figura 69, produce un cambio en la cantidad de
movimiento. Este cambio no es instantáneo, sino que requiere de un intervalo de
tiempo. En el desarrollo anterior de la página 50, vimos que el carro de 150.0 kg parte
desde el reposo y que alcanzaba una rapidez de 4.9 m/s en un intervalo de tiempo de

2.45 s, aplicando el concepto de cantidad de movimiento, p1 es la cantidad de


movimiento inicial, p1  mv1 , como el carro se encuentra inicialmente en reposo
m
kg m


 
î
p1  0 y p 2  mv 2  150.0 kg (4.9 ) î  735.0
s
s
kg m
 

î
El cambio en la cantidad de movimiento es p  p 2  p1  735.0
s
Teorema del impulso y la cantidad de movimiento
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MECÁNICA
J.W.L. S. 53


A partir de la segunda ley de Newton, integrando la forma diferencial  Fdt  m dv
 

observamos que J  p2  p1 , este resultado es conocido como el teorema del impulso y
la cantidad de movimiento, que dice que el cambio en la cantidad de movimiento de un
cuerpo durante un intervalo de tiempo es igual al impulso de la fuerza neta que actúa
sobre el cuerpo durante ese intervalo.
 
Para el desarrollo de la página anterior J  Ft  300.0 N î(2.45 s)  735.0 N s î , es
kg m
 

î
exactamente el cambio en la cantidad de movimiento p  p 2  p1  735.0
s
En el choque de una pelota de tenis con la raqueta, de una pelota de base ball con el
bate, o al disparar un arma de fuego; los conceptos de impulso y cambio en la cantidad
de movimiento son muy importantes.
Para cambiar la cantidad de movimiento de un objeto, se requiere de un impulso. Por
ejemplo cuando una pelota choca con una raqueta, en una fracción de segundo, la
cantidad de movimiento se reduce abruptamente hasta cero, y luego aumenta en la
dirección opuesta a la inicial. Al disparar un arma de fuego la cantidad de movimiento
de la bala aumenta grandemente en una fracción de segundo. En cambio la cantidad de
movimiento de un satélite, cambia continuamente de manera paulatina.
Analicemos algunos casos.
1.- Una bala de 5.0 g es disparada horizontalmente y sale del cañón de un rifle con una
rapidez de 240.0 m/s , ¿Cuál es el impulso aplicado a la bala?
 
Como inicialmente la bala se encuentra en reposo p1  0 , luego la bala al salir del
m
kg m


î
cañón tiene una cantidad de movimiento p2  mv2  0.005 kg (240 ) î  1.20
s
s
Como el impulso es igual al cambio en la cantidad de movimiento
 
kg m
kg m
kg m

J  p2  p1  1.20
iˆ  0.0
iˆ  1.20
iˆ
s
s
s
¿Qué fuerza promedio se aplica sobre la bala si esta tarda aproximadamente 0.003 s en
salir del cañon?



Tomando el impulso como Fpromt  p2  p1
m

 1.20kg iˆ

p  p1
s  400.0 N iˆ
Fprom  2

t
0.003 s
2.- Una persona suelta un balón desde una altura de 1.2 m y el balón rebota hasta una
altura de 0.60 m, ¿qué impulso recibe el balón, si su masa es de 0.70 kg?

La cantidad de movimiento p1 del balón justo antes de chocar con el piso es
m

p1   2 g h m ĵ  - 3.395 kg ĵ
s

La cantidad de movimiento p2 , justo después de chocar con el piso es igual a :
m

p2  2 g h m ĵ  2.40 kg ĵ
s
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



Principio de la conservación de la cantidad de movimiento
Colisiones
Colisión elástica
Colisión inelástica
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